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第二章 方程與不等式
2.4 一元一次不等式(組)
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式的基本性質 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，考查不等式（組）的解法、及相關應用為主，偶爾也有直接考查不等式的基本性質和含參問題，乘充分體現了不等式的工具性，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右。
考點2 一元一次不等式（組）的解法及解集表示 ☆☆☆
考點3 含參數的不等式（組）問題 ☆☆
考點4 不等式（組）的實際應用 ☆☆
預計2025年浙江中考還將繼續考查這些知識點，重要題型有不等式（組）的解法、不等式相關的應用題、不等式含參及不等式的基本性質，為避免丟分，學生應扎實掌握。
1
3
■考點一　不等式的基本性質 3
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示 5
■考點三　含參數的不等式（組）問題 9
■考點四　不等式（組）的實際應用 11
14
22
■考點一 不等式的基本性質
1.不等式：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解．
2.不等式的基本性質
理論依據 式子表示
性質1 不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變 若，則
性質2 不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變 若，，則或
性質3 不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變 若，，則或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解是一個范圍，這個范圍就是不等式的解集 ．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示：不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個解．
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
1.一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個 未知數，并且未知數的最高次數是1次，這樣的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步驟：①去分母 ；②去括號 ；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1 （注意不等號方向是否改變）．
3.一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組 ．
4.一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集 ，求不等式組解集的過程，叫做解不等式組 ．
5.一元一次不等式組的解法：先分別求出每個不等式的解集 ，再利用數軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分 即可，如果沒有公共部分，則該不等式組無解 ．
6.幾種常見的不等式組的解集：設，，是常數，關于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號取不到時在數軸上用空心圓點表示）：
不等式組 （其中） 數軸表示 解集 口訣
同大取大
同小取小
大小、小大中間找
無解 大大、小小取不了
■考點三　含參數的不等式（組）問題
1.含參問題的解題步驟：①將參數當成“常數”解出不等式組；
②.1)“根據不等式組的解集確定參數的取值范圍”、“逆用不等式組的解集確定參數的取值范圍”類型利用不等式組解集口訣確定出參數的取值范圍；2)“根據不等式組的整數解情況確定確定參數的取值范圍”需要借助數軸與不等式組解集口訣確定出參數的取值范圍。
注：參數取值范圍是否取等于號需要將參數帶進不等式中驗證，不能憑感覺。而且需要注意的是帶進去的是參數的值，并不是的值。
■考點四　不等式（組）的實際應用
列不等式（組）解應用題的基本步驟如下：①審題；②設未知數 ；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗并寫出答案．
注意：列不等式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數等綜合考查，涉及的題型常與方案設計型問題相聯系，如最大利潤、最優方案等。列不等式時，要抓住關鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤ ”連接，不少于、不低于、至少用“≥ ”連接．
■考點一　不等式的基本性質
◇典例1：（2024·浙江嘉興·一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵，，A．∴a不一定小于，故本選項不符合題意；
B．∵，，∴，故此選項符合題意；
C．∴，故本選項不符合題意；D．∴，故本選項不符合題意．故選：B．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）已知a，b，m是實數，且，那么有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、由不一定可得，例如，但是，原式錯誤，不符合題意；B、由可得，原式正確，符合題意；
C、由不一定能得到，例如時，，原式錯誤，不符合題意；
D、由不一定能得到，例如時，，原式錯誤，不符合題意；故選：B．
2．（2024·北京西城·一模）已知， 則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，∴， ∴，故選：A．
◇典例2：（2024·山西忻州·九年級期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整數解有無數個
C．不等式的整數解是0 D．是不等式的一個解
【答案】C
【詳解】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正確，不符合題意；
B、由于整數包括負整數、0、正整數，所以不等式x＜3的整數解有無數個，正確，不符合題意；
C、不等式x＋3＜3的解集為x＜0，所以不等式x＋3＜3的整數解不能是0，錯誤，符合題意；
D、由于不等式2x＜3的解集為x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一個解，正確，不符合題意．
選：C．
◆變式訓練
1．（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為，通過燈泡的電流強度的最大限度不得超過．設選用燈泡的電阻為，下列說法正確的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
【答案】A
【詳解】解：由題意，得，解得．故選：A．
2．（2024·河南周口·二模）某天氣預報的中可根據當天氣溫提供穿衣指導，穿衣指導共分為8級，其中2級指恤衫、薄襯衫、連衣裙等，3級指襯衫、休閑服、薄牛仔衫等，4級指風衣、休閑服、薄毛衣等，5級指風衣、大衣、毛套裝等，若某日該推薦休閑服，則該日氣溫的范圍為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意得：某日該推薦休閑服在3級與4級的范圍內，
則該日氣溫的范圍為，故答案為：．
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
◇典例3：（2024·浙江·三模）解不等式組 ，并把解在數軸上表示出來．
【答案】，數軸表示見解析
【詳解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：，用數軸表示為：
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）．
【答案】
【詳解】解：
去分母，得：，
去括號，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
系數化為1，得：．
2．（2024·浙江溫州·二模）小南解不等式組的過程如下：
解：由①，得， 第一步 ∴， 第二步 ∴． 第三步 由②，得， 第四步 ∴， 第五步 所以原不等式組的解為． 第六步
(1)老師批改時說小南的解題過程有錯誤，小南從第_______步開始出現錯誤．
(2)請你寫出正確的解答過程．
【答案】(1)四(2)
【詳解】（1）解：小南的解答過程從第四步開始出現錯誤，故答案為：四
（2）解：由①，得， ∴， ∴．
由②，得， ∴，∴，∴，
所以原不等式組的解為．
3．（2024·浙江·一模）解不等式組，并求出所有整數解的和．
【答案】不等式組的解集為，所有整數解的和為
【詳解】解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式組的解集為，
∴所有整數解的和為．
◇典例4：（2024·浙江·模擬預測）不等式組的解在數軸上表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由①得，，由②得，，
故此不等式組的解集為：．在數軸上表示為：故選D．
◆變式訓練
1．（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習）若關于x的不等式組的解表示在數軸上如圖所示．則這個不等式組的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：根據題意得：不等式組的解集為．故選：D．
2．（2024·浙江麗水·一模）某不等式組的解集在數軸上表示為如圖所示，則該不等式組的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【詳解】解：由數軸可得，該不等式組的解集為，故選：．
◇典例5：（2024·浙江模擬預測）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：
例題：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”
有①或② 解不等式組①得x＞3，解不等式組②得x＜﹣3
故原不等式的解集為：x＞3或x＜﹣3
問題：求不等式的解集．
【答案】
【解析】解：由有理數的除法法則“兩數相除，異號得負“，
有① 或② ，解不等式組①，得 ，
解不等式組②，得不等式組②無解，故原不等式組的解集為：，
◆變式訓練
1．（2023·寧夏·石嘴山九年級階段練習）閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式時，是這樣思考的：根據兩數相除，同號得正，異號得負．原分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：
①或②
解不等式組①得，解不等式組②得．
所以原不等式的解集為或．
請你參考小亮思考問題的方法，解分式不等式．
【答案】
【詳解】解：根據題意，∵，則；
∵，分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：
①或②解不等式組①，得：，解不等式組②，得：無解，
∴原不等式的解集為：.
