資源簡介

專題13 立體幾何中的外接球、內切球及棱切球問題（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 2
【熱考考點】 3
【熱考點一】正四面體外接球 3
【熱考點二】三棱錐對棱相等外接球 4
【熱考點三】直棱柱外接球 5
【熱考點四】直棱錐外接球 5
【熱考點五】正棱錐與側棱相等模型 6
【熱考點六】垂面模型 7
1、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
一、單選題
1．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
三、填空題
5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
6．（2023·全國甲卷·高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 ．
7．（2023·全國·高考真題）在正方體中，E，F分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個公共點．
【熱考點一】正四面體外接球
【典例1-1】已知正四面體的棱長為3，點在棱上，且，若點都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】小張同學將一塊棱長為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個正四面體（過程中橡皮泥無損失），則該四面體外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】已知正四面體的外接球的體積為， 則該正四面體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】已知正四面體的各棱長均為，各頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．正四面體的棱長為，是棱的中點，以為球心的球面與平面的交線和相切，則球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【熱考點二】三棱錐對棱相等外接球
【典例2-1】四面體的一組對棱分別相等，且長度依次為，，5，則該四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】在四面體中，三組對棱棱長分別相等且依次為，，5則此四面體的外接球的半徑為（ ）
A． B．5 C． D．4
【變式2-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點三】直棱柱外接球
【典例3-1】將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內，則該球體的體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知直三棱柱中，，，點到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．已知正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點四】直棱錐外接球
【典例4-1】已知三棱錐中，平面，，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知三棱錐P-ABC中，是邊長為2的等邊三角形，，，，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】已知三棱錐中，平面，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】三棱錐的四個頂點均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
1．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，若三棱錐（以為頂點）的側面積為6，則球的表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點五】正棱錐與側棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】已知正三棱錐的高為 ，且各頂點都在同一球面上. 若該球的體積為 ，則三棱錐體積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，底面正六邊形邊長，則其體積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【熱考點六】垂面模型
【典例6-1】如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，， ，若點，，，都在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點、、、都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
1．在體積為12的三棱錐中，，，平面平面，，，若點都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點七】二面角模型
【典例7-1】已知四面體 的各頂點都在同一球面上，若，二面角 的平面角為 ，則該球的表面積是
【典例7-2】已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【變式7-1】如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【變式7-2】已知菱形中，對角線，將沿著折疊，使得二面角為， ，則三棱錐的外接球的表面積為 .

1．在三棱錐中，已知是邊長為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為 .專題13 立體幾何中的外接球、內切球及棱切球問題（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 2
【熱考考點】 10
【熱考點一】正四面體外接球 10
【熱考點二】三棱錐對棱相等外接球 14
【熱考點三】直棱柱外接球 17
【熱考點四】直棱錐外接球 23
【熱考點五】正棱錐與側棱相等模型 28
【熱考點六】垂面模型 34
1、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
一、單選題
1．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ ）
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
三、填空題
5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則 ．
6．（2023·全國甲卷·高考真題）在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是 ．
7．（2023·全國·高考真題）在正方體中，E，F分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個公共點．
參考答案
題號 1 2 3 4
答案 A C C ABD
1．A
【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．

2．C
【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.
【詳解】[方法一]：【最優解】基本不等式
設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設四邊形ABCD對角線夾角為，
則
（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）
即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為
又設四棱錐的高為，則，
當且僅當即時等號成立.
故選：C
[方法二]：統一變量＋基本不等式
由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，
(當且僅當，即時，等號成立)
所以該四棱錐的體積最大時，其高.
故選：C．[方法三]：利用導數求最值
由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設，則，
，，單調遞增， ，，單調遞減，
所以當時，最大，此時．
故選：C.
【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優解；
方法二：消元，實現變量統一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，實現變量統一，利用導數求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．
3．C
【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.
【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導數法
設正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當且僅當取到，
當時，得，則
當時，球心在正四棱錐高線上，此時，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
4．ABD
【分析】根據題意結合正方體的性質逐項分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，
所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；
對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，
所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；
對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，
所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；
對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，
如圖，過的中點作，設，
可知，則，
即，解得，
且，即，
故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，
若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，
可知：，則，
即，解得，
根據對稱性可知圓柱的高為，
所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；
故選：ABD.
5．2
【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結合直棱柱的外接球以及求的性質運算求解.
【詳解】如圖，將三棱錐轉化為正三棱柱，
設的外接圓圓心為，半徑為，
則，可得，
設三棱錐的外接球球心為，連接，則，
因為，即，解得.
