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專題12 數(shù)列不等式放縮（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點】 9
【熱考點一】先求和后放縮 9
【熱考點二】裂項放縮 15
【熱考點三】等比放縮 21
【熱考點四】型不等式證明 26
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
1．（2023年天津高考數(shù)學真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數(shù)列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
【解析】（1）由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當時，，
取，則，即，
當時，，
取，此時，
據(jù)此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數(shù)列的公比滿足，
當時，，所以，
所以，即，
當時，，所以，
所以數(shù)列的通項公式為，
其前項和為：.
2．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
3．（2021年天津高考數(shù)學試題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
【解析】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設等比數(shù)列的公比為，
所以，解得（負值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
4．（2021年浙江省高考數(shù)學試題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數(shù)列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
5．（2020年浙江省高考數(shù)學試卷）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
【解析】（I）依題意，而，即，
由于，所以解得，所以.
所以，故 ，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【熱考點一】先求和后放縮
【典例1-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知的前n項和為，，且滿足______，現(xiàn)有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【解析】（1）若選擇條件①：因為，
當時，，
兩式相減得，
所以當時，當n＝1時符合，
∴；
若選擇條件②：因為，
當時，
兩式相減得，，
∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴；
若選擇條件③：∵，
∴時，，
兩式相減得，
當n＝1時，，可得，，
∴時成立，
∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴；
（2）由（1）可知，
則，
所以，
因為，
所以各項均為正數(shù)，
所以，
又因為，
所以．
【典例1-2】已知數(shù)列滿足：是公差為6的等差數(shù)列，是公差為9的等差數(shù)列，且.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)設是方程的根，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）因為是公差為6的等差數(shù)列，則，
設，可得，，
又因為是公差為9的等差數(shù)列，
則，
可得，即，
且，解得，
即，，可得，
綜上所述：，所以是等差數(shù)列.
（2）構(gòu)建，則是函數(shù)的零點
因為，則在上單調(diào)遞增，
且，可知有且僅有一個零點，
又因為，
可知數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，
則，
又因為，可得，
所以.
先求和后放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問題的有效策略。其核心思路在于，首先通過求和將數(shù)列的項合并，簡化問題形式；接著，在求和的基礎上進行適當?shù)姆趴s，即利用不等式的性質(zhì)對求和結(jié)果進行放大或縮小，從而更便于進行后續(xù)的比較和推導。
【變式1-1】已知數(shù)列滿足.記.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)若，數(shù)列的前項和為，求證：.
【解析】（1）由，得，而，則，
又，因此，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，，則，
令數(shù)列的前項和為，則，
，
兩式相減得，則，
所以.
（3）由（2）知，
，
而，所以.
【變式1-2】已知在數(shù)列中，，且當時，.
(1)求的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）當時，，
又，可得，
當時，，則，即，
又，
故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，故；
（2）由（1）知，
則，
則數(shù)列的前項和
，
又，則，
故.
1．設數(shù)列的前項和為．若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”．
(1)若，判斷數(shù)列是否是“數(shù)列”；
(2)設是等差數(shù)列，其首項，公差，且是“數(shù)列”，
①求的值；
②設為數(shù)列的前項和，證明：
【解析】（1）因為，
當時，，
當時，，
又，即也滿足，
綜上可得，
當時存在或使得（即或），
對于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，此時，
綜上可得對于任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，此時，
故是“數(shù)列”；
（2）①因為是等差數(shù)列，其首項，公差，設的前項和為，
故，，
對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，
即，
當時，，此時只需，
當時，，解得，
又，故,又為正整數(shù)，故,此時；
當時，，
下面證明恒為正偶數(shù)，
當時，，滿足要求，
假設當時，為正偶數(shù)，
則當時，，
由于和均為正偶數(shù)，故為正偶數(shù)，滿足要求，
所以恒為正偶數(shù)，證畢，
所以.
②由①可得，所以，
所以
，
因為，
所以單調(diào)遞減且，所以，
所以.
