資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
2.3 一元二次方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，一元二次方程的相關概念和解法、根的判別式、根與系數的關系、實際應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考察最值問題，年年考查，分值為10分左右。
考點2 一元二次方程根的判別式及根與系數的關系 ☆☆
考點3 一元二次方程的應用 ☆☆
預計2025年浙江中考還將繼續考查，復習過程中要多注意各基礎考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續二次函數頂點坐標的縱坐標公式記混了。
1
3
■考點一　一元二次方程的相關概念及解法 3
■考點二　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系 6
■考點三　一元二次方程的實際應用 9
14
24
■考點一　一元二次方程的相關概念及解法
1.一元二次方程的相關概念 概念：只含有 未知數，并且未知數的最高次數是 次的 方程，叫做一元二次方程。
一般形式：，其中：a是 系數，b是 系數，c是 。
一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊 的未知數的值，就是該一元二次方程的解。
2.直接開平方法：適合于或形式的方程。
3.配方法：（1）化二次項系數為1；（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為 ；
（3）方程兩邊同時加上 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）運用直接開平方法解方程。
4.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 。
5.公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，則將根據求得方程的解；若b2-4ac＜0，則方程無解。
■考點二　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系
1.根的判別式：一元二次方程是否有實數根，由的 來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式，記為△。
（1）當△＞0時，方程有兩個 的實數根；
（2）當△=0時，方程有兩個 的實數根；
（3）當△＜0時，方程 實數根。
2.根與系數關系：對于一元二次方程（其中為常數，），設其兩根分別為，，則 ．
■考點三　一元二次方程的實際應用
1.利用一元二次方程解決實際問題
列一元二次方程解應用題步驟，即審、設、列、解、驗、答六步．
2.增長率等量關系
設為原來量，為平均增長率，為增長次數，為增長后的量，則 ；
當為平均下降率時，則有 ．
3.利潤等量關系：1）利潤=售價－成本；2）利潤率=×100％；3）總利潤=單位利潤×數量
4.面積問題：常用平移法解決面積問題
5.碰面問題（循環問題）
（1）重疊類型（單循環）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m；
則m= 。
（2）不重疊類型（雙循環）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次m。
則m= 。
■考點一　一元二次方程的相關概念及解法
◇典例1：（2024·浙江·模擬預測）若是方程的一個根，則（ ）
A． B． C．2 D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·二模）已知是方程的一個根，則（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（2023·浙江湖州·二模）若是一元二次方程的一個根，則的值是 ．
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程時，兩位同學的解法如下：
解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程無實數根．
(1)判斷：兩位同學的解題過程是否正確，若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”．
(2)請選擇合適的方法求解此方程．
◆變式訓練
1．（2024·浙江金華·二模）用配方法解方程時，將方程化為的形式，則a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　?。?br/>A．， B．， C．， D．，
3．（2024·浙江臺州·模擬預測）計算：(1)；(2)解方程：．
◇典例3：（2024·湖北·二模）已知，則的值為__________．
◆變式訓練
1．（2020·湖北荊州市·中考真題）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．
問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），
解：設，則有，原方程可化為：，
續解：
2.（2024·廣東·九年級專題練習）我們可以用以下方法求代數式的最小值．
∵ ∴ ∴當時，有最小值．
請根據上述方法，解答下列問題：(1)求代數式的最小值；
(2)求代數式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時x的值；
(3)求證：無論x和y取任何實數，代數式的值都是正數．
■考點二　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系
◇典例4：（2024·浙江·三模）已知關于x的一元二次方程有實數根，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則m的值為（　　）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·浙江臺州·二模）已知關于x的一元二次方程，該方程的根的情況為（ ）
A．無實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．與b的取值有關
◇典例5：（2024·河北·模擬預測）已知是方程的兩根，求代數式的值，嘉嘉和淇淇分別給了不同的解題思路，下列說法正確的是（ ）
淇淇： ①韋達定理求出，的值； ②化簡； ③將步驟①中的，的值代入到步驟②化簡后的結果中，解得代數式的值為 嘉嘉： ①解方程； ②化簡； ③將步驟①中的解，代入到步驟②化簡后的結果中，解得代數式的值為
A．嘉嘉，淇淇都對 B．嘉嘉對，淇淇不對 C．嘉嘉不對，淇淇對 D．嘉嘉，淇淇都不對
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·三模）方程的一個根為，則另一個根為（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023·浙江寧波·模擬預測）已知實數，滿足，．且，則 的值為 ．
◇典例6：（2024·浙江溫州·模擬預測）關于x的方程的兩個實數根分別為，．若 則k的值為 ．
◆變式訓練
1.（2023年四川省樂山市中考數學真題）若關于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2023年四川省宜賓中考數學真題）若關于x的方程兩根的倒數和為1，則m的值為 ．
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）已知關于的方程．
(1)若方程的一個實根是3，求實數的值．(2)求證：無論取什么實數，方程總有實數根．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）已知方程（x為實數），請你解答下列問題：
