資源簡介

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專題1.3 乘法公式【十大題型】
【北師大版2024】
【題型1 利用乘法公式進行簡便運算】 2
【題型2 利用乘法公式求代數(shù)式的值】 4
【題型3 由完全平分式求字母的值】 5
【題型4 平方差公式的幾何背景】 7
【題型5 完全平方公式的幾何背景】 12
【題型6 乘法公式的應用】 16
【題型7 乘法公式的證明】 19
【題型8 由乘法公式求最值】 23
【題型9 乘法公式的規(guī)律探究】 25
【題型10 乘法公式中的新定義問題】 29
知識點：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特點
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
③公式中的a和b可以表示具體的數(shù)或單項式，也可以是多項式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．
【題型1 利用乘法公式進行簡便運算】
【例1】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）用簡便方法計算： ．
【答案】1
【分析】考查平方差公式的相關(guān)應用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵；
按照平方差公式將進行轉(zhuǎn)化為，即可簡便計算結(jié)果.
【詳解】
．
故答案為：1．
【變式1-1】（23-24七年級·寧夏銀川·階段練習）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查平方差公式，（1）利用平方差公式進行計算即可；
（2）利用平方差公式進行計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【變式1-2】（23-24七年級·上海徐匯·階段練習）計算： .
【答案】2019.
【分析】原式利用數(shù)的變形化為平方差公式，計算即可求出值．
【詳解】解：∵
∴=
故答案是：2019.
【點睛】此題考查了用平方差公式進行簡便計算，熟悉公式特點是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（23-24七年級·湖南懷化·期末）計算： ．
【答案】
【分析】利用平方差公式將變形為，通過相鄰的項約分化簡即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
【點睛】本題考查利用平方差公式進行簡便運算，解題的關(guān)鍵是將變形為．
【題型2 利用乘法公式求代數(shù)式的值】
【例2】（23-24七年級·重慶渝中·階段練習）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，則x3+2x2y2+y3的值為 ．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意得出且，從而進一步得出，由此進一步求出的值，最后再通過將所求式子分解為進一步計算即可.
【詳解】∵，，
∴，，
∵，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了乘法公式的綜合運用，熟練掌握相關(guān)公式及方法是解題關(guān)鍵.
【變式2-1】（23-24七年級·山東聊城·期末）若，，則 ．
【答案】7
【分析】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式進行計算即可．
【詳解】解： ，，
，
，
，
故答案為：．
【變式2-2】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）如果，那么代數(shù)式的值為（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本題考查了整式的化簡求值；分別利用單項式乘多項式法則與完全平方公式展開，再合并同類項，最后整體代入即可．
【詳解】解：
；
當時
原式
．
故選：C．
【變式2-3】（23-24七年級·重慶北碚·期末）已知，滿足，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．由，，，得，，代入求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，，當及時，等號成立，
∴，當及時，等號成立，
∵，
∴，，
∴．
故答案為：．
【題型3 由完全平分式求字母的值】
【例3】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）若多項式是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項式Q是 ．
【答案】±4x , 4x4，-1，-4x2
【分析】根據(jù)題意可知本題是考查完全平方式，設這個單項式為Q，①如果這里首末兩項是2x和1這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去2x和1積的2倍，故Q = ±4x; ②如果如果這里首末兩項是Q和1，則乘積項是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4.
【詳解】解：∵4x2 +1±4x = (2x±1)2
4x2+1+4x4 = (2x2+1)2;
∴加上的單項式可以是±4x , 4x4,-1，-4x2中任意一個,
故答案為：±4x , 4x4，-1，-4x2
【點睛】本題主要考查完全公式的有關(guān)知識，根據(jù)已知兩個項分類討論求出第三項是解題的關(guān)鍵.
【變式3-1】（23-24七年級·山東青島·期末）若是一個完全平方式，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查完全平方式，利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特征即可求出結(jié)果．
【詳解】解： 是一個完全平方式
即
故答案為：．
【變式3-2】（23-24七年級·陜西寶雞·期末）已知是一個完全平方式，則的值為（ ）
A．2 B．3或 C．1 D．
【答案】B
【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出的值．
【詳解】解：∵是一個完全平方式，
∴，
解得：或，
故選：．
【變式3-3】（23-24七年級·上海長寧·期中）填空：已知多項式 是一個完全平方.（請在橫線上填上所以的適當?shù)膯雾検?）
【答案】
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．
【詳解】解：完全平方公式 ，分情況討論：
（1）當相當于項時， ，可滿足題意；
（2）當相當于項時，，可滿足題意；
（3）當與相當于a與b，則需要求的是項，則，可滿足題意.
故答案為.
