資源簡介

專題01 集合和常用邏輯用語（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點】 11
【熱考點一】集合的概念 11
【熱考點二】集合間的基本關系 15
【熱考點三】集合的運算 19
【熱考點四】充分條件與必要條件 22
【熱考點五】全稱量詞與存在量詞 27
【熱考點六】新定義題型 31
1、集合中的邏輯關系（備注：全集為）
（1）交集的運算性質．
，，，，，．
（2）并集的運算性質．
，，，，，．
（3）補集的運算性質．
，，，，．
補充性質：．
（4）結合律與分配律．
結合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的補補的并”，“并的補補的交”．
2、由個元素組成的集合的子集個數
的子集有個，非空子集有個，真子集有個，非空真子集有個．
3、容斥原理
．
4、從集合與集合之間的關系上看
設．
（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小大”．
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件．
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
4．（2024·全國甲卷·高考真題）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024·北京·高考真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2024·天津·高考真題）集合，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全國甲卷·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
12．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
14．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
15．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
16．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內部的點構成的集合．設集合，則T表示的區域的面積為（ ）
A． B． C． D．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C C B C C C B
題號 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 B C B B A D B B
1．C
【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
2．D
【分析】由集合的定義求出，結合交集與補集運算即可求解.
【詳解】因為，所以，
則，
故選：D
3．B
【分析】對于兩個命題而言，可分別取、，再結合命題及其否定的真假性相反即可得解.
【詳解】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選：B.
4．C
【分析】根據集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據交集的定義計算.
【詳解】依題意得，對于集合中的元素，滿足，
則可能的取值為，即，
于是.
故選：C
5．C
【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區域，結合圖形分析求解即可.
【詳解】對任意給定，則，且，
可知，即，
再結合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區域，
如圖陰影部分所示，其中，
可知任意兩點間距離最大值，
陰影部分面積.
故選：C.
【點睛】方法點睛：數形結合的重點是“以形助數”，在解題時要注意培養這種思想意識，做到心中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維．使用數形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．
6．B
【分析】根據向量數量積分析可知等價于，結合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“或”的必要不充分條件.
故選：B.
7．C
【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【詳解】解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
8．C
【分析】直接根據并集含義即可得到答案.
【詳解】由題意得.
故選：C.
9．C
【分析】說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.
【詳解】根據立方的性質和指數函數的性質，和都當且僅當，所以二者互為充要條件.
故選：C.
10．B
【分析】根據集合交集的概念直接求解即可.
【詳解】因為集合，，
所以，
故選：B
11．B
【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數的基本關系得解.
【詳解】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
12．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以 ．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以 ．
故選：C．
13．B
【分析】根據包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.
【詳解】因為，則有：
若，解得，此時，，不符合題意；
若，解得，此時，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
14．B
【分析】根據充分、必要性定義判斷條件的推出關系，即可得答案.
【詳解】由，則，當時不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
15．A
【分析】由三角函數的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為可得：
當時，，充分性成立；
當時，，必要性不成立；
所以當，是的充分不必要條件.
故選：A.
16．D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
17．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；
方法二：根據選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優解．
18．B
【分析】求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區域的面積.
【詳解】
設頂點在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，
且，故.
因為，故，
故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
而三角形內切圓的圓心為，半徑為，
故的軌跡圓在三角形內部，故其面積為
故選：B
【熱考點一】集合的基本概念
【典例1-1】（2024·廣東·模擬預測）若，則m可能取值的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，則，
由，得，此時，符合題意；
或，此時，符合題意；或，則，此時，符合題意，
所以m可能取值的集合為.
故選：B
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新鄉·三模）下列集合中有無數個元素的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A，因為，，則，，故A 錯誤；
對于B，因為，，則，
所以，故B錯誤；
對于C，，，所以，故C錯誤；
對于D，有無數個元素.故D正確.
故選：D.
