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專題11 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和與綜合應(yīng)用（新高考專用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 5
【熱考考點(diǎn)】 7
【熱考點(diǎn)一】等差、等比數(shù)列基本量 7
【熱考點(diǎn)二】證明等差、等比數(shù)列 8
【熱考點(diǎn)三】等差、等比數(shù)列綜合 9
【熱考點(diǎn)四】數(shù)列的通項(xiàng)公式 10
【熱考點(diǎn)五】數(shù)列求和 11
【熱考點(diǎn)六】數(shù)列性質(zhì)綜合 13
1、利用定義判斷數(shù)列的類型：注意定義要求的任意性，例如若數(shù)列滿足（常數(shù)）（，）不能判斷數(shù)列為等差數(shù)列，需要補(bǔ)充證明；
2、數(shù)列滿足，則是等差數(shù)列；
3、數(shù)列滿足，為非零常數(shù)，且，則為等比數(shù)列；
4、在處理含，的式子時(shí)，一般情況下利用公式，消去，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；但是有些題目雖然要求的通項(xiàng)公式，但是并不便于運(yùn)用，這時(shí)可以考慮先消去，得到關(guān)于的遞推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累加法求的通項(xiàng)公式，遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求的通項(xiàng)公式，注意在使用上述方法求通項(xiàng)公式時(shí)，要對(duì)第一項(xiàng)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)．
6、遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（1）形如（，），可變形為，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可以求出；
（2）形如（，），此類問題可兩邊同時(shí)除以，得，設(shè)，從而變成，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問題；
（3）形如，可以考慮兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式，設(shè)，則有，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問題．
7、公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和．利用等比數(shù)列求和公式，當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為進(jìn)行討論．
8、用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：，，裂項(xiàng)后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，但是前后所剩項(xiàng)數(shù)一定相同．
常見的裂項(xiàng)公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)：
（1）要善于通過通項(xiàng)公式特征識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
（2）在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；
（3）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
10、分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：
（1）若，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求的前項(xiàng)和；
（2）通項(xiàng)公式為，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和；
（3）要善于識(shí)別一些變形和推廣的分組求和問題．
11、在等差數(shù)列中，若（，，，，），則．
在等比數(shù)列中，若（，，，，），則．
12、前項(xiàng)和與積的性質(zhì)
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．
①，，，…也成等差數(shù)列，公差為．
②也是等差數(shù)列，且，公差為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，．
若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則，．
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為
①當(dāng)時(shí)，，，，…也成等比數(shù)列，公比為
②相鄰項(xiàng)積，，，…也成等比數(shù)列，公比為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，沒有較好性質(zhì)．
13、衍生數(shù)列
（1）設(shè)數(shù)列和均是等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為，，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等差數(shù)列，公差為．
②數(shù)列，也是等差數(shù)列，而是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列和均是等比數(shù)列，且等比數(shù)列的公比為，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為．
②數(shù)列，，，，，
也是等比數(shù)列，而是等差數(shù)列．
14、判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
（1）比較法（作差或作商）；（2）函數(shù)化（要注意擴(kuò)展定義域）．
15、求數(shù)列最值的方法（以最大值項(xiàng)為例，最小值項(xiàng)同理）
方法：利用數(shù)列的單調(diào)性；
方法2：設(shè)最大值項(xiàng)為，解方程組，再與首項(xiàng)比較大?。?br/>一、單選題
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
8．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ．
三、解答題
9．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
10．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
11．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式及；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．
（?。┣笞C：當(dāng)時(shí)，求證：；
（ⅱ）求．
12．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
(1)若，求；
(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.
13．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
14．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
15．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
16．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
【熱考點(diǎn)一】等差、等比數(shù)列基本量
【典例1-1】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，為等比數(shù)列，則（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【變式1-1】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
【變式1-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，若，則（ ）
A． B．2 C． D．3
1．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【熱考點(diǎn)二】證明等差、等比數(shù)列
【典例2-1】已知數(shù)列滿足，公差不為0的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列，
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
(2)求和的通項(xiàng)公式．
【典例2-2】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.