故答案為：2.
【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法
（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；
（2）若球面上四點P、A、B、C構成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，根據4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方體的內切球的直徑為正方體的棱長；
（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；
（5）利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．
6．
【分析】當球是正方體的外接球時半徑最大，當邊長為的正方形是球的大圓的內接正方形時半徑達到最小.
【詳解】設球的半徑為.
當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，
正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；

分別取側棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，
連接，則，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達到最小，即的最小值為.
綜上，.
故答案為：
7．12
【分析】根據正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.
【詳解】不妨設正方體棱長為2，中點為，取，中點，側面的中心為，連接，如圖，
由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，
則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，
同理，根據正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，
所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點總數為12.
故答案為：12
【熱考點一】正四面體外接球
【典例1-1】已知正四面體的棱長為3，點在棱上，且，若點都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，取的中點，連接，在線段上取點，使得，連接.
在中，.易知點為等邊的中心，
所以.
易知，所以.
所以，點即為球心，球的半徑為，
表面積為.
故選：D.
【典例1-2】小張同學將一塊棱長為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個正四面體（過程中橡皮泥無損失），則該四面體外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設正四面體的棱長為a，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，
設正四面體如圖，F為為底面的中心，E為的中點，F在上，
O為正四面體外接球的球心，則為四面體的高，O在上，
則，則，
即得，所以，
又設正四面體外接球的半徑R，
則，即，即得，
故外接球體積為.
故選：C．
如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
【變式1-1】已知正四面體的外接球的體積為， 則該正四面體的棱長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設正四面體的外接球半徑為，則， 解得，
將正四面體放入正方體中，設正方體的棱長為，如下圖所示：
則，所以，，故該正四面體的棱長為.
故選：C.
【變式1-2】已知正四面體的各棱長均為，各頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，是正四面體的高，是外接球球心，設外接球半徑為，
∵正四面體棱長為，∴，，，，
由得，
解得，∴．
故選：D．
1．正四面體的棱長為，是棱的中點，以為球心的球面與平面的交線和相切，則球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設點在平面內的射影為點，則為的中心，
取的中點，連接，則，取線段的中點，連接，
因為、分別為、的中點，則且，
因為平面，則平面，因為平面，則，
正的外接圓半徑為，，
所以，，
易知球被平面所截的截面圓圓心為點，且，故，
因為為等邊三角形，為的中點，則，
因為以為球心的球面與平面的交線和相切，則切點為點，
則球的半徑為，
因此，球的體積是.
故選：D.
【熱考點二】三棱錐對棱相等外接球
【典例2-1】四面體的一組對棱分別相等，且長度依次為，，5，則該四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】四面體的一組對棱分別相等，且長度依次為，，5，
可將其補為一個三個面上對角線分別為，，5的長方體，如圖所示：
長方體的三邊長分別為2，3，4，
長方體的外接球即是四面體的外接球，四面體的外接球的半徑為，
四面體的外接球的表面積為：，
故選：．
【典例2-2】在四面體中，三組對棱棱長分別相等且依次為，，5則此四面體的外接球的半徑為（ ）
A． B．5 C． D．4
【解析】四面體中，三組對棱棱長分別相等，
故可將其補充為一個三個面上對角線長分別為，，5的長方體，
則其外接球的直徑，
則
故選：．
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．
如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．
【變式2-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，
可得長方體的三條對角線分別為，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．
故選：．
【變式2-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】三棱錐中，，，，
構造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，
則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑．
設長方體的棱長分別為，，，則，，，
，
三棱錐外接球的直徑為，
三棱錐外接球的表面積為．
故選：．
1．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：如下圖所示，
將四面體放在長方體內，設該長方體的長、寬、高分別為、、，
則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設該長方體的外接球半徑為，
由勾股定理得，
上述三個等式全加得，
所以，該四面體的外接球直徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為，
故選：．
【熱考點三】直棱柱外接球
【典例3-1】將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內，則該球體的體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
若將這2個直三棱柱合成1個高為4的直三棱柱，
則底面正三角形的外接圓半徑，
所以其外接球的半徑為；
若將這2個直三棱柱合成1個高為2的直四棱柱，
則底面為邊長為2，銳角為的菱形，
則底面菱形的外接圓半徑，
所以其外接球的半徑為．
故該球體的體積的最小值為．
故選：A.