集合是由一些確定的、不同的東西組成的全體，元素是集合的組成對象。集合具有確定性、互異性和無序性。常用列舉法、描述法、語言描述法和韋恩圖法表示集合。解題技巧包括利用數軸、檢驗元素互異性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，對于解決集合問題具有重要意義。
【變式1-1】（2024·高三·江西贛州·期中）已知、，若，則的值為（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】C
【解析】由 且，則，
∴，于是，解得或,
根據集合中元素的互異性可知應舍去，
因此，,
故．
故選：C.
【變式1-2】（2024·四川樂山·三模）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由題意知，，，
當，時，，
當，時，，
所以，
所以集合中的元素個數為4.
故選：C.
【變式1-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．無窮多個
【答案】C
【解析】由，可得，
所以集合的元素個數為個.
故選：C
1．[新考法]集合,則以下可以是的表達式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對于選項A，因為，所以，，，，不滿足集合的互異性，所以選項A錯誤，
對于選項B，因為，所以，不滿足集合的互異性，所以選項B錯誤，
對于選項C，因為，所以，，，，所以選項C正確，
對于選項D，因為，所以，，，，后面再求導，導數均為，不滿足集合的互異性，所以選項D錯誤，
故選：C.
2．已知集合的元素之和為1，則實數a 所有取值的集合為（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【解析】因為集合的元素之和為1，
所以一元二次方程有等根時，可得，即，
當方程有兩不相等實根時，，即，
綜上，實數a 所有取值的集合為.
故選：D
3．已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由題意，，
當，
當，
當，
當，
當，
當，
由集合中元素滿足互異性，所以.
故選：B
4．已知集合，若，則（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
【答案】C
【解析】，
，解得或，
當時，，
不滿足集合中元素的互異性，舍去.
當時，，
此時，滿足題意.
綜上，.
故選：C.
【熱考點二】集合間的基本關系
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，若，
則若，則滿足題意；
若，且，則，
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：
【典例2-2】（2024·寧夏·模擬預測）設集合
，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，A錯；，B錯；
，D錯，C正確．
故選：C．
（1）判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現了合情推理的思維方法．
（2）已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數滿足的關系，解決這類問題常利用數軸和韋恩圖輔助分析．
【變式2-1】（2024·江西新余·模擬預測）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故.
故選：A.
【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則集合A的真子集有（ ）個.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【解析】由題意可知：集合，共5個元素，
所以集合A的真子集有個.
故選：C.
【變式2-3】（2024·貴州遵義·模擬預測）已知集合，，
若集合且，則的子集的個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】由條件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的個數為個.
故選：C
【變式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知集合為全集的子集，，則（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴.
故選：C.
1．已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，，，
則，易知12的倍數一定是6的倍數，故A正確，C錯誤；
因，即，故D錯誤；
對于B項，任取，因，則，故B錯誤．
故選：A．
2．（多選題）已知，則的值可以為（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
【答案】AC
【解析】當時，由得，滿足，所以；
當時，由得，滿足，所以；
當時，由得，不滿足；
綜上，則或256.
故選：AC.
3．（多選題）已知集合，，集合滿足，則（ ）
A．， B．集合可以為
C．集合的個數為7 D．集合的個數為8
【答案】AC
【解析】由題意得，，又.
所以，，故A正確；
當時，不滿足，B錯誤，
集合的個數等價于集合的非空子集的個數，
所以集合的個數為，故C正確，D錯誤，
故選：AC.
4．（多選題）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根據Venn圖可知，
對于A，顯然，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，則，故C正確；
對于D，，或 ，
則，故D正確.
故選：ACD
【熱考點三】集合的運算
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，若，
則若，則滿足題意；
若，且，則，
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：
【典例2-2】（2024·寧夏·模擬預測）設集合
，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，A錯；，B錯；
，D錯，C正確．
故選：C．
（1）判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現了合情推理的思維方法．
（2）已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數滿足的關系，解決這類問題常利用數軸和韋恩圖輔助分析．
【變式2-1】（2024·江西新余·模擬預測）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故.
故選：A.
【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則集合A的真子集有（ ）個.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【解析】由題意可知：集合，共5個元素，
所以集合A的真子集有個.
故選：C.
【變式2-3】（2024·貴州遵義·模擬預測）已知集合，，
若集合且，則的子集的個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】由條件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的個數為個.