①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【變式2-1】設(shè)數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【變式2-2】[新考法]（2024·山西呂梁·二模）已知雙曲線，點(diǎn)在上.按如下方式構(gòu)造點(diǎn)：過點(diǎn)作斜率為1的直線與的左支交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，記點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
1．[新考法]在等差數(shù)列中，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，且；
【熱考點(diǎn)三】等差、等比數(shù)列綜合
【典例3-1】已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【典例3-2】（2024·湖北十堰·三模）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【變式3-1】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【變式3-2】已知數(shù)列中，，，對(duì)任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)若是等差數(shù)列，求k的值；
(2)若，，求；
(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)，，按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【熱考點(diǎn)四】數(shù)列的通項(xiàng)公式
【典例4-1】已知數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是
【典例4-2】在數(shù)列中，已知，且，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【變式4-1】求通項(xiàng)公式
(1)已知數(shù)列、、、、求通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中，，且點(diǎn)在直線上，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(4)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【變式4-2】（1）已知數(shù)列滿足（n為正整數(shù)），且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，．求的通項(xiàng)公式．
（3）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（4）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)于n為正整數(shù)，都有．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
【熱考點(diǎn)五】數(shù)列求和
【典例5-1】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【典例5-2】（2024·高三·天津?yàn)I海新·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，，若，，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【變式5-1】設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列. 且 ，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為的前項(xiàng)和，求證：；
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式5-2】（2024·山東濰坊·三模）在①數(shù)列為等差數(shù)列，且；②，；③正項(xiàng)數(shù)列滿足這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.
問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
1．已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求
【熱考點(diǎn)六】數(shù)列性質(zhì)綜合
【典例6-1】（多選題）（2024·高三·重慶·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為 B．滿足的最小值是14
C．滿足的最大值是14 D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第8項(xiàng)
【典例6-2】（多選題）（2024·高三·甘肅白銀·期末）已知數(shù)列滿足：，則下列說法不正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．存在，使得
C．存在，使得 D．存在，使得
【變式6-1】（多選題）（2024·廣東·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．
B．
C．當(dāng)時(shí)，取得最小值
D．記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為
【變式6-2】（多選題）（2024·四川眉山·一模）已知數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A． B．
C．當(dāng)時(shí)， D．
1．（多選題）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)或10時(shí)，取得最大值 B．
C．成立的n的最大值為20 D．專題11 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和與綜合應(yīng)用（新高考專用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 5
【熱考考點(diǎn)】 23
【熱考點(diǎn)一】等差、等比數(shù)列基本量 23
【熱考點(diǎn)二】證明等差、等比數(shù)列 25
【熱考點(diǎn)三】等差、等比數(shù)列綜合 30
【熱考點(diǎn)四】數(shù)列的通項(xiàng)公式 35
【熱考點(diǎn)五】數(shù)列求和 40
【熱考點(diǎn)六】數(shù)列性質(zhì)綜合 47
1、利用定義判斷數(shù)列的類型：注意定義要求的任意性，例如若數(shù)列滿足（常數(shù)）（，）不能判斷數(shù)列為等差數(shù)列，需要補(bǔ)充證明；
2、數(shù)列滿足，則是等差數(shù)列；
3、數(shù)列滿足，為非零常數(shù)，且，則為等比數(shù)列；
4、在處理含，的式子時(shí)，一般情況下利用公式，消去，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；但是有些題目雖然要求的通項(xiàng)公式，但是并不便于運(yùn)用，這時(shí)可以考慮先消去，得到關(guān)于的遞推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累加法求的通項(xiàng)公式，遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求的通項(xiàng)公式，注意在使用上述方法求通項(xiàng)公式時(shí)，要對(duì)第一項(xiàng)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)．
6、遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（1）形如（，），可變形為，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可以求出；
（2）形如（，），此類問題可兩邊同時(shí)除以，得，設(shè)，從而變成，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問題；
（3）形如，可以考慮兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式，設(shè)，則有，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個(gè)問題．
7、公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和．利用等比數(shù)列求和公式，當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為進(jìn)行討論．
8、用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：，，裂項(xiàng)后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，但是前后所剩項(xiàng)數(shù)一定相同．
常見的裂項(xiàng)公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)：
（1）要善于通過通項(xiàng)公式特征識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
（2）在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；
（3）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
10、分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：
（1）若，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求的前項(xiàng)和；
（2）通項(xiàng)公式為，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和；
（3）要善于識(shí)別一些變形和推廣的分組求和問題．
11、在等差數(shù)列中，若（，，，，），則．
在等比數(shù)列中，若（，，，，），則．
12、前項(xiàng)和與積的性質(zhì)
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．
①，，，…也成等差數(shù)列，公差為．
②也是等差數(shù)列，且，公差為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，．
若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則，．
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為
①當(dāng)時(shí)，，，，…也成等比數(shù)列，公比為
②相鄰項(xiàng)積，，，…也成等比數(shù)列，公比為．
③若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，沒有較好性質(zhì)．
13、衍生數(shù)列
（1）設(shè)數(shù)列和均是等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為，，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等差數(shù)列，公差為．
②數(shù)列，也是等差數(shù)列，而是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列和均是等比數(shù)列，且等比數(shù)列的公比為，為常數(shù)．
①的等距子數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為．
②數(shù)列，，，，，
也是等比數(shù)列，而是等差數(shù)列．
14、判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
（1）比較法（作差或作商）；（2）函數(shù)化（要注意擴(kuò)展定義域）．
15、求數(shù)列最值的方法（以最大值項(xiàng)為例，最小值項(xiàng)同理）
方法：利用數(shù)列的單調(diào)性；
方法2：設(shè)最大值項(xiàng)為，解方程組，再與首項(xiàng)比較大?。?br/>一、單選題
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為 ，且斛量器的高為，則斗量器的高為 ，升量器的高為 ．
8．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ．
三、解答題
9．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
10．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
11．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式及；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．
（?。┣笞C：當(dāng)時(shí)，求證：；
（ⅱ）求．
12．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
(1)若，求；
(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.
