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專題02 不等式與復數（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點】 4
【熱考點一】基本不等式 4
【熱考點二】基本不等式和積轉化 5
【熱考點三】不等式齊次化 6
【熱考點四】復數的四則運算 7
【熱考點五】復數的幾何意義 8
【熱考點六】新定義問題 9
1、幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．
特例：（同號）．
（3）其他變形：
①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）
②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）
③（溝通兩積與兩和的不等關系式）
④重要不等式串：即
調和平均值幾何平均值算數平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．
（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．
3、常見求最值模型
模型一：，當且僅當時等號成立；
模型二：，當且僅當時等號成立；
模型三：，當且僅當時等號成立；
模型四：，當且僅當時等號成立．
4、對復數幾何意義的理解及應用
（1）復數，復平面上的點及向量相互聯系，即；（2）由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．
一、單選題
1．（2024·廣東江蘇·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2024·全國甲卷·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
4．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024·北京·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·北京·高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全國·高考真題）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
8．（2023·全國·高考真題）（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．（2023·全國乙卷·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
14．（2024·天津·高考真題）是虛數單位，復數 ．
15．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
【熱考點一】基本不等式
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江寧波·一模）不等式對任意恒成立，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【典例1-2】（2024·陜西寶雞·二模）已知正數滿足，則的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．
【變式1-1】（2024·遼寧大連·模擬預測）已知函數（，且）的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為（ ）
A．13 B． C． D．8
【變式1-2】[新考法]（2024·廣西柳州·一模）設函數，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
1．（多選題）（2024·浙江·一模）已知，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
2．（多選題）若實數a，b滿足，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[新考法]設函數，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點二】基本不等式和積轉化
【典例2-1】（2024·廣西·模擬預測）已知，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2024·四川綿陽·一模）已知，且滿足，則的最小值為（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【變式2-2】（2024·山西·三模）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（多選題）設正實數，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
2．（多選題）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選題）已知正實數滿足，則（ ）
A．的最大值為2
B．的最小值為1
C．的最大值為2
D．的最小值為1
4．（多選題）（2024·海南·模擬預測）若正實數a，b滿足，則（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最小值為 D．的取值范圍為
【熱考點三】不等式齊次化
【典例4-1】[新考法]若正實數，滿足，則的最小值是 .
【典例4-2】設，則的最大值為 .
【變式4-1】已知，，，則的最小值為 .
【變式4-2】已知正實數a，b，c，，則的最大值為 ，的最小值為 ．
1．（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實數，且，則的最小值為（ ）
A．12 B． C． D．
2．[新考法]已知正數，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江·二模）已知實數，且，則取得最大值時，的值為（ ）
A． B． C． D．或
【熱考點四】復數的四則運算
【典例4-1】若復數滿足，則（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
【典例4-2】若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】[新考法]（2024·陜西咸陽·模擬預測）若復數滿足，則 （ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）復數滿足若，則=（ ）
A． B．1 C．2 D．
【變式4-3】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知復數滿足：，為純虛數，則這樣的復數共有（ ）個.
A． B． C． D．
1．（2024·湖北·模擬預測）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．3 B． C．4 D．5
2．[新考法]（2024·四川宜賓·模擬預測）已知虛數滿足，且是的共軛復數，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程（其中為虛數單位）的兩根分別為，，則有（ ）
A． B． C． D．
4．[新考法]（2024·黑龍江佳木斯·三模）復數的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
【熱考點五】復數的幾何意義
【典例5-1】（2024·吉林·模擬預測）已知復數滿足，則復數在復平面內所對應的點的軌跡為（ ）
A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
【典例5-2】（2024·湖南郴州·模擬預測）設復數，則的共軛復數在復平面內對應點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】已知復數，其中且，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【變式5-2】已知復數，復數滿足，則（ ）