故選：C
【變式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知集合為全集的子集，，則（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴.
故選：C.
1．已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，，，
則，易知12的倍數一定是6的倍數，故A正確，C錯誤；
因，即，故D錯誤；
對于B項，任取，因，則，故B錯誤．
故選：A．
2．（多選題）已知，則的值可以為（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
【答案】AC
【解析】當時，由得，滿足，所以；
當時，由得，滿足，所以；
當時，由得，不滿足；
綜上，則或256.
故選：AC.
3．（多選題）已知集合，，集合滿足，則（ ）
A．， B．集合可以為
C．集合的個數為7 D．集合的個數為8
【答案】AC
【解析】由題意得，，又.
所以，，故A正確；
當時，不滿足，B錯誤，
集合的個數等價于集合的非空子集的個數，
所以集合的個數為，故C正確，D錯誤，
故選：AC.
4．（多選題）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根據Venn圖可知，
對于A，顯然，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，則，故C正確；
對于D，，或 ，
則，故D正確.
故選：ACD
【熱考點四】充分條件與必要條件
【典例4-1】（2024·高三·福建寧德·期中）對任意實數,“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】對于函數，根據均值不等式（當且僅當時取等號），
則.
當即時取等號，但是，所以
判斷充分性:
若，因為時，那么，所以充分性成立.
判斷必要性:
若，當時，顯然，所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
是的必要不充分條件，
，
故選：B．
抓住關鍵詞:大必小充.即小范圍推大范圍時，大范圍是必要條件，小范圍是充分條件.
【變式4-1】（2024·吉林·模擬預測）已知是的導函數，則“”是“是函數的一個極值點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】根據極值點的定義，是函數的一個極值點可得，
但是時，不一定是函數的一個極值點，
比如，，滿足，但在R上單調遞增，
即不是函數的極值點，
故“”是“是函數的一個極值點”的必要不充分條件，
故選：B
【變式4-2】（2024·吉林長春·模擬預測）設，則使成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】對于A，，故是的充要條件；
對于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要條件；
對于C，由無法得到之間的大小關系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要條件；
對于D，由不能推出，反之則成立，所以是的必要不充分條件．
故選：B．
【變式4-3】（多選題）（2024·山東臨沂·二模）已知a，，則使“”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】對于A，當時，滿足，但不滿足，
所以是的不充分條件，是的不必要條件，故A錯誤；
對于B，當時，滿足，但不滿足，
所以是的不充分條件；
當時，，
所以，所以，
所以是的充分條件，是的必要條件，故B正確；
對于C，當時，滿足，但不滿足，
所以是的不充分條件；
當時，，所以，
所以是的充分條件，是的必要條件，故C正確；
對于D，當時，滿足時，但即不滿足，
所以是的不充分條件，是的不必要條件，故D錯誤；
故選：BC.
【變式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的所有取值組成的集合是 .
【答案】
【解析】依題意，，，顯然，
由“”是“”的充分不必要條件，得，
當時，，符合題意，當時，方程的根為和，
顯然，否則，不符合題意，因此，解得，此時，符合題意，
所以實數的所有取值組成的集合是.
故答案為：
1．若不等式成立的一個充分不必要條件是，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由，
因為不等式成立的一個充分不必要條件是，
所以有，等號不同時成立，，
當時，是不等式成立的充要條件，不符合題意，
所以，實數的取值范圍為.
故答案為：.
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，滿足，但推不出，即“”不是“”的充分條件；
當時，或，總有成立，即“”是“”的必要條件，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：A
3．（多選題）若，則“”成立的充分不必要條件可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由解得，，即，
對A，因為推不出，能推出，
所以是的必要不充分條件，A錯誤；
對B，因為能推出，不能推出，
所以是的充分不必要條件，B正確；
對C，因為能推出，不能推出，
所以是的充分不必要條件，C正確；
對D，因為不能推出，不能推出，
所以是的既不充分也不必要條件，D錯誤；
故選:BC.
4．已知集合，集合其中是的充分不必要條件，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為是的充分不必要條件，
所以，
因為不等式的解集為，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【熱考點五】全稱量詞與存在量詞
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為“”的否定是“”.