【熱考點二】裂項放縮
【典例2-1】已知數(shù)列的首項為1，其前項和為，等比數(shù)列是首項為1的遞增數(shù)列，若．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數(shù)．
【解析】（1）因為，
所以當時，，
作差得，
兩邊同時除以得，
又，所以，得，
所以，故對，
所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，則．
設等比數(shù)列的公比為，
因為，所以由，或
又因以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．
（2）因為，
所以
．
（3）由（1）知，即，令，則，
，
所以當時，，當時，，當時，，
即有，，
又，
故當時，，所以，，
又，
所以，當時，，故使得成立的最大整數(shù)為6．
【典例2-2】數(shù)列中，，，（）.
(1)試求、的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前n項和，證明：時，.
【解析】（1）若為等比數(shù)列，
則存在，使對成立.
由已知，代入上式，
整理得①
∵①式對成立，∴，解得，
∴當，時，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）得：，，所以，
所以，因為，
所以，
，（1）
現(xiàn)證：（），
當時，
，∴，（2）
根據(jù)（1）（2）可知對于，都成立.
放縮方法是一種處理數(shù)列求和及不等式證明的技巧。其核心在于將數(shù)列的通項進行裂項，即將其拆分為兩部分或多部分，以便更容易地觀察其規(guī)律或進行放縮。
在裂項后，我們可以根據(jù)不等式的需要，對拆分后的項進行適當?shù)姆糯蠡蚩s小。這種放縮通常基于數(shù)列的單調(diào)性、有界性或其他已知性質(zhì)。
裂項放縮方法的關鍵在于準確裂項和合理放縮，它能夠幫助我們簡化問題，揭示數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律，從而更輕松地證明數(shù)列不等式。
【變式2-1】已知正項數(shù)列滿足，，且對于任意，滿足．
(1)求出數(shù)列的通項公式；
(2)設，證明：數(shù)列的前n項和；
(3)設，證明：．
【解析】（1）因為，，，
當時，，計算得，·
由，可得，
兩相減可知，
整理可得，·
所以為定值，定值為，
所以
所以為等差數(shù)列，故．
（2）證明:由（1）得，所以，·
，
故
因為·，所以，所以，即
（3）證明：
，·
因為，·
所以
．·
另．
【變式2-2】已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求；
(2)若從數(shù)列中刪除中的項，余下的數(shù)組成數(shù)列．
①求數(shù)列的前項和；
②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，證明：．
【解析】（1）∵，∴當時，，
兩式相減得，，整理得，即，
∴當時，，滿足此式，
∴.
（2）①由（1）得，，∴，，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.
當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為的整數(shù)倍，是數(shù)列中的項，
當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，不是數(shù)列中的項，
∴數(shù)列中的項為數(shù)列的偶數(shù)項，且，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，
∴，，
∴.
②由①得，，∴，
∵成等比數(shù)列，∴，即，
∴，∴，
∴.
1．已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）由，①
當時，，所以，
當時，，②
由①②得，
所以，
當時，上式也成立，
所以；
（2），·
因為，
所以，
當時，，
當時，
，
綜上所述，.
【熱考點三】等比放縮
【典例3-1】已知數(shù)列滿足,（）.
(1)記（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)設（），且數(shù)列的前項和為，求證：（）.
【解析】（1）
，
又，
所以，數(shù)列為以為首項，為公比的等比數(shù)列.
由等比數(shù)列的通項公式知.
（2）由（1）可知，又，.
設，則，
設，，
，，
故.
（3），
，
所以欲證，只需證，
即證.
設，
，故在上單調(diào)遞減，，
時，.
，得證.
