資源簡介

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專題2.1 相交線【八大題型】
【北師大版2024】
【題型1 對頂角、鄰補角的定義】 1
【題型2 對頂角相等】 3
【題型3 垂線的定義及畫法】 6
【題型4 垂線段最短】 9
【題型5 點到直線的距離】 11
【題型6 垂直的實際應用】 13
【題型7 垂直的計算】 16
【題型8 同位角、內錯角、同旁內角】 21
知識點1：對頂角及其性質
兩條直線相交所成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊的兩個角叫作對頂角.
兩直線相交，對頂角相等
【題型1 對頂角、鄰補角的定義】
【例1】（23-24七年級·廣西欽州·期末）下面四個圖形中，與互為對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（23-24七年級·河北保定·階段練習）【真實問題情境】如圖，為了測量古塔外墻底角的度數，王明設計了如下方案：作，的延長線，，量出的度數，就得到了的度數，王明這樣做的依據是 ．

【變式1-2】（23-24七年級·廣東中山·期中）如圖所示，與相交所成的四個角中，∠1的鄰補角是 ，∠2的對頂角是 ．

【變式1-3】（23-24七年級·四川成都·階段練習）若條直線兩兩相交于不同的點時，可形成 對對頂角．
【題型2 對頂角相等】
【例2】（23-24七年級·全國·單元測試）如圖，直線與相交于點，，射線平分，若，則 ．
【變式2-1】（23-24七年級·山東煙臺·期末）若一個角的對頂角是它的補角的，則這個角的度數為 ．
【變式2-2】（23-24七年級·全國·期中）如圖，直線、、相交于點O，的對頂角是 ，的鄰補角是 ．若，，則 ， ．
【變式2-3】（24-25七年級·全國·課后作業）如圖，直線交于點分別在內部，且平分．
(1)的對頂角是___________；
(2)若，則的度數為___________；
(3)若平分，求的度數；
(4)若，判斷是否平分，并說明理由．
知識點2：垂線
如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么就稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與己知直線垂直.
【題型3 垂線的定義及畫法】
【例3】（24-25七年級·全國·課后作業）如圖，直線與直線相交于點O，則下列條件不能判斷的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（23-24七年級·全國·單元測試）如圖，已知，，所以與重合，這個推理的根據是（ ）
A．過一點只能作一條垂線
B．過兩點只能作一條垂線
C．垂線段最短
D．經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線
【變式3-2】（23-24七年級·陜西寶雞·期中）如圖，正方形網格的格點在的邊上，點，，也是格點，請利用網格完成下面畫圖：
(1)過點畫的垂線，交于點，經過的一個格點記為；
(2)過點畫的垂線，垂足記為；
(3)試判斷線段，，的大小關系并說明判斷的依據．
【變式3-3】（23-24七年級·河北邯鄲·階段練習）利用三角尺或量角器判斷，圖中的兩點所成的直線能與直線l垂直的是（　　）
A．點M和點N B．點P和點Q C．點M和點Q D．點N和點P
知識點3：垂線段最短
過直線l外一點P作l的重線，垂足為O，線段PO叫作點P到直線的垂線段.
直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.
【題型4 垂線段最短】
【例4】（23-24七年級·山東濟寧·階段練習）如圖，中，，，，，P為直線上一動點，連接，則線段的最小值是（ ）
A．4.4 B．5 C．4.8 D．4
【變式4-1】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，欲在河岸上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，可在圖中畫出垂直，垂足為P，然后沿鋪設，則能使鋪設的管道長最短，這種設計的依據是： ．
【變式4-2】（23-24七年級·山東煙臺·期末）請列舉一個應用“垂線段最短”的實際例子： ．
【變式4-3】（24-25七年級·廣西南寧·開學考試）點A是直線l外一點，點B 是直線l上一點，點A到l的距離為，則 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”)
知識點4：點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離.
