資源簡介

專題08 平面向量（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 5
【熱考考點】 7
【熱考點一】平面向量基本定理及其應用 7
【熱考點二】平面向量共線的充要條件 8
【熱考點三】平面向量的數量積 9
【熱考點四】平面向量的模與夾角 10
【熱考點五】等和線問題 11
【熱考點六】極化恒等式 12
1.向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
4.平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
5.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
6.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
8.平面向量數量積的有關概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)數量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝|a|cos θ e.
9.平面向量數量積的性質及其坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夾角：cos θ＝＝.
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
10.平面向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
11.平面幾何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；
(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.
1.兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b<0且a，b不共線.
2.平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.數量積運算律要準確理解、應用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量.
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
3．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
7．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全國乙卷·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
12．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題
13．（2024·天津·高考真題）已知正方形的邊長為1，若，其中為實數，則 ；設是線段上的動點，為線段的中點，則的最小值為 ．
14．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
15．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
16．（2022·天津·高考真題）在中，點D為AC的中點，點E滿足.記，用表示 ，若，則的最大值為
【熱考點一】平面向量基本定理及其應用
【典例1-1】如圖，在中，，是的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如圖，在中，點D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近的四等分點，CD與AE交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2024·廣東·模擬預測）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2024·新疆·模擬預測）在平行四邊形中，分別在邊上，，相交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
1．如圖，在平行四邊形中，點滿足，點為的中點，則（ ）

A． B． C． D．
【熱考點二】平面向量共線的充要條件
【典例2-1】在中，、分別在邊、上，且，，在邊上（不包含端點）．若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知是平面內兩個不共線的向量，，，則三點共線的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】如圖，已知點是的重心，過點作直線分別與，兩邊交于，兩點，設，，則的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．3
【變式2-2】如圖所示，中，點是線段的中點，是線段上的動點，若，則的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
1．已知是所在平面內一點，若均為正數，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【熱考點三】平面向量的數量積
【典例3-1】如圖，在平行四邊形中，分別為的中點，為上一點，且，，則 ．
【典例3-2】已知向量，滿足，且，則 ．
【變式3-1】如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為 .
【變式3-2】如圖，在平面四邊形中，O為的中點，且，.若，則 .
1．已知是邊長為4的等邊三角形，點D，E分別是邊，的中點，連接并延長到點F．使得，則 ．
【熱考點四】平面向量的模與夾角
【典例4-1】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預測）已知向量，滿足，，，則 ．
【典例4-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在中，，，P在以O為圓心，半徑為1的圓上運動，則當取最大值時， ．
【變式4-1】（2024·高三·重慶·期末）已知非零向量滿足：，且，則 .
【變式4-2】已知平面內兩個向量，，若與的夾角為鈍角，則實數k的取值范圍是 .
1．平面向量滿足，，若，則 .
【熱考點五】等和線問題
【典例5-1】已知在中，點P滿足，動點M在的三邊及內部運動，設，則的取值范圍為 .（用區間表示）
【典例5-2】如圖，已知是圓上不同的三點，與交于點（點與點不重合），若，則的取值范圍是 ．
【變式5-1】已知點為扇形的弧上任意一點，且，若，則的取值范圍是 .
【變式5-2】如圖所示， ，圓與分別相切于點， ，點是圓及其內部任意一點，且，則的取值范圍是 ．
1．已知為內一點，且，點在內（不含邊界），若，則的取值范圍是 ．
【熱考點六】極化恒等式
【典例6-1】（2024·江西·模擬預測）已知圓C的半徑為2，點A滿足，E，F分別是C上兩個動點，且，則的取值范圍是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【典例6-2】已知正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式6-1】已知圓的半徑為2，弦長，為圓上一動點，則的最大值為 .
【變式6-2】在中，，，，P，Q是BC邊上的兩個動點，且，則的最大值為 ．
1．已知點O為坐標原點，為圓的內接正三角形，則的最小值為 ．
2．如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為 .若在線段上有一個動點，則的最小值為 .專題08 平面向量（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 5
【熱考考點】 17
【熱考點一】平面向量基本定理及其應用 17
【熱考點二】平面向量共線的充要條件 21
【熱考點三】平面向量的數量積 24
【熱考點四】平面向量的模與夾角 27
【熱考點五】等和線問題 30
【熱考點六】極化恒等式 35
1.向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
向量運算 定　義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求兩個向量差的運算 a－b＝a＋(－b)
數乘 規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
4.平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
5.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
6.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
7.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
8.平面向量數量積的有關概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)數量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝|a|cos θ e.