A．
B．復數在復平面內所對應的點的坐標是
C．
D．復數在復平面內所對應的點為，則
【變式5-3】設的實部與虛部相等，且實部不為，的虛部是實部的倍，且在復平面內對應的點位于第三象限，則“在復平面內對應的點位于第一象限”是“在復平面內對應的點位于第二象限”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
1．（2024·山西太原·一模）復平面內復數滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．3
2．已知復數，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面原點，若（i為虛數單位），向量繞原點逆時針方向旋轉，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（ ）
A．的虛部為 B．對應的點在第二象限
C． D．
3．（多選題）（2024·廣西·模擬預測）復數（，i為虛數單位）在復平面內內對應點，則下列為真命題的是（ ）
A．若，則點Z在圓上
B．若，則點Z在橢圓上
C．若，則點Z在雙曲線上
D．若，則點Z在拋物線上
【熱考點六】新定義問題
【典例6-1】定義:正割，余割.已知為正實數，且對任意的實數均成立，則的最小值為（　　）
A．1 B．4 C．8 D．9
【典例6-2】（多選題）一般地，對于復數（i為虛數單位，a，），在平面直角坐標系中，設，經過點的終邊的對應角為，則根據三角函數的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復數的三角形式，r稱為復數z的模，稱為復數z的輻角.為使所研究的問題有唯一的結果，我們規定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復數z滿足，，為z的實部，為z的輻角的主值，則（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．
D．
【變式6-1】（多選題）（2024·山西·模擬預測）數系的擴充是數學發展的一個重要內容，1843年，數學家哈密頓發現了四元數．四元數的產生是建立在復數的基礎上的，和復數相似，四元數是實數加上三個虛數單位，和，而且它們有如下關系：．四元數一般可表示為，其中為實數．定義兩個四元數：，那么這兩個四元數之間的乘法定義如下：．關于四元數，下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，則
【變式6-2】（2024·青海西寧·二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同.若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】定義：為實數x，y中較小的數，已知，其中x，y均為正實數，則a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
1．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）定義復數的大小關系：已知復數，，，，，．若或（且）,稱．若且,稱．共余情形均為．復數u，v，w分別滿足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）在復數域內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面軸上方的復數為正，在軸下方的復數為負，在軸上的復數即為實數大小.“大小”用符號+“長度”表示，我們用來表示復數的“大小”，例如：，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面內表示一個圓
B．若，則方程無解
C．若為虛數，且，則
D．復數滿足，則的取值范圍為
3．（多選題）（2024·新疆·模擬預測）早在公元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項、幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，后人在此基礎上推導出一個基本不等式鏈，即已知正實數，有，當且僅當時等號成立．已知，且，請利用上述不等關系，判斷下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為2 B．的最大值為
C．的最大值為6 D．的最小值為專題02 不等式與復數（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點】 9
【熱考點一】基本不等式 9
【熱考點二】基本不等式和積轉化 13
【熱考點三】不等式齊次化 17
【熱考點四】復數的四則運算 21
【熱考點五】復數的幾何意義 25
【熱考點六】新定義問題 30
1、幾個重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則（當且僅當“”時取“”）．
特例：（同號）．
（3）其他變形：
①（溝通兩和與兩平方和的不等關系式）
②（溝通兩積與兩平方和的不等關系式）
③（溝通兩積與兩和的不等關系式）
④重要不等式串：即
調和平均值幾何平均值算數平均值平方平均值（注意等號成立的條件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．
（2）如果（定值），則（當且僅當“”時取“=”）．即積為定值，和有最小值”．
3、常見求最值模型
模型一：，當且僅當時等號成立；
模型二：，當且僅當時等號成立；
模型三：，當且僅當時等號成立；
模型四：，當且僅當時等號成立．
4、對復數幾何意義的理解及應用
（1）復數，復平面上的點及向量相互聯系，即；（2）由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．
一、單選題
1．（2024·廣東江蘇·高考真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2024·全國甲卷·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
4．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．2
5．（2024·北京·高考真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·北京·高考真題）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全國·高考真題）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
8．（2023·全國·高考真題）（ ）
A． B．1 C． D．
9．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．（2023·全國乙卷·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
13．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
14．（2024·天津·高考真題）是虛數單位，復數 ．
15．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D C D C C C B
題號 11 12 13
答案 A A BC
1．C
【分析】由復數四則運算法則直接運算即可求解.
【詳解】因為，所以.
故選：C.
2．C
【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.
【詳解】若，則.
故選：C.
3．A
【分析】結合共軛復數與復數的基本運算直接求解.
【詳解】由，則.
故選：A
4．D
【分析】先根據共軛復數的定義寫出，然后根據復數的乘法計算.
【詳解】依題意得，，故.
故選：D
5．C
【分析】直接根據復數乘法即可得到答案.
【詳解】由題意得.
故選：C.
6．D
【分析】根據復數的幾何意義先求出復數，然后利用共軛復數的定義計算.
