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專(zhuān)題04 函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對(duì)稱(chēng)性特性（新高考專(zhuān)用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點(diǎn)】 14
【熱考點(diǎn)一】函數(shù)的單調(diào)性 14
【熱考點(diǎn)二】函數(shù)的奇偶性 16
【熱考點(diǎn)三】奇函數(shù)變形 18
【熱考點(diǎn)四】對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題 19
【熱考點(diǎn)五】對(duì)稱(chēng)中心問(wèn)題 21
【熱考點(diǎn)六】奇偶性平移問(wèn)題 23
1.函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
奇函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
2.對(duì)稱(chēng)性的四個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱(chēng).
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)；特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng).特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng).
3.函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I，如果 x1，x2∈D
當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù) 當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù)
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.
4.函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
1.有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論
在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù).
2.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反.
一、單選題
1．（2024·天津·高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
9．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
10．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸
D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心
三、填空題
11．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
12．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C D D A D AD
1．B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.
【詳解】對(duì)A，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>且，則為偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)C，設(shè)，，
，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)椋也缓銥?，
則不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
2．C
【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋诸?lèi)討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.
【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br/>令解得；令解得；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；
可知若，符合題意；
若，當(dāng)時(shí)，可知，
此時(shí)，不合題意；
綜上所述：，即，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為；
解法二：由題意可知：的定義域?yàn)椋?br/>令解得；令解得；
則當(dāng)時(shí)，，故，所以；
時(shí)，，故，所以；
故， 則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類(lèi)討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.
3．D
【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.
【詳解】解法一：令，即，可得，
令，
原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，
注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，
所以符合題意；
綜上所述：.
解法二：令，
原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>則為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知的零點(diǎn)只能為0，
即，解得，
若，則，
又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；
故選：D.
4．B
【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，
又因?yàn)椋?br/>則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；
且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.
5．C
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br/>顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.
故選：C.
6．D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，
又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
7．D
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
8．A
【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．
【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因?yàn)椋羁傻茫裕羁傻茫矗院瘮?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)椋?br/>一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.
9．D
【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以，
因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋裕?br/>代入得，即，
所以，
.
因?yàn)椋裕矗?
因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋?br/>聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)椋?
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.
10．AD
【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.
【詳解】A選項(xiàng)，，由于，
故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又，，則，
則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，
方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)
，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，
則，事實(shí)上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.
方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，
由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，
即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心
11．2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br/>所以，即，
則，故，
此時(shí)，
所以，
又定義域?yàn)椋蕿榕己瘮?shù)，
所以.
故答案為：2.
12． ； ．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性
若，則的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻茫矗诙x域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
【熱考點(diǎn)一】函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·陜西寶雞·二模）“求方程的解”有如下解題思路：設(shè)，則在上單調(diào)遞減，且，所以原方程有唯一解．類(lèi)比上述解題思路，不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式化簡(jiǎn)為：，即
令，則，則在上單調(diào)遞增，
則不等式轉(zhuǎn)化為，所以方程解集為.
故選：D．
2．已知函數(shù)，是定義在R上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，若對(duì)于任意，都有.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，是定義在R上的偶函數(shù)，且，①
，②
①②得：，
，
又對(duì)于任意，都有，即對(duì)于任意，，
令，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，
在上單調(diào)遞增，所以或，
解得或，
綜上，，
即的取值范圍為,．
故選：B
3．（2024·四川德陽(yáng)·一模）已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對(duì)任意，都有，
令，則在R上單調(diào)遞增，
其中，
當(dāng)時(shí)，，解得，
且，解得或，
故，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋裕?br/>故在上單調(diào)遞增，滿足要求，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A
【熱考點(diǎn)二】函數(shù)的奇偶性
4．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的不等式解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞減，
又，即函數(shù)是奇函數(shù)，
不等式，則，
即，解得，所以原不等式的解集為.