2．（2023·四川九年級期末）先閱讀理解下列例題：
例題：解一元二次不等式
由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”可得有：①或 ②
解不等式組①得；解不等式組②得
∴一元二次不等式的解集是或
根據以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【詳解】解：（1）由有理數的乘法法則“兩數相乘，異號得負”可得：
①或②，解不等式組①，得；解不等式組②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理數的除法法則“兩數相除，同號得正”可得：
①或②，解不等式組①，得；解不等式組②，無解；
故不等式的解集為．
■考點三　含參數的不等式（組）問題
◇典例5：（2024·云南·模擬預測）已知不等式組的解集是，則（　　）
A．0 B． C．1 D．2024
【答案】C
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組的解集得出、的值，代入計算可得．本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
【詳解】解：由，得：，由，得：，
解集為，，，解得，，
則．故選：C．
◆變式訓練
1．（2023·浙江·三模）若關于的不等式的解為，則的值可以取（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵關于的不等式的解為，∴∴，故選：D．
2．（2024·江蘇南通·二模）若存在，使的值同時大于和的值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：依題得：，解得，
則要使題中條件成立，，解得．故選：．
3．（2024·四川雅安·三模）若關于的不等式組的解集為，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】A
【詳解】解： 解不等式得：；解不等式得：；
則不等式組的解集為：；
由于不等式組的解集為，所以，
則，所以；故選：A．
◇典例6：（2024·湖北·模擬預測）若關于x的一元一次不等式組的解集是，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：解不等式得，解不等式得，
∵解集是，∴，解得，故選D．
◆變式訓練
1．（2024·山東德州·二模）若關于的不等式組有且只有4個整數解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：解不等式①，得 解不等式②，得
不等式組有且只有4個整數解4個整數解為3，2，1，0．故選：A．
2.（2023年四川省宜賓中考數學真題）若關于x的不等式組所有整數解的和為，則整數的值為 ．
【答案】或
【詳解】解：由①得：，由②得：，不等式組的解集為：，
所有整數解的和為，
①整數解為：、、、，，解得：，為整數，．
②整數解為：，，，、、、，，解得：，為整數，．
綜上，整數的值為或故答案為：或．
3．（2024·浙江金華市·九年級期中）若不等式組有解，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵不等式組有解，∴n＜x＜8，∴n＜8，n的取值范圍為：n＜8．故選：C．
4．（2024·安岳縣九年級期中）已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
【答案】B
【詳解】解：解不等式①，得；解不等式②，得；
∵不等式組無解，∴；故選：B．
■考點四　不等式（組）的實際應用
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）一次生活常識知識競賽一共有10道題，答對一題得5分，不答得0分，答錯扣2分，小濱有1道題沒答，競賽成績超過30分，則小濱至多答錯了 題．
【答案】2
【詳解】解：設小濱答錯了x道題，則答對道題，
根據題意得：，解得：，
又∵x為自然數，∴x的最大值為2，∴小濱至多答錯了2道題．故答案為：2．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．從這個月開始，小健每月存18元零花錢，小康每月存12元零花錢，設經過x個月后，小健的存款超過小康，可列不等式為 ．
【答案】
【詳解】根據題意，得．故答案為：．
2．（2024·廣東汕頭·一模）一次生活常識競賽，一共有25道題，答對一題得4分，不答得0分，答錯一題扣1分，小明有2題沒答，競賽成績要不低于83分，則小明至少要答對 道題．
【答案】
【分析】本題考查一元一次不等式的應用，設小明答對道，根據“一共有25道題，答對一題得4分，不答得0分，答錯一題扣1分，有2題沒答，競賽成績要不低于83分”可得相應的一元一次不等式，解題的關鍵是讀懂題意，列出不等式．
【詳解】解：設小明答對道，根據題意得：
解得：∴小明至少要答對道題．故答案為：．
◇典例8：（2024·山東濱州·模擬預測）小明帶10元錢想買一盒餅干和一袋牛奶，可是售貨員阿姨說：本來10元錢夠一盒餅干的，但再買一袋牛奶就不夠了，今天是兒童節給你的餅干打9折，兩樣東西拿好，再找你8角錢，餅干的標價可是整數哦，請你幫小明算出牛奶和餅干的標價．
【答案】牛奶和餅干的標價分別為1.1元和9元
【詳解】解：設餅干的標價是元，牛奶的標價是元．
由題意，得，解得．由于餅干的標價是整數，所以（元）．
當時，（元）．
答：牛奶和餅干的標價分別為1.1元和9元．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·二模）如圖，小明想利用“排水法估計一個玻璃球的體積”，現將大小規格相同的玻璃球逐個放入盛有水的長方體容器中，已知該容器的最大容積為，當放入第24個玻璃球時，容器中水未溢出，但放入第25個玻璃球時，容器中水有溢出，求一個玻璃球體積的取值范圍．
【答案】大于小于等于
【詳解】解：設一個玻璃球的體積為，
則：，解得：，
答：一個玻璃球體積的取值范圍為大于小于等于．
2．（2024·廣東清遠·模擬預測）我市鷹嘴桃果品肉質爽脆、味甜如蜜，現在將一箱鷹嘴桃分給若干名到果園參觀的游客品嘗，如果每人分4個，則剩下20個鷹嘴桃；如果每人分8個，則有一名游客分得不足8個，求這批游客的人數和這箱鷹嘴桃的個數．
【答案】游客有6名，這箱鷹嘴桃有44個
【詳解】解：設有名游客，則鷹嘴桃有個，
依題意得：，解得：．
∵游客人數應取整數，∴．∴（個）．
答：游客有6名，這箱鷹嘴桃有44個．
1．（2024·浙江·中考真題）不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為．在數軸上表示如下： 故選：A．
2．（2023·浙江·中考真題）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由數軸得：，，故選項A不符合題意；
∵，∴，故選項B不符合題意；
∵，，∴，故選項C不符合題意；
∵，，∴，故選項D符合題意；故選：D．
3．（2024·河南·中考真題）下列不等式中，與組成的不等式組無解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據題意，可得，A、此不等式組無解，符合題意；
B、此不等式組解集為，不符合題意；C、此不等式組解集為，不符合題意；
D、此不等式組解集為，不符合題意；故選：A
4．（2024·四川南充·中考真題）若關于x的不等式組的解集為，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：解，得：，
∵不等式組的解集為：，∴，∴；故選B．
5．（2024·內蒙古·中考真題）關于x的不等式的解集是 ，這個不等式的任意一個解都比關于x的不等式的解大，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：，，，．解不等式得：，
∵不等式任意一個解都比關于的不等式的解大，
∴，解得，故答案為：；．
6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）不等式組的整數解有 個．
【答案】
【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：
∴不等式組的解集為：，∴整數解有，，，共4個，故答案為：．
7．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實數，定義運算“※”為，例如，則關于的不等式有且只有一個正整數解時，的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：根據題意可知，解得：