【詳解】在復平面對應的點是，根據復數的幾何意義，，
由共軛復數的定義可知，.
故選：D
7．C
【分析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：C.
8．C
【分析】利用復數的四則運算求解即可.
【詳解】
故選：C.
9．C
【分析】根據復數的代數運算以及復數相等即可解出．
【詳解】因為，
所以，解得：．
故選：C.
10．B
【分析】由題意首先計算復數的值，然后利用共軛復數的定義確定其共軛復數即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：B.
11．A
【分析】根據復數的除法運算求出，再由共軛復數的概念得到，從而解出．
【詳解】因為，所以，即．
故選：A．
12．A
【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．
【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優解】（構造函數）
由，可得．
根據的形式構造函數 ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優解．
13．BC
【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設，所以，因此
，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
14．
【分析】借助復數的乘法運算法則計算即可得.
【詳解】.
故答案為：.
15．/
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.
【熱考點一】基本不等式
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江寧波·一模）不等式對任意恒成立，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，需滿足是的一個根，
即，且，所以，
，
當且僅當，即時取等號.
所以的最小值為.
故選：A.
【典例1-2】（2024·陜西寶雞·二模）已知正數滿足，則的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】由可得，因，則，
于是
因，當且僅當時等號成立，
即，時，的最小值為.
故選：D.
如果，那么，當且僅當時，等號成立．其中，叫作的算術平均數，叫作的幾何平均數．即正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
不等式可變形為：或，其中．
【變式1-1】（2024·遼寧大連·模擬預測）已知函數（，且）的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為（ ）
A．13 B． C． D．8
【答案】C
【解析】當時，，即
因為在直線上，所以
當且僅當時，取等號，即的最小值為.
故選：C
【變式1-2】[新考法]（2024·廣西柳州·一模）設函數，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
若，則對任意的，，
則當時，，不合乎題意；
若時，當時，，，此時，，不合乎題意；
若，則當時，，，此時，，不合乎題意.
所以，，此時，，則，
當時，，，此時，；
當時，，，此時，.
所以，對任意的，，合乎題意，
由基本不等式可得，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.
故選：D.
1．（多選題）（2024·浙江·一模）已知，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【解析】當且僅當時取等號，B選項錯誤；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項正確；
∵，∴，∴，D選項正確.
故選：ACD.
2．（多選題）若實數a，b滿足，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因為,當且僅當時等號成立，所以，A正確；
因為，所以，所以，B錯誤；
因為，當且僅當時等號成立，所以，C錯誤；
由整理，得，當且僅當時等號成立，
所以，D正確．
故選：AD．
3．[新考法]設函數，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定義域為，
令，得，
①當時，滿足題意，；
②當時，，由，得，
要使任意，恒成立，則，
所以；
③當時，，由，得，
要使任意，恒成立，則，
所以；
綜上，，即.
又，，
當且僅當時，取最小值.
所以的最小值為.
故選：A.
【熱考點二】基本不等式和積轉化
【典例2-1】（2024·廣西·模擬預測）已知，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，則，所以．
又，
即，即，解得，
所以，當且僅當，即時，等號成立，
即的取值范圍為.
故選：D．
【典例2-2】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
所以 ，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最大值為.
故選：A.
已知式 目標式 方法選取
和式 積式 基本不等式
積式 和式 基本不等式
和式 和式 柯西不等式
積式 積式 柯西不等式
【變式2-1】（2024·四川綿陽·一模）已知，且滿足，則的最小值為（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【答案】D
【解析】，
，
，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為.
故選：D
【變式2-2】（2024·山西·三模）已知正實數x，y滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為正實數x，y滿足，則，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：A.
【變式2-3】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對于A，，即，當且僅當時等號成立，
所以，故A錯誤；
對于B，由，得，
即，則，當且僅當時等號成立，故B正確；
對于C，，
當且僅當時等號成立，故C正確；
對于D，，
又，所以，當且僅當時等號成立，故D正確．
故選：BCD.
1．（多選題）設正實數，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ACD
【解析】對于A,,則,計算可得,當且僅當時，取得最大值為.故A正確；
對于B,，當且僅當,即,有最小值4，故B錯誤；
對于C,，解得,當且僅當,有最大值為，故C正確；
對于D，由于，則，當且僅當,有最小值為，故D正確.