(1)若，解此方程；(2)若，求證：此方程至少有一個實數根；
(3)設此方程有兩個不相等的實數根分別為．若，求證：．
■考點三　一元二次方程的實際應用
◇典例8：（2024·浙江溫州·三模）某品牌店銷售一款進價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件．值此父親節來臨之際，該店實行降價促銷．經調查發現，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數量就增加20件．當每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設每件男士短袖降價x元，可列出方程為（ ）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·二模）某網絡學習平臺2021年的新注冊用戶數為81萬，2023年的新注冊用戶數為144萬．設新注冊用戶數的年平均增長率為（），則有（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉興·一模）《九章算術》是我國傳統數學的重要著作之一，奠定了我國傳統數學的基本框架．《九章算術》中記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”大意：有一形狀是矩形的門，它的高比寬多6尺8寸，它的對角線長1丈，問它的高與寬各是多少？利用方程思想，設矩形門高為尺，則依題意所列方程為（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南紅河·模擬預測）如圖是由一些等邊三角形“△”堆成的“金字塔”圖形，它的下一排依次比上一排多一個“△”；若第個圖形的“△”的個數為45個，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2024·廣西南寧·二模）2024年湯姆斯杯羽毛球賽于4月27日至5月5日在成都舉行，根據賽制規定，所有參賽隊伍先通過抽簽分成若干小組進行小組賽，小組賽階段每隊都要與小組內其他隊進行一場比賽，已知中國隊所在的小組有n支隊伍，共安排了6場小組賽．根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例9：（2024·江西贛州·二模）艾米粿是客家人的傳統美食，不僅風味獨特，還能溫肺健脾，散寒除濕，某顧客在一美食商鋪購買素餡艾米粿6個，肉餡艾米粿4個，共付款24元．已知肉餡艾米粿單價是素餡艾米粿的1.5倍．(1)求素餡艾米粿和肉餡艾米粿的單價；
(2)美食商鋪為了促銷，購買艾米粿達20個及以上時實行優惠，下表列出了小張、小廖的購買數量（單位：個）和付款金額（單位：元）：
素餡艾米粿 肉餡艾米粿 付款金額
小張 30 10 70
小廖 20 20 80
①根據上表，求素餡艾米粿和肉餡艾米粿優惠后的單價；②為進一步提升艾米粿的銷量．美食商鋪將艾米粿打包成，兩種包裝銷售，每包都是40個艾米粿，其中種包裝中有個素餡艾米粿，包裝中有個肉餡艾米粿（包裝成本忽略不計），按①沖優惠后的單價銷售三天后統計發現，，兩種包裝的銷量分別為包，包，銷售總額為6960元．求的值．
◆變式訓練
1．（2024·湖北宜昌·模擬預測）科技創新活動一直在路上．現將某品牌平面展示屏設計與生產過程中收集的精準數據統計如下：
信息數據一：屏占比，指的是屏幕面積與整個外觀面積的比，計算公式為：屏占比
信息數據二：某廠商設計了該款版平面展示屏（如圖），正面外觀呈矩形，長，寬，正中央是長寬之比為的矩形屏幕，若要使屏占比達到，且左右邊框等寬，均為，上下邊框等寬，均為，應如何設計屏四周邊框的寬度？
信息數據三：在上述版平面展示屏的升級版版中，外觀保持不變，對屏的長寬進行調整，調整之后使得左右邊框的寬度各減少了，上下邊框的寬度各減少了，從而使屏占比進一步提升至．(1)求，的值；(2)求的值．
2．（2024·浙江紹興·模擬預測）根據以下素材，完成探索任務．
探索果園土地規劃和銷售利潤問題
素材1 某農戶承包了一塊長方形果園，圖1是果園的平面圖，其中米，米．準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的寬度都為米，左右兩條縱向道路的寬度都為米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是每平方米50元；出于貨車通行等因素的考慮，橫向道路寬度不超過24米，且不小于10米．
素材2 該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查，草莓培育一年可產果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養護、施肥、運輸等其余費用．
問題解決
任務1 解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響． （1）請直接寫出縱向道路寬度的取值范圍． （2）若中間種植的面積是44800平方米，則路面設置的寬度是否符合要求．
任務2 解決果園種植的預期利潤問題．（凈利潤草莓銷售的總利潤路面造價費用果園承包費用新苗購置費用其余費用） （3）經過1年后，農戶是否可以達到預期凈利潤400萬元？請說明理由．
1．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了萬輛．如果設從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（ ）
A．1 B． C． D．1或
4．（2024·四川瀘州·中考真題）已知關于x的一元二次方程無實數根，則函數與函數的圖象交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2024·山東德州·中考真題）把多項式進行配方，結果為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山東日照·中考真題）已知，實數是關于x的方程的兩個根，若，則k的值為（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產，2023年平均每公頃產．求水稻每公頃產量的年平均增長率．設水稻每公頃產量的年平均增長率為x．列方程為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山東濟南·中考真題）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規定：對于任意實數a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C．且 D．且
10．（2024·山東濰坊·中考真題）已知關于的一元二次方程，其中滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（ ）
A．無實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定
11．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是( )
A． B． C． D．
12．（2023·浙江紹興·中考真題）若關于x的方程所有的根都是比1小的正數．則實數m的取值范圍是 ．
13．（2023·浙江金華·中考真題）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現將邊增加．（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是 ．
（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個的值，使得到的矩形面積為，則的值是 ．

14．（2024·重慶·中考真題）重慶在低空經濟領域實現了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據題意，可列方程為 ．