故選：C
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林長春·模擬預測）已知定義域為的函數不是偶函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】定義域為的函數是偶函數，
所以不是偶函數．
故選：D．
（1）含有一個量詞的命題的否定：先否定量詞(即“任意”變“存在”、“存在”變“任意”).再否定結論；
（2）清楚命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題否定的前提；
（3）注意命題的否定與否命題的區別；
（4）當的真假不易判斷時，可轉化為去判斷的真假.
【變式5-1】已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命題為假命題，
在上無解，
即與，函數圖象沒有交點，
由圖可知：或，
命題為真命題，則，解得，
綜上所述：實數a的取值范圍為.
故選：C
【變式5-2】命題“”為假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，“”為真命題，即在上恒成立，
令，，則在上恒成立，
即在上恒為增函數，則，故.
故選：A.
【變式5-3】（2024·高三·江蘇連云港·開學考試）若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】根據題意可得“”是真命題，
當，即時，命題成立；
當時，得，解得，
綜上，符合題意的實數的取值范圍是.
故答案為：.
【變式5-4】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知命題；命題，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】C
【解析】對于命題，因為，所以，所以命題為真命題，為假命題；
對于命題，當時，，，不成立，
所以命題為假命題，為真命題.
故選：C.
1．已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題意得“，”是真命題，故，
因為，所以m的取值范圍是．
故答案為：
2．若命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意可知，題“”為真命題，
當時，由可得，不符合題意，
當時，根據題意知不等式恒成立則，
解之可得.
故答案為：
3．若命題“”為真命題，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若命題“”為真命題，
則，解得，
所以a的取值范圍是.
故選：A.
4．命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
因此命題“，”的否定是，.
故選：A
【熱考點六】新定義題型
【典例6-1】（2024·廣東·模擬預測）對于非空數集，定義，將稱為“與的笛卡爾積”．記非空數集的元素個數為，若是兩個非空數集，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】設，，
則 ，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值是.
故選：B
【典例6-2】（2024·高三上海模擬）已知是等差數列，，存在正整數，使得，，.若集合中只含有4個元素，則t的可能取值有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】當時，，根據周期性知集合最多有3個元素，不符合；
當時，，取，此時，滿足條件；
當時，，即，即，
所以，或，（舍），
故解得，此時在單位圓上的5等分點，
取到的，，，，，不可能取到4個不同的正弦值，故不滿足；
當時，，取，此時，滿足條件；
當時，，取，此時，滿足條件；
當時，，取，此時，滿足條件；
故選：C
1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉化.
2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，要根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解.
【變式6-1】（2024·高三·四川·開學考試）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集且，那么稱子集族構成集合的 一個劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個數為（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【答案】B
【解析】依題意，，
的2劃分為，共3個，
的3劃分為，共1個，
故集合的所有劃分的個數為4.
故選：B.
【變式6-2】（2024·高三·北京海淀·開學考試）設集合． 對于集合的子集A，若任取A中兩個不同元素，有，且 中有且只有一個為，則稱A是一個“好子集”．下列結論正確的是（ ）
A．一個“好子集”中最多有個元素 B．一個“好子集”中最多有個元素
C．一個“好子集”中最多有個元素 D．一個“好子集”中最多有個元素
【答案】A
【解析】則 三者為1或0，
若 三者均為0，則此時A中只有1個元素，即，
不合要求，舍去，
若 三者中有1個0，則，有3個元素，滿足要求，
若 三者中有2個0，或沒有0，則此時不滿足，
綜上，一個“好子集”中最多有個元素.
故選：A
【變式6-3】（2024·湖南懷化·二模）給定整數，有個實數元素的集合，定義其相伴數集，如果，則稱集合為一個元規范數集．（注：表示數集中的最小數）．對于集合，則（ ）
A．是規范數集，不是規范數集 B．是規范數集，是規范數集
C．不是規范數集，是規范數集 D．不是規范數集，不是規范數集
【答案】C
【解析】集合中，，則，
即的相伴數集中的最小數不是1，因此不是規范數集；
集合，，
，
即的相伴數集中的最小數是1，因此是規范數集.