故選：ACD.
2．（多選題）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對于A，，即，當且僅當，即時等號成立，故A錯誤；
對于B，，
當且僅當，即時等號成立，故B正確；
對于C，，
當且僅當，即時等號成立，故C正確；
對于D，因為，所以，
所以
，
當且僅當，即時等號成立，故D正確；
故選：BCD．
3．（多選題）已知正實數滿足，則（ ）
A．的最大值為2
B．的最小值為1
C．的最大值為2
D．的最小值為1
【答案】AC
【解析】由，可得，令，，所以，，
對于A，則，當時，取最大值為2，故A正確
對于B，
當時，的最大值為1，故B錯誤；
對于C、D，由B可得，由，則，故C正確，D錯誤.
故選：AC
4．（多選題）（2024·海南·模擬預測）若正實數a，b滿足，則（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最小值為 D．的取值范圍為
【答案】BC
【解析】正實數a，b滿足，，
對于A，，當且僅當時取等號，A錯誤；
對于B，，當且僅當時取等號，B正確；
對于C，，當且僅當時取等號，C正確；
對于D，，D錯誤.
故選：BC
【熱考點三】不等式齊次化
【典例4-1】[新考法]若正實數，滿足，則的最小值是 .
【答案】4
【解析】設，則，即，
若，則，而，僅當時等號成立，
所以，顯然與矛盾，所以，
由上，由，即，則，
所以
，當且僅當時等號成立，
所以，，即，時，目標式最小值為4.
故答案為：4
【典例4-2】設，則的最大值為 .
【答案】
【解析】，
，
令
又，
，當且僅當時等號成立,
,
在上單調遞減，
時，
的最大值為.
故答案為：
關于齊次化，就是將不等式最值轉化為方程的實根分布，從而實現不等式與函數方程的無縫切換。
【變式4-1】已知，，，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】∵，，，∴，且，
則
令 ，
原式
，
當且僅當，即取等號，故的最小值為.
故答案為：
【變式4-2】已知正實數a，b，c，，則的最大值為 ，的最小值為 ．
【答案】
【解析】因為正實數a，b，滿足，所以，
當且僅當時，等號成立；
由正實數a，b，滿足，可得，
所以
，
而，當且僅當 ，即 時取等號，
，
當且僅當時，即時取等號
故答案為：；
1．（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實數，且，則的最小值為（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解析】由，則
，
當且僅當，即，時，等號成立.
故選：C.
2．[新考法]已知正數，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，則，，
，
當且僅當且，即，時，等號成立，
所以，故有最小值.
故選：D.
3．（2024·黑龍江·二模）已知實數，且，則取得最大值時，的值為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】又，所以，
所以，
當且僅當，即，或取等號，
所以或.
故選：D
【熱考點四】復數的四則運算
【典例4-1】若復數滿足，則（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
【答案】B
【解析】因為，所以，
所以，即，
所以.
故選：B
【典例4-2】若復數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若復數滿足，
則.
故選：D.
1、復數運算
（1）
（2）
，
其中，叫z的模；是的共軛復數．
（3）．
實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．
【變式4-1】[新考法]（2024·陜西咸陽·模擬預測）若復數滿足，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
故，
因為，所以，
故選：B
【變式5-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預測）復數滿足若，則=（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】因為，，
所以，
所以.
故選：D
【變式4-3】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知復數滿足：，為純虛數，則這樣的復數共有（ ）個.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：設，則的實部為且虛部不為，
，
則，，
因為，故，即，
則有，解得或或，
當時，，則，舍去；
當時，，即，則，舍去；
當時，，則，
故，即，共有兩個.
綜上所述，這樣的復數共有兩個.
法二：設的輻角為，，
表示將復數在復平面內逆時針旋轉，
由幾何圖形的對稱性：與在復平面內應關于軸對稱，
則解得：或或或，
易知：時，，舍去，
故，故有兩個不同的復數滿足題意.
故選：B.
1．（2024·湖北·模擬預測）已知復數滿足（為虛數單位），則（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】B
【解析】由，
則，
所以.
故選：B.
2．[新考法]（2024·四川宜賓·模擬預測）已知虛數滿足，且是的共軛復數，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對A，因為，故，因為為虛數，故，故A正確；
對B，由可得，故，故B正確；
對C，當時，，此時成立，
當時，，此時成立，故C正確；
對D，，因為，，
故，故D錯誤.