9.平面向量數量積的性質及其坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夾角：cos θ＝＝.
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
10.平面向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
11.平面幾何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；
(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.
1.兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b<0且a，b不共線.
2.平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.數量積運算律要準確理解、應用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量.
一、單選題
1．（2024·北京·高考真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
3．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
7．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國甲卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全國乙卷·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
12．（2022·全國乙卷·高考真題）已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題
13．（2024·天津·高考真題）已知正方形的邊長為1，若，其中為實數，則 ；設是線段上的動點，為線段的中點，則的最小值為 ．
14．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
15．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
16．（2022·天津·高考真題）在中，點D為AC的中點，點E滿足.記，用表示 ，若，則的最大值為
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B B B D A D
題號 11 12
答案 C D
1．B
【分析】根據向量數量積分析可知等價于，結合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“或”的必要不充分條件.
故選：B.
2．C
【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
3．B
【分析】由得，結合，得，由此即可得解.
【詳解】因為，所以，即，
又因為，
所以，
從而.
故選：B.
4．D
【分析】根據向量垂直的坐標運算可求的值.
【詳解】因為，所以，
所以即，故，
故選：D.
5．B
【分析】利用平面向量數量積的運算律，數量積的坐標表示求解作答.
【詳解】向量滿足，
所以.
故選：B
6．B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
7．B
【分析】利用平面向量模與數量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
則，，
所以.
故選：B.
8．D
【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設,
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
9．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，
則：
，則
當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，
則：
，
，則
當時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
10．D
【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
11．C
【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
12．D
【分析】先求得，然后求得.
【詳解】因為，所以.
故選：D
13．
【分析】解法一：以為基底向量，根據向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數量積的坐標運算求的最小值.
【詳解】解法一：因為，即，則，
可得，所以；
由題意可知：，
因為為線段上的動點，設，
則，
又因為為中點，則，
可得
，
又因為，可知：當時，取到最小值；
解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，
則，
可得，
因為，則，所以；
因為點在線段上，設，
且為中點，則，
可得，
則，
且，所以當時，取到最小值為；
故答案為：；.
14．
【分析】空1：根據向量的線性運算，結合為的中點進行求解；空2：用表示出，結合上一空答案，于是可由表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，
即，即.
于是.
記，
則，
在中，根據余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當且僅當取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.

15．
【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數量積的運算律運算求解.
【詳解】法一：因為，即，
則，整理得，
又因為，即，
則，所以.
法二：設，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
16．
【分析】法一：根據向量的減法以及向量的數乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據向量夾角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以點為原點建立平面直角坐標系，設，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據幾何性質可知，當且僅當與相切時，最大，即求出．
【詳解】方法一：
，，
，當且僅當時取等號，而，所以．
故答案為：；．
方法二：如圖所示，建立坐標系：
，，
，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當且僅當與相切時，最大，此時．
故答案為：；．
【熱考點一】平面向量基本定理及其應用
【典例1-1】如圖，在中，，是的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
因為是的中點，所以，
所以，
又，所以，，即.
故選：D.
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如圖，在中，點D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近的四等分點，CD與AE交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接DE，
由題意可知，，所以，則，
所以，所以，
則，
故.
又，所以，則.
故選：A
應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．
2、用基底表示某個向量的基本方法：（1）觀察各向量的位置；（2）尋找相應的三角形或多邊形；（3）運用法則找關系；（4）化簡結果．
【變式1-1】（2024·廣東·模擬預測）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在中，取為基底，
因為點分別為的中點，，
所以，
所以.
故選：A.
【變式1-2】（2024·新疆·模擬預測）在平行四邊形中，分別在邊上，，相交于點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由題意可得：，
，
設，
則,
又三點共線，所以，
解得，
所以，
故選：A
1．如圖，在平行四邊形中，點滿足，點為的中點，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以.
因為點為的中點，所以，
所以.
