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專題05 函數類型應用（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點】 4
【熱考點一】二次函數與冪函數 4
【熱考點二】分段函數模型 7
【熱考點三】對勾函數模型 9
【熱考點四】指數函數模型 11
【熱考點五】對數函數模型 14
【熱考點六】函數模型綜合 16
1、幾種常見的函數模型：
函數模型 函數解析式
一次函數模型 ，為常數且
反比例函數模型 （為常數）
二次函數模型 ，，為常數且
指數函數模型 ，，為常數，，，
對數函數模型 ，，為常數，，，
冪函數模型 ，為常數，
2、解函數應用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
3、解答函數應用題應注意的問題
首先，要認真閱讀理解材料．應用題所用的數學語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長，立意有創新脫俗之感．閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領悟其中的數學本質，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關系、數量關系，確立解體思路和下一步的努力方向，對于有些數量關系較復雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．
其次，建立函數關系．根據前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關系符號”表達出來，建立函數關系．
其中，認真閱讀理解材料是建立函數模型的關鍵．在閱讀這一過程中應像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因為一般的應用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數量關系的語言來敘述，而我們解決問題所關心的東西是數量關系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對那些刻畫數量關系、位置關系、對應關系等與數學有關的問題的部分，則應“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率．
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數 是河流水質的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數沒有變化，生物個體總數由變為，生物豐富度指數由提高到，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（ ）
A．當，時，二氧化碳處于液態
B．當，時，二氧化碳處于氣態
C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
3．（2024·北京·高考真題）已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
【熱考點一】二次函數與冪函數
【典例1-1】紅星幼兒園要建一個長方形露天活動區，活動區的一面利用房屋邊墻（墻長），其它三面用某種環保材料圍建，但要開一扇寬的進出口（不需材料），共用該種環保材料，則可圍成該活動區的最大面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】某廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得利潤元，要使生產100千克該產品獲得的利潤最大，該廠應選取的生產速度是（ ）
A．2千克/小時 B．3千克/小時
C．4千克/小時 D．6千克/小時
【變式1-1】[新考法]（2024·河南新鄉·三模）下列集合中有無數個元素的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】在國家大力推廣新能源汽車的背景下，各大車企紛紛加大對新能源汽車的研發投入，某車企研發部有100名研發人員，原年人均投入40萬元，現準備將這100名研發人員分成兩部分：燃油車研發部和新能源車研發部，其中燃油車研發部有x名研究人員，調整后新能源車研發部的年人均投入比原來增加，而燃油車研發部的年人均投入調整為萬元.
(1)若要使新能源車研發部的年總投入不低于調整前原100名研發人員的年總投入，求調整后新能源車研發人員最少為多少人？
(2)若要使新能源車研發部的年總投入始終不低于燃油車研發部的年總投入，求正整數m的最大值.
1．（2024·上海崇明·一模）某公園有一塊如圖所示的區域，該場地由線段、、及曲線段圍成.經測量， ，米，曲線是以為對稱軸的拋物線的一部分，點到、的距離都是50米.現擬在該區域建設一個矩形游樂場，其中點在曲線段上，點、分別在線段、上，且該游樂場最短邊長不低于30米.設米，游樂場的面積為平方米.

(1)試建立平面直角坐標系，求曲線段的方程；
(2)求面積關于的函數解析式；
(3)試確定點的位置，使得游樂場的面積最大.
2．（2024·山東·二模）行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某路面上，某種型號汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米／時）滿足下列關系：（，是常數，）.根據多次實驗數據繪制的剎車距離（米）與汽車的車速（千米/時）的關系圖，如圖所示.
(1)求，的值；
(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求該型號汽車行駛的最大速度.
3．汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關系為，乙車的剎車距離與車速之間的關系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（ ）
A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速
C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速
【熱考點二】分段函數模型
【典例2-1】（2024·四川·二模）單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數滿足關系，其中為安全距離，為車速.當安全距離取時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
【典例2-2】（2024·山東臨沂·二模）某學校數學建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空氣層厚度對保溫效果的影響，利用熱傳導定律得到熱傳導量滿足關系式，其中玻璃的熱傳導系數焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空氣的熱傳導系數焦耳/（厘米·度），為室內外溫度差，值越小，保溫效果越好，現有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數據如下表：
型號 每層玻璃厚度（單位：厘米） 玻璃間夾空氣層厚度（單位：厘米）
型 0.4 3
型 0.3 4
型 0.5 3
型 0.4 4
則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是（ ）
A．型 B．型 C．型 D．型
【變式2-1】（2024·河南·一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅 全面建成小康社會的歷史任務，實現第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業具有重大現實意義和深遠歷史意義的三件大事之一.某企業積極響應國家的號召，對某經濟欠發達地區實施幫扶，投資生產A產品，經過市場調研，生產A產品的固定成本為200萬元，每生產萬件，需可變成本萬元，當產量不足50萬件時，；當產量不小于50萬件時，.每件A產品的售價為100元，通過市場分析，生產的A產品可以全部銷售完，則生產該產品能獲得的最大利潤為 萬元.
【變式2-2】（2024·吉林·模擬預測）師大附中考入北大的學生李聰畢業后幫助某地打造“生態果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹，增加產量，提高收入，調研過程中發現：此珍稀水果樹的單株產量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿足如下關系：，已知這種水果的市場售價為10元/千克，且供不應求.水果樹單株獲得的利潤為（單位：元）.
(1)求的函數關系式；
(2)當投入成本為多少時，該水果樹單株獲得的利潤最大 最大利潤是多少
1．根據疫情防控要求，學校教室內每日需要進行噴灑藥物消毒．若從噴灑藥物開始，教室內空氣中的藥物濃度（毫克/立方米）與時間（分鐘）的關系為：，根據相關部門規定該藥物濃度達到不超過毫克/立方米時，學生可以進入教室，則從開始消毒至少 分鐘后，學生可進教室正常學習；研究表明當空氣中該藥物濃度超過毫克/立方米持續8分鐘以上時，才能起到消毒效果，則本次消毒 效果（填：有或沒有）.
2．（2024·北京西城·一模）調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數）.月底積分會按照元/分進行自動兌換.
①當時，若某家庭某月產生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換 元；
②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為 .
3．（2024·重慶·模擬預測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關系是：當時，；當時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經過 才可駕車.