故選：C
1．稱平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為正整數的點為好整點，記為集合包含的好整點的個數．若，則正整數的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
【答案】B
【解析】一方面：由題意，，使得不等式恒成立，
注意到
，
等號成立當且僅當，即，
所以正整數應該滿足，
另一方面：當時，
我們證明：成立，
證明過程如下：
注意到，
所以，
，記，則，，
，
即成立，
綜合以上兩方面，可知正整數的最小值是1977.
故選：B.
2．（多選題）若平面點集滿足：任意點，存在，都有，則稱該點集是階聚合點集．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則是3階聚合點集
B．存在對任意正數，使不是階聚合點集
C．若，則不是階聚合點集
D．“”是“是階聚合點集”的充要條件
【答案】ACD
【解析】對于A，由可得，故是3階聚合點集，即A正確；
對于B，對任意的點集，總存在，使得是1階聚合點集，故B錯誤；
對于C，因，而，故不是階聚合點集，即C正確；
對于D，因是階聚合點集等價于，
因，可得，又因，依題意可得，反之也成立，
故“是階聚合點集”是“”的充要條件，即D正確.
故選：ACD.
3．（多選題）對任意，記，并稱為集合A，B的對稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（ ）
A．若且，則 B．若且，則
C．若且，則 D．存在，使得
【答案】AB
【解析】A選項，且，則，
故，且中元素不能出現在中，故，A正確；
B選項，且，則，
即與是相同的，所以，B正確；
C選項，因為，所以，故，C錯誤；
D選項，，
其中，，
故，
而，
故，D錯誤.
故選：AB
4．（多選題）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中．有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“．”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：
①對所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e稱為單位元；
④，，使，稱a與b互為逆元．
則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有（ ）
A．關于數的乘法構成群
B．自然數集N關于數的加法構成群
C．實數集R關于數的乘法構成群
D．關于數的加法構成群
【答案】AD
【解析】對于A選項，對所有的、，有，且滿足①乘法結合律；
②，使得，有；
③，，有，故A正確；
對于B選項，①自然數滿足加法結合律；
②，使得，有；
但是對于，，不存在，使，故B錯誤；
對于C選項，對所有的、，有，
①實數滿足加法結合律； ②，使得，有；
但對于，，不存在，使，故C錯誤；
對于D選項，對所有的、，可設，，，，，，
則，
①滿足加法結合律，即、、，有；
②，使得，有；
③，設，，，，使，故D正確．
故選：AD．專題01 集合和常用邏輯用語（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點】 5
【熱考點一】集合的概念 5
【熱考點二】集合間的基本關系 6
【熱考點三】集合的運算 7
【熱考點四】充分條件與必要條件 9
【熱考點五】全稱量詞與存在量詞 10
【熱考點六】新定義題型 11
1、集合中的邏輯關系（備注：全集為）
（1）交集的運算性質．
，，，，，．
（2）并集的運算性質．
，，，，，．
（3）補集的運算性質．
，，，，．
補充性質：．
（4）結合律與分配律．
結合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的補補的并”，“并的補補的交”．
2、由個元素組成的集合的子集個數
的子集有個，非空子集有個，真子集有個，非空真子集有個．
3、容斥原理
．
4、從集合與集合之間的關系上看
設．
（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小大”．
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件．
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
4．（2024·全國甲卷·高考真題）若集合，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2024·北京·高考真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2024·天津·高考真題）集合，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全國甲卷·高考真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
12．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
14．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
15．（2022·浙江·高考真題）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
16．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內部的點構成的集合．設集合，則T表示的區域的面積為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點一】集合的基本概念
【典例1-1】（2024·廣東·模擬預測）若，則m可能取值的集合為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新鄉·三模）下列集合中有無數個元素的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·高三·江西贛州·期中）已知、，若，則的值為（ ）
A． B．0 C． D．或
【變式1-2】（2024·四川樂山·三模）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式1-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．無窮多個
1．[新考法]集合,則以下可以是的表達式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合的元素之和為1，則實數a 所有取值的集合為（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
3．已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知集合，若，則（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
【熱考點二】集合間的基本關系
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·寧夏·模擬預測）設集合
，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2024·江西新余·模擬預測）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則集合A的真子集有（ ）個.