故選：D
3．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知方程（其中為虛數單位）的兩根分別為，，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設方程的根為，
代入方程，,整理得，
故，則，
不妨令，，
對于A：因為，即，故A錯誤；
對于B：，故B錯誤.
對于C:,
，
因此，,故C錯誤.
對于D：,故D正確.
故選:D.
4．[新考法]（2024·黑龍江佳木斯·三模）復數的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
【答案】D
【解析】因為，
，
所以，①
因為，所以，，
所以化簡①可得，
所以虛部為，
故選：D.
【熱考點五】復數的幾何意義
【典例5-1】（2024·吉林·模擬預測）已知復數滿足，則復數在復平面內所對應的點的軌跡為（ ）
A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】C
【解析】設，
因為，
所以，
其幾何意義為任意一點到點于的距離和為，
又點和之間的距離小于，符合橢圓定義，
所以復數在復平面內所對應的點的軌跡為橢圓.
故選：C.
【典例5-2】（2024·湖南郴州·模擬預測）設復數，則的共軛復數在復平面內對應點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，
所以在復平面內對應點的坐標為.
故選：A
復數的幾何意義
（1）復數對應平面內的點；
（2）復數對應平面向量；
（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．
（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．
【變式5-1】已知復數，其中且，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】復數，其中且，
復數在復平面內對應的點，在直線上，
的幾何意義是點到點的距離，
其最小值為點到直線的距離，最小值為.
故選：D
【變式5-2】已知復數，復數滿足，則（ ）
A．
B．復數在復平面內所對應的點的坐標是
C．
D．復數在復平面內所對應的點為，則
【答案】C
【解析】因為，所以，
所以，又，A錯誤；
對應的點的坐標為，B錯誤；
由知對應的點在以對應點為圓心，2為半徑的圓上，
又，因此，C正確；
對應的點的坐標為，因此，D錯誤，
故選：C．
【變式5-3】設的實部與虛部相等，且實部不為，的虛部是實部的倍，且在復平面內對應的點位于第三象限，則“在復平面內對應的點位于第一象限”是“在復平面內對應的點位于第二象限”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】根據題意，不妨設，，
若在復平面內對應的點位于第一象限，則，
則，
所以的實部，虛部，故對應點在第二象限，
所以“在復平面內對應的點位于第一象限”可以推出“在復平面內對應的點位于第二象限”；
若在復平面內對應的點位于第二象限，由上可知，
所以且，可得，所以在復平面內對應的點位于第一象限，
所以“在復平面內對應的點位于第二象限”可以推出“在復平面內對應的點位于第一象限”；
由上可知，屬于充要條件，
故選：C.
1．（2024·山西太原·一模）復平面內復數滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【解析】設，
因為，所以，即z在復平面內對應點的軌跡為圓C：，如圖，
又，
所以表示圓C上的動點到定點的距離，
所以為，
故選：B．
2．已知復數，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面原點，若（i為虛數單位），向量繞原點逆時針方向旋轉，且模伸長為原來的2倍后與向量重合，則（ ）
A．的虛部為 B．對應的點在第二象限
C． D．
【答案】C
【解析】由可知，則逆時針旋轉后相應點為，
所以，即，其虛部為，故A錯誤；
，其對應的點在第三象限，故B錯誤；
，故C正確；
，
則，故D錯誤.
故選：C
3．（多選題）（2024·廣西·模擬預測）復數（，i為虛數單位）在復平面內內對應點，則下列為真命題的是（ ）
A．若，則點Z在圓上
B．若，則點Z在橢圓上
C．若，則點Z在雙曲線上
D．若，則點Z在拋物線上
【答案】BD
【解析】表示點與之間的距離，
表示點與之間的距離，記，，
對于A，，表示點到、距離相等，則點在線段的中垂線上，故A錯誤；
或由，整理得，所以點在，故A錯誤；
對于B，由得，這符合橢圓定義，故B正確；
對于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯誤；
對于D，若，則，整理得，點在拋物線，故D正確．
故選：BD．
【熱考點六】新定義問題
【典例6-1】定義:正割，余割.已知為正實數，且對任意的實數均成立，則的最小值為（　　）
A．1 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由已知可得，
即.
因為，所以，
則
，
當且僅當時等號成立,故，
故選：D.