【熱考點三】對勾函數模型
【典例3-1】（2024·高三·湖南衡陽·期中）近期隨著某種國產中高端品牌手機的上市，我國的芯片技術迎來了重大突破．某企業原有1000名技術人員，年人均投入a萬元（），現為加強技術研發，該企業把原有技術人員分成技術人員和研發人員，其中技術人員工名（且），調整后研發人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入調整為萬元．
(1)若要使調整后研發人員的年總投入不低于調整前1000名技術人員的年總投入，則調整后的研發人員的人數最少為多少？
(2)為了激發研發人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業決定在投入方面要同時滿足以下兩個條件：
①研發人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入；
②技術人員的年人均投入始終不減少．請問是否存在這樣的實數m，滿足以上兩個條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．
【典例3-2】（2024·高三·福建福州·期末）某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.
(1)據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和銷售策略調整，并提高定價到x元.公司擬投入萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.
【變式3-1】（2024·江蘇南通·二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環境消毒，已知在一定范圍內，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時間（單位：小時）變化的關系如下：當時，；當時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．
(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？
(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數據：取1.4）
【變式3-2】（2024·上海浦東新·二模）某研究所開發了一種抗病毒新藥，用小白鼠進行抗病毒實驗．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時間（小時）變化的函數關系式近似為．當每毫升血液含藥量不低于4微克時，該藥能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次實驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？
1．（2024·江西南昌·二模）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是 萬元.
2．（2024·高三·山東日照·期中）某鄉鎮為了打造“網紅”城鎮發展經濟，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”.經調研發現：某珍惜水果樹的單株產量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為（單位：元）
(1)寫單株利潤（元）關于施用肥料x（千克）的關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大 最大利潤是多少
【熱考點四】指數函數模型
【典例4-1】（2024·湖北·一模）高三教學樓門口張貼著“努力的力量”的宣傳欄，勉勵著同學們專心學習，每天進步一點點，時間會給我們帶來驚喜.如果每天的進步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“進步”是“落后”的230萬倍，現張三同學每天進步，李四同學每天落后，假設開始兩人相當，則大約（ ）天后，張三超過李四的100倍（參考數據：）
A．7 B．17 C．27 D．37
【典例4-2】（2024·四川綿陽·一模）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關系為（e是自然對數的底數，，k為正的常數）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的時間約為（ ）（參考數據：）
A．33h B．35h C．37h D．39h
【變式4-1】（2024·廣東湛江·一模）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關研究在室溫下泡制好的茶水要等多久飲用，可以產生符合個人喜好的最佳口感，這是很有意義的事情.經研究：把茶水放在空氣中冷卻，如果茶水開始的溫度是，室溫是，那么后茶水的溫度單位：，可由公式求得，其中是常數，為了求出這個的值，某數學建模興趣小組在室溫下進行了數學實驗，先用的水泡制成的茶水，利用溫度傳感器，測量并記錄從開始每一分鐘茶水的溫度，多次實驗后搜集整理到了如下的數據：
(1)請你利用表中的一組數據，求的值，并求出此時的解析式計算結果四舍五入精確到；
(2)在室溫環境下，王大爺用的水泡制成的茶水，想等到茶水溫度降至時再飲用，根據（1）的結果，王大爺要等待多長時間計算結果四舍五入精確到分鐘．
參考數據：，，是自然對數的底數，
【變式4-2】（2024·貴州六盤水·模擬預測）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內外.經驗表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經過時間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數.該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應溫度所需時間如下表所示：
從降至所需時間 3.4分鐘
從降至所需時間 5.0分鐘
(1)從上表中選取一組數據求出k的值（精確到0.01），并根據上述冷卻模型寫出冷卻時間t關于冷卻后水溫的函數解析式；
(2)在（1）的條件下，現用200mL水在的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多少分鐘？（精確到0.1分鐘）
（參考數據：，，，）
1．（2024·福建福州·模擬預測）大氣壓強（單位：）與海拔（單位：）之間的關系可以由近似描述，其中為標準大氣壓強，為常數.已知海拔為兩地的大氣壓強分別為.若測得某地的大氣壓強為80，則該地的海拔約為（ ）（參考數據：）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林長春·模擬預測）某制藥廠臨床試驗一批新藥的療效（-因子是主要成分），根據國家規定：服用新藥后100mL血液中-因子含量達到認定為有效Ⅰ級，80mg及以上認定為有效Ⅱ級，20mg以下認定為無效．經過大量試驗得知，服用該藥后一開始血液中-因子的濃度呈線性增長，當其上升到時，血液中-因子的濃度將會以每小時的速度減少（函數模型如圖）．

(1)請寫出服用該藥后血液中-因子濃度（單位：）隨時間（單位：小時）變化的關系式；
(2)服用該藥后，至少要經過幾個小時血液中-因子才能降至無效？（結果取整數）．
（參考數據：）
3．（2024·全國·模擬預測）在某生態系統中，有甲、乙兩個種群，兩種群之間為競爭關系．設t時刻甲、乙種群的數量分別為，（起始時刻為）．由數學家Lotka和Volterra提出的模型是函數，滿足方程，，其中a，b，c，d均為非負實數．
(1)下圖為沒有乙種群時，一段時間內甲種群數量與時間的關系折線圖．為預測甲種群的數量變化趨勢，研究人員提出了兩種可能的數學模型：①；②，其中m，n均為大于1的正數．根據折線圖判斷，應選用哪種模型進行預測，并說明理由．
(2)設，．
①函數的單調性；
②根據①中的結論說明：在絕大多數情況下，經過充分長的時間后，或者甲種群滅絕，或者乙種群滅絕．
注：在題設條件下，各種群數量均有上限值．
【熱考點五】對數函數模型
【典例5-1】（2024·江西九江·二模）已知火箭在時刻的速度為（單位：千米/秒），質量為（單位：千克），滿足（為常數），、分別為火箭初始速度和質量．假設一小型火箭初始質量千克，其中包含燃料質量為500千克，初始速度為，經過秒后的速度千米/秒，此時火箭質量千克，當火箭燃料耗盡時的速度大約為（ ）（，）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例5-2】（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足. 噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB．若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
【變式5-1】（2024·青海海西·模擬預測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉移軌道，發射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質量、火箭（除燃料外）的質量的函數關系是．按照這個規律，當m時，火箭的最大速度為；當m時，火箭的最大速度為．則（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·上海崇明·一模）研究表明：在一節40分鐘的網課中，學生的注意力指數與聽課時間（單位：分鐘）之間的變化曲線如圖所示，當時，曲線是二次函數圖像的一部分；當時，曲線是函數圖像的一部分，當學生的注意力指數不高于68時，稱學生處于“欠佳聽課狀態”.