【題型5 點到直線的距離】
【例5】（23-24七年級·山東濟寧·階段練習）如圖，點P是直線外的一點，點在直線上，且，垂足是點，則下列判斷不正確的是（ ）
A．線段的長是點P到直線的距離 B．三條線段中，最短
C．線段的長是點A到直線的距離 D．線段的長是點C到直線的距離
【變式5-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）如圖所示，能表示點到直線（線段）的距離的線段有( )
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【變式5-2】（23-24七年級·浙江臺州·期末）對于平面上的點和一條線，點與線上各點的連線中，最短的線段的長度叫做點到線的距離，記為，以邊長為6的正方形各邊組成的折線為，若 ，則滿足這樣條件的所有點組成的圖形 (實線圖) 是 ( ).
A． B． C． D．
【變式5-3】（23-24七年級·福建廈門·期末）如圖，，交于點，于，連接．
（1）若，則 ；
（2）若．，，那么點到直線的距離是 cm．
【題型6 垂直的實際應用】
【例6】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖是光的反射定律示意圖，分別是入射光線、反射光線和法線（提示：反射角和入射角分別是反射光線和入射光線與法線的夾角，且反射角等于入射角）．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（24-25七年級·全國·課后作業）當光線垂直照射在太陽光板上時，接收的太陽光能最多．某一時刻太陽光的照射角度如圖所示，要使此時接收的太陽光能最多，那么太陽光板繞支點A順時針旋轉的最小角度為 ．
【變式6-2】（23-24七年級·福建龍巖·期末）一束光線沿射向平靜透明的水面，這束光線有一部分經過水面反射（平靜的水面可以看成平面鏡）形成光線，還有一部分光線折射到水中形成光線．當入射角和折射角滿足時，，此時入射光線與水面的夾角的度數為 ．
【變式6-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關科技的重要文獻，書中記載了我國古代學者在科技領域做過的一些探索及成就．如圖1中記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，在如圖2所示的井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡與地面的夾角（ ）

A． B． C． D．
【題型7 垂直的計算】
【例7】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，直線相交于點O，于點O，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】（23-24七年級·四川成都·階段練習）如圖，直線、相交于點O，平分，于O，若，則 ．
【變式7-2】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖1，點O為直線上一點，過點O作射線，使，點M在射線上，射線在直線的下方，且．
(1)將圖1中的繞點O逆時針旋轉至圖2，使射線在的內部并恰好平分，求的度數．
(2)在（1）的條件下，反向延長射線得到射線，如圖3所示，判斷射線是否平分，請說明理由．
(3)將圖1中的繞點O按每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，邊所在的直線恰好平分銳角，則t的值為__________秒．（直接寫出答案）
【變式7-3】（24-25七年級·全國·課后作業）如圖，已知銳角，畫射線，射線，并直接寫出與的關系．
知識點5：同位角、內錯角、同旁內角
兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線同側，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角.
兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角.
兩條直線被第三條直線所截兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角.
【題型8 同位角、內錯角、同旁內角】
【方法技巧】（1）兩條直線被第三條直線所截形成的8個角中共有4對同位角,2對內錯角,2對同旁內角.（2）同位角形如字母“F”(或倒置、反置);內錯角形如字母“Z”(或反置);同旁內角形如字母“U”(或倒置、反置).（3）三種角講的都是位置關系,而不是大小關系,通常情況下,其大小是不確定的.
【例8】（23-24七年級·遼寧沈陽·期末）科技是國家強盛之基，創新是民族進步之魂．近些年來，我國的航空事業不斷發展，在如左圖所示的飛機中抽象出右圖的數學圖形，在右圖中，與 構成同旁內角的是( )
A． B． C． D．
【變式8-1】（23-24七年級·上海楊浦·期末）如圖，下列說法中，錯誤的是（ ）
A．與是同位角 B．與是同位角
C．與是內錯角 D．與是內錯角
【變式8-2】（23-24七年級·全國·假期作業）分別指出下列圖中的同位角、內錯角、同旁內角．
【變式8-3】（23-24七年級·廣東潮州·期末）英文字母中，存在同位角、內錯角、同旁內角（不考慮字母寬度），下列字母中含同旁內角最多的是（ ）
A． B． C． D．
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專題2.1 相交線【八大題型】
【北師大版2024】
【題型1 對頂角、鄰補角的定義】 1
【題型2 對頂角相等】 3
【題型3 垂線的定義及畫法】 6
【題型4 垂線段最短】 9
【題型5 點到直線的距離】 11
【題型6 垂直的實際應用】 13
【題型7 垂直的計算】 16
【題型8 同位角、內錯角、同旁內角】 21
知識點1：對頂角及其性質
兩條直線相交所成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊的兩個角叫作對頂角.
