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專題14 直線與圓及圓與圓（新高考專用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點(diǎn)】 16
【熱考點(diǎn)一】直線的方程 16
【熱考點(diǎn)二】圓的方程 20
【熱考點(diǎn)三】直線、圓的位置關(guān)系 25
【熱考點(diǎn)四】圓的動(dòng)點(diǎn)與距離問(wèn)題 28
【熱考點(diǎn)五】阿式圓 31
【熱考點(diǎn)六】圓的數(shù)形結(jié)合 36
1.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
位置關(guān)系 相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點(diǎn) Δ<0 Δ＝0 Δ>0
幾何觀點(diǎn) d>r d＝r d2.圓與圓的位置關(guān)系
已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
則圓心距d＝|C1C2|＝.
則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：
位置關(guān)系 外離 內(nèi)含 相交 內(nèi)切 外切
圓心距 與半徑 的關(guān)系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|圖示
公切線條數(shù) 4 0 2 1 3
1.圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法
(1)幾何法：運(yùn)用弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|＝2.
(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝·.
一、單選題
1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
5．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空題
8．（2024·天津·高考真題）已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則原點(diǎn)到直線的距離為 ．
9．（2023·天津·高考真題）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若，則 ．
10．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值 ．
11．（2022·天津·高考真題）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的值為 ．
12．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
13．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為 ．
14．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
15．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為 ．
16．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D C C D B A
1．C
【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過(guò)定點(diǎn)，從而可得當(dāng)時(shí)，的最小，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€，即，令，
則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，
所以圓心，半徑，
當(dāng)時(shí)，的最小，
此時(shí).
故選：C
2．D
【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.
【詳解】由題意得，即，
則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.
故選：D.
3．C
【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.
【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得
，即，令得，
故直線恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，
，此時(shí).

故選：C
4．C
【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過(guò)整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡(jiǎn)得，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，
化簡(jiǎn)得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時(shí)，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
5．D
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的漸近線為，
當(dāng)漸近線為時(shí)，圓心到該漸近線的距離，不合題意；
當(dāng)漸近線為時(shí)，則圓心到漸近線的距離，
所以弦長(zhǎng).
故選：D
6．B
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：因?yàn)椋矗傻脠A心，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因?yàn)椋瑒t，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因?yàn)?br/>且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

7．A
【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．
【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選：A．
8．/
【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】圓的圓心為，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直線即，
故原點(diǎn)到直線的距離為，
故答案為：
9．
【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．
【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
當(dāng)時(shí)，同理可得．
故答案為：．
10．（中任意一個(gè)皆可以）
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．
【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．
11．
【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得，因?yàn)椋獾?
故答案為：.
12．
【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；
【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
13．
【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓
∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質(zhì)
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1)., 的方程為.
故答案為：
14．
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
15．或或或．
【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；
【詳解】[方法一]：圓的一般方程
依題意設(shè)圓的方程為，
（1）若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過(guò)，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）
設(shè)
（1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過(guò)三點(diǎn)， 設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過(guò) 三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯(lián)立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯(lián)立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．
16．或或
【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.
【詳解】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點(diǎn)為，
設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋裕O(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，
故答案為：或或.
【熱考點(diǎn)一】直線的方程
【典例1-1】已知，，若的平分線方程為，則所在直線的一般方程為 .
【答案】
【解析】直線的斜率，其方程為，即，
由，解得，令，
依題意，的平分線為直線，
由正弦定理得，
由于，由此整理得，
則，設(shè)，則，
整理得，解得，則，，
直線的方程為，即.
故答案為：
【典例1-2】光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時(shí)，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對(duì)介質(zhì)1的折射率.如圖，一個(gè)折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一束光以的入射角從空氣中射入點(diǎn)，該光線再次返回空氣中時(shí)，其所在直線的方程為 .
【答案】
【解析】如圖，入射角，設(shè)折射角為，，，
則，，
所以，則，，
所以，且.
該光線再次返回空氣中時(shí)，其所在直線的傾斜角為，
則其所在直線的斜率為
，
直線的方程為，整理得.
故答案為：
1、已知直線，直線，則，且(或)，.
2、點(diǎn)到直線(A，B不同時(shí)為零)的距離.
3、兩條平行直線，(A，B不同時(shí)為零)間的距離.
【變式1-1】已知過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為 ．
【答案】
【解析】圓的圓心，半徑
直線截圓所得弦長(zhǎng)，則弦心距
當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，的方程為，圓心到直線的距離為1，不符合題意要求；
當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，的方程可設(shè)為，
由，可得，此時(shí)的方程為
綜上，直線的方程為.