【典例6-2】（多選題）一般地，對于復數（i為虛數單位，a，），在平面直角坐標系中，設，經過點的終邊的對應角為，則根據三角函數的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復數的三角形式，r稱為復數z的模，稱為復數z的輻角.為使所研究的問題有唯一的結果，我們規定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復數z滿足，，為z的實部，為z的輻角的主值，則（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因為，， 復數在復平面的對應的點為,
所以點Z在以為圓心、以r為半徑的圓上或圓內.
對于選項A，B，由復數的幾何意義可得表示點Z與的距離，
又點到點的距離為，
所以的最大值為，A正確，
的最小值為，B正確，
對于C，過點作以 為圓心，為半徑的圓的切線，設切點為，
設，則或，
所以，所以，所以C錯誤.
對于D，設，有（其中是z的輻角的主值），
由于，所以，所以D正確.
故選：ABD.
面對不等式新定義問題，首要步驟是準確理解題目中給出的新定義，把握其本質含義。接著，運用不等式的基本性質，如傳遞性、可加性、可乘性等，對不等式進行化簡。同時，注意結合新定義的特點，靈活運用數學變換和邏輯推理，將復雜不等式轉化為熟悉的形式。
復數新定義問題，需深入理解復數概念及其幾何意義，熟練運用四則運算，結合題目新定義，靈活運用復數的模、輻角、共軛等性質進行推理計算，注意復數運算的特殊性，確保解題步驟邏輯清晰、嚴謹無誤。兩類問題均需注重方法選擇和邏輯推導。
【變式6-1】（多選題）（2024·山西·模擬預測）數系的擴充是數學發展的一個重要內容，1843年，數學家哈密頓發現了四元數．四元數的產生是建立在復數的基礎上的，和復數相似，四元數是實數加上三個虛數單位，和，而且它們有如下關系：．四元數一般可表示為，其中為實數．定義兩個四元數：，那么這兩個四元數之間的乘法定義如下：．關于四元數，下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，則
【答案】AD
【解析】對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：設，由兩個四元數之間的乘法定義得，
，故B錯誤；
對于C：設，
則
當，有，
所以與不一定相等，故C錯誤；
對于D：設，
因為，
所以，解得，
所以，故D正確，
故選：AD．
【變式6-2】（2024·青海西寧·二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今天大致相同.若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，又，
所以，當且僅當，即時取等號，
故選：C
【變式6-3】定義：為實數x，y中較小的數，已知，其中x，y均為正實數，則a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】當且僅當，即時等號成立，
當，即時，，此時的最大值為1；
當，即時，，
綜上所述，的最大值為1.
故選：C
1．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）定義復數的大小關系：已知復數，，，，，．若或（且）,稱．若且,稱．共余情形均為．復數u，v，w分別滿足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】設復數，若，因為，則無解，
所以，將代入，可得，
，即，
所以，解得，所以，
又因為，
設，所以，
所以，
所以復數對應的點在以為圓心，為半徑的圓上，
所以，從而最大，故B錯誤；
若，，則，
所以當，或，
時，則，C正確；
若，此時，則，A正確；
若，此時，則，D正確；
故選：ACD.
2．（多選題）在復數域內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面軸上方的復數為正，在軸下方的復數為負，在軸上的復數即為實數大小.“大小”用符號+“長度”表示，我們用來表示復數的“大小”，例如：，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面內表示一個圓
B．若，則方程無解
C．若為虛數，且，則
D．復數滿足，則的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】A：根據已知條件表示模長為1，在復平面位于軸上方的復數，所以并不是一個圓，故A錯誤；
B：若，則方程為一個實數，所以無解，故B正確；
C：若為虛數，且，設，則，
所以，所以，故C正確；
D：設，
根據復數的新定義有，
所以，且，
所以，
所以是，
所以，故D正確；
故選：BCD.
3．（多選題）（2024·新疆·模擬預測）早在公元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項、幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，后人在此基礎上推導出一個基本不等式鏈，即已知正實數，有，當且僅當時等號成立．已知，且，請利用上述不等關系，判斷下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為2 B．的最大值為
C．的最大值為6 D．的最小值為
【答案】ABD
【解析】因為，且，
對于選項A：因為，可得，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為2，故A正確；
對于選項B：因為，可得，即
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為，故B正確；
對于選項C：因為，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為6，故C錯誤；
對于選項D：，可得，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ABD.

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