【典例3-2】已知數(shù)列和滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和；
(3)證明：．
【解析】（1）由題意知，，
所以，
即，又，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，所以，
所以
．
（3）由（1）知，所以．
當為偶數(shù)時，．
所以．
當為奇數(shù)時，，
而，所以．
綜上可知原命題成立．
等比放縮方法是一種處理數(shù)列不等式問題的有效技巧。其核心思想在于，通過觀察數(shù)列的項與項之間的關系，發(fā)現(xiàn)其等比規(guī)律，并利用這一規(guī)律對數(shù)列的項進行適當?shù)姆糯蠡蚩s小。
在具體應用時，我們可以根據(jù)數(shù)列的等比性質(zhì)，選擇一個合適的等比數(shù)列作為放縮的基準，然后對原數(shù)列的每一項都按照這個等比數(shù)列進行放縮。這種方法的關鍵在于準確把握等比數(shù)列的性質(zhì)，以及合理確定放縮的倍數(shù)，從而確保放縮后的不等式仍然成立。
【變式3-1】數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和的公共項組成的數(shù)列記為，求的通項公式；
(3)記數(shù)列的前項和為，證明：
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由可得，易知，所以，解得；
又可得，可得；
由可得，即；
因此可得，；
所以數(shù)列和的通項公式為.
（2）數(shù)列和的公共項需滿足，
可得，即是4的整數(shù)倍，
可知，由二項式定理可知若是4的倍數(shù)，則為正數(shù)，即；
所以可得，
即的通項公式為
（3）易知，顯然對于都成立，
所以對于都成立，
即
，
即可得.
【變式3-2】已知數(shù)列的前項和為，若，且滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）依題意，·可知（），
當時，由，可知，
由，可得兩式相減可知，，即（），
因此時，為公比為2的等比數(shù)列，故（），
所以.
（2）由（1）可知，，，當時，，也符合該形式，
因此（），
.
1．已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求；
(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．
【解析】（1）當時，，解得；
當時，，，則，
因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，即；
（2）由（1）知，
依題意，
因為，，則，即；
因為，
所以，
而，
故，即．
綜上所述，．
【熱考點四】型不等式證明
【典例4-1】已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)記數(shù)列的前項和為．
（i）若，證明：．
（ii）已知函數(shù)，若，，，證明：.
【解析】（1）設，當時，，
所以在上為增函數(shù)，故當時，，
所以當時，
設，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，故當時，，
所以當時，
故當時，
因為，當時，，
所以在上為增函數(shù)，
因為當時，，且由，
可得，所以，即，
所以
（2）（i）因為，
所以，
則，
所以，
即，
所以
（ii）函數(shù)，
因為當時，，
所以當時，，
所以當時，，
因此，
故，即
因為，
所以當時，，
綜上，，所以，
所以，
即.
【典例4-2】數(shù)列的前項和為， 滿足 且首項 .
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)令討論（為的導數(shù)）與 的大小關系.
【解析】（1）由已知可得時，，
兩式相減得，即，
∴，
當時，，∴，
∵，∴，∴，
故有，∴，
∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴，故.
（2）∵，∴，
∴
，
∴，
①-②得， ，
∴，
∴，
當時，，∴.
當時，，∴.
當時， ，∵，
∴ ，∴ ，
綜上，當時，；
當時，；
當時，.
通項分析法進行放縮
【變式4-1】已知函數(shù)在點處的切線與軸重合．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)已知正項數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前項和為，求證：．
【解析】（1）因為，且，
由題意可得，即，可得，
可知的定義域為，且，
令，解得；令，解得；
可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以有極大值，無極小值．
（2）由（1）可得，當且僅當時取等號，
可得，當且僅當時取等號，
等價變形為，即，當且僅當時取等號，
代入題干中可得，
則，即，
當時，，即，
且符合上式，所以，，則，
由，令得，即，
所以.
【變式4-2】已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，都有恒成立，求的最大整數(shù)值；
(3)對于任意的，證明：．
【解析】（1）當時，，
所以函數(shù)定義域為，，
令，則，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又即，
所以即在上恒成立，當且僅當時，，
所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）因為對任意，都有恒成立，
所以對任意，恒成立，
即對任意，恒成立，
所以，
所以，
因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以存在，使得即，
所以當時，即，當時，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，令，
則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以的最大整數(shù)值為3，即的最大整數(shù)值為2.
（3）證明：由（1）知在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)，所以，
故，
所以，
累加得，
所以.