兩直線相交，對頂角相等
【題型1 對頂角、鄰補角的定義】
【例1】（23-24七年級·廣西欽州·期末）下面四個圖形中，與互為對頂角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了對頂角的定義，如果兩個角有公共頂點，且角的兩邊互為反向延長線，那么這兩個角互為對頂角，據此求解即可．
【詳解】解；根據對頂角的定義可知，四個選項中只有C選項中的與互為對頂角，
故選：C．
【變式1-1】（23-24七年級·河北保定·階段練習）【真實問題情境】如圖，為了測量古塔外墻底角的度數，王明設計了如下方案：作，的延長線，，量出的度數，就得到了的度數，王明這樣做的依據是 ．

【答案】對頂角相等
【分析】根據對頂角的定義和性質即可求得答案．
【詳解】根據對頂角的定義和性質可知，與為對頂角，．
故答案為：對頂角相等．
【點睛】本題主要考查對頂角，牢記對頂角的定義和性質（對頂角相等）是解題的關鍵．
【變式1-2】（23-24七年級·廣東中山·期中）如圖所示，與相交所成的四個角中，∠1的鄰補角是 ，∠2的對頂角是 ．

【答案】 ∠2和∠4 ∠4
【分析】本題主要考查了鄰補角和對頂角的定義，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．
根據鄰補角和對頂角的定義即可直接得出答案．
【詳解】解：由圖形可知，∠1的鄰補角是∠2和∠4，
∠2的對頂角是∠4，
故答案為：∠2和∠4，∠4．
【變式1-3】（23-24七年級·四川成都·階段練習）若條直線兩兩相交于不同的點時，可形成 對對頂角．
【答案】
【分析】本題考查了對頂角的定義，熟記對頂角的概念是解題的關鍵．根據對頂角的概念即可求解．
【詳解】解：若三條直線兩兩相交，最多有3個交點，對對頂角；
四條直線兩兩相交，最多有個交點，對對頂角；
，
條直線兩兩相交于不同的點時，可形成對對頂角；
故答案為：．
【題型2 對頂角相等】
【例2】（23-24七年級·全國·單元測試）如圖，直線與相交于點，，射線平分，若，則 ．
【答案】/70度
【分析】本題考查了角平分線的定義，對頂角相等，鄰補角性質，角度和差，由與是對頂角，則，從而求出，故有，最后根據角平分線的定義和角度和差即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：∵與是對頂角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ 射線平分，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式2-1】（23-24七年級·山東煙臺·期末）若一個角的對頂角是它的補角的，則這個角的度數為 ．
【答案】/45度
【分析】本題主要考查對頂角和補角，一元一次方程的幾何應用，設這個角的度數是x，根據一個角的對頂角是它的補角的，列出方程求解即可．
【詳解】解：設這個角的度數是x，
角的對頂角也為x，
根據題意得：，
解得：，
故答案為：．
【變式2-2】（23-24七年級·全國·期中）如圖，直線、、相交于點O，的對頂角是 ，的鄰補角是 ．若，，則 ， ．
【答案】 ，
【分析】本題考查對頂角和鄰補角及其性質，根據對頂角和鄰補角的定義及性質即可解答．
【詳解】解：的對頂角是，的鄰補角是，．
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故答案為：；，；；
【變式2-3】（24-25七年級·全國·課后作業）如圖，直線交于點分別在內部，且平分．
(1)的對頂角是___________；
(2)若，則的度數為___________；
(3)若平分，求的度數；
(4)若，判斷是否平分，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)平分，理由見解析
【分析】本題主要考查了角平分線的定義，對頂角的性質，幾何中角度的計算，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握角平分線的定義．
（1）根據對頂角的定義即可解答；
（2）根據角平分線的定義得出，再根據，求出結果即可；
（3）由，得到，根據角平分線的定義得出，根據，求出，根據角平分線的定義得出，根據，求出結果即可；
（4）由，利用平角的定義得到，再根據，求出，結合得出結論．
【詳解】（1）解：根據題意：的對頂角是；
（2）解： 平分，
，
；
（3）解： 與為對頂角，
，
，即．
平分，
，
，
，
．
又 平分，
，
；
（4）解：平分，理由如下：
，
．
，
，
，
，
平分．
知識點2：垂線
如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么就稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.