有且只有一個正整數解
解不等式①，得：解不等式②，得： 故答案為：．
8．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關于x的不等式組恰有3個整數解，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：由，得：，由，得：，
不等式組恰有3個整數解，這3個整數解是0，1，2，
，解得，故答案為：．
9．（2024·重慶·中考真題）若關于的不等式組至少有2個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為 ．
【答案】16
【詳解】解：， 解①得：，解②得：，
關于的一元一次不等式組至少有兩個整數解，，解得，
解方程，得，
關于的分式方程的解為非負整數，且，是偶數，
解得且，是偶數，且，是偶數，
則所有滿足條件的整數的值之和是，故答案為：16．
10．（2024·重慶·中考真題）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解均為負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是 ．
【答案】
【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得： ，
∵不等式組的解集為，∴，∴；解分式方程得，
∵關于的分式方程的解均為負整數，
∴且是整數且，
∴且且a是偶數，∴且且a是偶數，
∴滿足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿足條件的整數a的值之和是．故答案為：．
11．（2024·江蘇常州·中考真題）“綠波”，是車輛到達前方各路口時，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時刻的導航界面如圖所示，前方第一個路口顯示綠燈倒計時32s，第二個路口顯示紅燈倒計時44s，此時車輛分別距離兩個路口480m和880m．已知第一個路口紅、綠燈設定時間分別是30s、50s，第二個路口紅、綠燈設定時間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），則車速v（）的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解： ．根據題意得：，解得：，
車速的取值范圍是．故答案為：．
12．（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式的正整數解．
【答案】，．
【詳解】解：去分母得，，去括號得，，
移項得，，合并同類項得，，系數化為得，，
∴不等式的正整數解為，．
13．（2024·江蘇鎮江·中考真題）（1）解方程：； （2）解不等式組：
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以，得．．
檢驗：當時，，所以是原方程的解；
（2）解：解不等式①，得．解不等式②，得．
所以原不等式組的解集是．
14．（2024·山東淄博·中考真題）解不等式組：并求所有整數解的和．
【答案】，
【詳解】解：，解不等式①得：；解不等式②得：，
∴原不等式組的解集，∴不等式組所有整數解的和為．
15．（2024·山西·中考真題）為加強校園消防安全，學校計劃購買某種型號的水基滅火器和干粉滅火器共50個．其中水基滅火器的單價為540元/個，干粉滅火器的單價為380元/個．若學校購買這兩種滅火器的總價不超過21000元，則最多可購買這種型號的水基滅火器多少個？
【答案】最多可購買這種型號的水基滅火器12個
【詳解】解：設可購買這種型號的水基滅火器個，則購買干粉滅火器個，
根據題意得：，解得：，
為整數，取最大值為12，答：最多可購買這種型號的水基滅火器12個．
16．（2023·廣東深圳·中考真題）某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元．
(1)求A，B玩具的單價；(2)若該商場要求購置B玩具的數量是A玩具數量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？
【答案】(1)A、B玩具的單價分別為50元、75元；(2)最多購置100個A玩具．
【詳解】（1）解：設A玩具的單價為x元，則B玩具的單價為元；
由題意得：；解得：，則B玩具單價為（元）；
答：A、B玩具的單價分別為50元、75元；
（2）設A玩具購置y個，則B玩具購置個，
由題意可得：，解得：，∴最多購置100個A玩具．
17．（2024·江蘇南通·中考真題）某快遞企業為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關信息如下：
信息一
A型機器人臺數 B型機器人臺數 總費用（單位：萬元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B兩種型號智能機器人的單價；(2)現該企業準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多
【答案】(1)A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元
(2)選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺
【詳解】（1）解：設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，
解得，
答：A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元；
（2）解：設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人臺，
∴， ∴，
∵每天分揀快遞的件數，
∴當時，每天分揀快遞的件數最多為萬件，
∴選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺．
18．（2024·山東濟南·中考真題）近年來光伏建筑一體化廣受關注．某社區擬修建A，B兩種光伏車棚．已知修建2個A種光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個A種光伏車棚和3個B種光伏車棚共需投資21萬元．(1)求修建每個A種，B種光伏車棚分別需投資多少萬元？
(2)若修建A，B兩種光伏車棚共20個，要求修建的A種光伏車棚的數量不少于修建的B種光伏車棚數量的2倍，問修建多少個A種光伏車棚時，可使投資總額最少？最少投資總額為多少萬元？
【答案】(1)修建一個種光伏車棚需投資3萬元，修建一個種光伏車棚需投資2萬元
(2)修建種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元
【詳解】（1）解：設修建一個種光伏車棚需投資萬元，修建一個種光伏車棚需投資萬元，根據題意，得，解得
答：修建一個種光伏車棚需投資3萬元，修建一個種光伏車棚需投資2萬元．
（2）解：設修建種光伏車棚個，則修建種光伏車棚個，修建種和種光伏車棚共投資萬元，根據題意，得，解得，，
，隨的增大而增大，
當時，取得最小值，此時（萬元），
答：修建種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元．
19．（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數量，現需購進20個書架用于擺放書籍．
【素材呈現】素材一：有兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高；
素材二：用18000元購買A種書架的數量比用9000元購買B種書架的數量多6個；
素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的．
【問題解決】(1)問題一：求出兩種書架的單價；(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數關系式，并求出費用最少時的購買方案；(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價元，按問題二的購買方案需花費21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元(2)；購買A種書架8個，B種書架12個(3)120
【詳解】（1）解：設B種書架的單價為x元，則A種書架的單價為元．
