資源簡介

專題18 排列組合原理與二項式定理（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點】 14
【熱考點一】二項式定理 14
【熱考點二】二項式定理系數(shù)和 16
【熱考點三】二項式系數(shù)定理最值 19
【熱考點四】排列組合基本問題 21
【熱考點五】相鄰與不相鄰 24
【熱考點六】定序問題 26
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
7、解決排列、組合綜合問題時需注意“四先四后”：
（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類加法計數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．
（3）先分組，后分配：對不同元素且較為復雜的平均分組問題，常常“先分組，再分配”．
（4）先組合，后排列：對于既要選又要排的排列組合綜合問題，常常考慮先選再排．
8、求二項展開式中的特定項的方法
求二項展開式中的特定項問題，實質(zhì)是考查通項的特點，一般需要建立方程求，再將的值代回通項求解，注意的取值范圍．
（1）第項：此時，直接代入通項；
（2）常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為建立方程；
（3）有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程．
特定項的系數(shù)問題及相關參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．
9、賦值法研究二項式的系數(shù)和問題
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如，的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可．
10、二項式系數(shù)最大項的確定方法
（1）若是偶數(shù)，則中間一項（第項）的二項式系數(shù)最大；
（2）若是奇數(shù)，則中間兩項（第項與第項）的二項式系數(shù)相等數(shù)最大．
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
5．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
6．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
7．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
8．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
10．（2024·全國甲卷·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為 ．
11．（2024·天津·高考真題）某校組織學生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為 ；已知乙同學參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為 ．
12．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 ．
13．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是 ．
14．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
15．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
16．（2022·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項是 .
17．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
18．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
19．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
20．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C D B D
1．A
【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.
【詳解】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
2．B
【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.
【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數(shù)顯然是，
根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
3．D
【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，
所以這2名學生來自不同年級的概率為.
故選：D.
4．B
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有種.
故選：B.
5．C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據(jù)分步乘法公式則共有種，
故選：C.
6．D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.
故選：D.
7．B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解
【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，
故選：B
8．D
【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，
若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
9．
【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.
【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當，則，則為：
，
，
故有16種，
當，則，同理有16種，
當，則，同理有10種，
當，則，同理有2種，
共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數(shù)為，
故所求概率為.
故答案為：
10．5
【分析】先設展開式中第項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有，進而求出即可求解.
【詳解】由題展開式通項公式為，且，
設展開式中第項系數(shù)最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.
故答案為：5.
11．
【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.
【詳解】解法一：列舉法
給這5個項目分別編號為,從五個活動中選三個的情況有：
,共10種情況，
其中甲選到有6種可能性：，
則甲參加“整地做畦”的概率為：；
乙選活動有6種可能性：，
其中再選擇有3種可能性：，
故乙參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為.
解法二：
設甲、乙選到為事件，乙選到為事件，
則甲選到的概率為；
乙選了活動，他再選擇活動的概率為
故答案為：；
12．20
【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.
【詳解】因為的展開式的通項為，
令，可得，
所以常數(shù)項為.
故答案為：20.
13． 24 112
【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.
【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，
則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，
第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，
則所有的可能結(jié)果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.
故答案為：24；112
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.
14．
【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式，
令可得，，
則項的系數(shù)為.
故答案為：60.
15．64
【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.
【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
16．15
【分析】利用二項式展開式的通項特征，即可求解.
【詳解】由題意的展開式的通項為，
令即，則，所以的展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：.
17．.
【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．
【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結(jié)果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．
故答案為：．
18．/0.3
【分析】根據(jù)古典概型計算即可
【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；
其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.
故答案為：.
解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數(shù)為
甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率
故答案為：
19．-28
【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.
【詳解】因為，
所以的展開式中含的項為，
的展開式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
20．
【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【詳解】含的項為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．
【熱考點一】二項式定理
【典例1-1】的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為.
的二項展開式的通項公式為.
而，
所以的系數(shù)為為.
故選：C.
【典例1-2】的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】的展開式中的系數(shù)為,
故選：B
【變式1-1】的展開式中，含的項的系數(shù)為（ ）
A．240 B． C．560 D．360
【答案】B
【解析】因為展開式的通項為，
當，即時，展開式中會出現(xiàn)，此時，
對于，通項為，要想得到，則需，
此時，即含的項的系數(shù)為，
故選：B.