13．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
14．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
15．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．
(1)求的通項(xiàng)公式和．
(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，則，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
16．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6
答案 D B C C B B
1．D
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
2．B
【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.
【詳解】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
3．C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．
【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
4．C
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
5．B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，
則在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故選：B
6．B
【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．
【詳解】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

7． 23 57.5/
【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.
【詳解】設(shè)升量器的高為，斗量器的高為（單位都是），則，
故，.
故答案為：.
8． 48 384
【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，
且，所以；
又因?yàn)?，則；
空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因?yàn)?故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和
.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法可求.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
11．(1)
(2)①證明見詳解；②
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；
（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋矗?br/>可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當(dāng)時(shí)，則，即
可知，
，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；
2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.
12．(1)，
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；
（2）思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；思路二：利用點(diǎn)差法和合比性質(zhì)即可證明；
（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無關(guān)的定值即可.思路三：利用點(diǎn)差法得到，，再結(jié)合（2）中的結(jié)論得，最后證明出即可.
【詳解】（1）
由已知有，故的方程為.
當(dāng)時(shí)，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.
解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.
故，從而，.
（2）方法一：由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.
展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.
從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.
所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.
所以.
這就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
方法二：因?yàn)?，，，則，
由于，作差得，
，利用合比性質(zhì)知，
因此是公比為的等比數(shù)列.
（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）
證明：
.
證畢，回到原題.
由于上一小問已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
而又有，，
故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得
.
這就表明的取值是與無關(guān)的定值，所以.
方法二：由于上一小問已經(jīng)得到，，
故.
再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有
.
這就得到，
以及.
兩式相減，即得.
移項(xiàng)得到.
故.
而，.
所以和平行，這就得到，即.
方法三：由于，作差得，
變形得①，
同理可得，
由（2）知是公比為的等比數(shù)列，令則②，
同時(shí)是公比為的等比數(shù)列，則③，
將②③代入①，
即，從而，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因?yàn)椋?br/>令，解得，且，
當(dāng)時(shí)，則，可得；
當(dāng)時(shí)，則，可得
；
綜上所述：.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡得：，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．
（2）因?yàn)?，所以?br/>，
兩式相減得，
，
，即，．
15．(1)，；
(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為.
【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.
(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時(shí)，，
取，當(dāng)時(shí)，，取，即可證得題中的不等式；
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可計(jì)算其前項(xiàng)和.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時(shí)，，
取，則，即，
當(dāng)時(shí)，，
取，此時(shí)，
據(jù)此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數(shù)列的公比滿足，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
其前項(xiàng)和為：.
【點(diǎn)睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計(jì)算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對(duì)學(xué)生探索新知識(shí)很有裨益.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡條件，求出，再求；
(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對(duì)于任意的恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，，
又
所以
【熱考點(diǎn)一】等差、等比數(shù)列基本量
【典例1-1】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
有，
可得
．
故選：A．
【典例1-2】記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，為等比數(shù)列，則（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以的首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，
第三項(xiàng)為，
故的公比為2，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)也符合，
故，所以.
故選：D.
