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專題10 正余弦定理在解三角形（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點(diǎn)】 6
【熱考點(diǎn)一】倍長定比分析模型 6
【熱考點(diǎn)二】倍長定理與正弦平方差 6
【熱考點(diǎn)三】角平分線模型與張角定理 7
【熱考點(diǎn)四】隱圓問題 8
【熱考點(diǎn)五】正切比值與和差問題 9
【熱考點(diǎn)六】四邊形定值和最值 9
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常見變形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).
1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B a>b sin A>sin B cos A一、解答題
1．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
2．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
4．（2024·廣東江蘇·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
5．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
7．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
8．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
9．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
11．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
12．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
13．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
14．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
試卷第2頁，共3頁
試卷第1頁，共1頁
【熱考點(diǎn)一】倍長定比分析模型
【典例1-1】設(shè)a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．
(1)求AD的長度；
(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F，求AF的長度．
【典例1-2】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D為邊AB上一點(diǎn)，且，求的值．
【變式1-1】在① ，② ，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足____．
(1)求；
(2)若的面積為在邊上，且 ， ，求的值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．
1．在中，角所對的邊分別為，且是的中點(diǎn)，，則 ， .
【熱考點(diǎn)二】倍角定理與正弦平方差
【典例2-1】從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上并解答問題．
在銳角中，角所對的邊分別為，且________．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【典例2-2】已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，．
(1)證明：；
(2)若，且為銳角三角形，求的取值范圍．
【變式2-1】在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面積；
(2)若A＝2B，求BC的長．
【變式2-2】在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
1．在銳角中，角所對的邊為，且.
(1)證明:
(2)若，求的取值范圍.
【熱考點(diǎn)三】角平分線模型與張角定理
【典例3-1】在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)設(shè)是邊上一點(diǎn)，為角平分線且，求的值.
【典例3-2】已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(1)求角B；
(2)若點(diǎn)D在上，為的角平分線，，求的最小值．
【變式3-1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；
(2)若的角平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求BD的長．
【變式3-2】 中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線.
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．
【熱考點(diǎn)四】隱圓問題
【典例4-1】（2024·四川眉山·三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【變式4-1】已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.
【變式4-2】已知等邊的邊長為2，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)且滿足，則的最大值為________.
1．在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為____．
【熱考點(diǎn)五】正切比值與和差問題
【典例5-1】在△ABC中，且，則△ABC面積的最大值為 ．
【典例5-2】已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則 ，的最小值為 .
【變式5-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是 ．
【變式5-2】在中，角所對的邊分別為，若，且，則 ．
1．在銳角中，分別為角所對的邊，，且的面積．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
【熱考點(diǎn)六】四邊形定值和最值
【典例6-1】克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家．托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，等號成立．已知在凸四邊形中，，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
【變式6-1】如圖．在平面四邊形中，．設(shè)，證明：為定值．
【變式6-2】如圖，平面四邊形的對角線分別為，，其中，，．

(1)若，的面積為，求的面積；
(2)若，，求的值．
1．克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對角互補(bǔ)時(shí)取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．專題10 正余弦定理在解三角形（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點(diǎn)】 19
【熱考點(diǎn)一】倍長定比分析模型 19
【熱考點(diǎn)二】倍長定理與正弦平方差 22
【熱考點(diǎn)三】角平分線模型與張角定理 28
【熱考點(diǎn)四】隱圓問題 33
【熱考點(diǎn)五】正切比值與和差問題 37
【熱考點(diǎn)六】四邊形定值和最值 41
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C ＝＝＝2R
常見變形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無解
3.三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).
1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B a>b sin A>sin B cos A一、解答題
1．（2024·北京·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
2．（2024·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
4．（2024·廣東江蘇·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
5．（2023·全國·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
6．（2023·全國·高考真題）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.