15．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規律擺成的“小屋子”．按照此規律繼續擺下去，第 個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．
16．（2022·四川涼山·中考真題）已知實數a、b滿足a－b2＝4，則代數式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
17．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程的一個根為，則方程的另一個根為 ．
18．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：例如：，．若，則的值為 ．
19．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）解方程組：．
20．（2023·浙江紹興·中考真題）已知關于x的方程的兩個實數根的倒數和等于3，且關于x的方程有實數根．當k為正整數時，求不等式的解．
21．（2024·四川南充·中考真題）已知，是關于的方程的兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍．(2)若，且，，都是整數，求的值．
22．（2024·四川內江·中考真題）已知關于的一元二次方程（為常數）有兩個不相等的實數根和．(1)填空：________，________；
(2)求，；(3)已知，求的值．
23．（2024·山東淄博·中考真題）“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高．某市參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
(1)求該市參加健身運動人數的年均增長率；(2)為支持市民的健身運動，市政府決定從公司購買某種套裝健身器材．該公司規定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．
24．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：
下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第行有個點……
容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10．
(1)探索：三角點陣中前8行的點數之和為_____，前15行的點數之和為______，那么，前行的點數之和為______
(2)體驗：三角點陣中前行的點數之和______（填“能”或“不能”）為500．
(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？
1．（2024·浙江·模擬預測）如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．以下關于倍根方程的說法：①方程是倍根方程；②若p，q滿足，則關于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，則．其中正確的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·浙江·模擬預測）若a，b滿足，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模擬預測）已知關于x的一元二次方程有實數根，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·一模）在實數范圍內定義一種新運算“※”，其運算規則為．根據這個規則，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·浙江·一模）取一張長與寬之比為的長方形紙板，剪去4個邊長為的小正方形（如圖），并用它做一個無蓋的長方體形狀的包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計），則這張長方形紙板的周長為（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·安徽蚌埠·三模）安徽省某品牌新能源汽車4月份銷售8萬輛，隨著國務院《推動大規模設備更新和消費品以舊換新行動方案》的推出及當地汽車購置稅優惠政策，預計該品牌新能源汽車到6月份銷售量將比4月份增加了22萬輛，如果設從4月份到6月份銷售量的平均月增長率為，那么可得方程（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知關于y的多項式是四次三項式，關于x的一元二次方程有實數根為a，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2024·河北邯鄲·模擬預測）問題“解方程”，嘉嘉說“其中一個解是”，琪琪說“方程有兩個實數根，這兩個實數根的和為”，珍珍說“，此方程無實數根”，判斷下列結論正確的是（ ）
A．嘉嘉說得對 B．琪琪說得對 C．珍珍說得對 D．三名同學說法都不對
9．（2024·廣東揭陽·一模）在一元二次方程中，若，則稱a是該方程的中點值．已知的中點值是3，其中一個根是2，則x的另一個根是（ ）
A． B． C．2 D．4
10．（2024·浙江·三模）若方程有一個解為，則方程的解為 ．
11．（2024·浙江杭州·二模）關于一元二次方程，有以下命題：
①若，則；②若該方程的兩根為和1，則；
③若上述方程有兩個相等的實數根，則必有實數根；
④若r是該方程的一個根，則一定是方程的一個根．
其中真命題是 ．（只需填寫序號）
12．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b為實數，且滿足，，則 ．
13．（2024·四川成都·模擬預測）定義：若（正整數，且）等于兩個連續正奇數的乘積，則稱n為“彗星數”．則“彗星數”n的最小值為 ，最大值為 ．
14．（2024·江蘇泰州·三模）已知，，且，設，則的最小值為 ．
15．（2024·浙江·一模）小紅解方程的過程如下：
解： ①
， ②
， ③
． ④
(1)小紅的解答過程是有錯誤的，請指出開始出現錯誤的那一步的序號；(2)寫出你的解答過程．
16．（2024·安徽滁州·模擬預測）在歐幾里得的幾何原本中，形如的一元二次方程通過圖解法能得到其中的一個正根：如圖，先畫，使，，，再在斜邊上截取，連接，那么圖中某條線段的長就是一元二次方程的其中一個正根．
(1)用含，的代數式表示的長．(2)圖中哪條線段的長是一元二次方程的一個正根？請說明理由．

17．（2024·浙江寧波·三模）已知關于的一元二次方程．
(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數根．(2)若此方程恰有一個根為1，求方程的另一個根．
18．（24-25九年級上·江蘇揚州·期中）閱讀下面的例題，范例：解方程，
解：（1）當時，原方程化為，解得：，（不合題意，舍去）．
（2）當時，原方程化為，解得：，（不合題意，舍去）．
∴原方程的根是，
請參照例題解方程
19．（2024·浙江嘉興·一模）已知二次函數的對稱軸為，且．
(1)當時，求方程的根；(2)當時，求證：；
(3)已知該二次函數的圖象與x軸交于兩點，（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點，若，且為直角三角形，求該二次函數的表達式．
20．（2024·浙江寧波·二模）蛟蛟水果店現出售一批高級水果，以每千克元的價格購入，再以每千克元的價格出售， 統計發現月份的銷售量為千克．
(1)由于水果暢銷，預計月份的銷售量將達到千克．求月份到月份的銷售量月平均增長率；
(2)經過市場調研發現，以月份為標準，保持進價不變的基礎之上，若每千克售價上漲元，月銷量將減少千克， 同時運輸的消耗每月按照銷售量每千克支出元．
設上漲元（為正整數），當月總利潤為，試求與之間的函數關系式．
現要保證每月的總利潤達到元，同時又要盡可能的給予顧客優惠， 則每千克應漲價多少元．