【典例3-2】已知直三棱柱中，，，點到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
過點作于點，連接，
因為三棱柱為直三棱柱，
平面，
又平面，
，
，，平面，且，
平面，
平面，
，
易知，，
，，
，
則，
設外接圓圓心為，外接圓圓心為，
則，即，
且三棱柱外接球球心為中點，
則外接球半徑，
表面積為，
故選：.
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【變式3-1】在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下圖所示：
圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.
本題中，將直三棱柱放在圓柱中，如下圖所示：
設，因為，則，
則的外接圓直徑為，，
設，則，可得，
，
令，其中，則，
當時，，此時，函數單調遞減，
當時，，此時，函數單調遞增，
所以，，即，
故該三棱柱外接球的表面積，
故選：A.
【變式3-2】已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以正六邊形ABCDEF外接圓的半徑，
所以球O的半徑，故球O的表面積為．
故選：D
1．已知正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設正六棱柱下底面的中心為，其外接球的圓心為點，
則，為等邊三角形，
故，即為其外接球的半徑，
所以，
所以該正六棱柱的外接球的表面積為.
故選：B.
【熱考點四】直棱錐外接球
【典例4-1】已知三棱錐中，平面，，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，
則的外接圓的半徑，
因為平面，，設此三棱錐外接球的半徑為，
則，
則三棱錐的外接球的表面積為．
故選：B．
【典例4-2】已知三棱錐P-ABC中，是邊長為2的等邊三角形，，，，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，所以，
取中點，則是的外心，
又，所以點在底面上的射影是的外心，即為，
所以平面，因此外接球球心在上，的外接圓就是球的大圓，
，所以，
，，這就是外接球的半徑，
外接球表面積為，
故選：C．
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
【變式4-1】已知三棱錐中，平面，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題設，底面的外接圓半徑，
又平面，且，則三棱錐的外接球半徑，
所以外接球表面積為.
故選：B
【變式4-2】三棱錐的四個頂點均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的外接圓圓心為，過點作底面，
為三棱錐外接球球心，設該球半徑為，
由平面，則，連接、、，
由是正三角形，，故，
由，，則，
故有，
故該球的表面積.
故選：D.
1．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，，若三棱錐（以為頂點）的側面積為6，則球的表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題知平面，，所以三棱錐的外接球，即為以為同一頂點出發的三條棱的長方體的外接球，
所以外接球半徑，其中，
令，，則三棱錐（以為頂點）的側面積為，
所以，
所以，
又因為，即，
所以，所以，
又因為，所以，當且僅當時，，
所以當，即時，，
此時球的表面積的取得最小值為.
故選：B.
【熱考點五】正棱錐與側棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設正三棱錐的底面中心為，外接球的球心為，顯然球心在直線上.
設正三棱錐的高為，外接球的半徑為，
由，可得正三角形的面積為，
所以，解得.
球心到底面的距離為，
由，得，
所以外接球的表面積為.
故選：D.
【典例5-2】已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設的外接圓半徑為，因為，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，所以，
記的外心為，連接，，，則，
取，的中點分別為，，則，，
又因為，可得，，
因為，，
因為平面，平面，
所以平面，平面，
又因為平面，平面，
所以，，
因為，平面，
所以平面，可得，
由題意可得外接球的球心在上，或在的延長線上，設外接球的半徑為，
則球心到的距離為，
則有，解得，
所以球的表面積，
故選：A.
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
【變式5-1】已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，，即，則，
可知的外接圓圓心為斜邊的中點，
又因為，可知點在底面的投影為的外接圓圓心，
可得，
則三棱錐外接球的球心，設外接球的半徑為，
可得，解得，
所以外接球的表面積為，
的面積為；
的面積為；
的面積為；
所以三棱錐的側面積為，
所以三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側面積之比為.
故選：A.
【變式5-2】已知正三棱錐的高為 ，且各頂點都在同一球面上. 若該球的體積為 ，則三棱錐體積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設H為底面三角形的中心，PH為三棱錐的高，設為h，
由題意得，，解得，
該三棱錐為正三棱錐，,
，，
令 ，
由，可得或（舍去），
當時，，當時，，
在 單調遞增，在單調遞減，
，.