利用等差數(shù)列中的基本量（首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)），等比數(shù)列的基本量（首項(xiàng)，公比，項(xiàng)數(shù)）翻譯條件，將問題轉(zhuǎn)換成含基本量的方程或不等式問題求解．
【變式1-1】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．25 B．16 C．9 D．4
【答案】D
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，
（也可由等差數(shù)列的性質(zhì)得，得）
解得，又，所以，
解得或．
因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，，所以．
故選：D
【變式1-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為，若，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】由可知，故，
故，故，
故選：B
1．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，，
則，
所以，
從而，
故，
故選：C.
【熱考點(diǎn)二】證明等差、等比數(shù)列
【典例2-1】已知數(shù)列滿足，公差不為0的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列，
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
(2)求和的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）數(shù)列中，，
則，而，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為；
（2）由（1）知，，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由成等比數(shù)列，得，
即，則有，
又，即，于是，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
【典例2-2】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.
①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】解①③②.
已知是等差數(shù)列，.
設(shè)數(shù)列的公差為，則，得，
所以.
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以，
所以（常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列.
①②③.
已知是等差數(shù)列，是等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列的公差為，
則.
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，則，即，
所以.
②③①.
已知數(shù)列是等差數(shù)列，，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，
則，得，所以，所以，
所以時(shí)，，對(duì)也適合，
所以，所以常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列.
判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見的方法如下．
（1）定義法：對(duì)于的任意正整數(shù)：
①若為一常數(shù)，則為等差數(shù)列；
②若為常數(shù)，則為等比數(shù)列．
（2）通項(xiàng)公式法：
①若，則為等差數(shù)列；
（2）若，則為等比數(shù)列．
（3）中項(xiàng)公式法：
①若，則為等差數(shù)列；
②若，則為等比數(shù)列．
（4）前項(xiàng)和法：若的前項(xiàng)和滿足：
①，則為等差數(shù)列．
②，則為等比數(shù)列．
【變式2-1】設(shè)數(shù)列滿足．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）由，，得，
由，
得，
所以，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得，則，
則；；，
．
由累加法可得，
又，則，同時(shí)滿足上式，
所以．
【變式2-2】[新考法]（2024·山西呂梁·二模）已知雙曲線，點(diǎn)在上.按如下方式構(gòu)造點(diǎn)：過點(diǎn)作斜率為1的直線與的左支交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，記點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
【解析】（1）
由題知，所以雙曲線，
又過點(diǎn)，斜率為1的直線方程為，
由雙曲線與直線的對(duì)稱性可知，所以，
又過，且斜率為1的直線方程為，即，
由，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
所以，所以；
綜上：
（2）設(shè)，
則過，且斜率為1的直線方程為，
聯(lián)立，消得到，
由題有，得到，
由題知點(diǎn)在直線上，
即有，
所以，所以，所以，
由（1）知，所以數(shù)列為1為首項(xiàng)，3的公比的等比數(shù)列；
1．[新考法]在等差數(shù)列中，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，且；
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由題意知，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，
數(shù)列前項(xiàng)和，
所以，
因?yàn)?，所以?br/>所以，
所以，
所以.
【熱考點(diǎn)三】等差、等比數(shù)列綜合
【典例3-1】已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【解析】（1）證明：因，
則，
則是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列；
（2）由（1），，
則是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則；
（3）由（2），，
則，
則.
證明：假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列，
設(shè)這三項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為.其中，
則，.
設(shè)，則，
得，
注意到，，
則.
這與矛盾，則數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列.
【典例3-2】（2024·湖北十堰·三模）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個(gè)等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【解析】（1）因?yàn)棰伲?br/>當(dāng)時(shí)，②，
①②，得．
所以，當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以的通項(xiàng)公式為．
（2）由題，知，得，
則③，
④，
③④得 ，
所以．
在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時(shí)，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，并適時(shí)地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的．
【變式3-1】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，所以?br/>所以，所以，
又，即，所以，所以.
（2）由（1）得，
即是數(shù)列中的第項(xiàng).
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
因?yàn)?，?br/>所以數(shù)列的前100項(xiàng)是由數(shù)列的前107項(xiàng)去掉數(shù)列的前7項(xiàng)后構(gòu)成的，
所以.