由題意得，解得，經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，
．答：兩種書架的單價分別為1200元，1000元．
（2）解：購買a個A種書架時，購買總費用，即，
由題意得，a應滿足：，解得．
，∴w隨著a的增大而增大，
當時，w的值最小，最小值為，
費用最少時購買A種書架8個，B種書架12個．
（3）解：由題意得，解得．
20．（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘汰“冒黑煙”較嚴重的燃油公交車．新能源公交車有型和型兩種車型，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．
(1)求購買型和型新能源公交車每輛各需多少萬元？(2)經調研，某條線路上的型和型新能源公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次．公司準備購買輛型、型兩種新能源公交車，總費用不超過萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，請設計購買方案，并求出年均載客總量的最大值．
【答案】(1)購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元；(2)方案為購買型公交車輛，型公交車輛時．線路的年均載客總量最大，最大在客量為萬人．
【詳解】（1）解：設購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元，
由題意得：，解得，
答：購買型新能源公交車每輛需萬元，購買型新能源公交車每輛需萬元；
（2）解：設購買型公交車輛，則型公交車輛，該線路的年均載客總量為萬人，
由題意得，解得：，
∵，∴，∵是整數，∴，，；
∴線路的年均載客總量為與的關系式為，
∵，∴隨的增大而減小，
∴當時，線路的年均載客總量最大，最大載客量為（萬人次）
∴（輛）
∴購買方案為購買型公交車輛，則型公交車輛，此時線路的年均載客總量最大時，且為760萬人次，
1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）已知，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：C．
2．（2024·浙江·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵，∴，∴，
∵，∴；∴D符合題意．故選：D．
3．（2024·浙江湖州·模擬預測）將不等式組中不等式①和②的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】 解不等式①得， 解不等式②得，
∴不等式組的解集為：， 數軸表示如下：．故選：B．
4．（2024·浙江·模擬預測）不等式組的解在數軸上的表示如圖所示，則另一個不等式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：解不等式得，，由數軸可得不等式組的解集為，
∴另一個不等式的解集為，，
A、，，故本選項不符合題意；
B、，，故本選項不符合題意；
C、，，故本選項符合題意；
D、，，故本選項不符合題意，故選：C．
5．（2024·浙江·二模）不等式組的整數解的個數是（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】B
【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，
故不等式組的解集是，其整數解有1，2，3，4共4個，故答案為：B．
6．（2024·浙江杭州·二模）若點在平面直角坐標系的第二象限內，則x的取值范圍在數軸上可表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵點在平面直角坐標系的第二象限內，
，解得：，故選：C．
7．（2024·河北唐山·二模）某電梯乘載的重量超過300公斤時會響起警示音，且小華、小歐的體重分別為45 公斤、70公斤.小華、小歐依序最后進入電梯，小華走進后，警示音沒響，小歐走進后，警示音響起.設兩人沒進入電梯前已乘載的重量為x 公斤，則x 滿足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由題意可知：當電梯乘載的重量超過300公斤時警示音響起，兩人沒進入電梯前，電梯內已乘載的重量為x公斤，由圖可知：小華的重量為45公斤，且進入電梯后，警示音沒有響起，
所以此時電梯乘載的重量，解得，
因為小歐的重量分別為70公斤．且進入電梯后，警示音響起，
所以此時電梯乘載的重量，解得，因此．故選：A．
8．（2024·河北·模擬預測）如圖，嘉嘉將一根筆直的鐵絲放置在數軸上，點A，B對應的數分別為，5，從點C，D兩處將鐵絲彎曲兩頭對接，圍成一個三角形，其中點C對應的數為，則點D在數軸上對應的數可能為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【詳解】解：設D對應的數為x，∵點A，B對應的數分別為，5，點C對應的數為，
∴，，，，
根據題意，，，則，解得，
∴點D在數軸上對應的數可能為2，故選：A
9．（2024·浙江·模擬預測）某校科技館位于一樓的活動室比二樓的活動室少5間，某班48人分組展開活動，若全安排在一樓，每間4人，活動室不夠，每間5人，則有些活動室坐不滿；若全安排在二樓，每間3人，活動室不夠，每間4人，則有些活動室坐不滿，該科技館位于一樓的活動室數為 ．
【答案】
【詳解】解：設一樓有間房，則二樓有間房，
根據題意有：，解得：，且，即，所以，
又因為：為正整數，因此．故答案為：．
9．（2024·浙江寧波·模擬預測）下面解不等式組的過程有沒有錯誤？若有錯誤，請指出第一次出錯在哪一步，并寫出你的解題過程．
解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步 …………………………第四步 不等式組的解是 ………………第五步
【答案】見解析
【詳解】解：第三步，由①得，，
由②得，，∴不等式組的解是．
10．（2024·浙江溫州·模擬預測）（1）解不等式組
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【詳解】解：（1）解第一個不等式得：；
解第二個不等式得：；
則不等式組的解集為：；
（2）方程可化為：，
即或，
故．
11．（2024·浙江杭州·二模）解不等式：．小州同學在數學課上給了如下的解題過程，他做對了嗎？若不對，請你幫助他寫出正確的解題過程．
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
∴
【答案】不對，正確過程見解析
【詳解】解：小州同學的解題過程是錯誤的．
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
系數化為1得：．
12．（2024·山東濰坊·模擬預測）（1）先化簡，再求值：，其中；
（2）若關于的不等式組所有整數解的和為，求整數的值．
【答案】（）；；（）或．
【詳解】（）解：原式
，
當，
∴原式；
（）解：，
解不等式得：，解不等式得：，∴，
∵所有整數解的和為，
∴不等式組的整數解為，，，或，，，，，，，
∴或，∴或，
∵為整數，∴或．
13．（2024·山東濟南·模擬預測）若關于x的不等式組所有整數解的和為14，求整數a的值．
【答案】或．
【詳解】，解不等式①得：
解不等式②得： ∴
∵所有整數解的和為14，∴不等式組的整數解為5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，，
∴或，∴或，∵a為整數，∴或．
14.（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知關于的不等式組：
(1)當時，求該不等式組的解；(2)若該不等式組有且只有三個整數解，求的最大值．
【答案】(1)(2)的最大值為
【詳解】（1）解：當時，原不等式組為，
解得，，解得，，
∴原不等式組的解為：；
（2）解：，解得，，解得，，
∵該不等式組有且只有三個整數解，即，，，∴，∴的最大值為．
15．（2024·浙江·三模）如圖，將若干條完全相同的塑料板凳疊放成一摞．如圖1，測得一條板凳的高度為；如圖2，測得五條板凳的總高度為．
(1)求六條板凳疊放成一摞的總高度．
(2)運送時，板凳總高度限制為不超過，則運送時最多可以將幾條板凳疊放成一摞？
【答案】(1)六條板凳總高度為(2)運送時最多可以將11條板凳疊放成一摞
【詳解】（1）設增加一條板凳將增高，則，解得；
六條板凳總高度：.
答：六條板凳總高度為.