【點睛】本題考查了完全平方式，以及單項式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
【題型4 平方差公式的幾何背景】
【例4】（23-24七年級·安徽六安·期中）如圖，邊長為a的大正方形是由1個邊長為b的小正方形和4個形狀大小完全相同的梯形組成．
(1)用含a，b的代數(shù)式表示其中一個梯形的面積：_________；
(2)請用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積，由此，你能得到一個怎樣的公式？
【答案】(1)或
(2)方法一：，方法二：；公式：
【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何背景，整式的運用，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)梯形的面積公式求解即可；
（2）方法一：用（1）中梯形面積乘以4即可；方法二，用大正方形的面積減去小正方形的面積即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：梯形的面積為，
或：；
故答案為：或；
（2）解：方法一：用梯形面積乘以4，即；
方法二：用大正方形的面積減去小正方形的面積，即．
【變式4-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）兩個大小不一的正方形①和②如圖放置時，，．現(xiàn)有①和②兩種正方形各四個，擺放成如圖所示形狀，那么陰影部分的面積可用表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了整式的運算，設正方形②的邊長為，正方形①的邊長為，由圖可得，，即可得，得到，再由圖可得，即可求解，掌握平方差公式的運用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設正方形②的邊長為，正方形①的邊長為，
由圖可得，，，
∴，
即，
∴，
故選：．
【變式4-2】（23-24七年級·陜西咸陽·階段練習）【知識生成】
（1）我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，例如：從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形如圖，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖．圖中剩余部分的面積為______，圖的面積為______，請寫出這個代數(shù)恒等式；
【知識應用】
（2）應用（1）中的公式，完成下面任務：若是不為的有理數(shù)，已知，，比較、大小；
【知識遷移】
（3）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖表示的是一個邊長為的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，通過計算寫出一個代數(shù)恒等式．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖，圖的面積即可；
（2）利用（1）中得到的等式計算的值即可；
（3）分別用代數(shù)式表示圖中左圖和右圖的體積即可．
【詳解】解：（1）圖中剩余部分的面積為，
圖的面積為，
所以代數(shù)恒等式為；
（2），，
因為是不為的有理數(shù)，
所以，即，所以；
（3）圖3中左圖的體積為，
圖3中右圖是長為，寬為，高為的長方體，
因此體積為，所以有．
【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應用的前提，利用代數(shù)式表示圖形的面積和體積是正確解答的關(guān)鍵．
【變式4-3】（23-24七年級·河南濮陽·階段練習）如圖1，邊長為的大正方形內(nèi)有一個邊長為的小正方形．

（1）用含字母的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為__________；
（2）將圖1的陰影部分沿斜線剪開后，拼成了一個如圖2所示的長方形，用含字母的代數(shù)式表示此長方形的面積為__________；（多項式乘積的形式）
（3）比較圖1和圖2的陰影部分面積，請你寫出一個整式乘法的公式__________；
（4）結(jié)合（3）的公式，計算：①；
②．
【拓展】
直接寫出結(jié)果的個位數(shù)字．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；②；拓展：6．
【分析】（1）用大正方形面積減去小正方形面積，即可得到圖1中陰影部分的面積；
（2）由圖1可知，長方形的長為，寬為，即可求出此長方形的面積；
（3）根據(jù)圖1中陰影面積與圖2長方形面積相等，結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論，即可得到答案；
（4）①利用（3）中的整式乘法的公式直接計算，即可得到答案；
②將原式變形，再利用（3）中的整式乘法的公式計算，即可得到答案；
拓展：將原式變形，再利用（3）中的整式乘法的公式計算，得到結(jié)果，再分析結(jié)果的個位數(shù)字4次為一個循環(huán)，進而得到結(jié)果的個位數(shù)字，即為答案．
【詳解】解：（1）由圖1可知，陰影部分的面積為，
故答案為：；
（2）由圖1可知，長方形的長為，寬為，
圖2中長方形的面積為，
故答案為：；
（3）由題意可知，圖1中陰影面積與圖2長方形面積相等，
，
故答案為：；
（4）①
；
②
；
拓展：
，
，，，，，，，……
結(jié)果的個位數(shù)字4次為一個循環(huán)，
，
結(jié)果的個位數(shù)字為6．
【點睛】本題考查了平方差的幾何背景以及平方差公式的應用，正確理解平方差公式的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵．
【題型5 完全平方公式的幾何背景】
【例5】（23-24七年級·江蘇揚州·階段練習）我們知道，通過幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)慎等式．