故選：B
5．定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得，，在上單調(diào)遞增，且，
由，得，或，
時(shí)，，或，
又，即，或，
故，解得，
時(shí)，，或，
又，即，
故，解得，或，
則不等式的解集為：，
故選：D.
6．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
由函數(shù)為偶函數(shù)，則 ，
即，解得：.
故選：D.
【熱考點(diǎn)三】奇函數(shù)變形
7．設(shè)函數(shù)，且，則 ．
【答案】
【解析】由于，
于是函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)，
而．
故答案為：
8．已知函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間有最大值及最小值m，則 .
【答案】15
【解析】
令，其定義域?yàn)椋礊槠婧瘮?shù)，即函數(shù)在區(qū)間上滿足，所以，即
故答案為：
9．已知函數(shù)，，則 .
【答案】9
【解析】令，定義域?yàn)椋?br/>且，
所以為奇函數(shù)，
所以，即，
故.
故答案為：9.
【熱考點(diǎn)四】軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
10．已知函數(shù)有五個(gè)不同的零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br/>所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
設(shè)五個(gè)零點(diǎn)分別為，且，
則，
所以,所以，
則，由，可得，則.
故選：C.
11．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在R上的函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】由，判斷的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，把a(bǔ)、b、c轉(zhuǎn)化為在 x > 1的函數(shù)值利用單調(diào)性比較大小.因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又，，，所以，，.因?yàn)椋裕之?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以，即.
故選：C.
12．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先設(shè)函數(shù)判斷函數(shù)是偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)平移關(guān)系，可判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，再將，，以及轉(zhuǎn)化在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性比較大小.令，所以是偶函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，
將圖像向右平移一個(gè)單位得到圖像，
所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，
∴.
故選：A
【熱考點(diǎn)五】對(duì)稱(chēng)中心問(wèn)題
13．已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
其對(duì)稱(chēng)中心為
，，
，
，
故選：C
14．已知函數(shù)，則
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【答案】C
【解析】先判斷出關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，由此求得所求表達(dá)式的值.，
令，，
則為奇函數(shù)，所以關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)，則有，
所以
.
故選：C
15．已知定義在上的函數(shù)滿足 ，若函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，再判斷交點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，最后利用對(duì)稱(chēng)性求和.，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
與的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
.
故選：C
16．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】依題意，，又，
所以①，而②，
聯(lián)立①②，解得：，，則．
故選：C
【熱考點(diǎn)六】奇偶性平移問(wèn)題
17．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由為奇函數(shù)，得，
故①，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
由為偶函數(shù)，得②，
則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
由①②得，
則，
故的周期為，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，得，
又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得
所以，即，
所以④，聯(lián)立③④解得
故時(shí)，，
由關(guān)于對(duì)稱(chēng)，可得.
故選：A.
18．若定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以,
又因?yàn)?所以,
即,即得,,
故,所以的周期為.
的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng),且的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng);
函數(shù)值不可知,故選項(xiàng)錯(cuò)誤
因?yàn)?令得,因?yàn)榈闹芷跒?
所以,即,故選項(xiàng)錯(cuò)誤; 故選項(xiàng)正確;
故選: .
19．（2024·高三·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．為奇函數(shù)
C．在上為減函數(shù) D．的一個(gè)周期為8
【答案】C
【解析】由題設(shè)，，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
所以，即，
則，即，
由，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
所以，即，
綜上，，則，
故，即易知的周期為8，D正確；
，A正確；
由，而為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，B正確；
由時(shí)遞增，則時(shí)遞增，顯然C錯(cuò)誤.