（2）設運送時最多可以將y條板凳疊放成一摞，
；解得．
答：運送時最多可以將11條板凳疊放成一摞．
16．（2024·湖南·模擬預測）為了響應共青團中央的號召，某中學的團員積極參與青年大學習的答題競賽活動．競賽活動共有20道題，每道題答對得5分，答錯扣2分，不答得0分．
(1)若某位參賽團員的最終得分是83分，其中有2道題沒有作答，請問該團員答對了多少道題？
(2)若參賽團員的得分至少需要得到85分才能獲評“答題能手”，則參賽團員最少需要答對多少道題才能獲評“答題能手”？
【答案】(1)17 (2)無答錯題時，至少答對17題；有答錯題時，至少要答對18題．
【詳解】（1）解：設該團員答對了x道，則答錯了道，
根據題意，得，解得．
答：該團員答對了17道題．
（2）解：設團員至少答對了x道，答錯了y道，則不答道，
當參賽團員必須每題都得解答時，則即，
根據題意，得，整理，得，
又x是非負整數，故x的最小值為18，
答：參賽團員最少需要答對18道題才能獲評“答題能手”．
當參賽團員不是每題都得解答時，則，
根據題意，得，整理，得，
又y是非負整數，當時，，
又x是非負整數，故x的最小值為17，
即至少答對17道，答錯0道，不答3道，才能獲評“答題能手”．
當時，，又x是非負整數，故x的最小值為18，
即至少答對18道，答錯1道，不答1道，才能獲評“答題能手”．
當時，，又x是非負整數，故x的最小值為18，
即至少答對18道，答錯2道，不答0道，才能獲評“答題能手”．
當時，，又x是非負整數，故x的最小值為19，不符合題意，舍去．
故無答錯題時，至少答對17題；有答錯題時，至少要答對18題．
17．（2024·湖南婁底·模擬預測）2023年1月8日電，我國首次散船進口巴西玉米，標志著巴西玉米輸華走廊正式打通，對加強中巴農業合作、維護全球農業供應鏈安全穩定等產生積極深遠影響．
(1)今年8月，我國從巴西和美國進口玉米共100萬噸，用去227500萬元，若從巴西進口玉米2500元/噸，從美國進口玉米2000元/噸，則8月份從兩國各進口玉米多少萬噸？
(2)若我國計劃11月份需從巴西和美國進口玉米共160萬噸，從巴西進口玉米總量不少于從美國進口玉米總量，且總費用不超過380000萬元，再以2830元／噸的價格全部售出，問從巴西進口多少玉米才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【答案】(1)從巴西進口玉米55萬噸，從美國進口玉米45萬噸
(2)從巴西進口80萬噸玉米才能獲得最大利潤，最大利潤是92800萬元
【詳解】（1）解：設從巴西進口玉米x萬噸，從美國進口玉米y萬噸，
根據題意，得 ，解得，
答：從巴西進口玉米55萬噸，從美國進口玉米45萬噸；
（2）解：設從巴西進口玉米m萬噸，從美國進口玉米萬噸，
根據題意，得，解得，
設利潤為w萬元，則，
∵，∴w隨m的增大而減小，
∴當時，w有最大值，最大值為，
∴從巴西進口80萬噸玉米才能獲得最大利潤，最大利潤是92800萬元．
18．（2024·山東東營·模擬預測）5G具有高速率、低時延、高可靠性等特點，是新一代信息技術發展方向和數字經濟的重要基礎設施，5G將開啟令人振奮的全新機遇，為世界相互連接、計算和溝通方式帶來超越想象的變革，中國的5G規模領先世界．某科技公司試生產了兩批A，B兩種5G通信設備，經市場調查研究，將A，B兩種設備的售價分別定為3500元、2800元．兩批試生產的設備情況及相應的生產成本統計如下表：
A設備（單位：臺） B設備（單位：臺） 總生產成本（單位：元）
第一批 10 5 35000
第二批 15 10 57500
(1)A，B兩種設備平均每臺的成本分別為多少元？
(2)因核心科技材料供不應求，該公司計劃正式生產A，B兩種設備共100臺，若A設備數量不超過B設備數量的3倍，并且B設備數量不超過30臺，一共有多少種生產方案？哪種生產方案能獲得最大利潤？
【答案】(1)，兩種設備平均每件的成本分別為2500，2000元．
(2)生產設備75臺，設備25臺時，能獲得最大利潤．
【詳解】（1）設，兩種設備平均每臺的成本分別為，元，
由題意得，解得，
答：，兩種設備平均每件的成本分別為2500，2000元．
（2）設公司計劃正式生產設備臺，則生產設備臺，
由題意得，解得，
是整數，，71，72，73，74，75，一共有6種生產方案．
由（1）知，，兩種設備平均每件的利潤分別為1000，800元．
設備平均每件的利潤1000元大于設備平均每件的利潤800元，
當，，
即生產設備75臺，設備25臺時，能獲得最大利潤．
19．（2024·河南新鄉·模擬預測）某校要購置一批飲水機，選定了A，B兩種款式．通過調研得知：購買2臺A 款飲水機和1臺B款飲水機共需1000元，購買3臺A款飲水機和2臺B款飲水機共需1700元．(1)求A，B兩款飲水機的單價各多少元．(2)若該學校準備購買A，B兩款飲水機共30臺（每款至少購置5臺），要求總費用不超過10000元，則對購買A款飲水機在數量上有什么要求？說明理由．(3)在（2）的購買方案下，若甲、乙兩商店以同樣價格出售這兩款飲水機，同時又各自推出不同的優惠方案：在甲商店購買A款飲水機按單價的收費，B款飲水機不優惠；在乙商店購買A款飲水機不優惠，但購買B款飲水機按單價的收費．問學校選擇哪家商店購買飲水機花費較少？
【答案】(1)A款飲水機的單價元，B款飲水機的單價元
(2)購買A款飲水機最少臺，最多臺(3)學校選擇甲商店購買飲水機花費較少
【詳解】（1）解：設A款飲水機的單價元，B款飲水機的單價元，由題意得
，解得：，
答：A款飲水機的單價元，B款飲水機的單價元；
（2）解：設購買A款飲水機臺，由題意得
，解得：，
購買A款飲水機最少臺，最多臺；
（3）解：設購買A款飲水機臺，由題意得
甲商店的費用：，
乙商店的費用：，
，，，
故學校選擇甲商店購買飲水機花費較少．
20．（2024·河南·模擬預測）某體育用品商場采購員要到廠家批發購買籃球和排球共100個，籃球購買數量不少于50個，付款總額不得超過11200元，已知籃球和排球的廠家批發價分別是每個120元和每個100元，商場零售價分別是每個150元和每個120元．設該商場采購個籃球．
(1)求該商場的采購費用與的函數關系式，并求出自變量的取值范圍；(2)該商場把這100個球全部以零售價售出，求商場能獲得的最大利潤；(3)受原材料和工藝調整等因素影響，采購員實際采購時，籃球批發價上調了元/個，同時排球批發價下調了元/個．該體育用品商場決定不調整商場零售價，發現將100個球全部賣出獲得的最低利潤是2300元，求的值．
【答案】(1)；
(2)商場把這100個球全部以零售價售出，能獲得的最大利潤為2600元；
(3)將100個球全部賣出獲得的最低利潤是2300元，m的值為3元．
【詳解】（1）解：根據題意得，；
，解得：，∴；
答：采購費用y與x的函數關系式為；
（2）解：設總利潤為W，根據題意得：
∵，∴W隨x的最大的增大，∴時，元，
答：商場把這100個球全部以零售價售出，能獲得的最大利潤為2600元；
（3）解：由題意得：，
①當時，即時，W隨x的增大而增大，
又∵，∴當時，，
即：，解得：舍去，
②當時，即時，W隨x的增大而減小，
又∵，∴當時，，
即：，解得：，
綜上所述，將100個球全部賣出獲得的最低利潤是2300元，m的值為3元．
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第二章 方程與不等式
2.4 一元一次不等式(組)
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 不等式的基本性質 ☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，考查不等式（組）的解法、及相關應用為主，偶爾也有直接考查不等式的基本性質和含參問題，乘充分體現了不等式的工具性，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右。
考點2 一元一次不等式（組）的解法及解集表示 ☆☆☆
考點3 含參數的不等式（組）問題 ☆☆
考點4 不等式（組）的實際應用 ☆☆
預計2025年浙江中考還將繼續考查這些知識點，重要題型有不等式（組）的解法、不等式相關的應用題、不等式含參及不等式的基本性質，為避免丟分，學生應扎實掌握。