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第二章 方程與不等式
2.3 一元二次方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一元二次方程及其解法 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，一元二次方程的相關概念和解法、根的判別式、根與系數的關系、實際應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考察最值問題，年年考查，分值為10分左右。
考點2 一元二次方程根的判別式及根與系數的關系 ☆☆
考點3 一元二次方程的應用 ☆☆
預計2025年浙江中考還將繼續考查，復習過程中要多注意各基礎考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續二次函數頂點坐標的縱坐標公式記混了。
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■考點一　一元二次方程的相關概念及解法 3
■考點二　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系 6
■考點三　一元二次方程的實際應用 9
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■考點一　一元二次方程的相關概念及解法
1.一元二次方程的相關概念 概念：只含有一個 未知數，并且未知數的最高次數是2 次的整式 方程，叫做一元二次方程。
一般形式：，其中：a是二次項 系數，b是一次項 系數，c是常數項 。
一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等 的未知數的值，就是該一元二次方程的解。
2.直接開平方法：適合于或形式的方程。
3.配方法：（1）化二次項系數為1；（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數項 ；
（3）方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）運用直接開平方法解方程。
4.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 。
5.公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，則將根據求得方程的解；若b2-4ac＜0，則方程無解。
■考點二　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系
1.根的判別式：一元二次方程是否有實數根，由的符號 來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式，記為△。
（1）當△＞0時，方程有兩個不相等 的實數根；
（2）當△=0時，方程有兩個相等 的實數根；
（3）當△＜0時，方程沒有 實數根。
2.根與系數關系：對于一元二次方程（其中為常數，），設其兩根分別為，，則， ．
■考點三　一元二次方程的實際應用
1.利用一元二次方程解決實際問題
列一元二次方程解應用題步驟，即審、設、列、解、驗、答六步．
2.增長率等量關系
設為原來量，為平均增長率，為增長次數，為增長后的量，則 ；
當為平均下降率時，則有 ．
3.利潤等量關系：1）利潤=售價－成本；2）利潤率=×100％；3）總利潤=單位利潤×數量
4.面積問題：常用平移法解決面積問題
5.碰面問題（循環問題）
（1）重疊類型（單循環）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m；
則m=n（n－1） 。
（2）不重疊類型（雙循環）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次m。
則m=n（n－1） 。
■考點一　一元二次方程的相關概念及解法
◇典例1：（2024·浙江·模擬預測）若是方程的一個根，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【詳解】解：把代入一元二次方程得到，得，解得，．故選：D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江寧波·二模）已知是方程的一個根，則（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【詳解】解：由題意，得：，方程的另一個根為，
∴，
∴；故選B．
2．（2023·浙江湖州·二模）若是一元二次方程的一個根，則的值是 ．
【答案】2
【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，
∴，即，故答案為：2．
◇典例2：（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程時，兩位同學的解法如下：
解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程無實數根．
(1)判斷：兩位同學的解題過程是否正確，若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”．
(2)請選擇合適的方法求解此方程．
【答案】(1)兩位同學均錯 (2)，
【詳解】（1）兩位同學的解題過程都不正確．
（2），，或，所以，．
◆變式訓練
1．（2024·浙江金華·二模）用配方法解方程時，將方程化為的形式，則a的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【詳解】解：∴，∴，∴，∴，故選：A．
2．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　?。?br/>A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【詳解】解：，
，
或，
所以，． 故選：B．
3．（2024·浙江臺州·模擬預測）計算：(1)；(2)解方程：．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：；
（2）解：分解因式得：，即，，故．
◇典例3：（2024·湖北·二模）已知，則的值為__________．
【答案】１
【詳解】解：設 ，由原方程得，
解得，或（舍去）所以， 故答案為：1
◆變式訓練
1．（2020·湖北荊州市·中考真題）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．
問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），
解：設，則有，原方程可化為：，
續解：
【答案】，．
【詳解】續解：，，
解得，（不合題意，舍去），，
，，，經檢驗都是方程的解．
2.（2024·廣東·九年級專題練習）我們可以用以下方法求代數式的最小值．
∵ ∴
∴當時，有最小值．
請根據上述方法，解答下列問題：(1)求代數式的最小值；
(2)求代數式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時x的值；
(3)求證：無論x和y取任何實數，代數式的值都是正數．
【答案】(1)-2(2)當時，有最大值(3)證明見詳解
【解析】(1)解：由題意得：，
∵∴∴當時，有最小值．
(2)解：由題意得：，
∵∴∴當時，有最大值．
(3)解：由題意得：=
=；
∵∴，
∴無論x和y取任何實數，代數式的值都是正數．
■考點二　一元二次方程根的判別式及根與系數的關系
◇典例4：（2024·浙江·三模）已知關于x的一元二次方程有實數根，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【詳解】解：∵是關于的一元二次方程，∴，即，
∵原方程有實數根，∴，解得，