7．（2023·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
8．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
9．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
10．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
11．（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
12．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
13．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
14．（2022·全國乙卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
參考答案
1．(1)；
(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；
【詳解】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，
則，則，則，解得，
因?yàn)闉殁g角，則.
（2）選擇①，則，因?yàn)椋瑒t為銳角，則，
此時(shí)，不合題意，舍棄；
選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則
，
則
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；
（3）法一：根據(jù)大邊對大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.
【詳解】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，
即，解得（負(fù)舍）；
則.
（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，
再根據(jù)正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因?yàn)椋瑒t
（3）法一：因?yàn)椋遥裕?br/>由（2）法一知，
因?yàn)椋瑒t，所以，
則，
.
法二：，
則，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，
所以
3．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；
（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.
【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用極值點(diǎn)求解
設(shè)，則，
顯然時(shí)，，注意到，
，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，
即，即，
又，故
方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）
設(shè)，由題意，，
根據(jù)向量的數(shù)量積公式， ，
則，此時(shí)，即同向共線，
根據(jù)向量共線條件，，
又，故
方法五：利用萬能公式求解
設(shè)，根據(jù)萬能公式，，
整理可得，，
解得，根據(jù)二倍角公式，，
又，故
（2）由題設(shè)條件和正弦定理
，
又，則，進(jìn)而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周長為
4．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.
【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
因?yàn)椋裕?br/>從而，
又因?yàn)椋矗?br/>注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋裕獾茫海?br/>（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
6．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；
(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．
【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都為銳角，因此，，
．
8．(1)
(2)6
【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.
【詳解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
9．(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.
【詳解】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，
所以.
方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，
則，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，則，
，過作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；
（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．
【詳解】（1）因?yàn)椋矗氲茫獾茫海?br/>（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）因?yàn)椋裕剩郑?所以，，而，所以，
故．
11．(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；
（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．
【詳解】（1）由于， ，則．因?yàn)椋?br/>由正弦定理知，則．
（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ恚茫?br/>即，解得，而，，
所以的面積．
12．(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
13．(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
14．(1)見解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br/>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
試卷第2頁，共3頁
試卷第1頁，共1頁
【熱考點(diǎn)一】倍長定比分析模型
【典例1-1】設(shè)a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．
(1)求AD的長度；
(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F，求AF的長度．
【解析】（1）依據(jù)題意，由可得
，則，，
，，解得，
，解得AD為
（2）G為的重心，，，
，，，， ，
【典例1-2】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，
(1)求角B的大小；
(2)若，D為邊AB上一點(diǎn)，且，求的值．
【解析】（1），
，
所以，即，
故，
因?yàn)椋裕?br/>（2）因?yàn)椋裕?br/>，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，故，所以或，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，.
所以的值為或1.
如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接，易知∥，且，．．
【變式1-1】在① ，② ，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足____．
(1)求；
(2)若的面積為在邊上，且 ， ，求的值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．
【解析】（1）方案一：選條件①.
由，可得 ，
由正弦定理得 ，
因?yàn)?，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因?yàn)?，所以
方案二：選條件②．
，由正弦定理得 ，
即 ， ，
由余弦定理得
又 ，所以
（2）由題意知 ，得．①
，即 ②
聯(lián)立①②解得
而 ，
由余弦定理得
，故
即的值為
1．在中，角所對的邊分別為，且是的中點(diǎn)，，則 ， .
【答案】 /
【解析】空1：
在中，則，即，
整理得：，解得或（舍去），
故，
在中，則，
故；
空2：
在中，由，則，
在中，由，則，
故.
故答案為：；.