例如：如圖1 得到，基于此，請回答下列問題．
(1)【直接應用】
若，，則 ______．
(2)【類比應用】
若，則______．
(3)【知識遷移】
兩塊完全一樣的直角三角板 如圖2放置，其中A，O，D在一條直線上，連接．若，和的面積和，求四邊形的面積．
【答案】(1)2
(2)7
(3)128
【分析】本題考查通過對完全平方公式變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應用：
（1）利用完全平方公式求解；
（2）利用完全平方公式將原式變形為，即可求解；
（3）設，，則，，利用完全平方公式的變形計算出，則，由此可解．
【詳解】（1）解：，
故答案為：2；
（2）解：，
故答案為：7；
（3）解：設，，
由題意知，，，
，
，
，
四邊形的面積．
【變式5-1】（23-24七年級·江蘇宿遷·期末）現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點H為的中點，連接、，將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2，已知甲、乙兩個正方形邊長之和為12，圖2的陰影部分面積為10，則圖1的陰影部分面積為（ ）
A．24 B．29 C．41 D．45
【答案】C
【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，設甲正方形的邊長為x，乙正方形的邊長為y，根據(jù)題意得，，兩式相加可得，在圖1中利用兩正方形的面積之和減去兩個三角形的面積，代入計算即可．
【詳解】解：設甲正方形的邊長為x，乙正方形的邊長為y，
則，，，
∴，
∴，
∵點H為的中點，
∴，
∵圖2的陰影部分面積為，
∴，
∴，
∴圖1的陰影部分面積為，
故選：C．
【變式5-2】（23-24七年級·浙江杭州·期中）在數(shù)學活動課上，一位同學用四張完全一樣的長方形紙片（長為a，寬為b，）搭成如圖一個大正方形，面積為132，中間空缺的小正方形的面積為28．下列結(jié)論中，不正確的有（ ）
A．； B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，根據(jù)拼圖得出，，，再根據(jù)公式變形逐項進行判斷即可．
【詳解】解：由拼圖可知，大正方形的面積的邊長為，中間的小正方形的邊長為，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故選項A、B、C正確，選項D錯誤，
故選：D．
【變式5-3】（23-24七年級·安徽合肥·期中）某些等式可以根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系進行解釋，例如，等式就可以用圖（1）的面積關(guān)系來解釋：圖（1）的面積為，各部分的面積之和為，故．
(1)根據(jù)圖（2）的面積關(guān)系可以解釋的一個等式為________；
(2)已知等式，請你畫出一個相應的幾何圖形；
(3)請你設計一個幾何圖形，并解釋：．
【答案】(1)；
(2)見解析；
(3)圖見解析，解釋見解析．
【分析】本題主要考查完全平方公式及多項式乘以多項式與幾何圖形的關(guān)系；熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵；
（1）利用正方形的面積公式即可證明．
（2）畫一個長為，寬為的長方形即可；
（3）把邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的正方形后，拼成一個長為，寬為的長方形即可．
【詳解】（1）解：在圖2中，大正方形的邊長為，
組成大正方形的5個部分的面積和為，
所以有，
故答案為：；
（2）解：如圖3所示：

整體大長方形的長為，寬為，組成長方形的4個部分的面積和為，
因此有；
（3）解：如圖4，

把邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的正方形后，拼成一個長為，寬為的長方形，
因此可以驗證．
【題型6 乘法公式的應用】
【例6】（23-24七年級·山東青島·期中）已知長方形金魚池的面積為1平方米，周長為6米，以長方形魚池相鄰兩邊向外作正方形的小花園，則兩個正方形小花園面積之和是 ．
【答案】7
【分析】設金魚池的長與寬各為a米和b米，得，，由完全平方公式變形得，整體代入數(shù)據(jù)即可求解．
【詳解】解：設金魚池的長與寬各為a米和b米，得，，
由完全平方公式得，
，
故答案為：7．
【點睛】此題考查了完全平方公式幾何背景的應用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形和完全平方公式靈活變式應用．
【變式6-1】（23-24七年級·湖南邵陽·期中）如圖，某校一塊邊長為的正方形空地是七年級四個班的清潔區(qū)，其中分給七年級（1）班的清潔區(qū)是一塊邊長為的正方形．

(1)分別求出七年級（2）班、七年級（3）班的清潔區(qū)的面積．
(2)七年級（4）班的清潔區(qū)的面積比七年級（1）班的清潔區(qū)的面積多多少？
【答案】(1)七年級（2）班、七年級（3）班的清潔區(qū)的面積均為
(2)多
【分析】（1）根據(jù)圖形可知：七年級（2）班、七年級（3）班的清潔區(qū)為長方形，通過，可求出對應的長，，即可解答此題．
（2）由正方形的面積公式可得到：，從而解答此題．
【詳解】（1）解：（1）因為，
所以七年級（2）班、七年級（3）班的清潔區(qū)的面積均為．
（2）因為，
所以七年級（4）班的清潔區(qū)的面積比七年級（1）班的清潔區(qū)的面積多．
【點睛】本題考查了整式的乘法，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（23-24七年級·浙江溫州·期中）學校為迎接藝術(shù)節(jié)，準備在一個正方形空地上搭建一個表演舞臺，如圖所示，正中間是“紅五月”三個正方形平臺．其中“五”字正方形和“月”字正方形邊長均為a米，“紅”字正方形邊長為b米．Ⅰ號區(qū)域布置造型背景，Ⅱ號區(qū)域設置為樂隊演奏席．