∴實數的取值范圍是且， 故選：C ．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則m的值為（　?。?br/>A． B． C．或 D．或
【答案】C
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，
，即，或．故選：C．
2．（2024·浙江臺州·二模）已知關于x的一元二次方程，該方程的根的情況為（ ）
A．無實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．與b的取值有關
【答案】C
【詳解】解：由題意得， ，
∴原方程有兩個不相等的實數根，故選：C．
◇典例5：（2024·河北·模擬預測）已知是方程的兩根，求代數式的值，嘉嘉和淇淇分別給了不同的解題思路，下列說法正確的是（ ）
淇淇： ①韋達定理求出，的值； ②化簡； ③將步驟①中的，的值代入到步驟②化簡后的結果中，解得代數式的值為 嘉嘉： ①解方程； ②化簡； ③將步驟①中的解，代入到步驟②化簡后的結果中，解得代數式的值為
A．嘉嘉，淇淇都對 B．嘉嘉對，淇淇不對 C．嘉嘉不對，淇淇對 D．嘉嘉，淇淇都不對
【答案】A
【詳解】淇淇的解法：根據韋達定理：，，
；
嘉嘉的解法：，，解得：，
，，，
原式，嘉嘉，淇淇都對，故選：A．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·三模）方程的一個根為，則另一個根為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：設方程的另一個根為，根據根與系數的關系得，，解得，
即方程的另一個根為，故選：．
2．（2023·浙江寧波·模擬預測）已知實數，滿足，．且，則 的值為 ．
【答案】/
【詳解】解：，，，
，、可看作方程的兩根，，，
，．故答案為：．
◇典例6：（2024·浙江溫州·模擬預測）關于x的方程的兩個實數根分別為，．若 則k的值為 ．
【答案】
【詳解】解：的兩個實數根，
，解得：，由題可得：，，
，即，
將，，代入得，即，解得，，
，，故答案為：．
◆變式訓練
1.（2023年四川省樂山市中考數學真題）若關于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程兩根為，∴，
∵，∴，∴，故選：C．
2．（2023年四川省宜賓中考數學真題）若關于x的方程兩根的倒數和為1，則m的值為 ．
【答案】2
【詳解】解：設方程的兩個根分別為a，b，由題意得：，，
∴，∴，解得：，經檢驗：是分式方程的解，
檢驗：，
∴符合題意，∴．故答案為：2．
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）已知關于的方程．
(1)若方程的一個實根是3，求實數的值．(2)求證：無論取什么實數，方程總有實數根．
【答案】(1) (2)見解析
【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：；
（2）∵，
∴；∴無論取什么實數，方程總有實數根．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）已知方程（x為實數），請你解答下列問題：
(1)若，解此方程；(2)若，求證：此方程至少有一個實數根；
(3)設此方程有兩個不相等的實數根分別為．若，求證：．
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【詳解】（1）解：，原方程為，解得：；
（2）證明：中，，
，，，，此方程至少有一個實數根；
（3）證明：根據題意原方程為，且方程有兩個不相等的實數根分別為，
，
，，即，．
■考點三　一元二次方程的實際應用
◇典例8：（2024·浙江溫州·三模）某品牌店銷售一款進價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件．值此父親節來臨之際，該店實行降價促銷．經調查發現，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數量就增加20件．當每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設每件男士短袖降價x元，可列出方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：設每件男士短袖降價x元，可列出方程為：，故選：D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·二模）某網絡學習平臺2021年的新注冊用戶數為81萬，2023年的新注冊用戶數為144萬．設新注冊用戶數的年平均增長率為（），則有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：設新注冊用戶數的年平均增長率為（）根據題意得： 故選：C．
2．（2024·浙江嘉興·一模）《九章算術》是我國傳統數學的重要著作之一，奠定了我國傳統數學的基本框架．《九章算術》中記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？”大意：有一形狀是矩形的門，它的高比寬多6尺8寸，它的對角線長1丈，問它的高與寬各是多少？利用方程思想，設矩形門高為尺，則依題意所列方程為（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：設矩形門高為尺，則矩形門寬為尺，
由題意得，，故選：B．
3．（2024·云南紅河·模擬預測）如圖是由一些等邊三角形“△”堆成的“金字塔”圖形，它的下一排依次比上一排多一個“△”；若第個圖形的“△”的個數為45個，則的值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】此題考查了圖形變化類規律問題的解決能力，解一元二次方程，關鍵是能根據觀察圖形變化，能夠猜想、驗證、歸納出此題規律，并能運用此規律解決相關問題．找出規律，第個圖形有個“△”，再解一元二次方程即可．
【詳解】解：第1個圖形有1個，第2個圖形有個，
第3個圖形有個，第4個圖形有個，，
則第個圖形有個，∴，解得：或（舍），故選：C．
4．（2024·廣西南寧·二模）2024年湯姆斯杯羽毛球賽于4月27日至5月5日在成都舉行，根據賽制規定，所有參賽隊伍先通過抽簽分成若干小組進行小組賽，小組賽階段每隊都要與小組內其他隊進行一場比賽，已知中國隊所在的小組有n支隊伍，共安排了6場小組賽．根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：共有n支隊伍參加比賽，根據題意，可列方程為；故選：B．
◇典例9：（2024·江西贛州·二模）艾米粿是客家人的傳統美食，不僅風味獨特，還能溫肺健脾，散寒除濕，某顧客在一美食商鋪購買素餡艾米粿6個，肉餡艾米粿4個，共付款24元．已知肉餡艾米粿單價是素餡艾米粿的1.5倍．(1)求素餡艾米粿和肉餡艾米粿的單價；
(2)美食商鋪為了促銷，購買艾米粿達20個及以上時實行優惠，下表列出了小張、小廖的購買數量（單位：個）和付款金額（單位：元）：
素餡艾米粿 肉餡艾米粿 付款金額
小張 30 10 70
小廖 20 20 80
①根據上表，求素餡艾米粿和肉餡艾米粿優惠后的單價；②為進一步提升艾米粿的銷量．美食商鋪將艾米粿打包成，兩種包裝銷售，每包都是40個艾米粿，其中種包裝中有個素餡艾米粿，包裝中有個肉餡艾米粿（包裝成本忽略不計），按①沖優惠后的單價銷售三天后統計發現，，兩種包裝的銷量分別為包，包，銷售總額為6960元．求的值．
【答案】(1)素餡艾米粿的單價為2元，肉餡艾米粿的單價為3元
(2)①素餡艾米粿優惠后的單價為1.5元，肉餡艾米粿優惠后的單價為2.5元；②10
【詳解】（1）設素餡艾米粿的單價為元，肉餡艾米粿的單價為元；
由題意可得：，解得：，（元）
答：素餡艾米粿的單價為2元，肉餡艾米粿的單價為3元；
（2）①設素餡艾米粿優惠后的單價為元，肉餡艾米粿優惠后的單價為元，
由題意可得：，解得：，
答：素餡艾米粿優惠后的單價為1.5元，肉餡艾米粿優惠后的單價為2.5元；