【熱考點(diǎn)二】倍角定理與正弦平方差
【典例2-1】從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上并解答問題．
在銳角中，角所對的邊分別為，且________．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】（1）選擇①：由及余弦定理可得
；
即，
又，
所以，
即，可得．
又易知，可得，
所以或，
即或（舍），
故．
選擇②：由及，得，
則由正弦定理得，
又，
，
即，
所以．
又，可得，
所以，
故．
選擇③：由可得，
即，所以．
又，可得，
所以，
故．
（2）令，
由（1）可知，可得．
由銳角可得，
即，解得，
所以．
令，
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，
可得，
即的取值范圍是．
【典例2-2】已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，．
(1)證明：；
(2)若，且為銳角三角形，求的取值范圍．
【解析】（1）證明：∵，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∴A，B，C∈（0，π），∴即．
（2）∵，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴，
∵為銳角三角形，所以,
∴，∴，
由a＝2，，所以，則，
且，
設(shè),，
設(shè)，則，
∴，，
所以,為減函數(shù)，
∴．
，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．
推論1：
推論2：
正弦平方差：
【變式2-1】在中，AB＝4，AC＝3．
(1)若，求的面積；
(2)若A＝2B，求BC的長．
【解析】（1）在中，設(shè)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c．
由余弦定理得，
即，得或（舍），
由，，得，
所以的面積．
（2）在中，由正弦定理得，
所以．
在中，再由余弦定理得，
所以，解得．
【變式2-2】在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
【解析】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
∴，
∴．
（2）由銳角△ABC，可得，，．
即， ∴．
∵．
令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以當(dāng)，
當(dāng)，
∴．
1．在銳角中，角所對的邊為，且.
(1)證明:
(2)若，求的取值范圍.
【解析】（1）∵，
由正弦定理，得，
即，
∴，
∴或（舍），即，
（2）由銳角△ABC，可得，，．
即， ∴．
由正弦定理可得：，
所以.
所以的取值范圍為：.
【熱考點(diǎn)三】角平分線模型與張角定理
【典例3-1】在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小：
(2)若，，，求的值；
(3)設(shè)是邊上一點(diǎn)，為角平分線且，求的值.
【解析】（1）由題意及正弦定理可得：，
可得，即，
在中，，所以，
因?yàn)椋裕?br/>（2）因?yàn)椋?br/>由余弦定理得，
所以，即，
所以，，由正弦定理可得：，
可得，
因?yàn)椋瑒t，則，
可得，
且，
所以
；
（3）因?yàn)椋墙瞧椒志€，即，
因?yàn)椋?br/>所以，由正弦定理可知，
所以，所以，
整理可得，
又因?yàn)椋遥?br/>即，解得.
【典例3-2】已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(1)求角B；
(2)若點(diǎn)D在上，為的角平分線，，求的最小值．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以由正弦定理可得，即，
又因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)椋?
（2）因?yàn)?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.
角平分線張角定理：如圖，為平分線，（參考一輪復(fù)習(xí)）
斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積一下積．
【變式3-1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；
(2)若的角平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求BD的長．
【解析】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，則，
因此，即，則，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
則，解得，從而，又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的長為.
【變式3-2】 中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線.
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
【解析】（1）因?yàn)橹校?br/>故
，
因?yàn)椋剩?br/>（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，
又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分線，則，
則，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
則
，
即；
（ii）因?yàn)椋剩?br/>則由⑤得，則，
由以及（i）知，
即，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號成立，
故，即的最大值為.
1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．
【解析】（1）由及，
有，
又由正弦定理，有，
有，有，有，
又由，可得；
（2）由，有，
可得，
在△OAB中，由△OAB的面積為，有，
可得，
又由余弦定理及AB＝7，有，
有，
代入，有AO＋BO＝8，
聯(lián)立解得或
由對稱性不妨設(shè)
在△OAB中，有，可得，
又由OA為角A的角平分線，有，
在△OAC中，由正弦定理有，有，
可得．
【熱考點(diǎn)四】隱圓問題
【典例4-1】（2024·四川眉山·三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，設(shè)的外接圓半徑為，
則，
以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
則、，
設(shè)點(diǎn)，由，可得，
化簡可得，
所以，的邊上的高的最大值為，因此，.