【變式1-2】在的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項數(shù)是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】根據(jù)題意有：，
因為，所以，所以系數(shù)為整數(shù)的項為：1，4，7，故有3項
故選：C.
1．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60 B． C．120 D．
【答案】A
【解析】由題意可知：的通項為，
且的通項為，
令，解得，
所以的系數(shù)為．
故選：A
【熱考點二】二項式定理系數(shù)和
【典例2-1】（多選題）若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】對于A：令，則，故A錯誤；
對于B：令，則，故B正確；
對于C：令，則，故C正確；
對于D，由，
兩邊同時求導得，
令，則，故D錯誤.
故選：BC.
【典例2-2】（多選題）已知，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】設，原式為,
令，,A正確；
令，則，
同乘得，
，，故B錯誤
令，則，故C錯誤
兩邊同時求導得：，
再令，,故D正確.
故選：AD.
【變式2-1】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】依題意得，所以945，故A項正確；
令，得，令，得，所以，故B項錯誤；
令，得①，
又②，
由①+②可得，故C項正確；
同理，由②-①得，故D項錯誤.
故選：AC.
【變式2-2】（多選題）已知，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令，得，解得，故A正確；
所以，
令，得，
令，得，
所以，故B正確；
展開式的第項（且），
所以，故C錯誤；
令，則，
設，
則，
令，得，
又，
所以
，故D正確.
故選：ABD
1．（多選題）若，且，則實數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因為，
令可得，
即，
令可得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得或．
故選：BC.
【熱考點三】二項系定理系數(shù)最值
【典例3-1】在二項式的展開式中，系數(shù)最大的一項為 .
【答案】
【解析】由題設，二項式的展開式通項為，，
易知時對應項系數(shù)為正，時對應項系數(shù)為負，
又，，，
所以系數(shù)最大的一項為.
故答案為：.
【典例3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項是第 項．
【答案】
【解析】的展開式的通項為，
則展開式的系數(shù)為，故為偶數(shù)時系數(shù)為正數(shù)，
由組合數(shù)，可知當，即時，取到最大值，也符合為偶數(shù)，
故展開式中系數(shù)最大的項是第項.
故答案為：.
【變式3-1】在的二項展開式中，系數(shù)最小的項為 .
【答案】
【解析】根據(jù)二項展開公式可得，
，
所以系數(shù)最小的項為
故答案為：.
【變式3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項為 .
【答案】
【解析】的二項展開式的通項為,
其項的系數(shù)為，故當為偶數(shù)時，項的系數(shù)才有可能最大，
當時，項的系數(shù)分別為,
故系數(shù)最大的項為,
故答案為：
1．已知的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項為a，系數(shù)最大的項為b，則 ．
【答案】/
【解析】由題意得，通項，
當滿足時，系數(shù)最大，
，即，解得
又
解得，
所以，
故．
故答案為：
【熱考點四】排列組合基本問題
【典例4-1】在學校運動會期間，學校安排甲、乙、丙、丁四名體育教師到三個比賽場地做比賽安全指導工作，且每個場地至少安排一人，則甲不安排在C場地，乙安排在A場地的不同安排方法種數(shù)為（ ）
A． B．10 C．12 D．24
【答案】A
【解析】因為甲不安排在C場地，乙安排在A場地，
所以甲有兩種安排方案：
若甲安排在場地，此時乙也在場地，
剩下丙，丁兩人安排去場地，則有種不同的安排方法；
若甲安排在B場地，此時乙在場地，
若場地安排兩人，則有種安排方法；
若場地安排一人，從丙丁中選一人，有種安排方法，
另外一人去場地，有種安排方法，
由分步乘法計數(shù)原理可得，有種安排方法；
由分類加法計數(shù)原理可知，共有（種）不同的安排方法．
故選：A．
【典例4-2】在某次太空游行中，宇航員們負責的科學實驗要經(jīng)過5道程序，其中，兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種 B．36種 C．72種 D．108種
【答案】B
【解析】先排，兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
則在第2，3，4道程序中選兩個放，，共有種安排方法；
再排剩余的3道程序，共有種安排方法，
所以一共有種不同的順序安排方法.
故選：B.
【變式4-1】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，不同的選法種數(shù)為種，
若甲、乙兩人都被選中，則不同的選法種數(shù)為種，
因此，甲、乙至多有人被選中的不同選法有種.
故選：C.