故選：C
20．（多選題）對(duì)于定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．
B．
C．
D．在上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】若是奇函數(shù)，即它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
把的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得的圖象，
因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，
是偶函數(shù)，即它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，的圖象向右平移一個(gè)單位得的圖象，
因此的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，從而，，B正確；
所以，即，
，所以，A錯(cuò)；
，C正確；
在上遞減，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則在上遞增，
又它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則在上遞增，
再由它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)得它在上遞減，D正確，
故選：BCD．
【熱考點(diǎn)七】抽象函數(shù)性質(zhì)
21．（多選題）（2024·四川德陽(yáng)·一模）定義在R上的函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．為奇函數(shù)
C．6是的一個(gè)周期 D．
【答案】ACD
【解析】該函數(shù)滿足且，
對(duì)于A，令，可得，解得，故A正確；
對(duì)于B，令，，所以，所以為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，，
可得，令，可得，
將兩式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一個(gè)周期，故C正確；
對(duì)于D，令，，，所以，
所以，
因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋睿裕?br/>令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
由于6是的一個(gè)周期，
所以，
所以，故D正確；
故選：ACD
22．（多選題）（2024·高三·安徽·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，，且，函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．
【答案】ABD
【解析】定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，，
對(duì)于A，令，則，，A正確；
對(duì)于C，令，則，
于是，
則，因此不是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由函數(shù)為偶函數(shù)，得，即，
于是，即，，
因此函數(shù)的周期為，，B正確；
對(duì)于D，由，得，
因此，D正確.
故選：ABD
23．（多選題）（2024·高三·山西太原·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)于任意x，，都有，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D．
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，令，可得，
由，則，解得，
令，可得，故A正確；
對(duì)于B，由題意可知在函數(shù)的圖象上，而點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
易知不在函數(shù)的圖象上，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上時(shí)，函數(shù)的圖象一定關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
此時(shí)由，可得，
令，可得，則，故C正確；
對(duì)于D，令，可得，則，
當(dāng)時(shí)，令，可得，
則，所以；
當(dāng)時(shí)，令，可得，
則，，
所以，
綜上所述，，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
24．（多選題）已知定義在上的函數(shù)不恒等于，且對(duì)任意的，有，則（ ）
A．
B．是偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
D．是的一個(gè)周期
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A,根據(jù)題意令，則由可得，解得，即A正確；
對(duì)于B,令可得，所以，
即可得對(duì)任意的滿足，即是偶函數(shù)，所以B正確；
對(duì)于C,令，則由可得，
即滿足，因此可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，即C正確；
對(duì)于D,由于是偶函數(shù)，所以滿足，即，
可得，也即，所以是的一個(gè)周期，即D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【熱考點(diǎn)八】對(duì)稱(chēng)性與周期性
25．已知函數(shù)滿足，，且，則的值為（ ）
A．96 B． C．102 D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，
又由函數(shù)滿足，即
所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
所以函數(shù)既關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，
所以，且函數(shù)的周期，
又因?yàn)椋裕?br/>可得，
所以
.
故答案為：.
26．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）定義在上函數(shù)滿足，.當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)能使成立的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋躁P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以；
又，所以，所以有，故關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期為4.
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，所以.
作出函數(shù)在上的圖象如下圖
當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以.
根據(jù)圖象可得時(shí)，的解集為.
又因?yàn)榈闹芷跒?，
所以在實(shí)數(shù)集上的解集為.
令，可得區(qū)間為；令，可得區(qū)間為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，可得區(qū)間為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，可得區(qū)間為；令，可得區(qū)間為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，可得區(qū)間為，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
27．已知函數(shù)，的定義域均為，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．為奇函數(shù)
C．
D．
【答案】D
【解析】由是奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以，，所以.
因?yàn)椋裕?
因?yàn)椋裕?
則，所以，所以為偶函數(shù)，則也為偶函數(shù)，故，項(xiàng)錯(cuò)誤.
由，得，所以，故項(xiàng)錯(cuò)誤.
因?yàn)椋裕院瘮?shù)的周期為.
由，得，所以.
因?yàn)椋裕?br/>所以，
因?yàn)椋裕收_.
故選：.
28．（2024·廣東河源·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由為奇函數(shù)，知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，
由，得．
由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
所以，，
綜上，，
由上，，得，
所以，則4為的一個(gè)周期，
所以.