故選：A.
【典例4-2】在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)椋杂善矫鎺缀沃R得A點(diǎn)軌跡為圓弧（因?yàn)闉槠矫嫠倪呅危匀D中第四象限部分的圓弧），設(shè)圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對角線的最大值為
故選：A
若三角形中出現(xiàn)，且為定值，則點(diǎn)C位于阿波羅尼斯圓上．
【變式4-1】已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.
【答案】/
【解析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)要使，則在坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然不成立，
當(dāng)時(shí)要使，則，解得，顯然不成立，
所以且，因?yàn)?br/>所以，即
整理得，(且)
所以當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，的面積取得最大值為.
故答案為：
【變式4-2】已知等邊的邊長為2，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)且滿足，則的最大值為________.
【答案】
【解析】由，可知點(diǎn)G為的重心，以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，設(shè)，由可知在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最值求出的最大值.由，可知點(diǎn)G為的重心.
以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，.
設(shè)，由可知P為圓上的動點(diǎn)，
所以的最大值為.
故答案為：
1．在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為____．
【答案】
【解析】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.
則，，
設(shè)，則，，
因?yàn)?br/>所以，即：
整理得：，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上.
在軸上取，連接
可得，所以，所以
由圖可得：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)在圖中的位置時(shí)，最小.
此時(shí)最小為.
故答案為．
【熱考點(diǎn)五】正切比值與和差問題
【典例5-1】在△ABC中，且，則△ABC面積的最大值為 ．
【答案】6
【解析】因?yàn)椋剩?br/>又，所以，
，故，所以，
故同號，因 ，故．
設(shè)邊上的高為，則，
由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以即面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，
綜上，填．
【典例5-2】已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則 ，的最小值為 .
【答案】 2 /
【解析】∵，
∴，
∴，.
又，
∴
∴
又∵在銳角ΔABC中，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，檢驗(yàn)可取，
∴，
故答案為：2，
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
【變式5-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】由余弦定理，得，則由，得，所以，
由正弦定理，得，所以，
所以，，．
因?yàn)椋?br/>所以，
則．
令，而
則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
故的最小值為．
故答案為：
【變式5-2】在中，角所對的邊分別為，若，且，則 ．
【答案】
【解析】中，，，
，
由正弦定理有，，
由，得，
有，即，
，得，
由，可得，
即，代入，
得，∴，
由余弦定理，
，得，
故答案為：
1．在銳角中，分別為角所對的邊，，且的面積．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
【解析】（1），解得：；
，，，
由余弦定理得：，解得：.
（2），即，
由正弦定理得：，
，
，
；
，，，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最大值為.
【熱考點(diǎn)六】四邊形定值和最值
【典例6-1】克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家．托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內(nèi)容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，等號成立．已知在凸四邊形中，，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
由題知，，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)取等號，
所以的最大值為.
故選：D
【典例6-2】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因?yàn)椋?br/>因此，
.
故選：C.
正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內(nèi)接的四邊形，尤其是擁有對角互補(bǔ)的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四邊形中，有，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)，等號成立．
【變式6-1】如圖．在平面四邊形中，．設(shè)，證明：為定值．
【解析】證明：設(shè)，則．
在中，因?yàn)椋裕?br/>在中，由余弦定理，
即，
則，即，
故為定值．
【變式6-2】如圖，平面四邊形的對角線分別為，，其中，，．

(1)若，的面積為，求的面積；
(2)若，，求的值．
【解析】（1）由題意得，，，
在中，由余弦定理得，．
由余弦定理得，，
∵，
∴，
∴，
故，
∴．
（2）在中，由正弦定理得，，
∴．
在中，，，
由正弦定理得，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
解得．
1．克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對角互補(bǔ)時(shí)取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于半徑為的圓，
它的對角互補(bǔ)，所以，
所以,所以，
所以四邊形ABCD的周長為．
故選：A．

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