②由題意可得：，
化簡得：解得：，（舍去），．
◆變式訓練
1．（2024·湖北宜昌·模擬預測）科技創新活動一直在路上．現將某品牌平面展示屏設計與生產過程中收集的精準數據統計如下：
信息數據一：屏占比，指的是屏幕面積與整個外觀面積的比，計算公式為：屏占比
信息數據二：某廠商設計了該款版平面展示屏（如圖），正面外觀呈矩形，長，寬，正中央是長寬之比為的矩形屏幕，若要使屏占比達到，且左右邊框等寬，均為，上下邊框等寬，均為，應如何設計屏四周邊框的寬度？
信息數據三：在上述版平面展示屏的升級版版中，外觀保持不變，對屏的長寬進行調整，調整之后使得左右邊框的寬度各減少了，上下邊框的寬度各減少了，從而使屏占比進一步提升至．
(1)求，的值；(2)求的值．
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）由題可得的矩形屏幕的長為，寬為，
∵正中央是長寬之比為的矩形屏幕，∴①，∵外觀呈矩形，長，寬，
∴，即②，聯列①②可解得，．
（2）由題可得屏幕外觀呈矩形，長，寬，原左右邊框寬均為，上下邊框等寬，均為，矩形屏幕的長為，寬為，
∴減小邊框后，屏幕長為，屏幕寬為，
∴屏占比為，解得，（舍），故．
2．（2024·浙江紹興·模擬預測）根據以下素材，完成探索任務．
探索果園土地規劃和銷售利潤問題
素材1 某農戶承包了一塊長方形果園，圖1是果園的平面圖，其中米，米．準備在它的四周鋪設道路，上下兩條橫向道路的寬度都為米，左右兩條縱向道路的寬度都為米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是每平方米50元；出于貨車通行等因素的考慮，橫向道路寬度不超過24米，且不小于10米．
素材2 該農戶發現某一種草莓銷售前景比較不錯，經市場調查，草莓培育一年可產果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養護、施肥、運輸等其余費用．
問題解決
任務1 解決果園中路面寬度的設計對種植面積的影響． （1）請直接寫出縱向道路寬度的取值范圍． （2）若中間種植的面積是44800平方米，則路面設置的寬度是否符合要求．
任務2 解決果園種植的預期利潤問題．（凈利潤草莓銷售的總利潤路面造價費用果園承包費用新苗購置費用其余費用） （3）經過1年后，農戶是否可以達到預期凈利潤400萬元？請說明理由．
【答案】（1）；（2）路面設置的寬度符合要求；（3）可以，理由見解析．
【詳解】解：（1）橫向道路寬度不超過24米，且不小于10米，即
解得：縱向道路寬度的取值范圍為故答案為：；
（2）根據題意可得：整理得：解得：，
符合題意路面設置的寬度符合要求；故答案為：路面設置的寬度符合要求；
（3）經過1年后，農戶可以達到預期凈利潤400萬元，理由如下：
假設經過1年后，農戶可以達到預期凈利潤400萬元，根據題意得：
整理得：解得：，
符合題意假設成立，即經過1年后，農戶可以達到預期凈利潤400萬元．
1．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了萬輛．如果設從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：設年平均增長率為x，由題意得，故選：D．
2．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意得：，故選：C．
3．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【詳解】解：由題意得：，解得：或（舍）故選：C．
4．（2024·四川瀘州·中考真題）已知關于x的一元二次方程無實數根，則函數與函數的圖象交點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【詳解】解：∵方程無實數根，∴，
解得：，則函數的圖象過二，四象限，而函數的圖象過一，三象限，
∴函數與函數的圖象不會相交，則交點個數為0，故選：A．
5．（2024·山東德州·中考真題）把多項式進行配方，結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：故選B．
6．（2024·山東日照·中考真題）已知，實數是關于x的方程的兩個根，若，則k的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：是關于x的一元二次方程的兩個根，．
，，∴，解得，
經檢驗，是原分式方程的解，故選：B．
7．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產，2023年平均每公頃產．求水稻每公頃產量的年平均增長率．設水稻每公頃產量的年平均增長率為x．列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃產，
則2023年平均每公頃產，根據題意有：，故選：A．
8．（2024·山東濟南·中考真題）若關于的方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵關于的方程有兩個不相等的實數根，
∴，解得：，故選：B．
9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規定：對于任意實數a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如．若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【詳解】解：∵，∴，即，
∵關于x的方程有兩個不相等的實數根，
∴，且，解得且，故選：D．
10．（2024·山東濰坊·中考真題）已知關于的一元二次方程，其中滿足，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（ ）
A．無實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定
【答案】C
【詳解】解： ∵，∴，
∴ ，
，∴原方程有兩個不相等的實數根，故選：C．
11．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是和；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是和．則原來的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵小影在化簡過程中寫錯了常數項，得到方程的兩個根是和；∴，
又∵小冬寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是和．∴
A. 中，，，故該選項不符合題意；
B. 中，，，故該選項符合題意；
C. 中，，，故該選項不符合題意；
D. 中，，，故該選項不符合題意；故選：B．
12．（2023·浙江紹興·中考真題）若關于x的方程所有的根都是比1小的正數．則實數m的取值范圍是 ．
【答案】或/或
【詳解】解：當時，．
當時，可得，解得：，符合題意；
當時，可得，解得：，不符合題意；
當時， ，則∴．
∵關于x的方程的所有根都是比1小的正實數，
∴，解得：，，解得：，即．
綜上可得，實數m的取值范圍是或．故答案為：或．
13．（2023·浙江金華·中考真題）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現將邊增加．（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是 ．
（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個的值，使得到的矩形面積為，則的值是 ．

【答案】 6 /
【詳解】（1）根據題意，得，起始長方形的面積為，變化后長方形的面積為，
∵，邊減少，得到的矩形面積不變，∴，解得，故答案為：6．
（2）根據題意，得，起始長方形的面積為，變化后長方形的面積為，
∴，，∴，∴，∴，
∵有且只有一個的值，∴，∴，