(1)用含a，b的代數(shù)式表示陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）并化簡；
(2)若陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）為288平方米，且米，求“紅”字正方形邊長b的值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根據(jù)題意，分別表示出正方形空地的面積和“紅五月”三個正方形平臺的面積，相減即為陰影部分的面積；
（2）根據(jù)陰影部分的面積求出，再根據(jù)，得到，進而求得，即可求出正方形邊長b的值．
【詳解】（1）解：由題意可知，正方形空地的邊長為，
正方形空地的面積為，
“紅五月”三個正方形平臺的面積為，
陰影部分的面積為；
（2）解：陰影部分的面積為288平方米，
，
，
，
，
，
,
．
【點睛】本題考查了正方形的面積公式，列代數(shù)式，完全平方公式，平方根知識，根據(jù)題意正確得出陰影部分的面積是解題關(guān)鍵．
【變式6-3】（23-24七年級·廣東佛山·期中）某樓盤推出“主房+多變?nèi)霊艋▓@”的兩種戶型．即在圖1中邊長為米的正方形主房進行改造．戶型一是在主房兩側(cè)均加長米（）．陰影部分作為入戶花園，如圖2所示．戶型二是在主房一邊減少米后，另一邊再增加米，陰影部分作為入戶花園，如圖3所示，設戶型一與戶型二的主房面積之差為，入戶花園的面積之差為．請計算．
【答案】 2b2
【分析】分別計算兩種戶型的主房面積，相減可得M，再計算兩種戶型的入戶花園的面積，相減可得N，最后計算M N．
【詳解】解：（1）∵M＝a2 a（a b）＝a2 a2＋ab＝ab，N＝（a＋b）2 a2 b（a b）＝a2＋2ab＋b2 a2 ab＋b2＝ab＋2b2，
∴M N＝ab （ab＋2b2）＝ 2b2．
【點睛】此題主要考查了完全平方公式的幾何背景和整式的混合運算，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．
【題型7 乘法公式的證明】
【例7】（23-24七年級·遼寧沈陽·期末）如圖，將大正方形通過剪、割、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的四種拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，用不同的代數(shù)式表示兩個面積相等的部分是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)各個圖形的拼圖的面積計算方法分別用等式表示后，再進行判斷即可．【詳解】圖①的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，拼成的如圖陰影部分是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有，所以圖①可以驗證平方差公式；
圖②的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，拼成的如圖陰影部分是長為，寬為的矩形，因此面積為，所以有，所以圖②可以驗證平方差公式；
圖③的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即，拼成的如圖陰影部分是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有
，所以圖③可以驗證平方差公式；
圖④的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即’，拼成的如圖陰影部分是長為，寬為的長方形，因此面積為，所以有，所以圖④不能驗證平方差公式；
綜上所述，能驗證平方差公式的有①②③，
故選∶C．
【變式7-1】（23-24七年級·山西呂梁·期末）初中數(shù)學中很多公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋，如圖，請你利用這個圖形的幾何意義證明某個數(shù)學公式．

(1)利用這個圖形可以證明的數(shù)學公式是 ；
(2)在證明（1）中數(shù)學公式的過程中，滲透的主要數(shù)學思想是什么？
(3)請你寫出完整的證明過程．
【答案】(1)平方差公式或
(2)數(shù)形結(jié)合
(3)證明見解析
【分析】本題考查了公式與幾何圖形的意義，數(shù)形結(jié)合思想，公式的證明．
(1)根據(jù)圖形整體面積等于各部分面積之和即可解答．
(2)根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想解答即可．
(3)根據(jù)面積的意義，證明即可掌握面積法是解題關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得平方差公式或，
故答案為：平方差公式或．
（2）解：主要思想是數(shù)形結(jié)合思想．
（3）解：由題意可知：
長方形的長，寬，
∴，
∵長方形的長，寬，
∴長方形與長方形的面積相等，
∴=+
= ，
∵=，=，
∴

【變式7-2】（23-24七年級·江蘇南京·期末）（1）求證：．
（2）已知，證明2173是兩個正整數(shù)的平方之和．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】本題考查了整式的運算，解題的關(guān)鍵是∶
（1）利用多項式乘以多項式計算左邊，利用完全平方公式計算右邊，然后驗證即可；
（2）把41，53分別寫成兩個正整數(shù)的平方和，然后利用（1）中求解即可．【詳解】證明：（1）∵左邊，
右邊
，
∴左邊=右邊，
∴；
（2）∵，，
由（1）知：，
∴，
或
又，
∴，
即2173是正整數(shù)43，18的平方之和或正整數(shù)27，38的平方之和．
【變式7-3】（23-24七年級·山東聊城·期末） 如圖1，中，，、、的對邊分別記為a、b、C.
實驗一：
小聰和小明用八張這樣的三角形紙片拼出了如圖2所示的正方形.
（1）在圖2中，正方形的面積可表示為 ，正方形的面積可表示為 (用含a，b的式子表示)
（2）請結(jié)合圖2，用面積法說明，，三者之間的等量關(guān)系.