故選：B.
【熱考點二】平面向量共線的充要條件
【典例2-1】在中，、分別在邊、上，且，，在邊上（不包含端點）．若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為在邊上（不包含端點），不妨設，其中，
即，
所以，，
又因為，則，，其中、均為正數，
且有，
所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故則的最小值是.
故選：A.
【典例2-2】已知是平面內兩個不共線的向量，，，則三點共線的充要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三點共線的充要條件是且，
即，由是兩個不共線向量，
所以，故.
故選：C.
1、平面向量共線定理：已知，若，則三點共線；反之亦然．
2、兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若向量，，則的充要條件是；（2）若，則．
【變式2-1】如圖，已知點是的重心，過點作直線分別與，兩邊交于，兩點，設，，則的最小值為（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【解析】
如圖，延長交于點，因點是的重心，
則，①
因三點共線，則，使，
因，，代入得，，②
由①，②聯立，可得，，消去即得，，
則，
當且僅當時等號成立，
即時，取得最小值，為.
故選：C.
【變式2-2】如圖所示，中，點是線段的中點，是線段上的動點，若，則的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】因為點是線段的中點，則，
則，
因為三點共線，所以，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D
1．已知是所在平面內一點，若均為正數，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因為，所以點是的重心，
所以.
因為，所以，
綜上，.
因為，所以三點共線，則，即.
因為均為正數，所以，則，
所以（當且僅當，即時取等號），
所以的最小值為.
故選：B
【熱考點三】平面向量的數量積
【典例3-1】如圖，在平行四邊形中，分別為的中點，為上一點，且，，則 ．
【答案】1
【解析】
如圖，連接，在平行四邊形中，分別為的中點，
則三點共線，且為的中點，所以．
過點作于點，設，
由，，
得，則．
由分別為的中點，
則，，所以，
所以
．
故答案為：1.
【典例3-2】已知向量，滿足，且，則 ．
【答案】/0.25
【解析】由得，
兩式相減得，
所以，則．
故答案為：.
1、向量的數量積：設兩個非零向量的夾角為，則叫做與的數量積，記作．
2、數量積的幾何意義：數量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
3、設向量，，則，由此得到：
（1）若，則或．
（2）設，則A，B兩點間的距離
（3）設兩個非零向量，且，，則
（4）若都是非零向量，是與的夾角，則
【變式3-1】如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為 .
【答案】1
【解析】由，可得，
又，，三點共線，
則有，
由于，所以，即，
又，
且，，，
故
.
故答案為：1.
【變式3-2】如圖，在平面四邊形中，O為的中點，且，.若，則 .
【答案】9
【解析】如圖，在中，D為的中點，下面證明結論：.
因為D為的中點，
所以，所以①
又，所以②
①-②得，所以
因為在平面四邊形中，O為的中點，且，.
所以，解得，
.
故答案為：
1．已知是邊長為4的等邊三角形，點D，E分別是邊，的中點，連接并延長到點F．使得，則 ．
【答案】2
【解析】如圖：
以為基底，則，.
所以，，
所以.
所以.
故答案為：2
【熱考點四】平面向量的模與夾角
【典例4-1】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預測）已知向量，滿足，，，則 ．
【答案】6
【解析】由 可得，
，解得，
故答案為：6
【典例4-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在中，，，P在以O為圓心，半徑為1的圓上運動，則當取最大值時， ．
【答案】/
【解析】
如圖所示，以為坐標原點，以方向為x軸，垂直方向為y軸，建立平面直角坐標系，
因為，，所以，．
設，圓O方程為，
則，，
所以．
因為，當時，，
此時，且，，
所以，，則．
故答案為：.
(1)向量的夾角要求向量“共起點”，其范圍為．
(2)求非零向量的夾角一般利用公式先求出夾角的余弦值，然后求夾角．也可以構造三角形，將所求夾角轉化為三角形的內角求解，更為直觀形象．
【變式4-1】（2024·高三·重慶·期末）已知非零向量滿足：，且，則 .
【答案】
【解析】.
，
，解得，
故．
故答案為：.
【變式4-2】已知平面內兩個向量，，若與的夾角為鈍角，則實數k的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意，，.