1
3
■考點一　不等式的基本性質 3
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示 5
■考點三　含參數的不等式（組）問題 9
■考點四　不等式（組）的實際應用 11
14
22
■考點一 不等式的基本性質
1.不等式：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做 ．能使不等式成立的未知數的值，叫做 ．
2.不等式的基本性質
理論依據 式子表示
性質1 不等式的兩邊同時加上（或減去），不等號的方向不變 若，則
性質2 不等式兩邊同時乘以（或除以），不等號的方向不變 若，，則或
性質3 ，不等號的方向改變 若，，則或
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式有無數個解，其解是一個范圍，這個范圍就是不等式的 ．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數軸表示：不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個解．
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
1.一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有 未知數，并且未知數的最高次數是 次，這樣的不等式叫一元一次不等式．
2.解一元一次不等式的一般步驟：① ；② ；③移項；④合并同類項；⑤ （注意不等號方向是否改變）．
3.一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，組成 ．
4.一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的 ，求不等式組解集的過程，叫做 ．
5.一元一次不等式組的解法：先分別求出每個不等式的 ，再利用數軸求出這些一元一次不等式的的解集的 即可，如果沒有公共部分，則該不等式組 ．
6.幾種常見的不等式組的解集：設，，是常數，關于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號取不到時在數軸上用空心圓點表示）：
不等式組 （其中） 數軸表示 解集 口訣
. 同大取大
. 同小取小
. 大小、小大中間找
. 大大、小小取不了
■考點三　含參數的不等式（組）問題
1.含參問題的解題步驟：①將參數當成“常數”解出不等式組；
②.1)“根據不等式組的解集確定參數的取值范圍”、“逆用不等式組的解集確定參數的取值范圍”類型利用不等式組解集口訣確定出參數的取值范圍；2)“根據不等式組的整數解情況確定確定參數的取值范圍”需要借助數軸與不等式組解集口訣確定出參數的取值范圍。
注：參數取值范圍是否取等于號需要將參數帶進不等式中驗證，不能憑感覺。而且需要注意的是帶進去的是參數的值，并不是的值。
■考點四　不等式（組）的實際應用
列不等式（組）解應用題的基本步驟如下：①審題；②設 ；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗并寫出答案．
注意：列不等式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數等綜合考查，涉及的題型常與方案設計型問題相聯系，如最大利潤、最優方案等。列不等式時，要抓住關鍵詞，如不大于、不超過、至多用“ ”連接，不少于、不低于、至少用“ ”連接．
■考點一　不等式的基本性質
◇典例1：（2024·浙江嘉興·一模）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）已知a，b，m是實數，且，那么有（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京西城·一模）已知， 則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2024·山西忻州·九年級期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．不等式的解集是 B．不等式的整數解有無數個
C．不等式的整數解是0 D．是不等式的一個解
◆變式訓練
1．（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為，通過燈泡的電流強度的最大限度不得超過．設選用燈泡的電阻為，下列說法正確的是（ ）
A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多
2．（2024·河南周口·二模）某天氣預報的中可根據當天氣溫提供穿衣指導，穿衣指導共分為8級，其中2級指恤衫、薄襯衫、連衣裙等，3級指襯衫、休閑服、薄牛仔衫等，4級指風衣、休閑服、薄毛衣等，5級指風衣、大衣、毛套裝等，若某日該推薦休閑服，則該日氣溫的范圍為 ．
■考點二　一元一次不等式（組）的解法及解集表示
◇典例3：（2024·浙江·三模）解不等式組 ，并把解在數軸上表示出來．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）．
2．（2024·浙江溫州·二模）小南解不等式組的過程如下：
解：由①，得， 第一步 ∴， 第二步 ∴． 第三步 由②，得， 第四步 ∴， 第五步 所以原不等式組的解為． 第六步
(1)老師批改時說小南的解題過程有錯誤，小南從第_______步開始出現錯誤．
(2)請你寫出正確的解答過程．
3．（2024·浙江·一模）解不等式組，并求出所有整數解的和．
◇典例4：（2024·浙江·模擬預測）不等式組的解在數軸上表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習）若關于x的不等式組的解表示在數軸上如圖所示．則這個不等式組的解集是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江麗水·一模）某不等式組的解集在數軸上表示為如圖所示，則該不等式組的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
◇典例5：（2024·浙江模擬預測）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：
例題：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”
有①或② 解不等式組①得x＞3，解不等式組②得x＜﹣3
故原不等式的解集為：x＞3或x＜﹣3
問題：求不等式的解集．
◆變式訓練
1．（2023·寧夏·石嘴山九年級階段練習）閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式時，是這樣思考的：根據兩數相除，同號得正，異號得負．原分式不等式可轉化為下面兩個不等式組：
①或②
解不等式組①得，解不等式組②得．
所以原不等式的解集為或．
請你參考小亮思考問題的方法，解分式不等式．
2．（2023·四川九年級期末）先閱讀理解下列例題：
例題：解一元二次不等式
由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”可得有：①或 ②
解不等式組①得；解不等式組②得
∴一元二次不等式的解集是或
根據以上閱讀材料，解答下列問題：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
■考點三　含參數的不等式（組）問題
◇典例5：（2024·云南·模擬預測）已知不等式組的解集是，則（　　）
A．0 B． C．1 D．2024
◆變式訓練
1．（2023·浙江·三模）若關于的不等式的解為，則的值可以取（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇南通·二模）若存在，使的值同時大于和的值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川雅安·三模）若關于的不等式組的解集為，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．1