（1）求函數的解析式；
（2）在一節40分鐘的網課中，學生處于“欠佳聽課狀態”的時間有多長？（精確到1分鐘）
1．（2024·吉林·模擬預測）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.2024年3月25日，斐濟附近海域發生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿克蘇地區發生里氏3.1級地震的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
2．2021年中國載人航天工程相繼發射了第十二、第十三艘飛船，與空間站完成對接，進入太空站完成任務。在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下，可以用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭（除推進劑外）的質量，是推進劑與火箭質量的總和，稱為“總質比”，已知A型火箭的噴流相對速度為．
(1)當總質比為200時，利用給出的參考數據求A型火箭的最大速度；
(2)經過材料更新和技術改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質比變為原來的，若要使火箭的最大速度至少增加．求在材料更新和技術改進前總質比的最小整數值.
參考數據：，.
3．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數據中，以開頭的數出現的概率為，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤．根據此定律，在十進制的大量隨機數據中，以1開頭的數出現的概率大約是以9開頭的數出現的概率的（ ）倍（參考數據：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【熱考點六】函數模型綜合
【典例6-1】為了提高員工的工作積極性，某外貿公司想修訂新的“員工激勵計劃”新的計劃有以下幾點需求：①獎金隨著銷售業績的提高而提高；②銷售業績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來的計劃接軌：銷售業績在10萬元或以內時獎金為0，超過10萬元則開始計算獎金，銷售業績為20萬元時獎金為1千元.設業績為x（）萬元時獎金為f（x）千元，下面給出三個函數模型：①；②；③.其中.請選擇合適的函數模型，并計算：業績為100萬元時獎金為 千元.
【典例6-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）某地區未成年男性的身高（單位：cm）與體重平均值（單位：kg）的關系如下表1：
表1 未成年男性的身高與體重平均值
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
體重平均值/kg
直觀分析數據的變化規律，可選擇指數函數模型、二次函數模型、冪函數模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關系．為使函數擬合度更好，引入擬合函數和實際數據之間的誤差平方和、擬合優度判斷系數（如表2）．誤差平方和越小、擬合優度判斷系數越接近1，擬合度越高．
表2 擬合函數對比
函數模型 函數解析式 誤差平方和
指數函數
二次函數
冪函數
(1)問哪種模型是最優模型？并說明理由；
(2)若根據生物學知識，人體細胞是人體結構和生理功能的基本單位，是生長發育的基礎．假設身高與骨細胞數量成正比，比例系數為；體重與肌肉細胞數量成正比，比例系數為．記時刻的未成年時期骨細胞數量，其中和分別表示人體出生時骨細胞數量和增長率，記時刻的未成年時期肌肉細胞數量，其中和分別表示人體出生時肌肉細胞數量和增長率．求體重關于身高的函數模型；
(3)在（2）的條件下，若，．當剛出生的嬰兒身高為50cm時，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實際情況更符合，試說明理由．
注：，；嬰兒體重符合實際，嬰兒體重較符合實際，嬰兒體重不符合實際．
【變式6-1】（2024·高三·湖北襄陽·期中）某工廠常年生產紅木家具，根據預測可知，該產品近10年的產量平穩增長.記2014年為第1年，且前4年中，第年與年產量（單位：萬件）之間的關系如下表所示：
1 2 3 4
4.00 5.61 7.00 8.87
若近似符合以下三種函數模型之一：①，②，③．則你認為最適合的函數模型的序號為 ．
【變式6-2】某品牌汽車制造廠引進了一條小型家用汽車裝配流水線，本年度第一季度統計數據如下表
月份 1月 2月 3月
小型汽車數量（輛） 30 60 80
創造的收益（元） 4800 6000 4800
(1)根據上表數據，從下列三個函數模型中：①，②，③選取一個恰當的函數模型描述這條流水線生產的小型汽車數量（輛）與創造的收益（元）之間的關系，并寫出這個函數關系式；
(2)利用上述你選取的函數關系式計算，若這家工廠希望在一周內利用這條流水線創收6020元以上，那么它在一周內大約應生產多少輛小型汽車？
1．某公司每個倉庫的收費標準如下表（表示儲存天數，（萬元）表示天收取的總費用）．
(1)給出兩個函數且，且，要從這兩個函數中選出一個來模擬表中之間的關系，問：選擇哪一個函數較好？說明理由．
(2)該公司旗下有個這樣的倉庫．每個倉庫儲存貨物時，每天需要元的運營成本，不存貨物時僅需元的成本．一批貨物需要存放天，設該批貨物存放在個倉庫內，其余倉庫空閑．要使該公司這天的倉庫收益不少于元，則的最小值是多少？
注：收益收入成本．
2．在國家大力發展新能源汽車產業政策下，我國新能源汽車的產銷量高速增長．某地區年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛．
(1)根據以上數據，試從（，且），，（，且），三種函數模型中選擇一個最恰當的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢（不必說明理由），設從年底起經過年后新能源汽車保有量為輛，求出新能源汽車保有量關于的函數關系式；
(2)假設每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數模型增長，且傳統能源汽車保有量每年下降的百分比相同，年底該地區傳統能源汽車保有量為輛，預計到年底傳統能源汽車保有量將下降．試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統能源汽車保有量．（參考數據：，）
3．（2024·上海閔行·一模）大數據時代對于數據分析能力的要求越來越高，數據擬合是一種把現有數據通過數學方法來代入某種算式的表示方式.比如是平面直角坐標系上的一系列點，其中是不小于的正整數，用函數來擬合該組數據，盡可能使得函數圖像與點列比較接近.其中一種衡量接近程度的指標是函數的擬合誤差，擬合誤差越小越好，定義函數的擬合誤差為：.已知在平面直角坐標系上，有5個點的坐標數據如下表所示：
2.2 1 2 4.6 7
（1）若用函數來擬合上述表格中的數據，求；
（2）若用函數來擬合上述表格中的數據.
①求該函數的擬合誤差的最小值，并求出此時的函數解析式；
②指出用中的哪一個函數來擬合上述表格中的數據更好？專題05 函數類型應用（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點】 6
【熱考點一】二次函數與冪函數 6
【熱考點二】分段函數模型 13
【熱考點三】對勾函數模型 18
【熱考點四】指數函數模型 24
【熱考點五】對數函數模型 30
【熱考點六】函數模型綜合 34
1、幾種常見的函數模型：
函數模型 函數解析式
一次函數模型 ，為常數且
反比例函數模型 （為常數）
二次函數模型 ，，為常數且
指數函數模型 ，，為常數，，，
對數函數模型 ，，為常數，，，
冪函數模型 ，為常數，
2、解函數應用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數學模型；
（3）解模：求解數學模型，得出結論；
（4）還原：將數學問題還原為實際問題．
3、解答函數應用題應注意的問題
首先，要認真閱讀理解材料．應用題所用的數學語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長，立意有創新脫俗之感．閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領悟其中的數學本質，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關系、數量關系，確立解體思路和下一步的努力方向，對于有些數量關系較復雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．
其次，建立函數關系．根據前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關系符號”表達出來，建立函數關系．
其中，認真閱讀理解材料是建立函數模型的關鍵．在閱讀這一過程中應像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因為一般的應用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數量關系的語言來敘述，而我們解決問題所關心的東西是數量關系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對那些刻畫數量關系、位置關系、對應關系等與數學有關的問題的部分，則應“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率．
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數 是河流水質的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好．如果某河流治理前后的生物種類數沒有變化，生物個體總數由變為，生物豐富度指數由提高到，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（ ）
A．當，時，二氧化碳處于液態
B．當，時，二氧化碳處于氣態
C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態
3．（2024·北京·高考真題）已知，是函數的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
參考答案
題號 1 2 3 4
答案 D D B ACD
1．D
【分析】根據題意分析可得，消去即可求解.