解得（舍去），故答案為：．
14．（2024·重慶·中考真題）重慶在低空經濟領域實現了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，根據題意，可列方程為 ．
【答案】
【詳解】解：設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為，
由題意得，，故答案為：．
15．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規律擺成的“小屋子”．按照此規律繼續擺下去，第 個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．
【答案】12
【詳解】解：由所給圖形可知，
第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；
第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；
第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；
第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；…，
所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；
由題知，解得，
又n為正整數，則，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數是圖形“●”個數的3倍．故答案為：12．
16．（2022·四川涼山·中考真題）已知實數a、b滿足a－b2＝4，則代數式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【詳解】∵a－b2＝4∴將代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵ ∴ 當a=4時，取得最小值為6 ∴的最小值為6
∵∴的最小值6答案為：6．
17．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程的一個根為，則方程的另一個根為 ．
【答案】4
【詳解】解：設方程的另一個根為m，
∵方程有一個根為，∴，解得：．故答案為：4．
18．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：例如：，．若，則的值為 ．
【答案】或
【詳解】解：∵而，
∴①當時，則有，解得，；
②當時，，解得，
綜上所述，x的值是或，故答案為：或．
19．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）解方程組：．
【答案】，或者，．
【詳解】解：，由得：代入中得：
，，
，，解得：或，
當時，，當時，，
∴方程組的解為或者．
20．（2023·浙江紹興·中考真題）已知關于x的方程的兩個實數根的倒數和等于3，且關于x的方程有實數根．當k為正整數時，求不等式的解．
【答案】或
【詳解】解：設方程的兩個根為，則，
由條件知，即且，故．
則方程為．
當，即時，關于x的方程為有實數根，
不等式即為，則，或．
當時，，．
又是正整數，且，，但使不等式的分母無意義．
綜上，不等式的解為：或．
21．（2024·四川南充·中考真題）已知，是關于的方程的兩個不相等的實數根．(1)求的取值范圍．(2)若，且，，都是整數，求的值．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：∵，是關于的方程的兩個不相等的實數根，
∴，∴，解得：；
（2）解：∵，由（1）得，∴，∴整數的值有，，，
當時，方程為，解得：，（都是整數，此情況符合題意）；
當時，方程為，解得：（不是整數，此情況不符合題意）；
當時，方程為，解得：（不是整數，此情況不符合題意）；
綜上所述，的值為．
22．（2024·四川內江·中考真題）已知關于的一元二次方程（為常數）有兩個不相等的實數根和．(1)填空：________，________；
(2)求，；(3)已知，求的值．
【答案】(1)，；(2)，；(3)．
【詳解】（1）解：由根與系數的關系得，，，故答案為：，；
（2）解：∵，，∴，
∵關于的一元二次方程（為常數）有兩個不相等的實數根和，
∴，∴，∴；
（3）解：由根與系數的關系得，，，
∵，∴，∴，∴，解得或，
∴一元二次方程為或，
當時，，不合題意，舍去；
當時，，符合題意；∴．
23．（2024·山東淄博·中考真題）“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高．某市參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
(1)求該市參加健身運動人數的年均增長率；
(2)為支持市民的健身運動，市政府決定從公司購買某種套裝健身器材．該公司規定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．
【答案】(1)該市參加健身運動人數的年均增長率為(2)購買的這種健身器材的套數為200套
【詳解】（1）解：設該市參加健身運動人數的年均增長率為，由題意得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：該市參加健身運動人數的年均增長率為；
（2）解：∵元，∴購買的這種健身器材的套數大于100套，
設購買的這種健身器材的套數為套，由題意得：，
整理得：，解得：，
當時，售價元（不符合題意，故舍去），
答：購買的這種健身器材的套數為200套．
24．（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：
下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第行有個點……
容易發現，三角點陣中前4行的點數之和為10．
(1)探索：三角點陣中前8行的點數之和為_____，前15行的點數之和為______，那么，前行的點數之和為______
(2)體驗：三角點陣中前行的點數之和______（填“能”或“不能”）為500．
(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規律擺放而成，則一共能擺放多少排？
【答案】(1)36；120；(2)不能(3)一共能擺放20排．
【詳解】（1）解：三角點陣中前8行的點數之和為，
前15行的點數之和為，
那么，前行的點數之和為；故答案為：36；120；；
（2）解：不能，理由如下：由題意得，得，
，∴此方程無正整數解，所以三角點陣中前n行的點數和不能是500；
故答案為：不能；
（3）解：同理，前行的點數之和為，由題意得，
得，即，解得或（舍去），∴一共能擺放20排．
1．（2024·浙江·模擬預測）如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．以下關于倍根方程的說法：①方程是倍根方程；②若p，q滿足，則關于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，則．其中正確的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】解：①解方程 ，∴或，
解得，，，得，，方程不是倍根方程；故①不正確；
②∵，則：，，，
，因此是倍根方程，故②正確；
③若是倍根方程，，因此或，
當時，，當時，，
，故③正確；故選：C．
2．（2024·浙江·模擬預測）若a，b滿足，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意可知，將方程 的兩邊都除以得，
∵，，∴，為方程的兩個實數根，
∴．故選：A．
3．（2024·浙江·模擬預測）已知關于x的一元二次方程有實數根，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，
∴，∴，∴，故選：B．