故選：C專(zhuān)題04 函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性及對(duì)稱(chēng)性特性（新高考專(zhuān)用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點(diǎn)】 5
【熱考點(diǎn)一】函數(shù)的單調(diào)性 5
【熱考點(diǎn)二】函數(shù)的奇偶性 6
【熱考點(diǎn)三】奇函數(shù)變形 6
【熱考點(diǎn)四】對(duì)稱(chēng)軸問(wèn)題 6
【熱考點(diǎn)五】對(duì)稱(chēng)中心問(wèn)題 7
【熱考點(diǎn)六】奇偶性平移問(wèn)題 8
1.函數(shù)的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點(diǎn)
偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
奇函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0).
2.對(duì)稱(chēng)性的四個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱(chēng).
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)；特別地，當(dāng)a＝b時(shí)，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng).特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時(shí)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng).
3.函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)函數(shù)的定義
增函數(shù) 減函數(shù)
定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I，如果 x1，x2∈D
當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù) 當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù)
圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.
4.函數(shù)的最值
前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足
條件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
結(jié)論 M為最大值 M為最小值
1.有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論
在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；增函數(shù)－減函數(shù)＝增函數(shù)；減函數(shù)－增函數(shù)＝減函數(shù).
2.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反.
一、單選題
1．（2024·天津·高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
9．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
10．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸
D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心
三、填空題
11．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
12．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
【熱考點(diǎn)一】函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·陜西寶雞·二模）“求方程的解”有如下解題思路：設(shè)，則在上單調(diào)遞減，且，所以原方程有唯一解．類(lèi)比上述解題思路，不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函數(shù)，是定義在R上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，若對(duì)于任意，都有.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川德陽(yáng)·一模）已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【熱考點(diǎn)二】函數(shù)的奇偶性
4．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的不等式解集為（ ）
A． B．
C． D．
5．定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為：（ ）.
A． B． C． D．
【熱考點(diǎn)三】奇函數(shù)變形
7．設(shè)函數(shù)，且，則 ．
8．已知函數(shù)，若存在正實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間有最大值及最小值m，則 .
【熱考點(diǎn)四】軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題
10．已知函數(shù)有五個(gè)不同的零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在R上的函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．c>b>a
12．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系（ ）
A．
B．
C．
D．
【熱考點(diǎn)五】對(duì)稱(chēng)中心問(wèn)題
13．已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，則（　　）
A． B． C． D．
14．已知函數(shù)，則
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
15．已知定義在上的函數(shù)滿足 ，若函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A．0 B． C． D．
【熱考點(diǎn)六】奇偶性平移問(wèn)題
17．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ）
A． B．
C． D．
18．若定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·高三·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．為奇函數(shù)
C．在上為減函數(shù) D．的一個(gè)周期為8
20．（多選題）對(duì)于定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．
B．
C．
D．在上單調(diào)遞減
【熱考點(diǎn)七】抽象函數(shù)性質(zhì)
21．（多選題）（2024·四川德陽(yáng)·一模）定義在R上的函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．為奇函數(shù)
C．6是的一個(gè)周期 D．
22．（多選題）（2024·高三·安徽·期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，，且，函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A． B．
C．為偶函數(shù) D．
23．（多選題）（2024·高三·山西太原·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)于任意x，，都有，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D．
24．（多選題）已知定義在上的函數(shù)不恒等于，且對(duì)任意的，有，則（ ）
A．
B．是偶函數(shù)
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
D．是的一個(gè)周期
【熱考點(diǎn)八】對(duì)稱(chēng)性與周期性
25．已知函數(shù)滿足，，且，則的值為（ ）
A．96 B． C．102 D．
26．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）定義在上函數(shù)滿足，.當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)能使成立的為（ ）
A． B． C． D．
27．已知函數(shù)，的定義域均為，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為奇函數(shù)
B．為奇函數(shù)
C．
D．
28．（2024·廣東河源·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2

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