【詳解】由題意得，則，即，所以.
故選：D.
2．D
【分析】根據與的關系圖可得正確的選項.
【詳解】當，時，，此時二氧化碳處于固態，故A錯誤.
當，時，，此時二氧化碳處于液態，故B錯誤.
當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態，對應的是非超臨界狀態，故C錯誤.
當，時，因, 故此時二氧化碳處于超臨界狀態，故D正確.
故選：D
3．B
【分析】根據指數函數和對數函數的單調性結合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.
【詳解】由題意不妨設，因為函數是增函數，所以，即，
對于選項AB：可得，即，
根據函數是增函數，所以，故B正確，A錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤，
故選：B.
4．ACD
【分析】根據題意可知，結合對數運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
【熱考點一】二次函數與冪函數
【典例1-1】紅星幼兒園要建一個長方形露天活動區，活動區的一面利用房屋邊墻（墻長），其它三面用某種環保材料圍建，但要開一扇寬的進出口（不需材料），共用該種環保材料，則可圍成該活動區的最大面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設這個活動區垂直于墻的一邊長是，則平行于墻的一邊是，
面積，
墻長，所以，
解得，
對稱軸方程，
拋物線開口向下，，函數在上遞減，
當時，最大為（），
故選：C．
【典例1-2】某廠以x千克/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得利潤元，要使生產100千克該產品獲得的利潤最大，該廠應選取的生產速度是（ ）
A．2千克/小時 B．3千克/小時
C．4千克/小時 D．6千克/小時
【答案】C
【解析】由題意得，生產100千克該產品獲得的利潤為，，
令，，則，故當時，最大，此時.
故選：C
【變式1-1】[新考法]（2024·河南新鄉·三模）下列集合中有無數個元素的是（ ）
A． B． C． D．
1、二次函數模型的應用
構建二次函數模型解決最優問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數的單調性等方法求最值，也可以根據函數圖象的對稱軸與函數定義域的對應區間之間的位置關系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．
2、冪函數模型為（，為常數，），
在計算冪函數解析式、求冪函數最值的時候，通常利用冪函數圖像、單調性、奇偶性解題．
【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，并根據題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
設，，則，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因為，所以，則要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的對稱軸為：，所以在單調遞增，在單調遞減，
所以當時，取得最大值，即最大，此時，即，
所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），
則射門時甲離上方端線的距離為：.
故選：B.
【變式1-3】在國家大力推廣新能源汽車的背景下，各大車企紛紛加大對新能源汽車的研發投入，某車企研發部有100名研發人員，原年人均投入40萬元，現準備將這100名研發人員分成兩部分：燃油車研發部和新能源車研發部，其中燃油車研發部有x名研究人員，調整后新能源車研發部的年人均投入比原來增加，而燃油車研發部的年人均投入調整為萬元.
(1)若要使新能源車研發部的年總投入不低于調整前原100名研發人員的年總投入，求調整后新能源車研發人員最少為多少人？
(2)若要使新能源車研發部的年總投入始終不低于燃油車研發部的年總投入，求正整數m的最大值.
【解析】（1）令新能源車研發部的年總投入，
則，
令，則，
∵，∴，
故調整后新能源車研發人員最少為34人
（2）令燃油車研發部的年總投入
則，
即在恒成立.
令，即在上恒成立，
，
是開口向上的二次函數，∵
①對稱軸時，即，時在上恒成立；
②當對稱軸時，即，，解得
綜上所述：
∴的最大值為：6.
1．（2024·上海崇明·一模）某公園有一塊如圖所示的區域，該場地由線段、、及曲線段圍成.經測量， ，米，曲線是以為對稱軸的拋物線的一部分，點到、的距離都是50米.現擬在該區域建設一個矩形游樂場，其中點在曲線段上，點、分別在線段、上，且該游樂場最短邊長不低于30米.設米，游樂場的面積為平方米.

(1)試建立平面直角坐標系，求曲線段的方程；
(2)求面積關于的函數解析式；
(3)試確定點的位置，使得游樂場的面積最大.
【解析】（1）以為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標系，
如圖所示，則，，，
設曲線所在的拋物線方程為，，點，在拋物線上，
則，解得，，
所以曲線段所在的拋物線方程為.
（2）因為點在曲線段上，，，所以，
∴，.
（3）∵，，
令，解得，
當時，，當時，，
所以時，函數單調遞增，時，函數單調遞減，
因此，當時，是極大值也是最大值，
即當點在曲線段上且到的距離為米時，游樂場的面積最大.
2．（2024·山東·二模）行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某路面上，某種型號汽車的剎車距離（米）與汽車的車速（千米／時）滿足下列關系：（，是常數，）.根據多次實驗數據繪制的剎車距離（米）與汽車的車速（千米/時）的關系圖，如圖所示.
(1)求，的值；
(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求該型號汽車行駛的最大速度.
【解析】（1）由圖象可知，點，在函數圖象上，
，解得，
，；
（2）令，得，
解得，
又， ，
即行駛的最大速度為70千米時．
3．汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關系為，乙車的剎車距離與車速之間的關系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現象（ ）
A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速
C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速
【答案】C
【解析】對于甲車，令，即
解得（舍）或，所以甲未超速；
對于甲車，令，即
解得（舍）或，所以乙超速；
故選:C.
【熱考點二】分段函數模型
【典例2-1】（2024·四川·二模）單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關.假設某條道路一小時通過的車輛數滿足關系，其中為安全距離，為車速.當安全距離取時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
【答案】B
【解析】由題意得，，當且僅當，即時取“=”，
所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.