故答案為：.
【變式1-2】一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)射到直線上，被反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得
所以．又點(diǎn)，
所以，直線的方程為，
由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡(jiǎn)得入射光線所在直線的方程為．
故答案為：.
1.過(guò)定點(diǎn)A的直線與圓交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B恰好為AC的中點(diǎn)，寫出滿足條件的一條直線的方程 ．
【答案】或
【解析】由直線，整理可得，當(dāng)時(shí)，故直線過(guò)定點(diǎn)，
設(shè)，則，
由在圓，則，整理可得，
聯(lián)立可得，消去可得：，解得或，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式方程，可得，整理可得，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式方程，可得，整理可得，
故答案為：或
【熱考點(diǎn)二】圓的方程
【典例2-1】如圖是一個(gè)中國(guó)古典園林建筑中常見(jiàn)的圓形過(guò)徑門，已知該門的最高點(diǎn)到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系中，以地面所在的直線為軸，過(guò)圓心的豎直直線為軸，則門的輪廓所在圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)該圓的半徑為，如圖，
由題意知：，，，
由勾股定理得：，即，解得：，
，即圓的圓心為，則圓的方程為.
故選：A.
【典例2-2】過(guò)點(diǎn)引圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．若，則過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由，得，可得圓心，半徑．
由，得，所以，
故，即，
解得或，則或，
根據(jù)，，故四點(diǎn)共圓，且為直徑，
所以線段的中點(diǎn)為或，且，
所以過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程為或．
故選：C．
1、圓的方程
（1）圓的定義
在平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓
（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（3）圓的一般方程
圓方程為，圓心坐標(biāo)：，半徑：
【變式2-1】已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（B在第一象限），C是拋物線的準(zhǔn)線與直線l的交點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線G的焦點(diǎn)，若，則以AB為直徑的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，焦準(zhǔn)距，
設(shè)準(zhǔn)線與x軸交與點(diǎn)D，設(shè)，
設(shè)的中點(diǎn)為，
過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
設(shè)，由可得，
由拋物線定義得，
由于，故，則,
則直線AB的傾斜角為，
故，即，故，
設(shè)，則，
則，故，
則，即，
又由可知直線l過(guò)拋物線焦點(diǎn)，
故l方程為，將代入得，
即的中點(diǎn)，，
故以AB為直徑的圓的方程為，
故選：D
【變式2-2】“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，
于是橢圓的上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓切線方程分別為，，
則兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，
圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日?qǐng)A半徑，
所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.
故選：B
1.已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，直線的斜率為，此時(shí)直線的方程為，由，解得，所以，因?yàn)槭侵苯侨切危孕边叺闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.
故選：C.
【熱考點(diǎn)三】直線、圓的位置關(guān)系
【典例3-1】若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由知直線過(guò)定點(diǎn)，
由曲線，兩邊平方得，
則曲線是以為圓心，1為半徑的上半圓（包含軸上的兩點(diǎn)），
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
此時(shí)，解得，
當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，
圓心到直線的距離，解得，
要使直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
則直線夾在兩條直線之間，因此，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
【典例3-2】在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點(diǎn)表示的區(qū)域面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，，
所以不等式組表示的區(qū)域是圓與圓公共的內(nèi)部區(qū)域，
畫出圖象如下圖所示，，兩圓半徑都是，
設(shè)兩個(gè)圓相交于兩點(diǎn)，則，
由于，，
所以是圓的切線，是圓的切線，
同理是圓的切線，是圓的切線，
，所以四邊形是正方形，
所以區(qū)域面積為.
故選：D
1、直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.
2、圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.
【變式3-1】設(shè)圓和不過(guò)第三象限的直線，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離均為2，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【答案】D
【解析】的圓心為，半徑為
若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離均為2，則圓心到直線的距離為
解得或，
由于直線不經(jīng)過(guò)第三象限，則直線與軸的交點(diǎn)，
故，
故選：D
【變式3-2】已知圓與圓交于、兩點(diǎn)，則（為圓的圓心）面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得：，所以圓心，半徑，
由兩圓相交于、兩點(diǎn)可知：，
所以的面積，
因?yàn)槭前霃綖榈膱A，所以，
當(dāng)時(shí)，，
又，
此時(shí)由，解得，，故可以取最大值，
所以當(dāng)時(shí)，最大，且是銳角，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，所以，
故選：C.