【變式4-2】2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（ ）
A．1440種 B．1360種
C．1282種 D．1128種
【答案】D
【解析】采取對丙和甲進行捆綁的方法：
如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：種，
如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：種，
若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：種．
則不同的安排方案共有(種)．
故選：D．
1．某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學分別報名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，且甲不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】滿足條件的報名方法可分為兩類：
第一類：甲單獨參加某項比賽，
先安排甲，由于甲不能參加跳遠，故甲的安排方法有種，
再將余下人，安排到與下的三個項目，
由于每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，
故滿足條件的報名方法有,
所以甲單獨參加某項比賽的報名方法有種，
第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，
先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有種方法，
再安排余下三人，有種方法，
所以甲不單獨參加某項比賽的報名方法有種，
所以滿足條件的不同的報名方法共有種方法.
故選：C.
【熱考點五】相鄰與不相鄰
【典例5-1】我校田徑隊有十名隊員，分別記為，為完成某訓練任務，現(xiàn)將十名隊員分成甲、乙兩隊．其中將五人排成一行形成甲隊，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學排成一行形成乙隊，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（ ）
A．432 B．864 C．1728 D．2592
【答案】C
【解析】甲隊，先用捆綁法，將與捆綁有種，將與看作一個整體，再用除序法得種，利用計數(shù)原理可知，一共為種；
乙隊，利用插空法得種；
按照計數(shù)原理可知，一共種.
故選：C
【典例5-2】春節(jié)是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
【答案】D
【解析】先將“相聲”與“小品”排在一起，有種排法，再與其它4個節(jié)目排序，有種排法，
最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣，所以有種．
故選：D.
【變式5-1】小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數(shù)為（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】B
【解析】由題意知可將當成一個整體來計算，和總計有種排法，
再根據(jù)插空法可得總排法有.
故選：B
【變式5-2】北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（ ）
A．144種 B．204種 C．156種 D．240種
【答案】C
【解析】第一步，唐勝杰、江新林2人相鄰，有種排法；
第二步，分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論
第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；
第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，
故總共有種排法.
故選：C.
1．某班上有5名同學相約周末去公園拍照，這5名同學站成一排，其中甲、乙兩名同學要求站在一起，丙同學不站在正中間，不同的安排方法數(shù)有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】C
【解析】設剩下的兩人分別為丁和戊，
①甲、乙在丁、戊之間，將甲、乙捆綁成一個元素，
丁、戊兩人有種排法，甲、乙內(nèi)部有種排法，丙有4個位置可站，
則共有種；
②丁、戊在甲、乙一側(cè)時，丁、戊可選擇甲、乙左側(cè)或右側(cè)，則有種排法，
丁、戊排列有種排法， 甲、乙之間排列也有種排法， 丙有3個位置可站，
則該種情況共有種，
則總共有種不同安排方法.
故選：C.
【熱考點六】定序問題
【典例6-1】如圖，左車道有2輛汽車，右車道有3輛汽車等待合流，則合流結(jié)束時汽車通過順序共有（ ）種.
A．10 B．20 C．60 D．120
【答案】A
【解析】設左車輛汽車依次為，右車輛汽車依次為，
則通過順序的種數(shù)等價于將安排在5個順序中的某兩個位置（保持前后順序不變），
安排在其余3個位置（保持前后順序不變），，
所以，合流結(jié)束時汽車通過順序共有.
故選：A.
【典例6-2】滿足，且的有序數(shù)組共有（ ）個.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以從1到9共9個數(shù)任取4個數(shù)得一個有序數(shù)組，所有個數(shù)為．
故選：A．
【變式6-1】已知，則滿足的有序數(shù)組共有（ ）個
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】所有有序數(shù)組中,滿足的
有序數(shù)組中包含個0，另外兩個數(shù)在或中選擇，每個位置有2種選擇，由乘法計數(shù)原理得不同的種數(shù)為.
故選：B.
【變式6-2】六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學，小朋友們隨機排成一列隊伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨假設六位爸爸已經(jīng)站好了位置，不同站位方法數(shù)為，
小孩找到各自的爸爸，則其為定序問題，不同站位方法數(shù)為
所以不需要插隊的概率.
故選：B
1．三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
【答案】C
【解析】
將8只氣球編號，依次從下往上，從右往左編號為，
問題等價于8只氣球排列，
其中號，號，號必須是從下到上的順序打破氣球，
則有種.