實驗二：
小聰和小明分別用四個這樣三角形紙片拼成了如圖3所示的圖形.他們根據(jù)面積法得到了一個關(guān)于邊a、b、c的等式，整理后發(fā)現(xiàn)，．
（3）請你用面積法證明：．
【答案】（1），；（2）；（3）見解析
【分析】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應用，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．
（1）直接表示出正方形的面積即可解題；
（2）運用兩種不同的方法表示正方形的面積，然后整理解題；
（3）運用兩種不同的方法表示圖形的面積，然后整理即可．
【詳解】解：（1）在圖2中，正方形的面積可表示為，正方形的面積可表示為．
故答案為：，；
（2）由圖可知：，即；
（3）選擇是圖，正方形的面積為
即，
∴．
【題型8 由乘法公式求最值】
【例8】（23-24·江蘇南通·二模）已知實數(shù)a，b滿足，若，則p的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查完全平方公式的運用、平方式的非負性，先利用完全平方公式將已知等式化為，再將配方為，利用平方式的非負性求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴
，
當時取等號，
∴p的最小值為，
故答案為：．
【變式8-1】（23-24七年級·山東威海·期中）當多項式存在最大值時，x的值為 ．
【答案】
【分析】將該多項式配方，轉(zhuǎn)化為非負性的形式即可；
【詳解】解：
∵
∴
當時，原代數(shù)式有最大值，最大值為
故答案為：
【點睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握配完全平方式的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（23-24七年級·江蘇常州·期末）已知：x+y＝12，則代數(shù)式3x2+y2的最小值為 ．
【答案】108
【分析】根據(jù)題意把y=12-x代入式子中化簡求最值即可．
【詳解】解：由題意可得：y=12-x，代入式子3x2+y2中，
3x2+y2
=3x2+（12-x）2
=3x2+144-24x+x2
=4x2-24x+144
=（2x-6）2+108≥108，
∴3x2+y2的最小值為108．
故答案為：108．
【點睛】本題考查的是完全平方公式的應用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（23-24七年級·全國·競賽）已知實數(shù)滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查完全平方公式的應用，非負數(shù)的性質(zhì)．利用配方法和非負數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
．
∵
∴．
可得，
∴的最大值為．故答案為：．
【題型9 乘法公式的規(guī)律探究】
【例9】（23-24七年級·寧夏銀川·期末）觀察下列等式，并回答問題．
，
，
，
，
……
(1)將2024寫成兩整數(shù)平方差的形式：
__________________
(2)用含有字母（的整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，并用已學的知識驗證這一規(guī)律．
(3)相鄰的兩個整數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)嗎？請說說你的理由．
【答案】(1)506，，
(2)見詳解
(3)相鄰的兩個整數(shù)的平方差不是4的倍數(shù)，理由見詳解
【分析】本題考查了實數(shù)的規(guī)律運算，平方差公式的應用，解題的關(guān)鍵是整理題目給出的規(guī)律．
（1）根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求出答案；
（2）利用平方差公式的應用即可驗證；
（3）根據(jù)題意列出式子即可求證．
【詳解】（1）解：，
故答案為：506，，．
（2）由題意可知：（的整數(shù)），
證明：右邊左邊；
（3）相鄰的兩個整數(shù)的平方差不是4的倍數(shù)，理由如下：
設相鄰的兩個整數(shù)分別：，
根據(jù)題意可知：，
∵的整數(shù)，∴為奇數(shù)，
∴相鄰的兩個整數(shù)的平方差不是4的倍數(shù)．
【變式9-1】（23-24·遼寧大連·一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n-1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是 .
【答案】
【分析】依次觀察前幾個圖形以及正方形的個數(shù)，進而歸納得到拼成第個圖形需要個正方形，即可得出結(jié)論．
【詳解】第1個圖形是一個小正方形；
第2個圖形由個小正方形拼成；
第3個圖形由個小正方形拼成，
……
拼成第個圖形需要個正方形，
拼成第個圖形需要個正方形，
，
解得：；
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)圖形得出小正方形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（23-24七年級·河南周口·階段練習）仔細觀察，探索規(guī)律：
(1)；
；
．
①______（其中為正整數(shù)，且）；
②______；③______；
④______；
⑤______；
(2)根據(jù)上述規(guī)律求的值；
(3)根據(jù)上述規(guī)律：的值為______．
【答案】(1)（1）①，②，③，④，⑤，
(2)
(3)342
【分析】本題考查了平方差公式以及拓展應用，多項式乘以多項式規(guī)律等知識，熟練掌握平方差公式并根據(jù)題目中呈現(xiàn)的式子發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律并靈活應用是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)結(jié)果的規(guī)律得出答案；
（2）將寫成，通過（1）規(guī)律即可求解；
（3）由得當，，，將變形為，即可得到再進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：（1）由上式的規(guī)律可得，，
①故答案為：；
由題干中提供的等式的規(guī)律可得，
②；
故答案為：；
③，
故答案為：；
④
故答案為：；
⑤，
故答案為：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴取，，，
．
【變式9-3】（23-24七年級·河南鄭州·期末）觀察下列各式：，，，
(1)個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個數(shù)有什么規(guī)律
(2)如果一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為5，十位數(shù)字為n（且n為整數(shù)），請你借助代數(shù)式解釋（1）中的規(guī)律．
(3)如果把三位數(shù)595看成十位數(shù)字為“59”個位數(shù)字為“5”的“兩位數(shù)”，請利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算，要求寫清計算過程及結(jié)果．
【答案】(1)末尾的兩個數(shù)都是25
(2)
(3)計算過程見解析，結(jié)果
【分析】（1）觀察各式，找到規(guī)律，即可求解，
（2）根據(jù)題意得到兩位數(shù)為：，將用完全平方式展開，即可求解，
（3）根據(jù)（2）得到的公式代入，即可求解，
本題考查了，數(shù)字規(guī)律探索，完全平方式，解題的關(guān)鍵是：用代數(shù)式表示出數(shù)字的規(guī)律．
【詳解】（1）解：個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個數(shù)總是，
（2）解：這個兩位數(shù)是：，
∵，
∴個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個數(shù)總是，
（3）解：，
故答案為：．
【題型10 乘法公式中的新定義問題】
【例10】（23-24七年級·遼寧沈陽·期末）定義：對于一組多項式：，，(a，b，c都是非零常數(shù))，當其中一個多項式的平方與另外兩個多項式的乘積的差除以x是一個常數(shù)m時，稱這樣的三個多項式是一組和諧多項式，m的值是這組和諧多項式的和諧值．例如：對于多項式，，，因為 ，所以，，是一組和諧多項式，和諧值為.