故選：B
1．某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，底面正六邊形邊長，則其體積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設該正六棱錐的高，側棱長為，設該正六棱錐外接球的半徑為，如圖，
因為正六棱錐外接球的表面積為，
所以有，
因為外接球的球心在正六棱錐內部或底面上，所以，
設，在正六邊形中，因為正六邊形邊長為，所以，
在中，由余弦定理可知，
在直角三角形中，，
所以有，
由勾股定理可知，
因為，所以，
因此有4，而，所以，
該正六棱錐的體積，
，當時，單調遞增，
所以，，
因此該正六棱錐的體積的取值范圍是，
故選：C
【熱考點六】垂面模型
【典例6-1】如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設中點為，連接，
因為是以為斜邊的等腰直角三角形，，
所以，，
過點作，
因為平面平面，平面平面，平面，平面
所以平面，平面，
所以三棱錐的外接球的球心在上，設外接球的半徑為，
則由得，由得，
又因為，
所以為等腰直角三角形，
設球心為，中點為，連接，
則，
所以，
即，解得，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C
【典例6-2】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，， ，若點，，，都在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，取的中點，連接，，
因為，，所以，
因此點就是三棱錐的外接球球心，
在平面內過點作，為垂足，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
設球半徑為，則，
又，則，
因為，，，
所以，
所以，
所以三棱錐的體積，
所以，所以球的體積為．
故選：C．
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
【變式6-1】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點、、、都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】過點在平面內作作，垂足點為，
取線段的中點，連接、，如下圖所示：
因為，，則，
所以，三棱錐的外接球的球心為中點，
因為平面平面，平面平面，，
平面，則平面，
設球的半徑為，則，
又，，所以，，，，
所以，，
所以，三棱錐的體積為，
解得，因此，球的表面積為.
故選：A.
【變式6-2】在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【解析】在中，，則，中點為的外心，
于是平面，取中點，連接，則，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，則平面，，
令正的外心為，則為的3等分點，，
又平面，則，而，則四邊形是矩形，
，因此球O的半徑，
所以球O的表面積為.
故選：B
1．在體積為12的三棱錐中，，，平面平面，，，若點都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，取的中點，連接，，
因為，，所以，因此點就是球心，
又，故是等腰直角三角形，所以．
因為平面平面，平面平面，
所以平面．
設球半徑為，則，，
又，則，
所以三棱錐的體積，
所以，所以球O的表面積為．
故選：D．
【熱考點七】二面角模型
【典例7-1】已知四面體 的各頂點都在同一球面上，若，二面角 的平面角為 ，則該球的表面積是
【答案】/
【解析】
如圖，取中點，連接，
因，則，且，
又二面角的平面角為 60°，即， 故 是等邊三角形，
分別取 與 的外心，過分別作兩平面的垂線，兩線相交于點，
則點為四面體的外接球的球心，
由已知可得，
連接，易得，故得，，則，
在中，，
故該球的表面積是.
故答案為：.
【典例7-2】已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【答案】
【解析】如圖，∵，即，∴.
∴球心在過的中點與平面垂直的直線上，
同時也在過的中心與平面垂直的直線上，.
∴這兩條直線必相交于球心.
∵二面角的大小為，
易知，，
，，
，
∴三棱錐的外接球的半徑為.
∴三棱錐的外接球的體積為.
故答案為：
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
【變式7-1】如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】/
【解析】取和的中點分別為，，過點作面于點，
連結，，,平面,故，
又，則又平面,
故平面，平面，故
則為二面角的補角， ，
因為，，則，且，
易知，
因為為等腰直角三角形，所以是的外心.
設三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，
作，易知為矩形，，
設，，則在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面積為.
故答案為：.
【變式7-2】已知菱形中，對角線，將沿著折疊，使得二面角為， ，則三棱錐的外接球的表面積為 .

【答案】
【解析】將沿折起后，取中點為，連接，，
則，，
可知即為二面角的平面角，即；
設，則，
在中，由余弦定理可得：，
即 解得，
即，可得，
所以與是邊長為的等邊三角形，
分別記三角形與的重心為、，
則，；；
因為與都是邊長為2的等邊三角形，
所以點是的外心，點是的外心；
記該幾何體的外接球球心為，連接，，
根據球的性質，可得平面，平面，
所以與都是直角三角形，且為公共邊，
所以與全等，因此，
所以；
因為，，，平面，
所以平面；
又平面，所以，
連接，則外接球半徑為，
所以外接球表面積為.
故答案為：.
1．在三棱錐中，已知是邊長為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】/
【解析】設中點為，外接圓圓心為，球心為，因為，所以，
又是邊長為2的正三角形，所以，結合題設有，
所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圓圓心為，
又因為，所以為二面角的平面角，結合已知該角為銳角，
由題意可知，，過，分別作平面，平面的垂線，相交于一點，
由截面圓的性質可知，兩垂線的交點為球心，如圖所示，
所以，，得到，
又易知，，所以，
所以外接球半徑，
所以外接球表面積，
故答案為：.

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