1.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓，其圓心為，半徑為．
因?yàn)閳A上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，所以圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．
因?yàn)閳A心距為，所以，解得．
故選：B
【熱考點(diǎn)四】圓的動(dòng)點(diǎn)與距離問(wèn)題
【典例4-1】若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，可得，
則直線與圓有公共點(diǎn)，
所以，，解得，
即的取值范圍是.
故選：B.
【典例4-2】已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)a的取值的范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，而，
則，整理得，即點(diǎn)的軌跡是原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓，即圓與圓有公共點(diǎn)，
而圓的圓心為，半徑為1，
因此，即，解得或，
所以實(shí)數(shù)a的取值的范圍是.
故答案為：
解決與圓相關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題，通常的策略是根據(jù)所涉及的長(zhǎng)度或距離的幾何定義，借助圓的幾何特性，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)尋找解答。
【變式4-1】已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以圓心，半徑為1，
表示圓上的點(diǎn)到直線的距離的2倍，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為1，最大值為3，
所以的最小值為2，最大值為6，
所以的范圍為，
故答案為：.
【變式4-2】已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為 ，最小值為 ，的范圍為 ．
【答案】 64 4
【解析】由圓C的圓心為，半徑為3，且P在圓上，
則表示在圓上點(diǎn)到距離的平方，
而圓心到的距離為，
所以在圓上點(diǎn)到距離的最大值為8，最小值為2，
故的最大值為64，最小值為4；
又表示在圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)距離為，
所以的范圍為.
故答案為：64，4，
1.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
【答案】1
【解析】聯(lián)想數(shù)量積公式，
得，
記，，則z為向量，的夾角余弦值的倍，
且由題意點(diǎn)B在以為圓心，1為半徑的圓上，
如圖所示，
若與的夾角余弦值要取得最小值，
則與的夾角需取得最大值，
由圖像可知，當(dāng)時(shí)，與的夾角最大，
代入上式可得，此時(shí)．
故答案為：1.
【熱考點(diǎn)五】阿式圓
【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，不妨取，使得，
則，
整理得，
此方程與相同，
所以有，解得，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，取等號(hào).
因?yàn)椋栽趫A內(nèi)；
，所以在圓外；
所以線段與圓必有交點(diǎn)（記為），
當(dāng)重合時(shí)，，為其最小值，
故選：C.
【典例5-2】古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，
則，
化簡(jiǎn)整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心為半徑的圓，
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：.
一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”．特殊地，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線．
【變式5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)（，），則點(diǎn)M的軌跡是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為 .若點(diǎn)Р在圓上，則的最小值是 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，
整理得（或）.
設(shè)，則，
故
.
令，則=.
故答案為：；
.
【變式5-2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br/>所以
，
則，
相當(dāng)于圓上的任一點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之和，如圖，
因?yàn)椋?dāng)在線段與圓的交點(diǎn)處時(shí)，即為所求，
所以所求最小值為.
故答案為：.
1.阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德并稱亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.”人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為 ；若Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q在y軸上的射影為M，則的最小值為 .
【答案】 或（）
【解析】設(shè)，由得，
化簡(jiǎn)得，
拋物線的焦點(diǎn)為，，
，
，
易知當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為，
所以的最小值是．
故答案為：；．
【熱考點(diǎn)六】圓的數(shù)形結(jié)合
【典例6-1】過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圓的圓心為，
由圖知，當(dāng)直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，與直線垂直.
(理由：設(shè)直線切圓于點(diǎn)，易得平分，
又直線關(guān)于直線對(duì)稱，故直線平分的鄰補(bǔ)角，故可得)
故直線的方程為，即，
由解得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：B.
【典例6-2】已知是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線上存在兩點(diǎn)，使得能成立，則線段的長(zhǎng)度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圓的圓心，半徑，
由直線上存在兩點(diǎn)，使得成立，
得以為直徑的圓與圓有公共點(diǎn)，當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，兩圓外切，且兩圓連心線與垂直，如圖，
圓心到直線的距離，
所以.
故選：A
利用幾何意義轉(zhuǎn)化
【變式6-1】已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直線的方程可化為，由可得，
所以，直線過(guò)定點(diǎn)，
直線的方程可化為，由可得，
所以，直線過(guò)定點(diǎn)，
對(duì)于直線、，因?yàn)椋瑒t，即，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，
由直角三角形的幾何性質(zhì)可得，
即，化簡(jiǎn)可得，
所以，點(diǎn)的軌跡為圓，
因?yàn)椋裕瑘A與圓外離，
所以，，，
因此，的取值范圍是.