(1)小明發(fā)現(xiàn)多項式，，是一組和諧多項式，求其和諧值；
(2)若多項式，， (p為非零常數(shù))是一組和諧多項式，求p的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本題考查了完全平方公式，多項式乘多項式．理解題意，熟練掌握完全平方公式，多項式乘多項式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，計算求解即可；
（2）由題意知，分當，時；當，時；當，時；分別求解作答即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，
∴和諧值為；
（2）解：∵多項式，， (p為非零常數(shù))是一組和諧多項式，
∴當，時，即，此時多項式，， (p為非零常數(shù))是一組和諧多項式；
當，時，即，此時多項式，， (p為非零常數(shù))是一組和諧多項式；
當，時，此時不成立；綜上所述，的值為或．
【變式10-1】（23-24·四川瀘州·模擬預測）如果一個數(shù)等于兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們把這個數(shù)叫做“幸福數(shù)”，如，則8就為“幸福數(shù)”，下列數(shù)中為“幸福數(shù)”的是（ ）
A．502 B．520 C．525 D．205
【答案】B
【分析】本題考查了平方差公式的應用，理解“幸福數(shù)”的定義，正確列出“幸福數(shù)”的代數(shù)式是解題關(guān)鍵．設兩個連續(xù)奇數(shù)中的一個奇數(shù)為x，則另一個奇數(shù)為，先得出由這兩個奇數(shù)得到的“幸福數(shù)”為，再看四個選項中，能夠整除4的即為答案．
【詳解】解∶ 設兩個連續(xù)奇數(shù)中的一個奇數(shù)為x，則另一個奇數(shù)為，
由這兩個奇數(shù)得到的“幸福數(shù)”為，
觀察四個選項可知，只有選項B中的520能夠整除4，
即，
故選：B．
【變式10-2】（23-24七年級·安徽六安·期末）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（，，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2024的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（ ）
A．257048 B．257024 C．255048 D．255024
【答案】A
【分析】本題考查了平方差公式、一元一次不等式的應用，設相鄰的兩個奇數(shù)為，，則，解得，得出在不超過的正整數(shù)中，“和諧數(shù)”共有個，依此列式計算即可求解，理解題中的“和諧數(shù)”的定義是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設相鄰的兩個奇數(shù)為，，則，
解得：，
∴時，，，則在不超過的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為：，
故選：A．
【變式10-3】（23-24七年級·山東威海·期末）問題提出：
（1）數(shù)學課上王老師在黑板上寫了如下式子：
小麗同學想到剛學的平方差公式，她的方法是：
，
求出 ．
問題解決：（2）請借鑒小麗的方法求出的值．
遷移應用：定義一種新運算：．
（3） ．
（4）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）13；（4）
【分析】本題考查了平方差公式在計算中的應用，根據(jù)材料中的方法正確運用平方差公式是解題的關(guān)鍵．依次按照平方差公式計算即可．
（1）依次按照平方差公式計算即可；
（2）結(jié)合題意構(gòu)造平方差公式的形式進行求解即可；
（3）按照平方差公式計算即可；
（4）由，得，則，……可知，結(jié)合題意構(gòu)造平方差公式的形式進行求解即可．
【詳解】解：（1）
，
故答案為：；
（2）
；
（3），
故答案為：13；（4）∵，
∴，則，……
∴，
．
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專題1.3 乘法公式【十大題型】
【北師大版2024】
【題型1 利用乘法公式進行簡便運算】 2
【題型2 利用乘法公式求代數(shù)式的值】 4
【題型3 由完全平分式求字母的值】 5
【題型4 平方差公式的幾何背景】 7
【題型5 完全平方公式的幾何背景】 12
【題型6 乘法公式的應用】 16
【題型7 乘法公式的證明】 19
【題型8 由乘法公式求最值】 23
【題型9 乘法公式的規(guī)律探究】 25
【題型10 乘法公式中的新定義問題】 29
知識點：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特點
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．
③公式中的a和b可以表示具體的數(shù)或單項式，也可以是多項式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．
【題型1 利用乘法公式進行簡便運算】
【例1】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）用簡便方法計算： ．
【變式1-1】（23-24七年級·寧夏銀川·階段練習）計算：
(1)；
(2)．
【變式1-2】（23-24七年級·上海徐匯·階段練習）計算： .