故選：B
【典例2-2】（2024·山東臨沂·二模）某學校數學建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空氣層厚度對保溫效果的影響，利用熱傳導定律得到熱傳導量滿足關系式，其中玻璃的熱傳導系數焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空氣的熱傳導系數焦耳/（厘米·度），為室內外溫度差，值越小，保溫效果越好，現有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數據如下表：
型號 每層玻璃厚度（單位：厘米） 玻璃間夾空氣層厚度（單位：厘米）
型 0.4 3
型 0.3 4
型 0.5 3
型 0.4 4
則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是（ ）
A．型 B．型 C．型 D．型
【答案】D
【解析】，固定，可知最大時，最小，保溫效果最好，
對于型玻璃，，
對于型玻璃，，
對于型玻璃，，
對于型玻璃，，
經過比較可知， 型玻璃保溫效果最好.
故選：D.
1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏
【變式2-1】（2024·河南·一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅 全面建成小康社會的歷史任務，實現第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業具有重大現實意義和深遠歷史意義的三件大事之一.某企業積極響應國家的號召，對某經濟欠發達地區實施幫扶，投資生產A產品，經過市場調研，生產A產品的固定成本為200萬元，每生產萬件，需可變成本萬元，當產量不足50萬件時，；當產量不小于50萬件時，.每件A產品的售價為100元，通過市場分析，生產的A產品可以全部銷售完，則生產該產品能獲得的最大利潤為 萬元.
【答案】1000
【解析】由題意得，銷售收入為萬元，
當產量不足50萬件時，利潤；
當產量不小于50萬件時，利潤.
所以利潤
因為當時，，
當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
則；
當時，，當且僅當時取等號.
又，故當時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.
故答案為：1000
【變式2-2】（2024·吉林·模擬預測）師大附中考入北大的學生李聰畢業后幫助某地打造“生態果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹，增加產量，提高收入，調研過程中發現：此珍稀水果樹的單株產量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿足如下關系：，已知這種水果的市場售價為10元/千克，且供不應求.水果樹單株獲得的利潤為（單位：元）.
(1)求的函數關系式；
(2)當投入成本為多少時，該水果樹單株獲得的利潤最大 最大利潤是多少
【解析】（1）由題意可知：.
（2）由（1）可知：，
若，則，可知其圖象開口向上，對稱軸為，
此時的最大值為；
若，則，
當且僅當，即時，等號成立，
此時的最大值為；
又因為，可知的最大值為，
所以當投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是元.
1．根據疫情防控要求，學校教室內每日需要進行噴灑藥物消毒．若從噴灑藥物開始，教室內空氣中的藥物濃度（毫克/立方米）與時間（分鐘）的關系為：，根據相關部門規定該藥物濃度達到不超過毫克/立方米時，學生可以進入教室，則從開始消毒至少 分鐘后，學生可進教室正常學習；研究表明當空氣中該藥物濃度超過毫克/立方米持續8分鐘以上時，才能起到消毒效果，則本次消毒 效果（填：有或沒有）.
【答案】 30 有
【解析】由題設，只需，即，可得分鐘，
所以分鐘后藥物濃度不超過毫克/立方米，故30分鐘后學生可進教室正常學習，
當，則， 當，則，可得，
即第5分鐘到第20分鐘之間藥物濃度超過毫克/立方米，故分鐘，
所以本次消毒有效果.
故答案為：30，有.
2．（2024·北京西城·一模）調查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數）.月底積分會按照元/分進行自動兌換.
①當時，若某家庭某月產生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換 元；
②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為 .
【答案】
【解析】①若某家庭某月產生生活垃圾，則該家庭月底的積分為分，
故該家庭該月積分卡能兌換元；
②設每個家庭每月產生的垃圾為，每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為元.
若時，恒成立；
若時，，可得.
故的最大值為.
故答案為：①；②.
3．（2024·重慶·模擬預測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關系是：當時，；當時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經過 才可駕車.
【答案】
【解析】當時，，
當時，函數有最大值，所以當時，飲酒后體內每血液中的酒精含量小于，
當當時，函數單調遞減，令，因此飲酒后小時體內每血液中的酒精含量等于，
故答案為：
【熱考點三】對勾函數模型
【典例3-1】（2024·高三·湖南衡陽·期中）近期隨著某種國產中高端品牌手機的上市，我國的芯片技術迎來了重大突破．某企業原有1000名技術人員，年人均投入a萬元（），現為加強技術研發，該企業把原有技術人員分成技術人員和研發人員，其中技術人員工名（且），調整后研發人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入調整為萬元．
(1)若要使調整后研發人員的年總投入不低于調整前1000名技術人員的年總投入，則調整后的研發人員的人數最少為多少？
(2)為了激發研發人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業決定在投入方面要同時滿足以下兩個條件：
①研發人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入；
②技術人員的年人均投入始終不減少．請問是否存在這樣的實數m，滿足以上兩個條件？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．
【解析】（1）依題意可得調整后研發人員的人數為，且年人均投入為萬元，
則．
因為，所以，解得，
因為且，所以，故，
即要使這名研發人員的年總投入不低于調整前1000名技術人員的年總投入，則調整后的研發人員的人數最少為500．
（2）由條件①研發人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入，得
，
上式兩邊同除以ax，得，
整理得，
由條件②技術人員年人均投入不減少，得，
解得．
假設存在這樣的實數m，使得技術人員在已知范圍內調整后，滿足以上兩個條件，
即（）恒成立．
設，
由在上單調遞減，
因為且，所以在上單調遞減，
則，
當時，等號成立，所以．
又因為，
當時，，所以，
所以，
即存在這樣的m滿足條件，m的取值范圍為．
【典例3-2】（2024·高三·福建福州·期末）某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.
(1)據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和銷售策略調整，并提高定價到x元.公司擬投入萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.
【解析】（1）依題意，設每件定價為元，得，
整理得，解得.
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.
（2）依題意知當時，不等式有解，
等價于時，有解，
由于，當且僅當，即時等號成立，
所以，
當該商品改革后銷售量至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，
此時該商品的每件定價為30元.