【變式3-2】已知數(shù)列中，，，對(duì)任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)若是等差數(shù)列，求k的值；
(2)若，，求；
(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)，，按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，可得，
即，即，故．
（2）由時(shí)，，即，
整理得，故．
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，
．
綜上，．
（3）若是等比數(shù)列，則公比，
由題意，故，，．
①若為等差中項(xiàng)，則，即，，解得（舍去）；
②若為等差中項(xiàng)，則，即，．
因?yàn)?，解得，?br/>③若為等差中項(xiàng)，則，即，．
因?yàn)椋獾?，?br/>綜上，存在實(shí)數(shù)k滿足題意，．
1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知：
當(dāng)時(shí)，，①
當(dāng)時(shí)，，②
聯(lián)立①②，解得（舍去），
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知．
所以，
所以．
設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．
則，
所以，即，
又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，
所以，
所以，
化簡得，
所以，
又，所以，與已知矛盾，
所以在數(shù)列中不存在不同的3項(xiàng)成等比數(shù)列．
【熱考點(diǎn)四】數(shù)列的通項(xiàng)公式
【典例4-1】已知數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是
【答案】
【解析】由，則，
即，又，則，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
即，
則有，，，，且，
故，即，顯然均滿足.
故答案為：.
【典例4-2】在數(shù)列中，已知，且，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【解析】令，
則，
由條件得，解得，
即，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，
從而，故.
故答案為：.
常見求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有如下六種：
（1）觀察法：根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法猜想其通項(xiàng)公式．
（2）累加法：形如的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒數(shù)法：形如的關(guān)系式
（6）構(gòu)造輔助數(shù)列法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差（比）數(shù)列構(gòu)造為等差（比）數(shù)列來求通項(xiàng)公式．
【變式4-1】求通項(xiàng)公式
(1)已知數(shù)列、、、、求通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列中，，且點(diǎn)在直線上，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(4)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】（1）因?yàn)?，，，?br/>由觀察法可得.
（2）在數(shù)列中，，且點(diǎn)在直線上，
則，所以，，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公差為，
所以，.
（3）數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足，
即，
由題意可知，對(duì)任意的，則，則當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，，則，
故當(dāng)時(shí)，，
且且滿足，故對(duì)任意的，.
（4）因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，可得，
當(dāng)時(shí)，，，
上述兩個(gè)等式作差可得，
所以，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成以為公差的等差數(shù)列，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，可得，
則；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，可得，
則.
故對(duì)任意的，.
【變式4-2】（1）已知數(shù)列滿足（n為正整數(shù)），且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，．求的通項(xiàng)公式．
（3）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（4）設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)于n為正整數(shù)，都有．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以，所以
．
又，所以當(dāng)時(shí)也適合上式，所以；
（2）因?yàn)闀r(shí)，，
所以，兩式相減得到
，化簡整理得
，
所以，當(dāng)時(shí)，，
又當(dāng)，，
又，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，
．
又當(dāng)時(shí)，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，不滿足．
綜上所述，；
（3）因?yàn)椋剩?br/>所以，整理得，
又，，，
所以為定值．故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，得；
（4）因?yàn)棰伲?br/>所以②，
②①得．所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)
與偶數(shù)項(xiàng)分別是公差為2的等差數(shù)列，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
所以.
1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
【解析】當(dāng)時(shí)，，且，所以；
當(dāng)時(shí)，由，得，則
，可得，
即，且，可得，
可知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則，可得，
且，可知是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，即.
【熱考點(diǎn)五】數(shù)列求和
【典例5-1】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
條件①：；
條件②：；
條件③：.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為.
，
，
，
所以，
所以.
（2）若選①：，
；
若選②：，
.
若選③：，
.
【典例5-2】（2024·高三·天津?yàn)I海新·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，，若，，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，則由，
即，得 ，
解得 或，因?yàn)?，故舍去?br/>所以，．
（2）由（1）得，，所以，
令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，
即①，
②，
兩式相減得：
，
所以.
（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為
由，，得，
則，即；
故
.
求數(shù)列前項(xiàng)和的常見方法有以下四種．
（1）公式法：利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（2）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng)．其方法核心有兩點(diǎn)：一是裂項(xiàng)，將一個(gè)式子分裂成兩個(gè)式子差的形式；二是要能相消．常見的裂項(xiàng)相消變換有以下形式．
①分式裂項(xiàng)：；
②根式裂項(xiàng)：；
③對(duì)數(shù)式裂項(xiàng)；
④指數(shù)式裂項(xiàng)
（3）錯(cuò)位相減法
（4）分組轉(zhuǎn)化法
【變式5-1】設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列. 且 ，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記為的前項(xiàng)和，求證：；
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，化簡，得，
整理，得， 解得(舍去)，或，則，
，.