1．柯西不等式是數(shù)學家柯西在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的，其形式為：，等號成立條件為或至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來計算或證明表達式的最值問題．已知數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）因為，
所以為常數(shù)，
又，得到，
所以數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列，
由，得到.
（2）要證，
即證，
即證，
由柯西不等式知，
當且僅當時取等號，
即，
所以只需證明，
由（1）知，
所以只需證明，
即證明，
下面用數(shù)學歸納法證明，
（1）當時，不等式左邊，不等式右邊，所以時，不等式成立，
（2）假設時，不等式成立，即成立，
則時，，
令，則在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
得到，取，得到，
整理得到，即，
所以，
即，不等式仍成立，
由（1）（2）知，對一切，，
所以.專題12 數(shù)列不等式放縮（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點】 4
【熱考點一】先求和后放縮 4
【熱考點二】裂項放縮 5
【熱考點三】等比放縮 7
【熱考點四】型不等式證明 8
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
1．（2023年天津高考數(shù)學真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數(shù)列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
2．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
3．（2021年天津高考數(shù)學試題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
4．（2021年浙江省高考數(shù)學試題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項；
（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
5．（2020年浙江省高考數(shù)學試卷）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．
【熱考點一】先求和后放縮
【典例1-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知的前n項和為，，且滿足______，現(xiàn)有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【典例1-2】已知數(shù)列滿足：是公差為6的等差數(shù)列，是公差為9的等差數(shù)列，且.
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)設是方程的根，數(shù)列的前項和為，證明：.
【變式1-1】已知數(shù)列滿足.記.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)若，數(shù)列的前項和為，求證：.
【變式1-2】已知在數(shù)列中，，且當時，.
(1)求的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.
1．設數(shù)列的前項和為．若對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”．
(1)若，判斷數(shù)列是否是“數(shù)列”；
(2)設是等差數(shù)列，其首項，公差，且是“數(shù)列”，
①求的值；
②設為數(shù)列的前項和，證明：
【熱考點二】裂項放縮
【典例2-1】已知數(shù)列的首項為1，其前項和為，等比數(shù)列是首項為1的遞增數(shù)列，若．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數(shù)．
【典例2-2】數(shù)列中，，，（）.
(1)試求、的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前n項和，證明：時，.
【變式2-1】已知正項數(shù)列滿足，，且對于任意，滿足．
(1)求出數(shù)列的通項公式；
(2)設，證明：數(shù)列的前n項和；
(3)設，證明：．
【變式2-2】已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求；
(2)若從數(shù)列中刪除中的項，余下的數(shù)組成數(shù)列．
①求數(shù)列的前項和；
②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，證明：．
1．已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
【熱考點三】等比放縮
【典例3-1】已知數(shù)列滿足,（）.
(1)記（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)設（），且數(shù)列的前項和為，求證：（）.
【典例3-2】已知數(shù)列和滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和；
(3)證明：．
【變式3-1】數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足：，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)數(shù)列和的公共項組成的數(shù)列記為，求的通項公式；
(3)記數(shù)列的前項和為，證明：
【變式3-2】已知數(shù)列的前項和為，若，且滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
1．已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求；
(2)若，記數(shù)列的前n項和為，求證：．
【熱考點四】型不等式證明
【典例4-1】已知函數(shù)．
(1)若，證明：；
(2)記數(shù)列的前項和為．
（i）若，證明：．
（ii）已知函數(shù)，若，，，證明：.
【典例4-2】數(shù)列的前項和為， 滿足 且首項 .
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)令討論（為的導數(shù)）與 的大小關系.
【變式4-1】已知函數(shù)在點處的切線與軸重合．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)已知正項數(shù)列滿足，，，記數(shù)列的前項和為，求證：．
【變式4-2】已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意，都有恒成立，求的最大整數(shù)值；
(3)對于任意的，證明：．
1．柯西不等式是數(shù)學家柯西在研究數(shù)學分析中的“流數(shù)”問題時得到的，其形式為：，等號成立條件為或至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來計算或證明表達式的最值問題．已知數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：．

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