【變式1-3】（23-24七年級·湖南懷化·期末）計算： ．
【題型2 利用乘法公式求代數(shù)式的值】
【例2】（23-24七年級·重慶渝中·階段練習）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，則x3+2x2y2+y3的值為 ．
【變式2-1】（23-24七年級·山東聊城·期末）若，，則 ．
【變式2-2】（23-24七年級·江蘇鹽城·期中）如果，那么代數(shù)式的值為（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【變式2-3】（23-24七年級·重慶北碚·期末）已知，滿足，則 ．
【例3】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）若多項式是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項式Q是 ．
【變式3-1】（23-24七年級·山東青島·期末）若是一個完全平方式，則 ．
【變式3-2】（23-24七年級·陜西寶雞·期末）已知是一個完全平方式，則的值為（ ）
A．2 B．3或 C．1 D．
【變式3-3】（23-24七年級·上海長寧·期中）填空：已知多項式 是一個完全平方.（請在橫線上填上所以的適當?shù)膯雾検?）
【題型4 平方差公式的幾何背景】
【例4】（23-24七年級·安徽六安·期中）如圖，邊長為a的大正方形是由1個邊長為b的小正方形和4個形狀大小完全相同的梯形組成．
(1)用含a，b的代數(shù)式表示其中一個梯形的面積：_________；
(2)請用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積，由此，你能得到一個怎樣的公式？
【變式4-1】（23-24七年級·浙江杭州·期中）兩個大小不一的正方形①和②如圖放置時，，．現(xiàn)有①和②兩種正方形各四個，擺放成如圖所示形狀，那么陰影部分的面積可用表示為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-2】（23-24七年級·陜西咸陽·階段練習）【知識生成】
（1）我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，例如：從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形如圖，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖．圖中剩余部分的面積為______，圖的面積為______，請寫出這個代數(shù)恒等式；
【知識應用】
（2）應用（1）中的公式，完成下面任務：若是不為的有理數(shù)，已知，，比較、大小；
【知識遷移】
（3）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖表示的是一個邊長為的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，通過計算寫出一個代數(shù)恒等式．
【變式4-3】（23-24七年級·河南濮陽·階段練習）如圖1，邊長為的大正方形內(nèi)有一個邊長為的小正方形．

（1）用含字母的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為__________；
（2）將圖1的陰影部分沿斜線剪開后，拼成了一個如圖2所示的長方形，用含字母的代數(shù)式表示此長方形的面積為__________；（多項式乘積的形式）
（3）比較圖1和圖2的陰影部分面積，請你寫出一個整式乘法的公式__________；
（4）結(jié)合（3）的公式，計算：①；
②．
【拓展】
直接寫出結(jié)果的個位數(shù)字．
【題型5 完全平方公式的幾何背景】
【例5】（23-24七年級·江蘇揚州·階段練習）我們知道，通過幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)慎等式．
例如：如圖1 得到，基于此，請回答下列問題．
(1)【直接應用】
若，，則 ______．
(2)【類比應用】
若，則______．
(3)【知識遷移】
兩塊完全一樣的直角三角板 如圖2放置，其中A，O，D在一條直線上，連接．若，和的面積和，求四邊形的面積．
【變式5-1】（23-24七年級·江蘇宿遷·期末）現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點H為的中點，連接、，將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2，已知甲、乙兩個正方形邊長之和為12，圖2的陰影部分面積為10，則圖1的陰影部分面積為（ ）
A．24 B．29 C．41 D．45
【變式5-2】（23-24七年級·浙江杭州·期中）在數(shù)學活動課上，一位同學用四張完全一樣的長方形紙片（長為a，寬為b，）搭成如圖一個大正方形，面積為132，中間空缺的小正方形的面積為28．下列結(jié)論中，不正確的有（ ）
A．； B．
C． D．
【變式5-3】（23-24七年級·安徽合肥·期中）某些等式可以根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系進行解釋，例如，等式就可以用圖（1）的面積關(guān)系來解釋：圖（1）的面積為，各部分的面積之和為，故．
(1)根據(jù)圖（2）的面積關(guān)系可以解釋的一個等式為________；
(2)已知等式，請你畫出一個相應的幾何圖形；
(3)請你設計一個幾何圖形，并解釋：．
【題型6 乘法公式的應用】
【例6】（23-24七年級·山東青島·期中）已知長方形金魚池的面積為1平方米，周長為6米，以長方形魚池相鄰兩邊向外作正方形的小花園，則兩個正方形小花園面積之和是 ．
【變式6-1】（23-24七年級·湖南邵陽·期中）如圖，某校一塊邊長為的正方形空地是七年級四個班的清潔區(qū)，其中分給七年級（1）班的清潔區(qū)是一塊邊長為的正方形．

(1)分別求出七年級（2）班、七年級（3）班的清潔區(qū)的面積．
(2)七年級（4）班的清潔區(qū)的面積比七年級（1）班的清潔區(qū)的面積多多少？
【變式6-2】（23-24七年級·浙江溫州·期中）學校為迎接藝術(shù)節(jié)，準備在一個正方形空地上搭建一個表演舞臺，如圖所示，正中間是“紅五月”三個正方形平臺．其中“五”字正方形和“月”字正方形邊長均為a米，“紅”字正方形邊長為b米．Ⅰ號區(qū)域布置造型背景，Ⅱ號區(qū)域設置為樂隊演奏席．
(1)用含a，b的代數(shù)式表示陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）并化簡；
(2)若陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）為288平方米，且米，求“紅”字正方形邊長b的值．
【變式6-3】（23-24七年級·廣東佛山·期中）某樓盤推出“主房+多變?nèi)霊艋▓@”的兩種戶型．即在圖1中邊長為米的正方形主房進行改造．戶型一是在主房兩側(cè)均加長米（）．陰影部分作為入戶花園，如圖2所示．戶型二是在主房一邊減少米后，另一邊再增加米，陰影部分作為入戶花園，如圖3所示，設戶型一與戶型二的主房面積之差為，入戶花園的面積之差為．請計算．
【題型7 乘法公式的證明】
【例7】（23-24七年級·遼寧沈陽·期末）如圖，將大正方形通過剪、割、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的四種拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【變式7-1】（23-24七年級·山西呂梁·期末）初中數(shù)學中很多公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋，如圖，請你利用這個圖形的幾何意義證明某個數(shù)學公式．

(1)利用這個圖形可以證明的數(shù)學公式是 ；
(2)在證明（1）中數(shù)學公式的過程中，滲透的主要數(shù)學思想是什么？
(3)請你寫出完整的證明過程．
【變式7-2】（23-24七年級·江蘇南京·期末）（1）求證：．
（2）已知，證明2173是兩個正整數(shù)的平方之和．
【變式7-3】（23-24七年級·山東聊城·期末） 如圖1，中，，、、的對邊分別記為a、b、C.