在同一平面內，過一點有且只有一條直線與己知直線垂直.
【題型3 垂線的定義及畫法】
【例3】（24-25七年級·全國·課后作業）如圖，直線與直線相交于點O，則下列條件不能判斷的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了垂線，對頂角，解答本題的關鍵是通過條件計算出其中一個角為．根據垂直定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直進行判定即可．
【詳解】解：A、是對頂角，對頂角相等，不能判定垂直，故此選項符合題意；
B、可以判定兩直線垂直，故此選項不符合題意；
C、和是鄰補角，鄰補角的和是，所以可以得到，能判定垂直，故此選項不符合題意；
D、和是對頂角，對頂角相等，和又是，所以可得到，故此選項不符合題意；
故選：A．
【變式3-1】（23-24七年級·全國·單元測試）如圖，已知，，所以與重合，這個推理的根據是（ ）
A．過一點只能作一條垂線
B．過兩點只能作一條垂線
C．垂線段最短
D．經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線
【答案】D
【分析】本題考查的是在同一平面內，經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，理解在同一平面內是解本題的關鍵．根據過O點作l的垂線，有且只有一條，可得M，N，O三點共線．
【詳解】解：∵，，
∴M，N，O三點共線，（在同一平面內，經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線）
故選：D．
【變式3-2】（23-24七年級·陜西寶雞·期中）如圖，正方形網格的格點在的邊上，點，，也是格點，請利用網格完成下面畫圖：
(1)過點畫的垂線，交于點，經過的一個格點記為；
(2)過點畫的垂線，垂足記為；
(3)試判斷線段，，的大小關系并說明判斷的依據．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，依據見解析
【分析】本題考查了格點作圖，垂線段最短，點到直線的距離，解題的關鍵是數形結合．
（1）利用網格的特點作圖即可；
（2）利用網格的特點作圖即可；
（3）根據垂線段最短即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；
（2）如圖，即為所求；
（3），
判斷的依據：直線外一點和直線上所有點的連線中，垂線段最短．
【變式3-3】（23-24七年級·河北邯鄲·階段練習）利用三角尺或量角器判斷，圖中的兩點所成的直線能與直線l垂直的是（　　）
A．點M和點N B．點P和點Q C．點M和點Q D．點N和點P
【答案】C
【分析】此題主要考查了垂直的定義，三角尺和量角器的使用方法，理解垂直的定義，三角尺和量角器的使用方法是解決問題的關鍵．作直線交于，交于，交于，交于，根據垂直的定義，利用三角尺或量角器即可得出答案．
【詳解】解：作直線交于，交于，交于，交于，如下圖所示：
利用三角尺可得出直線（或利用量角器量出，，，的度數即可得出直線）．
故選：C．
知識點3：垂線段最短
過直線l外一點P作l的重線，垂足為O，線段PO叫作點P到直線的垂線段.
直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.