當，反向時，有，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
1．平面向量滿足，，若，則 .
【答案】/
【解析】因為，所以，
由題設有，故，
而，故，
故答案為：
【熱考點五】等和線問題
【典例5-1】已知在中，點P滿足，動點M在的三邊及內部運動，設，則的取值范圍為 .（用區間表示）
【答案】
【解析】
因為，所以，
整理得，所以P為的重心，
取AC的中點D，則.
因為，所以，
所以當點M在線段BP上時，取得最小值1，
當點M與C重合時，取得最大值2，
所以的取值范圍為，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
【典例5-2】如圖，已知是圓上不同的三點，與交于點（點與點不重合），若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為與交于點，所以三點共線，
所以與共線，設，則，
因為，所以，
可得＝＋，因為三點共線，所以，可得，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
等和線
平面內一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．
①當等和線恰為直線時，；
②當等和線在點和直線之間時，；
③當直線在點和等和線之間時，；
④當等和線過點時，；
⑤若兩等和線關于點對稱，則定值互為相反數；
【變式5-1】已知點為扇形的弧上任意一點，且，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】方法一：設圓的半徑為1，由已知可設為軸的正半軸，為坐標原點，過O點作x軸垂線為y軸建立直角坐標系，
其中，其中，
由，
即，整理得，
解得，
則，
所以.
方法二：設，如圖，當位于點或點時，三點共線，所以；
當點運動到的中點時，，所以
故答案為：
【變式5-2】如圖所示， ，圓與分別相切于點， ，點是圓及其內部任意一點，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】連接，則，，
因為，所以,
因為點是圓及其內部任意一點，
所以，且當三點共線時，取得最值，
當取得最大值時，以為對角線，以為鄰邊方向作平行四邊形,
則和為等邊三角形，
所以，
所以，
所以的最大值為，
同理可求得的最小值為，
所以，
故答案為：
1．已知為內一點，且，點在內（不含邊界），若，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設，即，
可得，
因為，
即，
整理可得，且不共線，
則，解得，
即，，
又因為點在內（不含邊界），設，且，
可得，
則，
可得，可得，
且，可得，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【熱考點六】極化恒等式
【典例6-1】（2024·江西·模擬預測）已知圓C的半徑為2，點A滿足，E，F分別是C上兩個動點，且，則的取值范圍是（ ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【答案】C
【解析】取EF的中點M，連接CM，則，
，
又，所以，
所以，
當且僅當向量與共線同向時，取得最大值22；向量與共線反向時，取得最小值6，
故選：C．
【典例6-2】已知正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】如圖所示，由正六邊形的幾何性質可知，，，，，，均是邊長為4的等邊三角形，
當點位于正六邊形的頂點時，取最大值4，
當點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，
所以．
所以，
即的最小值為8．
故選：D
極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：
證明：不妨設 ，則，
①
②
①②兩式相加得：
（2）極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
①平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．
②三角形模式：（M為BD的中點）
【變式6-1】已知圓的半徑為2，弦長，為圓上一動點，則的最大值為 .
【答案】6
【解析】取的中點，連接，，，如圖所示：
因為為中點，所以，
所以，
因為，所以最大值為；
所以的最大值為.
故答案為：6．
【變式6-2】在中，，，，P，Q是BC邊上的兩個動點，且，則的最大值為 ．
【答案】3
【解析】
如圖，取中點，連接，
，
，
兩式相減得
，
要使有最大值，則最小，
當時，，
所以的最大值為.
故答案為：3.
1．已知點O為坐標原點，為圓的內接正三角形，則的最小值為 ．
【答案】5
【解析】取的中點N，連接，取其中點D，如圖所示，
當正沿圓周運動時，點D在以M圓心，以為半徑的小圓上運動．
由外接圓半徑為1，
則，
從而．所以的最小值是，
又，，
所以，即，
所以
，
所以的最小值為.
故答案為：5.
2．如圖所示，正方形的邊長為，正方形邊長為1，則的值為 .若在線段上有一個動點，則的最小值為 .
【答案】 6
【解析】由已知得正方形與正方形的中心重合，不妨設為，
所以，，
則；
，
顯然，當為的中點時，，
所以
故答案為：6；．

展開更多......

收起↑