◇典例6：（2024·湖北·模擬預測）若關于x的一元一次不等式組的解集是，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·山東德州·二模）若關于的不等式組有且只有4個整數解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023年四川省宜賓中考數學真題）若關于x的不等式組所有整數解的和為，則整數的值為 ．
3．（2024·浙江金華市·九年級期中）若不等式組有解，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安岳縣九年級期中）已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
■考點四　不等式（組）的實際應用
◇典例7：（2024·浙江杭州·二模）一次生活常識知識競賽一共有10道題，答對一題得5分，不答得0分，答錯扣2分，小濱有1道題沒答，競賽成績超過30分，則小濱至多答錯了 題．
◆變式訓練
1．（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．從這個月開始，小健每月存18元零花錢，小康每月存12元零花錢，設經過x個月后，小健的存款超過小康，可列不等式為 ．
2．（2024·廣東汕頭·一模）一次生活常識競賽，一共有25道題，答對一題得4分，不答得0分，答錯一題扣1分，小明有2題沒答，競賽成績要不低于83分，則小明至少要答對 道題．
◇典例8：（2024·山東濱州·模擬預測）小明帶10元錢想買一盒餅干和一袋牛奶，可是售貨員阿姨說：本來10元錢夠一盒餅干的，但再買一袋牛奶就不夠了，今天是兒童節給你的餅干打9折，兩樣東西拿好，再找你8角錢，餅干的標價可是整數哦，請你幫小明算出牛奶和餅干的標價．
◆變式訓練1．（2024·浙江臺州·二模）如圖，小明想利用“排水法估計一個玻璃球的體積”，現將大小規格相同的玻璃球逐個放入盛有水的長方體容器中，已知該容器的最大容積為，當放入第24個玻璃球時，容器中水未溢出，但放入第25個玻璃球時，容器中水有溢出，求一個玻璃球體積的取值范圍．
2．（2024·廣東清遠·模擬預測）我市鷹嘴桃果品肉質爽脆、味甜如蜜，現在將一箱鷹嘴桃分給若干名到果園參觀的游客品嘗，如果每人分4個，則剩下20個鷹嘴桃；如果每人分8個，則有一名游客分得不足8個，求這批游客的人數和這箱鷹嘴桃的個數．
1．（2024·浙江·中考真題）不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江·中考真題）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·中考真題）下列不等式中，與組成的不等式組無解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·中考真題）若關于x的不等式組的解集為，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·內蒙古·中考真題）關于x的不等式的解集是 ，這個不等式的任意一個解都比關于x的不等式的解大，則m的取值范圍是 ．
6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）不等式組的整數解有 個．
7．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實數，定義運算“※”為，例如，則關于的不等式有且只有一個正整數解時，的取值范圍是 ．
8．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關于x的不等式組恰有3個整數解，則a的取值范圍是 ．
9．（2024·重慶·中考真題）若關于的不等式組至少有2個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為 ．
10．（2024·重慶·中考真題）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程的解均為負整數，則所有滿足條件的整數的值之和是 ．
11．（2024·江蘇常州·中考真題）“綠波”，是車輛到達前方各路口時，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時刻的導航界面如圖所示，前方第一個路口顯示綠燈倒計時32s，第二個路口顯示紅燈倒計時44s，此時車輛分別距離兩個路口480m和880m．已知第一個路口紅、綠燈設定時間分別是30s、50s，第二個路口紅、綠燈設定時間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），則車速v（）的取值范圍是 ．
12．（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式的正整數解．
13．（2024·江蘇鎮江·中考真題）（1）解方程：； （2）解不等式組：
14．（2024·山東淄博·中考真題）解不等式組：并求所有整數解的和．
15．（2024·山西·中考真題）為加強校園消防安全，學校計劃購買某種型號的水基滅火器和干粉滅火器共50個．其中水基滅火器的單價為540元/個，干粉滅火器的單價為380元/個．若學校購買這兩種滅火器的總價不超過21000元，則最多可購買這種型號的水基滅火器多少個？
16．（2023·廣東深圳·中考真題）某商場在世博會上購置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價比A玩具的單價貴25元，且購置2個B玩具與1個A玩具共花費200元．
(1)求A，B玩具的單價；(2)若該商場要求購置B玩具的數量是A玩具數量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？
17．（2024·江蘇南通·中考真題）某快遞企業為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關信息如下：
信息一
A型機器人臺數 B型機器人臺數 總費用（單位：萬元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B兩種型號智能機器人的單價；(2)現該企業準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多
18．（2024·山東濟南·中考真題）近年來光伏建筑一體化廣受關注．某社區擬修建A，B兩種光伏車棚．已知修建2個A種光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個A種光伏車棚和3個B種光伏車棚共需投資21萬元．(1)求修建每個A種，B種光伏車棚分別需投資多少萬元？
(2)若修建A，B兩種光伏車棚共20個，要求修建的A種光伏車棚的數量不少于修建的B種光伏車棚數量的2倍，問修建多少個A種光伏車棚時，可使投資總額最少？最少投資總額為多少萬元？
19．（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加良好的閱讀環境，學校決定擴大圖書館面積，增加藏書數量，現需購進20個書架用于擺放書籍．
【素材呈現】素材一：有兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高；
素材二：用18000元購買A種書架的數量比用9000元購買B種書架的數量多6個；
素材三：A種書架數量不少于B種書架數量的．
【問題解決】(1)問題一：求出兩種書架的單價；(2)問題二：設購買a個A種書架，購買總費用為w元，求w與a的函數關系式，并求出費用最少時的購買方案；(3)問題三：實際購買時，商家調整了書架價格，A種書架每個降價m元，B種書架每個漲價元，按問題二的購買方案需花費21120元，求m的值．