【題型4 垂線段最短】
【例4】（23-24七年級·山東濟寧·階段練習）如圖，中，，，，，P為直線上一動點，連接，則線段的最小值是（ ）
A．4.4 B．5 C．4.8 D．4
【答案】C
【分析】本題考查垂線段最短．根據垂線段最短，得到當時，的值最小，利用等積法進行計算即可。
【詳解】解：∵點到直線的距離，垂線段最短，
∴當時，的值最小，
在中，
∵，，，，
∴，即：，
∴，
故選：C．
【變式4-1】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，欲在河岸上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，可在圖中畫出垂直，垂足為P，然后沿鋪設，則能使鋪設的管道長最短，這種設計的依據是： ．
【答案】垂線段最短
【分析】本題考查點到直線距離的知識，根據兩點之間垂線段最短即可得出答案．
【詳解】解：解：已知在河岸上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，又知直線外一點到該直線的最短距離是其垂線段，這種設計的依據是：垂線段最短，
故答案為：垂線段最短
【變式4-2】（23-24七年級·山東煙臺·期末）請列舉一個應用“垂線段最短”的實際例子： ．
【答案】測量跳遠運動員的跳遠成績時，皮尺與起跳線保持垂直（答案不唯一）．
【分析】本題考查生活中的數學知識，垂線段最短，注意一些物體或地方可看作一個點，體現了數學在實際生活中的應用．
利用垂線段的性質，即可解答．
【詳解】解：測量跳遠運動員的跳遠成績時，皮尺與起跳線保持垂直（答案不唯一）．
故答案為：測量跳遠運動員的跳遠成績時，皮尺與起跳線保持垂直（答案不唯一）．
【變式4-3】（24-25七年級·廣西南寧·開學考試）點A是直線l外一點，點B 是直線l上一點，點A到l的距離為，則 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”)
【答案】不小于
【分析】據點到直線距離的定義進行解答即可．本題考查了點到直線的距離．解題的關鍵是明確垂線段最短，即從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．
【詳解】解：為直線外一點，是直線上一點，點到的距離為，
當時，；當不與直線垂直時，．
．
故答案為：不小于．
知識點4：點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離.
【題型5 點到直線的距離】
【例5】（23-24七年級·山東濟寧·階段練習）如圖，點P是直線外的一點，點在直線上，且，垂足是點，則下列判斷不正確的是（ ）
A．線段的長是點P到直線的距離 B．三條線段中，最短
C．線段的長是點A到直線的距離 D．線段的長是點C到直線的距離
【答案】C
【分析】本題主要考查了點到直線的距離的定義，垂線段最短，點到一直線的垂線段的長度叫做點到該直線的距離，據此可判斷A、C、D，根據垂線段最短可判斷B．
【詳解】解：A、∵，
∴線段的長是點P到直線的距離，原說法正確，不符合題意；
B、∵，
∴由垂線段最短可知，三條線段中，最短，原說法正確，不符合題意；
C、∵，
∴線段的長是點A到直線的距離，原說法錯誤，符合題意；
D、∵，
∴線段的長是點C到直線的距離，原說法正確，不符合題意；
故選：C．
【變式5-1】（23-24七年級·福建廈門·期末）如圖所示，能表示點到直線（線段）的距離的線段有( )
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【答案】C
【分析】本題考查了點到直線距離的定義，根據點到直線的距離是指點到這條直線的垂線段的長度作答．
【詳解】解：圖中表示點到直線（線段）的距離的線段有：
表示點到的距離的線段是；
表示點到的距離的線段是；
表示點到的距離的線段是；
表示點到的距離的線段是；
共4條，
故選：C．
【變式5-2】（23-24七年級·浙江臺州·期末）對于平面上的點和一條線，點與線上各點的連線中，最短的線段的長度叫做點到線的距離，記為，以邊長為6的正方形各邊組成的折線為，若 ，則滿足這樣條件的所有點組成的圖形 (實線圖) 是 ( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】豎線根據題目信息，可以確定正方形內外都有滿足條件的點，可排除A選項，再比較BCD選項的不同點進行分析即可．
【詳解】解：根據題目信息，此正方形內外均有滿足的點，因此可排除選項A，
其次，正方形內部滿足的點應該是一個小正方形，可排除選項D，
最后，正方形外部滿足的點4個角落應是圓弧形，可排除B選項，
故選：C
【點睛】本題可用排除法，對比個選項的差異進行分析，即可選出滿足題目條件的答案．
【變式5-3】（23-24七年級·福建廈門·期末）如圖，，交于點，于，連接．
（1）若，則 ；
（2）若．，，那么點到直線的距離是 cm．
【答案】 /65度
【分析】本題考查了點到直線的距離，對頂角以及鄰補角，掌握對頂角以及鄰補角的性質是解題的關鍵．
（1）根據對頂角的性質得出，再由垂直的定義答案即可；
（2）根據點到直線的距離即可得出答案．
【詳解】解：（1），
，
，
，
；
（2），，
點到直線的距離是，
故答案為：，．
【題型6 垂直的實際應用】
【例6】（23-24七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖是光的反射定律示意圖，分別是入射光線、反射光線和法線（提示：反射角和入射角分別是反射光線和入射光線與法線的夾角，且反射角等于入射角）．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，垂線的定義，根據題意可得，則，再根據已知條件得到，則．