1、解決此類問題一定要注意函數定義域；
2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．
【變式3-1】（2024·江蘇南通·二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環境消毒，已知在一定范圍內，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時間（單位：小時）變化的關系如下：當時，；當時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．
(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？
(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數據：取1.4）
【解析】（1）因為一次噴灑4個單位的消毒劑，
所以其濃度為
當時，，解得，此時，
當時，，解得，此時，
所以若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時．
（2）設從第一次噴灑起，經小時后，
其濃度，
因為，，
所以，
當且僅當，即時，等號成立；
所以其最小值為，由，解得，
所以a的最小值為．
【變式3-2】（2024·上海浦東新·二模）某研究所開發了一種抗病毒新藥，用小白鼠進行抗病毒實驗．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時間（小時）變化的函數關系式近似為．當每毫升血液含藥量不低于4微克時，該藥能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒藥，多長時間后該藥能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次實驗：先給小白鼠服用1粒藥，6小時后再服用1粒，請問這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為多少小時？
【解析】（1）設服用1粒藥，經過小時能有效抗病毒，
即血液含藥量須不低于4微克，可得，
解得，
所以小時后該藥能起到有效抗病毒的效果．
（2）設經過小時能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；
若，藥物濃度，
解得，
若，藥物濃度，
化簡得，所以；
若，藥物濃度，
解得，所以；
綜上，
所以這次實驗該藥能夠有效抗病毒的時間為小時．
1．（2024·江西南昌·二模）網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業的一個主要發展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是 萬元.
【答案】
【解析】由題意，產品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足，
即，
所以月利潤為
，
當且僅當時，即時取等號，
即月最大利潤為萬元.
故答案為: .
2．（2024·高三·山東日照·期中）某鄉鎮為了打造“網紅”城鎮發展經濟，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”.經調研發現：某珍惜水果樹的單株產量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為（單位：元）
(1)寫單株利潤（元）關于施用肥料x（千克）的關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大 最大利潤是多少
【解析】（1）依題意，，又，
所以.
（2）當時，，其圖象開口向上，對稱軸為，
因此在上單調遞減，在上單調遞增，在上的最大值為；
當時，
，
當且僅當時，即時等號成立，
而，則當時，，
所以當施用肥料為4千克時，單株利潤最大，最大利潤是480元.
【熱考點四】指數函數模型
【典例4-1】（2024·湖北·一模）高三教學樓門口張貼著“努力的力量”的宣傳欄，勉勵著同學們專心學習，每天進步一點點，時間會給我們帶來驚喜.如果每天的進步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“進步”是“落后”的230萬倍，現張三同學每天進步，李四同學每天落后，假設開始兩人相當，則大約（ ）天后，張三超過李四的100倍（參考數據：）
A．7 B．17 C．27 D．37
【答案】B
【解析】經過天后，張三超過李四的100倍，所以，
兩邊取以10為底的對數得，所以，
又，所以,
所以大約17天后，張三超過李四的100倍.
故選：B
【典例4-2】（2024·四川綿陽·一模）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關系為（e是自然對數的底數，，k為正的常數）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的時間約為（ ）（參考數據：）
A．33h B．35h C．37h D．39h
【答案】C
【解析】依題意，，解得，即，
當時，，即，
解得，
所以污消除60%的污染物需要的時間約為37h.
故選：C
在解題時，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數模型．
【變式4-1】（2024·廣東湛江·一模）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關研究在室溫下泡制好的茶水要等多久飲用，可以產生符合個人喜好的最佳口感，這是很有意義的事情.經研究：把茶水放在空氣中冷卻，如果茶水開始的溫度是，室溫是，那么后茶水的溫度單位：，可由公式求得，其中是常數，為了求出這個的值，某數學建模興趣小組在室溫下進行了數學實驗，先用的水泡制成的茶水，利用溫度傳感器，測量并記錄從開始每一分鐘茶水的溫度，多次實驗后搜集整理到了如下的數據：
(1)請你利用表中的一組數據，求的值，并求出此時的解析式計算結果四舍五入精確到；
(2)在室溫環境下，王大爺用的水泡制成的茶水，想等到茶水溫度降至時再飲用，根據（1）的結果，王大爺要等待多長時間計算結果四舍五入精確到分鐘．
參考數據：，，是自然對數的底數，
【解析】（1）依題意，，且當，時，，
則，，解得，
所以.
（2）由（1）知，，當時，，即，
整理得，解得，
王大爺要等待約分鐘.
【變式4-2】（2024·貴州六盤水·模擬預測）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內外.經驗表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是，室溫是，則經過時間t（單位：分鐘）后物體的溫度（單位：）滿足，其中k為正常數.該研究小組在的室溫下，通過多次測量取平均值的方法，測得200mL初始溫度為的水的溫度降至相應溫度所需時間如下表所示：
從降至所需時間 3.4分鐘
從降至所需時間 5.0分鐘
(1)從上表中選取一組數據求出k的值（精確到0.01），并根據上述冷卻模型寫出冷卻時間t關于冷卻后水溫的函數解析式；
(2)在（1）的條件下，現用200mL水在的室溫下泡制水城春茶，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要多少分鐘？（精確到0.1分鐘）
（參考數據：，，，）
【解析】（1）由題可知，有，
若取第一組數據，則有，得，
此時解析式為；
若取第二組數據，則有，解得，
此時解析式為.
綜上，所求解析式為
（2）由（1）知，，
令，則，解得.
所以，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要分鐘.
1．（2024·福建福州·模擬預測）大氣壓強（單位：）與海拔（單位：）之間的關系可以由近似描述，其中為標準大氣壓強，為常數.已知海拔為兩地的大氣壓強分別為.若測得某地的大氣壓強為80，則該地的海拔約為（ ）（參考數據：）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題知①，②，
①②兩式相比得到，
所以③，
當時，由④，②④得到，
所以⑤，
由⑤④，得到，
解得.
故選：C.
2．（2024·吉林長春·模擬預測）某制藥廠臨床試驗一批新藥的療效（-因子是主要成分），根據國家規定：服用新藥后100mL血液中-因子含量達到認定為有效Ⅰ級，80mg及以上認定為有效Ⅱ級，20mg以下認定為無效．經過大量試驗得知，服用該藥后一開始血液中-因子的濃度呈線性增長，當其上升到時，血液中-因子的濃度將會以每小時的速度減少（函數模型如圖）．

(1)請寫出服用該藥后血液中-因子濃度（單位：）隨時間（單位：小時）變化的關系式；
(2)服用該藥后，至少要經過幾個小時血液中-因子才能降至無效？（結果取整數）．
（參考數據：）
【解析】（1）開始時，血液中-因子濃度呈線性增長時，設，
將代入，得，解得，因此；
當時，，又當-因子濃度上升到時，以每小時的速度減少，
則當時，，
所以所求關系式為.
（2）設至少要經過小時血液中-因子降至無效，即，
整理得，兩邊取常用對數，得，
則，解得，
所以至少要經過9個小時血液中-因子才能降至無效.