故選：B.
【變式6-2】過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心為，半徑為1，
根據(jù)題意及圖形可知切線的斜率存在，
設(shè)切線的方程為，即，
則有，整理可得，
則，
設(shè)兩切線的斜率分別為、，
則、為關(guān)于的方程的兩根，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
所以，
由題意可知，所以，
由，解得．
故選：D．
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與直線交于點(diǎn)P，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，的最小值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由題意知直線與直線，滿足，
故兩直線垂直，
直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，
故兩直線的交點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上（不含點(diǎn)），
該圓方程為，設(shè)其圓心為，半徑為3，
則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，即位于B點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為，
故選：C專題14 直線與圓及圓與圓（新高考專用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 3
【熱考考點(diǎn)】 4
【熱考點(diǎn)一】直線的方程 4
【熱考點(diǎn)二】圓的方程 5
【熱考點(diǎn)三】直線、圓的位置關(guān)系 7
【熱考點(diǎn)四】圓的動(dòng)點(diǎn)與距離問(wèn)題 7
【熱考點(diǎn)五】阿式圓 8
【熱考點(diǎn)六】圓的數(shù)形結(jié)合 9
1.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
位置關(guān)系 相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點(diǎn) Δ<0 Δ＝0 Δ>0
幾何觀點(diǎn) d>r d＝r d2.圓與圓的位置關(guān)系
已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，
則圓心距d＝|C1C2|＝.
則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：
位置關(guān)系 外離 內(nèi)含 相交 內(nèi)切 外切
圓心距 與半徑 的關(guān)系 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－2|圖示
公切線條數(shù) 4 0 2 1 3
1.圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法
(1)幾何法：運(yùn)用弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|＝2.
(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝·.
一、單選題
1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
5．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空題
8．（2024·天津·高考真題）已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則原點(diǎn)到直線的距離為 ．
9．（2023·天津·高考真題）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若，則 ．
10．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值 ．
11．（2022·天津·高考真題）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的值為 ．
12．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
13．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為 ．
14．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
15．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為 ．
16．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
【熱考點(diǎn)一】直線的方程
【典例1-1】已知，，若的平分線方程為，則所在直線的一般方程為 .
【典例1-2】光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時(shí)，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對(duì)介質(zhì)1的折射率.如圖，一個(gè)折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一束光以的入射角從空氣中射入點(diǎn)，該光線再次返回空氣中時(shí)，其所在直線的方程為 .
【變式1-1】已知過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為 ．
【變式1-2】一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)射到直線上，被反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為 ．
1.過(guò)定點(diǎn)A的直線與圓交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B恰好為AC的中點(diǎn)，寫出滿足條件的一條直線的方程 ．
【熱考點(diǎn)二】圓的方程
【典例2-1】如圖是一個(gè)中國(guó)古典園林建筑中常見(jiàn)的圓形過(guò)徑門，已知該門的最高點(diǎn)到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系中，以地面所在的直線為軸，過(guò)圓心的豎直直線為軸，則門的輪廓所在圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】過(guò)點(diǎn)引圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．若，則過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式2-1】已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（B在第一象限），C是拋物線的準(zhǔn)線與直線l的交點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線G的焦點(diǎn)，若，則以AB為直徑的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為（ ）
A． B． C． D．
1.已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【熱考點(diǎn)三】直線、圓的位置關(guān)系
【典例3-1】若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點(diǎn)表示的區(qū)域面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】設(shè)圓和不過(guò)第三象限的直線，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離均為2，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【變式3-2】已知圓與圓交于、兩點(diǎn)，則（為圓的圓心）面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
1.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【熱考點(diǎn)四】圓的動(dòng)點(diǎn)與距離問(wèn)題
【典例4-1】若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)a的取值的范圍是 ．
【變式4-1】已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的范圍是 ．
【變式4-2】已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為 ，最小值為 ，的范圍為 ．
1.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為 ．
【熱考點(diǎn)五】阿式圓
【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
【典例5-2】古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為 .
【變式5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)（，），則點(diǎn)M的軌跡是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)M的軌跡方程為 .若點(diǎn)Р在圓上，則的最小值是 .
【變式5-2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 .
1.阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得 阿基米德并稱亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.”人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為 ；若Q為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，Q在y軸上的射影為M，則的最小值為 .
【熱考點(diǎn)六】圓的數(shù)形結(jié)合
【典例6-1】過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線上存在兩點(diǎn)，使得能成立，則線段的長(zhǎng)度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與直線交于點(diǎn)P，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，的最小值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

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