A．7 B．15 C．31 D．63
【變式2-3】（2024·貴州遵義·模擬預測）已知集合，，
若集合且，則的子集的個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【變式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知集合為全集的子集，，則（ ）.
A． B．
C． D．
1．已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）已知，則的值可以為（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
3．（多選題）已知集合，，集合滿足，則（ ）
A．， B．集合可以為
C．集合的個數為7 D．集合的個數為8
4．（多選題）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【熱考點三】集合的運算
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·寧夏·模擬預測）設集合
，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2024·江西新余·模擬預測）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則集合A的真子集有（ ）個.
A．7 B．15 C．31 D．63
【變式2-3】（2024·貴州遵義·模擬預測）已知集合，，
若集合且，則的子集的個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【變式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知集合為全集的子集，，則（ ）.
A． B．
C． D．
1．已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）已知，則的值可以為（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
3．（多選題）已知集合，，集合滿足，則（ ）
A．， B．集合可以為
C．集合的個數為7 D．集合的個數為8
4．（多選題）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【熱考點四】充分條件與必要條件
【典例4-1】（2024·高三·福建寧德·期中）對任意實數,“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·吉林·模擬預測）已知是的導函數，則“”是“是函數的一個極值點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-2】（2024·吉林長春·模擬預測）設，則使成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（多選題）（2024·山東臨沂·二模）已知a，，則使“”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的所有取值組成的集合是 .
1．若不等式成立的一個充分不必要條件是，則實數的取值范圍為 ．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（多選題）若，則“”成立的充分不必要條件可以為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，集合其中是的充分不必要條件，則的取值范圍是 ．
【熱考點五】全稱量詞與存在量詞
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林長春·模擬預測）已知定義域為的函數不是偶函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-1】已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】命題“”為假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·高三·江蘇連云港·開學考試）若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是 .
【變式5-4】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知命題；命題，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
1．已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是 ．
2．若命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為 .
3．若命題“”為真命題，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【熱考點六】新定義題型
【典例6-1】（2024·廣東·模擬預測）對于非空數集，定義，將稱為“與的笛卡爾積”．記非空數集的元素個數為，若是兩個非空數集，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【典例6-2】（2024·高三上海模擬）已知是等差數列，，存在正整數，使得，，.若集合中只含有4個元素，則t的可能取值有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式6-1】（2024·高三·四川·開學考試）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集且，那么稱子集族構成集合的 一個劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個數為（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【變式6-2】（2024·高三·北京海淀·開學考試）設集合． 對于集合的子集A，若任取A中兩個不同元素，有，且 中有且只有一個為，則稱A是一個“好子集”．下列結論正確的是（ ）
A．一個“好子集”中最多有個元素 B．一個“好子集”中最多有個元素
C．一個“好子集”中最多有個元素 D．一個“好子集”中最多有個元素
【變式6-3】（2024·湖南懷化·二模）給定整數，有個實數元素的集合，定義其相伴數集，如果，則稱集合為一個元規范數集．（注：表示數集中的最小數）．對于集合，則（ ）
A．是規范數集，不是規范數集 B．是規范數集，是規范數集
C．不是規范數集，是規范數集 D．不是規范數集，不是規范數集
1．稱平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為正整數的點為好整點，記為集合包含的好整點的個數．若，則正整數的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
2．（多選題）若平面點集滿足：任意點，存在，都有，則稱該點集是階聚合點集．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則是3階聚合點集
B．存在對任意正數，使不是階聚合點集
C．若，則不是階聚合點集
D．“”是“是階聚合點集”的充要條件
3．（多選題）對任意，記，并稱為集合A，B的對稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（ ）
A．若且，則 B．若且，則
C．若且，則 D．存在，使得
4．（多選題）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中．有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“．”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：
①對所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e稱為單位元；
④，，使，稱a與b互為逆元．
則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有（ ）
A．關于數的乘法構成群
B．自然數集N關于數的加法構成群
C．實數集R關于數的乘法構成群
D．關于數的加法構成群

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