【詳解】解：由光的反射定律可知法線與反射面垂直，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【變式6-1】（24-25七年級·全國·課后作業）當光線垂直照射在太陽光板上時，接收的太陽光能最多．某一時刻太陽光的照射角度如圖所示，要使此時接收的太陽光能最多，那么太陽光板繞支點A順時針旋轉的最小角度為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了垂直的定義，余角的計算．根據太陽光板于太陽光垂直時，接收的太陽光能最多，得出旋轉的最小角度即可．
【詳解】解：由題意，可知太陽光板繞支點A順時針旋轉的最小角度為，
故答案為：．
【變式6-2】（23-24七年級·福建龍巖·期末）一束光線沿射向平靜透明的水面，這束光線有一部分經過水面反射（平靜的水面可以看成平面鏡）形成光線，還有一部分光線折射到水中形成光線．當入射角和折射角滿足時，，此時入射光線與水面的夾角的度數為 ．
【答案】/36度
【分析】本題考查了垂直的定義、余角的定義、角的和差，先根據反射角等于入射角得出，，再根據垂直的定義得出，然后根據周角為，列出方程求解即可．
【詳解】解：根據題意，得，
，
即
故答案為：．
【變式6-3】（2024·湖南長沙·模擬預測）漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關科技的重要文獻，書中記載了我國古代學者在科技領域做過的一些探索及成就．如圖1中記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，在如圖2所示的井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡與地面的夾角（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是垂直的定義，角的和差運算，角平分線的含義，屬于跨學科題，熟記基礎概念是解本題的關鍵．
根據，得，所以，再根據，得，即可得．
【詳解】解：如圖，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
【題型7 垂直的計算】
【例7】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，直線相交于點O，于點O，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了對頂角相等、垂直的定義等知識點，靈活運用相關性質成為解題的關鍵．
根據垂直的定義可得，進而可得，然后根據對頂角相等即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【變式7-1】（23-24七年級·四川成都·階段練習）如圖，直線、相交于點O，平分，于O，若，則 ．
【答案】/50度
【分析】本題考查了垂線的定義，角平分線的定義，對頂角相等的性質，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．先根據對頂角相等求出的度數，再根據角平分線的定義求出的度數，根據垂線的定義得出的度數，即可求出的度數．
【詳解】解：∵和是對頂角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式7-2】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖1，點O為直線上一點，過點O作射線，使，點M在射線上，射線在直線的下方，且．
(1)將圖1中的繞點O逆時針旋轉至圖2，使射線在的內部并恰好平分，求的度數．
(2)在（1）的條件下，反向延長射線得到射線，如圖3所示，判斷射線是否平分，請說明理由．
(3)將圖1中的繞點O按每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，邊所在的直線恰好平分銳角，則t的值為__________秒．（直接寫出答案）
【答案】(1)
(2)射線平分，理由見解析
(3)6或15
【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，垂線的定義：
（1）先由平角的定義得到，再由角平分線的定義得到，由垂線的定義得到，據此根據角的和差關系可得答案；
（2）由平角的定義得到，則可得，據此可得射線平分；
（3）當旋轉到圖3中和時都滿足題意，求出對應的旋轉角度即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：射線平分，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴射線平分；
（3）解：由（1）（2）可知當開始旋轉使得到第一次到達圖3中的位置時，此時直線恰好平分，
∴旋轉角度為，
∴；
當繼續旋轉到到圖3中的位置時，此時直線恰好平分，
∴此時旋轉的角度為，
∴；
綜上所述，t的值為6或15．
【變式7-3】（24-25七年級·全國·課后作業）如圖，已知銳角，畫射線，射線，并直接寫出與的關系．
【答案】畫圖見解析；或
【分析】本題考查了垂線的定義，角的計算，同角的余角相等的性質，難點在于分情況討論．
分在邊的同側和異側分別作出圖形，然后分別進行計算即可得解．
【詳解】解：畫圖如圖．或．
理由如下：如圖1，
∵，
∴，，
∴；
如圖2，∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
如圖3，；
如圖4，∵，
∴，
∴；
綜上所述，或．
知識點5：同位角、內錯角、同旁內角
兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線同側，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角.
兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對角叫做內錯角.
兩條直線被第三條直線所截兩個角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角.
【題型8 同位角、內錯角、同旁內角】
【方法技巧】（1）兩條直線被第三條直線所截形成的8個角中共有4對同位角,2對內錯角,2對同旁內角.（2）同位角形如字母“F”(或倒置、反置);內錯角形如字母“Z”(或反置);同旁內角形如字母“U”(或倒置、反置).（3）三種角講的都是位置關系,而不是大小關系,通常情況下,其大小是不確定的.
【例8】（23-24七年級·遼寧沈陽·期末）科技是國家強盛之基，創新是民族進步之魂．近些年來，我國的航空事業不斷發展，在如左圖所示的飛機中抽象出右圖的數學圖形，在右圖中，與 構成同旁內角的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查同旁內角，根據同旁內角的定義即可作答．
【詳解】解：根據同旁內角的定義可知，
與是一對同旁內角．
故選：C．
【變式8-1】（23-24七年級·上海楊浦·期末）如圖，下列說法中，錯誤的是（ ）
A．與是同位角 B．與是同位角
C．與是內錯角 D．與是內錯角
【答案】B
【分析】本題考查三線八角，涉及三線八角定義及圖形，根據定義及圖形逐項驗證即可得到答案，熟記三線八角定義、識別圖形是解決問題的關鍵．
【詳解】解：A、與是同位角，說法正確，不符合題意；
B、與是同位角，說法錯誤，符合題意；
C、與是內錯角，說法正確，不符合題意；
D、與是內錯角，說法正確，不符合題意；
故選：B．
【變式8-2】（23-24七年級·全國·假期作業）分別指出下列圖中的同位角、內錯角、同旁內角．
【答案】圖1中同位角有：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8；內錯角有：∠3與∠6，∠4與∠5；同旁內角有：∠3與∠5，∠4與∠6.；圖2中同位角有：∠1與∠3，∠2與∠4；同旁內角有：∠3與∠2．
【分析】根據兩直線被第三條直線所截，兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側的位置的角是同位角，可得同位角；兩個角在截線的兩側，被截兩直線的中間的角是內錯角，可得內錯角；兩個角在截線的同側，被截兩直線的中間的角是同旁內角，可得同旁內角．
【詳解】解：如圖1，
同位角有：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8；
內錯角有：∠3與∠6，∠4與∠5；
同旁內角有：∠3與∠5，∠4與∠6．
如圖2，
同位角有：∠1與∠3，∠2與∠4；
同旁內角有：∠3與∠2．
【點睛】本題考查了同位角、內錯角，同旁內角，解答此類題確定三線八角是關鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．
【變式8-3】（23-24七年級·廣東潮州·期末）英文字母中，存在同位角、內錯角、同旁內角（不考慮字母寬度），下列字母中含同旁內角最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，同位角的邊構成“F”形，內錯角的邊構成“Z”形，同旁內角的邊構成“U”形．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．根據同旁內角的定義進行選擇即可．
【詳解】解：A．字母A中含有4對同旁內角；
B．字母F中含有1對同旁內角；
C．字母M中含有0對同旁內角；
D．字母Z中含有0對同旁內角；
故選：A.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）

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