4．（2024·浙江杭州·一模）在實數范圍內定義一種新運算“※”，其運算規則為．根據這個規則，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【詳解】∵ ，，∴，
整理，得，解得或，故選C．
5．（2023·浙江·一模）取一張長與寬之比為的長方形紙板，剪去4個邊長為的小正方形（如圖），并用它做一個無蓋的長方體形狀的包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計），則這張長方形紙板的周長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設這張長方形紙板的長為厘米，寬為厘米，根據題意，得，
解方程，得（不合題意，舍去），，∴厘米，
∴厘米．∴這張長方形紙板的周長為84厘米．故選：D．
6．（2024·安徽蚌埠·三模）安徽省某品牌新能源汽車4月份銷售8萬輛，隨著國務院《推動大規模設備更新和消費品以舊換新行動方案》的推出及當地汽車購置稅優惠政策，預計該品牌新能源汽車到6月份銷售量將比4月份增加了22萬輛，如果設從4月份到6月份銷售量的平均月增長率為，那么可得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意得，，故選：A．
7．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知關于y的多項式是四次三項式，關于x的一元二次方程有實數根為a，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【詳解】解：∵是四次三項式，
∴，解得：，∴方程，轉化為：，
∵方程有實數根，∴，，∴，，
∴；故選A．
8．（2024·河北邯鄲·模擬預測）問題“解方程”，嘉嘉說“其中一個解是”，琪琪說“方程有兩個實數根，這兩個實數根的和為”，珍珍說“，此方程無實數根”，判斷下列結論正確的是（ ）
A．嘉嘉說得對 B．琪琪說得對 C．珍珍說得對 D．三名同學說法都不對
【答案】C
【詳解】解：方程中，，，，
，此時方程無實數根，珍珍說得對．故選：．
9．（2024·廣東揭陽·一模）在一元二次方程中，若，則稱a是該方程的中點值．已知的中點值是3，其中一個根是2，則x的另一個根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【詳解】根據題意得，解得，
方程化為，把代入得，解得，
∴，∴，∴或，∴．故選D．
10．（2024·浙江·三模）若方程有一個解為，則方程的解為 ．
【答案】
【詳解】解：∵方程有一個解為，
∴∴即
∴解得： 故答案為：．
11．（2024·浙江杭州·二模）關于一元二次方程，有以下命題：
①若，則；②若該方程的兩根為和1，則；
③若上述方程有兩個相等的實數根，則必有實數根；
④若r是該方程的一個根，則一定是方程的一個根．
其中真命題是 ．（只需填寫序號）
【答案】①②④
【詳解】解：若，則，∴，故①是真命題；
若該方程的兩根為和1，則，∴，∴，故②是真命題；
若有兩個相等的實數根，則，
∴的判別式：，
∵a的符號不確定，∴方程根的情況不確定，故③是假命題；
若r是該方程的一個根，則，∵，∴，
∴，∴，∴是的一個根，故④是真命題；故答案為：①②④．
12．（2024·浙江杭州·三模）已知a、b為實數，且滿足，，則 ．
【答案】13
【詳解】解：、為實數，且滿足，，，，
、是方程，即的兩個根，或；
①當，時，，即；
②當，時，，即，不合題意；
綜上所述，；故答案為：13．
13．（2024·四川成都·模擬預測）定義：若（正整數，且）等于兩個連續正奇數的乘積，則稱n為“彗星數”．則“彗星數”n的最小值為 ，最大值為 ．
【答案】 5 485
【詳解】解：∵(為正整數)等于兩個連續正奇數的乘積，
設較小的正奇數為，則另一個正奇數為，
，，
利用求根公式得：或(舍)，
∴當為正奇數時，為“彗星數”，
，，
∵為正奇數，∴為整數，∴也必須為整數，為偶數，令，p為正整數，，
∵∴拋物線開口向上，且對稱性為y軸，當時，隨的增大而增大，
∵p為正整數∴當時，n有最小值為，此時
∵當時，(不符合題意，舍去)，當時，，當時，，
，∴當時，的最大值是485，
∴“彗星數”的最小值為5，最大值為485．故答案為：5，485．
14．（2024·江蘇泰州·三模）已知，，且，設，則的最小值為 ．
【答案】6
【詳解】
又可知和是方程的兩個根
那么有
，時，隨的增大而增大時，有最小值，最小值是
故答案為：6．
15．（2024·浙江·一模）小紅解方程的過程如下：
解： ①
， ②
， ③
． ④
(1)小紅的解答過程是有錯誤的，請指出開始出現錯誤的那一步的序號；
(2)寫出你的解答過程．
【答案】(1)第②步開始出現錯誤(2)見詳解
【詳解】（1）解：第②步開始出現錯誤；原②過程應改為，則或，
（2），
，
則，
或，
解得，．
16．（2024·安徽滁州·模擬預測）在歐幾里得的幾何原本中，形如的一元二次方程通過圖解法能得到其中的一個正根：如圖，先畫，使，，，再在斜邊上截取，連接，那么圖中某條線段的長就是一元二次方程的其中一個正根．
(1)用含，的代數式表示的長．(2)圖中哪條線段的長是一元二次方程的一個正根？請說明理由．

【答案】(1)；(2)，理由見解析．
【詳解】（1）解：，，，，
；
（2）線段的長是一元二次方程的一個正根，理由如下：
設，則，在中，由勾股定理得：，
整理得：，線段的長是一元二次方程的一個正根
17．（2024·浙江寧波·三模）已知關于的一元二次方程．
(1)求證：此方程總有兩個不相等的實數根．(2)若此方程恰有一個根為1，求方程的另一個根．
【答案】(1)見解析(2)3
【詳解】（1）解：∵，
∴方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的另一個根為x，則，解得，故該方程的另一個根為3．
18．（24-25九年級上·江蘇揚州·期中）閱讀下面的例題，范例：解方程，
解：（1）當時，原方程化為，解得：，（不合題意，舍去）．
（2）當時，原方程化為，解得：，（不合題意，舍去）．
∴原方程的根是，
請參照例題解方程
【答案】，
【詳解】解：
①當時，此時，原方程化為，即
解得：，（舍）；
②當時，此時，原方程化為，即，
解得：，（舍），
∴原方程的根是，．
19．（2024·浙江嘉興·一模）已知二次函數的對稱軸為，且．
(1)當時，求方程的根；(2)當時，求證：；
(3)已知該二次函數的圖象與x軸交于兩點，（點A在點B的左側），與y軸的負半軸交于點，若，且為直角三角形，求該二次函數的表達式．
【答案】(1)(2)見詳解(3)
【詳解】（1）解：當時即，
由，得，而，則，所以，∴
又，故解得；
（2）解：由題意得，又，所以，
因為，且，所以，，故，所以；
（3）解：由于點A在點B的左側，因此，又，所以，
而由得到是方程的根，故，，所以，，
所以該二次函數圖象的對稱軸為，得，又，所以，
由于為直角三角形，只能為，∴，∴，
∵，∴，∴，
所以，故，故，由于點位于y軸的負半軸，所以，解得，
又因為，故，所以，因此，所求二次函數的解析式為．
20．（2024·浙江寧波·二模）蛟蛟水果店現出售一批高級水果，以每千克元的價格購入，再以每千克元的價格出售， 統計發現月份的銷售量為千克．
(1)由于水果暢銷，預計月份的銷售量將達到千克．求月份到月份的銷售量月平均增長率；
(2)經過市場調研發現，以月份為標準，保持進價不變的基礎之上，若每千克售價上漲元，月銷量將減少千克， 同時運輸的消耗每月按照銷售量每千克支出元．
設上漲元（為正整數），當月總利潤為，試求與之間的函數關系式．
現要保證每月的總利潤達到元，同時又要盡可能的給予顧客優惠， 則每千克應漲價多少元．
【答案】(1)月份到月份的銷售量月平均增長率為；
(2)；每千克應漲價元．
【詳解】（1）解：設月份到月份的銷售量月平均增長率，
由題意得：，解得：，（舍去）；
答：月份到月份的銷售量月平均增長率為；
（2）解：由題意銷售量：千克，售價：元，運輸的消耗：元，；
由題意得：，解得 或，
由于要盡可能的給予顧客優惠， 所以
答：每千克應漲價元．
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