3．（2024·全國·模擬預測）在某生態系統中，有甲、乙兩個種群，兩種群之間為競爭關系．設t時刻甲、乙種群的數量分別為，（起始時刻為）．由數學家Lotka和Volterra提出的模型是函數，滿足方程，，其中a，b，c，d均為非負實數．
(1)下圖為沒有乙種群時，一段時間內甲種群數量與時間的關系折線圖．為預測甲種群的數量變化趨勢，研究人員提出了兩種可能的數學模型：①；②，其中m，n均為大于1的正數．根據折線圖判斷，應選用哪種模型進行預測，并說明理由．
(2)設，．
①函數的單調性；
②根據①中的結論說明：在絕大多數情況下，經過充分長的時間后，或者甲種群滅絕，或者乙種群滅絕．
注：在題設條件下，各種群數量均有上限值．
【解析】（1）由折線圖知，甲種群數量的增長速度隨著時間的推移而加快．而增長速度大致對應種群數量對時間的導數．
如選用模型①，，是關于時間的減函數，不符合折線圖；
如選用模型②，，是關于時間的增函數，符合折線圖．
所以應選用模型②預測甲種群數量的變化趨勢
（2）由題設知，．
（i），．
消去條件中的得，所以．
所以為常函數．
（ii）由（i），，．
由于各種群數量均有上限值，不妨設甲乙種群數量的上限值分別為，．
①若，．
則當時，，此時可以近似認為甲種群滅絕；
②若，．
則當時，，此時可以近似認為乙種群滅絕；
③若，，甲乙種群數量之比保持恒定，可能不出現滅絕的情況．
綜上所述，對所有的情況，經過充分長的時間后，或者甲種群滅絕，或者乙種群滅絕
【熱考點五】對數函數模型
【典例5-1】（2024·江西九江·二模）已知火箭在時刻的速度為（單位：千米/秒），質量為（單位：千克），滿足（為常數），、分別為火箭初始速度和質量．假設一小型火箭初始質量千克，其中包含燃料質量為500千克，初始速度為，經過秒后的速度千米/秒，此時火箭質量千克，當火箭燃料耗盡時的速度大約為（ ）（，）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】由題意知，火箭在時刻的速度為，質量為，滿足，
因為經過秒后的速度千米/秒，此時火箭質量千克，
可得，火箭耗盡燃料時速度為，
兩式相除得.
故選：C．
【典例5-2】（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級(單位：dB)與聲音強度x(單位：)滿足. 噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB．若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
【答案】D
【解析】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為，
由題意可得，解得，
因為，所以，所以，
所以一般說話時聲音的等級約為60dB.
故選：D
在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數圖像 求解最值問題．
【變式5-1】（2024·青海海西·模擬預測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉移軌道，發射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質量、火箭（除燃料外）的質量的函數關系是．按照這個規律，當m時，火箭的最大速度為；當m時，火箭的最大速度為．則（參考數據：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由火箭的最大速度和燃料的質量、火箭的質量的函數關系是，當時，有，所以；
當時，有，所以，
可得．
故選：A．
【變式5-2】（2024·上海崇明·一模）研究表明：在一節40分鐘的網課中，學生的注意力指數與聽課時間（單位：分鐘）之間的變化曲線如圖所示，當時，曲線是二次函數圖像的一部分；當時，曲線是函數圖像的一部分，當學生的注意力指數不高于68時，稱學生處于“欠佳聽課狀態”.
（1）求函數的解析式；
（2）在一節40分鐘的網課中，學生處于“欠佳聽課狀態”的時間有多長？（精確到1分鐘）
【解析】（1）當時，設函數，
因為，所以，所以，
當時，，
由，解得，所以，
綜上，函數的解析式為.
（2）當時，令，
即，解得或（舍去），所以，
當時，令，得，
所以，所以學生處于“欠佳聽課狀態”的時間長為分鐘.
1．（2024·吉林·模擬預測）盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.2024年3月25日，斐濟附近海域發生里氏5.1級地震，它所釋放的能量是同日我國新疆阿克蘇地區發生里氏3.1級地震的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
【解析】設里氏5.1級和3.1級地震釋放出的能量分別為和，
由，于是，則，因此，
所以它釋放的能量是里氏3.1級地震的1000倍.
故選：C
2．2021年中國載人航天工程相繼發射了第十二、第十三艘飛船，與空間站完成對接，進入太空站完成任務。在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下，可以用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭（除推進劑外）的質量，是推進劑與火箭質量的總和，稱為“總質比”，已知A型火箭的噴流相對速度為．
(1)當總質比為200時，利用給出的參考數據求A型火箭的最大速度；
(2)經過材料更新和技術改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質比變為原來的，若要使火箭的最大速度至少增加．求在材料更新和技術改進前總質比的最小整數值.
參考數據：，.
【解析】（1）由題意總質比，，代入公式，
即.
所以，當總質比為200時， A型火箭的最大速度為.
（2）經過材料更新和技術改進后，A型火箭得噴流相對速度為，總質比為.
要使得速度至少增加到，則需，
化簡得，
所以，
由的單調性易得，即，
因為，所以.
所以在材料更新和技術改進前總質比的最小整數值為74.
3．（2024·重慶·模擬預測）物理學家本·福特提出的定律：在進制的大量隨機數據中，以開頭的數出現的概率為，應用此定律可以檢測某些經濟數據、選舉數據是否存在造假或錯誤．根據此定律，在十進制的大量隨機數據中，以1開頭的數出現的概率大約是以9開頭的數出現的概率的（ ）倍（參考數據：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【解析】由題意，以開頭的數出現的概率為，
可得，
所以.
故選：C.
【熱考點六】函數模型綜合
【典例6-1】為了提高員工的工作積極性，某外貿公司想修訂新的“員工激勵計劃”新的計劃有以下幾點需求：①獎金隨著銷售業績的提高而提高；②銷售業績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來的計劃接軌：銷售業績在10萬元或以內時獎金為0，超過10萬元則開始計算獎金，銷售業績為20萬元時獎金為1千元.設業績為x（）萬元時獎金為f（x）千元，下面給出三個函數模型：①；②；③.其中.請選擇合適的函數模型，并計算：業績為100萬元時獎金為 千元.