故選：C專題18 排列組合原理與二項式定理（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點】 6
【熱考點一】二項式定理 6
【熱考點二】二項式定理系數(shù)和 7
【熱考點三】二項式系數(shù)定理最值 8
【熱考點四】排列組合基本問題 8
【熱考點五】相鄰與不相鄰 9
【熱考點六】定序問題 10
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
7、解決排列、組合綜合問題時需注意“四先四后”：
（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類加法計數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．
（3）先分組，后分配：對不同元素且較為復雜的平均分組問題，常常“先分組，再分配”．
（4）先組合，后排列：對于既要選又要排的排列組合綜合問題，常常考慮先選再排．
8、求二項展開式中的特定項的方法
求二項展開式中的特定項問題，實質(zhì)是考查通項的特點，一般需要建立方程求，再將的值代回通項求解，注意的取值范圍．
（1）第項：此時，直接代入通項；
（2）常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為建立方程；
（3）有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程．
特定項的系數(shù)問題及相關參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．
9、賦值法研究二項式的系數(shù)和問題
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如，的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可．
10、二項式系數(shù)最大項的確定方法
（1）若是偶數(shù)，則中間一項（第項）的二項式系數(shù)最大；
（2）若是奇數(shù)，則中間兩項（第項與第項）的二項式系數(shù)相等數(shù)最大．
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
5．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
6．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
7．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
8．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
10．（2024·全國甲卷·高考真題）的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為 ．
11．（2024·天津·高考真題）某校組織學生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項目.假設每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為 ；已知乙同學參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為 ．
12．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為 ．
13．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是 ．
14．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
15．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
16．（2022·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項是 .
17．（2022·全國甲卷·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
18．（2022·全國乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
19．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
20．（2022·浙江·高考真題）已知多項式，則 ， ．
【熱考點一】二項式定理
【典例1-1】的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．6 D．
【變式1-1】的展開式中，含的項的系數(shù)為（ ）
A．240 B． C．560 D．360
【變式1-2】在的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項數(shù)是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
1．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60 B． C．120 D．
【熱考點二】二項式定理系數(shù)和
【典例2-1】（多選題）若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（多選題）已知，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（多選題）已知，若，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（多選題）若，且，則實數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【熱考點三】二項系定理系數(shù)最值
【典例3-1】在二項式的展開式中，系數(shù)最大的一項為 .
【典例3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項是第 項．
【變式3-1】在的二項展開式中，系數(shù)最小的項為 .
【變式3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項為 .
1．已知的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項為a，系數(shù)最大的項為b，則 ．
【熱考點四】排列組合基本問題
【典例4-1】在學校運動會期間，學校安排甲、乙、丙、丁四名體育教師到三個比賽場地做比賽安全指導工作，且每個場地至少安排一人，則甲不安排在C場地，乙安排在A場地的不同安排方法種數(shù)為（ ）
A． B．10 C．12 D．24
【典例4-2】在某次太空游行中，宇航員們負責的科學實驗要經(jīng)過5道程序，其中，兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種 B．36種 C．72種 D．108種
【變式4-1】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式4-2】2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（ ）
A．1440種 B．1360種
C．1282種 D．1128種
1．某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學分別報名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，且甲不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【熱考點五】相鄰與不相鄰
【典例5-1】我校田徑隊有十名隊員，分別記為，為完成某訓練任務，現(xiàn)將十名隊員分成甲、乙兩隊．其中將五人排成一行形成甲隊，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學排成一行形成乙隊，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（ ）
A．432 B．864 C．1728 D．2592
【典例5-2】春節(jié)是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
【變式5-1】小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數(shù)為（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【變式5-2】北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（ ）
A．144種 B．204種 C．156種 D．240種
1．某班上有5名同學相約周末去公園拍照，這5名同學站成一排，其中甲、乙兩名同學要求站在一起，丙同學不站在正中間，不同的安排方法數(shù)有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【熱考點六】定序問題
【典例6-1】如圖，左車道有2輛汽車，右車道有3輛汽車等待合流，則合流結(jié)束時汽車通過順序共有（ ）種.
A．10 B．20 C．60 D．120
【典例6-2】滿足，且的有序數(shù)組共有（ ）個.
A． B． C． D．
【變式6-1】已知，則滿足的有序數(shù)組共有（ ）個
A． B． C． D．
【變式6-2】六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學，小朋友們隨機排成一列隊伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為（ ）
A． B． C． D．
1．三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280

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