（2）由 (1) 可知，，
則，
，
.
（3）由 (1) 可得，
，
，
令，
兩式相減，可得
，
，
令
,
.
【變式5-2】（2024·山東濰坊·三模）在①數(shù)列為等差數(shù)列，且；②，；③正項(xiàng)數(shù)列滿足這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.
問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】（1）若選①，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，令，則，所以公差，
所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
若選②，當(dāng)時(shí)，，因此，
即，所以為常數(shù)列，因此，所以；
若選③，當(dāng)時(shí)，，即.
又因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，有，，
所以，即.
又因?yàn)?，所以，所以是?為公差的等差數(shù)列，
所以.
（2）若選①，由（1）可知，
；
若選②，由（1）可知，
；
若選③，由（1）可知，
.
1．已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，依題意，，
由是遞減數(shù)列，解得，因此；
數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，，
而滿足上式，因此，
所以的通項(xiàng)公式為， 的通項(xiàng)公式為.
（2）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，則，，
兩式相減得：，
因此；
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，，
則，
所以.
【熱考點(diǎn)六】數(shù)列性質(zhì)綜合
【典例6-1】（多選題）（2024·高三·重慶·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為 B．滿足的最小值是14
C．滿足的最大值是14 D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第8項(xiàng)
【答案】ABD
【解析】由可知．
對(duì)于選項(xiàng)A：由為負(fù)，為正可知，最小，A正確．
對(duì)于選項(xiàng)B：，
則滿足的最小值為14，滿足的最大值是13,故B正確，C錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)D：由為負(fù)，為正，且為負(fù)，為正可知：
為負(fù)．考慮到，故最大，即最小，正確．
故選：ABD
【典例6-2】（多選題）（2024·高三·甘肅白銀·期末）已知數(shù)列滿足：，則下列說法不正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．存在，使得
C．存在，使得 D．存在，使得
【答案】ABC
【解析】因?yàn)椋瑒t，可得，
由可得，則，則，
設(shè)函數(shù)，其中，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，
因?yàn)?，則，，，
以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，
故數(shù)列為遞增數(shù)列，A錯(cuò)，B錯(cuò)，C錯(cuò)；
因?yàn)椋瑒t，
，
因此，存在，便得，D對(duì).
故選：ABC
解題時(shí)，首先要深刻理解等差、等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，并熟練掌握常用的方法和技能。對(duì)于復(fù)雜的數(shù)列問題，要學(xué)會(huì)將大問題分解成小問題，運(yùn)用函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想處理數(shù)列問題。同時(shí)，要善于運(yùn)用猜想與歸納等數(shù)學(xué)思想，將實(shí)際問題或非分等比等差問題轉(zhuǎn)化為等比等差問題處理。此外，數(shù)列與不等式、函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的交匯也是?？键c(diǎn)，需要靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和方法?？傊?，解決數(shù)列性質(zhì)的綜合問題，需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想和方法，加強(qiáng)解題反思，提高運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。
【變式6-1】（多選題）（2024·廣東·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．
B．
C．當(dāng)時(shí)，取得最小值
D．記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為
【答案】BCD
【解析】由題意可設(shè)公差為，則有
由有：，故A錯(cuò)誤；
故B正確；
，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確；
因?yàn)椋?br/>所以
所以為等差數(shù)列，公差為4，首項(xiàng)為，
所以的前項(xiàng)和為：故D正確.
故選：BCD.
【變式6-2】（多選題）（2024·四川眉山·一模）已知數(shù)列滿足，，且，則（ ）
A． B．
C．當(dāng)時(shí)， D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)于B，由，
得，
即，整理得，
當(dāng)時(shí)，，
滿足上式，因此，B錯(cuò)誤；
對(duì)于A，，即，又，解得，A正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，又，因此，即，C正確；
對(duì)于D，由，得，又，，
因此，令函數(shù)，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，
因此，即，D正確.
故選：ACD
1．（多選題）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)或10時(shí)，取得最大值 B．
C．成立的n的最大值為20 D．
【答案】AD
【解析】因?yàn)?，則，
且數(shù)列為等差數(shù)列，則，
可得，即，
又因?yàn)椋芍寒?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
對(duì)于選項(xiàng)A：由可知，所以當(dāng)或10時(shí)，取得最大值，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：由的符號(hào)性可知：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則；
②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
且，可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以成立的n的最小值為20，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，故D正確；
故選：AD.

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