【答案】
【解析】根據題意，當時，給出三個函數模型均滿足“獎金隨著銷售業績的提高而提高”，而只有模型“”滿足“銷售業績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升”，故模型選擇：
根據題意，則有：
解得：
則模型為：
當時，
故答案為：
【典例6-2】（2024·山東濰坊·模擬預測）某地區未成年男性的身高（單位：cm）與體重平均值（單位：kg）的關系如下表1：
表1 未成年男性的身高與體重平均值
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
體重平均值/kg
直觀分析數據的變化規律，可選擇指數函數模型、二次函數模型、冪函數模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關系．為使函數擬合度更好，引入擬合函數和實際數據之間的誤差平方和、擬合優度判斷系數（如表2）．誤差平方和越小、擬合優度判斷系數越接近1，擬合度越高．
表2 擬合函數對比
函數模型 函數解析式 誤差平方和
指數函數
二次函數
冪函數
(1)問哪種模型是最優模型？并說明理由；
(2)若根據生物學知識，人體細胞是人體結構和生理功能的基本單位，是生長發育的基礎．假設身高與骨細胞數量成正比，比例系數為；體重與肌肉細胞數量成正比，比例系數為．記時刻的未成年時期骨細胞數量，其中和分別表示人體出生時骨細胞數量和增長率，記時刻的未成年時期肌肉細胞數量，其中和分別表示人體出生時肌肉細胞數量和增長率．求體重關于身高的函數模型；
(3)在（2）的條件下，若，．當剛出生的嬰兒身高為50cm時，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實際情況更符合，試說明理由．
注：，；嬰兒體重符合實際，嬰兒體重較符合實際，嬰兒體重不符合實際．
【解析】（1）因為，所以指數函數模型誤差平方和最小，
因為，所以指數函數模型最大，
所以指數函數模型是最優模型；
（2）因為，所以，
因為，
所以，所以，
所以體重關于身高的函數模型為；
（3）把代入，得不符合實際，
把，代入得，
把代入，得符合實際，
所以（2）中冪函數模型更適合.
對于給定模型供選擇的問題， 需根據問題對每個模型進行驗證，可結合函數圖像、性質、函數值等多方面進行驗證．
【變式6-1】（2024·高三·湖北襄陽·期中）某工廠常年生產紅木家具，根據預測可知，該產品近10年的產量平穩增長.記2014年為第1年，且前4年中，第年與年產量（單位：萬件）之間的關系如下表所示：
1 2 3 4
4.00 5.61 7.00 8.87
若近似符合以下三種函數模型之一：①，②，③．則你認為最適合的函數模型的序號為 ．
【答案】①
【解析】符合條件的是①，
若模型為，則由，得，即，
此時，，，與已知相差太大，不符合；
若模型為，則是減函數，與已知不符合；
故答案為：①．
【變式6-2】某品牌汽車制造廠引進了一條小型家用汽車裝配流水線，本年度第一季度統計數據如下表
月份 1月 2月 3月
小型汽車數量（輛） 30 60 80
創造的收益（元） 4800 6000 4800
(1)根據上表數據，從下列三個函數模型中：①，②，③選取一個恰當的函數模型描述這條流水線生產的小型汽車數量（輛）與創造的收益（元）之間的關系，并寫出這個函數關系式；
(2)利用上述你選取的函數關系式計算，若這家工廠希望在一周內利用這條流水線創收6020元以上，那么它在一周內大約應生產多少輛小型汽車？
【解析】（1）選取②，
由題表可知，隨著的增大，的值先增大后減小，
而函數及均為單調函數，故不符合題意，
所以選取②，
將，，三點分別代入函數解析式，
可得二次函數對稱軸為，故可將函數解析式設為，
即得到，解出，
∴，
∴，，；
（2）設在一周內大約應生產輛小型汽車，根據題意，可得，
即，即，
因為，
所以方程有兩個實數根，，
由二次函數的圖象可知不等式的解為.
因為只能取整數值，所以當這條流水線在一周內生產的小型汽車數量且之間時，
這家工廠能夠獲得6020元以上的收益.
1．某公司每個倉庫的收費標準如下表（表示儲存天數，（萬元）表示天收取的總費用）．
(1)給出兩個函數且，且，要從這兩個函數中選出一個來模擬表中之間的關系，問：選擇哪一個函數較好？說明理由．
(2)該公司旗下有個這樣的倉庫．每個倉庫儲存貨物時，每天需要元的運營成本，不存貨物時僅需元的成本．一批貨物需要存放天，設該批貨物存放在個倉庫內，其余倉庫空閑．要使該公司這天的倉庫收益不少于元，則的最小值是多少？
注：收益收入成本．
【解析】（1）若選擇函數且，
將代入函數得：，解得：，；
當時，；當時，；
可知當或時，與實際數據差距較大；
若選擇函數且，
將代入函數得：，解得：，；
當時，；當時，；
可知當或時，與實際數據比較接近；
綜上所述：選擇且較好.
（2）設該公司這天的倉庫收益為元，
由表格數據可知：若貨物存放天，每個倉庫收費元，
，
由得：，的最小值為.
2．在國家大力發展新能源汽車產業政策下，我國新能源汽車的產銷量高速增長．某地區年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛，年底新能源汽車保有量為輛．
(1)根據以上數據，試從（，且），，（，且），三種函數模型中選擇一個最恰當的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢（不必說明理由），設從年底起經過年后新能源汽車保有量為輛，求出新能源汽車保有量關于的函數關系式；
(2)假設每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數模型增長，且傳統能源汽車保有量每年下降的百分比相同，年底該地區傳統能源汽車保有量為輛，預計到年底傳統能源汽車保有量將下降．試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統能源汽車保有量．（參考數據：，）
【解析】（1）根據該地區新能源汽車保有量的增長趨勢知，應選擇的函數模型是
（，且），
由題意得，解得，所以.
（2）設傳統能源汽車保有量每年下降的百分比為，
依題意得，，解得，
設從年底起經過年后的傳統能源汽車保有量為輛，
則有，
設從年底起經過年后新能源汽車的數量將超過傳統能源汽車，則有
化簡得，所以，
解得，
故從年底起經過年后，即年底新能源汽車的數量將超過傳統能源汽車.
3．（2024·上海閔行·一模）大數據時代對于數據分析能力的要求越來越高，數據擬合是一種把現有數據通過數學方法來代入某種算式的表示方式.比如是平面直角坐標系上的一系列點，其中是不小于的正整數，用函數來擬合該組數據，盡可能使得函數圖像與點列比較接近.其中一種衡量接近程度的指標是函數的擬合誤差，擬合誤差越小越好，定義函數的擬合誤差為：.已知在平面直角坐標系上，有5個點的坐標數據如下表所示：
2.2 1 2 4.6 7
（1）若用函數來擬合上述表格中的數據，求；
（2）若用函數來擬合上述表格中的數據.
①求該函數的擬合誤差的最小值，并求出此時的函數解析式；
②指出用中的哪一個函數來擬合上述表格中的數據更好？
【解析】（1）若用函數來擬合上述表格中的數據，
，
則；
（2）①若用函數來擬合上述表格中的數據，則
，
則當時，的最小值為，
此時.
②由上可知， ， ，
當時，>，此時用來擬合上述表格中的數據更好；
當或時，=，用擬合效果一樣；
當或時，<，此時用來擬合上述表格中的數據更好.

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