實驗一：
小聰和小明用八張這樣的三角形紙片拼出了如圖2所示的正方形.
（1）在圖2中，正方形的面積可表示為 ，正方形的面積可表示為 (用含a，b的式子表示)
（2）請結(jié)合圖2，用面積法說明，，三者之間的等量關(guān)系.
實驗二：
小聰和小明分別用四個這樣三角形紙片拼成了如圖3所示的圖形.他們根據(jù)面積法得到了一個關(guān)于邊a、b、c的等式，整理后發(fā)現(xiàn)，．
（3）請你用面積法證明：．
【題型8 由乘法公式求最值】
【例8】（23-24·江蘇南通·二模）已知實數(shù)a，b滿足，若，則p的最小值為 ．
【變式8-1】（23-24七年級·山東威海·期中）當多項式存在最大值時，x的值為 ．
【變式8-2】（23-24七年級·江蘇常州·期末）已知：x+y＝12，則代數(shù)式3x2+y2的最小值為 ．
【變式8-3】（23-24七年級·全國·競賽）已知實數(shù)滿足，則的最大值為 ．
【題型9 乘法公式的規(guī)律探究】
【例9】（23-24七年級·寧夏銀川·期末）觀察下列等式，并回答問題．
，
，
，
，
……
(1)將2024寫成兩整數(shù)平方差的形式：
__________________
(2)用含有字母（的整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，并用已學的知識驗證這一規(guī)律．
(3)相鄰的兩個整數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)嗎？請說說你的理由．
【變式9-1】（23-24·遼寧大連·一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n-1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是 .
【變式9-2】（23-24七年級·河南周口·階段練習）仔細觀察，探索規(guī)律：
(1)；
；
．
①______（其中為正整數(shù)，且）；
②______；③______；
④______；
⑤______；
(2)根據(jù)上述規(guī)律求的值；
(3)根據(jù)上述規(guī)律：的值為______．
【變式9-3】（23-24七年級·河南鄭州·期末）觀察下列各式：，，，
(1)個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個數(shù)有什么規(guī)律
(2)如果一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為5，十位數(shù)字為n（且n為整數(shù)），請你借助代數(shù)式解釋（1）中的規(guī)律．
(3)如果把三位數(shù)595看成十位數(shù)字為“59”個位數(shù)字為“5”的“兩位數(shù)”，請利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算，要求寫清計算過程及結(jié)果．
【題型10 乘法公式中的新定義問題】
【例10】（23-24七年級·遼寧沈陽·期末）定義：對于一組多項式：，，(a，b，c都是非零常數(shù))，當其中一個多項式的平方與另外兩個多項式的乘積的差除以x是一個常數(shù)m時，稱這樣的三個多項式是一組和諧多項式，m的值是這組和諧多項式的和諧值．例如：對于多項式，，，因為 ，所以，，是一組和諧多項式，和諧值為.
(1)小明發(fā)現(xiàn)多項式，，是一組和諧多項式，求其和諧值；
(2)若多項式，， (p為非零常數(shù))是一組和諧多項式，求p的值．
【變式10-1】（23-24·四川瀘州·模擬預測）如果一個數(shù)等于兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們把這個數(shù)叫做“幸福數(shù)”，如，則8就為“幸福數(shù)”，下列數(shù)中為“幸福數(shù)”的是（ ）
A．502 B．520 C．525 D．205
【變式10-2】（23-24七年級·安徽六安·期末）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（，，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2024的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（ ）
A．257048 B．257024 C．255048 D．255024
【變式10-3】（23-24七年級·山東威海·期末）問題提出：
（1）數(shù)學課上王老師在黑板上寫了如下式子：
小麗同學想到剛學的平方差公式，她的方法是：
，
求出 ．
問題解決：（2）請借鑒小麗的方法求出的值．
遷移應用：定義一種新運算：．
（3） ．
（4）求的值．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）

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