20．（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘汰“冒黑煙”較嚴重的燃油公交車．新能源公交車有型和型兩種車型，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元；若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．
(1)求購買型和型新能源公交車每輛各需多少萬元？(2)經調研，某條線路上的型和型新能源公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次．公司準備購買輛型、型兩種新能源公交車，總費用不超過萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，請設計購買方案，并求出年均載客總量的最大值．
1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）已知，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江湖州·模擬預測）將不等式組中不等式①和②的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·模擬預測）不等式組的解在數軸上的表示如圖所示，則另一個不等式可能為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·二模）不等式組的整數解的個數是（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
6．（2024·浙江杭州·二模）若點在平面直角坐標系的第二象限內，則x的取值范圍在數軸上可表示為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·河北唐山·二模）某電梯乘載的重量超過300公斤時會響起警示音，且小華、小歐的體重分別為45 公斤、70公斤.小華、小歐依序最后進入電梯，小華走進后，警示音沒響，小歐走進后，警示音響起.設兩人沒進入電梯前已乘載的重量為x 公斤，則x 滿足（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河北·模擬預測）如圖，嘉嘉將一根筆直的鐵絲放置在數軸上，點A，B對應的數分別為，5，從點C，D兩處將鐵絲彎曲兩頭對接，圍成一個三角形，其中點C對應的數為，則點D在數軸上對應的數可能為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024·浙江·模擬預測）某校科技館位于一樓的活動室比二樓的活動室少5間，某班48人分組展開活動，若全安排在一樓，每間4人，活動室不夠，每間5人，則有些活動室坐不滿；若全安排在二樓，每間3人，活動室不夠，每間4人，則有些活動室坐不滿，該科技館位于一樓的活動室數為 ．
9．（2024·浙江寧波·模擬預測）下面解不等式組的過程有沒有錯誤？若有錯誤，請指出第一次出錯在哪一步，并寫出你的解題過程．
解：由①，得…………………第一步 ……………………………第二步由②，得…………………第三步 …………………………第四步 不等式組的解是 ………………第五步
10．（2024·浙江溫州·模擬預測）（1）解不等式組
（2）解方程：
11．（2024·浙江杭州·二模）解不等式：．小州同學在數學課上給了如下的解題過程，他做對了嗎？若不對，請你幫助他寫出正確的解題過程．
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
∴
12．（2024·山東濰坊·模擬預測）（1）先化簡，再求值：，其中；
（2）若關于的不等式組所有整數解的和為，求整數的值．
13．（2024·山東濟南·模擬預測）若關于x的不等式組所有整數解的和為14，求整數a的值．
14.（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知關于的不等式組：
(1)當時，求該不等式組的解；(2)若該不等式組有且只有三個整數解，求的最大值．
15．（2024·浙江·三模）如圖，將若干條完全相同的塑料板凳疊放成一摞．如圖1，測得一條板凳的高度為；如圖2，測得五條板凳的總高度為．(1)求六條板凳疊放成一摞的總高度．(2)運送時，板凳總高度限制為不超過，則運送時最多可以將幾條板凳疊放成一摞？
16．（2024·湖南·模擬預測）為了響應共青團中央的號召，某中學的團員積極參與青年大學習的答題競賽活動．競賽活動共有20道題，每道題答對得5分，答錯扣2分，不答得0分．
(1)若某位參賽團員的最終得分是83分，其中有2道題沒有作答，請問該團員答對了多少道題？
(2)若參賽團員的得分至少需要得到85分才能獲評“答題能手”，則參賽團員最少需要答對多少道題才能獲評“答題能手”？
17．（2024·湖南婁底·模擬預測）2023年1月8日電，我國首次散船進口巴西玉米，標志著巴西玉米輸華走廊正式打通，對加強中巴農業合作、維護全球農業供應鏈安全穩定等產生積極深遠影響．
(1)今年8月，我國從巴西和美國進口玉米共100萬噸，用去227500萬元，若從巴西進口玉米2500元/噸，從美國進口玉米2000元/噸，則8月份從兩國各進口玉米多少萬噸？
(2)若我國計劃11月份需從巴西和美國進口玉米共160萬噸，從巴西進口玉米總量不少于從美國進口玉米總量，且總費用不超過380000萬元，再以2830元／噸的價格全部售出，問從巴西進口多少玉米才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
18．（2024·山東東營·模擬預測）5G具有高速率、低時延、高可靠性等特點，是新一代信息技術發展方向和數字經濟的重要基礎設施，5G將開啟令人振奮的全新機遇，為世界相互連接、計算和溝通方式帶來超越想象的變革，中國的5G規模領先世界．某科技公司試生產了兩批A，B兩種5G通信設備，經市場調查研究，將A，B兩種設備的售價分別定為3500元、2800元．兩批試生產的設備情況及相應的生產成本統計如下表：
A設備（單位：臺） B設備（單位：臺） 總生產成本（單位：元）
第一批 10 5 35000
第二批 15 10 57500
(1)A，B兩種設備平均每臺的成本分別為多少元？
(2)因核心科技材料供不應求，該公司計劃正式生產A，B兩種設備共100臺，若A設備數量不超過B設備數量的3倍，并且B設備數量不超過30臺，一共有多少種生產方案？哪種生產方案能獲得最大利潤？
19．（2024·河南新鄉·模擬預測）某校要購置一批飲水機，選定了A，B兩種款式．通過調研得知：購買2臺A 款飲水機和1臺B款飲水機共需1000元，購買3臺A款飲水機和2臺B款飲水機共需1700元．(1)求A，B兩款飲水機的單價各多少元．(2)若該學校準備購買A，B兩款飲水機共30臺（每款至少購置5臺），要求總費用不超過10000元，則對購買A款飲水機在數量上有什么要求？說明理由．(3)在（2）的購買方案下，若甲、乙兩商店以同樣價格出售這兩款飲水機，同時又各自推出不同的優惠方案：在甲商店購買A款飲水機按單價的收費，B款飲水機不優惠；在乙商店購買A款飲水機不優惠，但購買B款飲水機按單價的收費．問學校選擇哪家商店購買飲水機花費較少？
20．（2024·河南·模擬預測）某體育用品商場采購員要到廠家批發購買籃球和排球共100個，籃球購買數量不少于50個，付款總額不得超過11200元，已知籃球和排球的廠家批發價分別是每個120元和每個100元，商場零售價分別是每個150元和每個120元．設該商場采購個籃球．
(1)求該商場的采購費用與的函數關系式，并求出自變量的取值范圍；(2)該商場把這100個球全部以零售價售出，求商場能獲得的最大利潤；(3)受原材料和工藝調整等因素影響，采購員實際采購時，籃球批發價上調了元/個，同時排球批發價下調了元/個．該體育用品商場決定不調整商場零售價，發現將100個球全部賣出獲得的最低利潤是2300元，求的值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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