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專題15 圓錐曲線的離心率（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點】 4
【熱考點一】頂角為直角焦點三角形與離心率的取值范圍 4
【熱考點二】焦點三角形頂角范圍與離心率 5
【熱考點三】共焦點的橢圓與雙曲線離心率 6
【熱考點四】橢圓與雙曲線的通徑與離心率 7
【熱考點五】橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 8
【熱考點六】雙曲線的底邊等腰三角形 9
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
一、單選題
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國甲卷·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國甲卷·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·全國乙卷·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
6．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
7．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
8．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
9．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
10．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是 ．
11．（2022·全國甲卷·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值 ．
【熱考點一】頂角為直角焦點三角形與離心率的取值范圍
【典例1-1】已知橢圓上一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知橢圓C：上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，為其右焦點，點關(guān)于原點的對稱點為，且，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】雙曲線（，）左支上一點關(guān)于原點的對稱點為點為其右焦點，若，設(shè)，且，則離心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知雙曲線右支上非頂點的一點A關(guān)于原點的對稱點為為雙曲線的右焦點，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點二】焦點三角形頂角范圍與離心率
【典例2-1】已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，
若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知為橢圓上一動點，、分別為該橢圓的左、右焦點，為短軸一端點，如果長度的最大值為，則使為直角三角形的點共有（ ）個
A．8個 B．4個或6個 C．6個或8個 D．4個或8個
【變式2-1】已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】已知橢圓的方程為為其左、右焦點，為離心率，為橢圓上一動點，有如下說法：
①當時，使為直角三角形的點有且只有4個；
②當時，使為直角三角形的點有且只有6個；
③當時，使為直角三角形的點有且只有8個；
以上說法中正確的個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
1．已知為橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點.若使為直角三角形的點有且只有4個，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【熱考點三】共焦點的橢圓與雙曲線離心率
【典例3-1】已知橢圓與雙曲線共焦點，分別為左、右焦點，點為與的一個交點，且，設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知以為焦點的橢圓與雙曲線共焦點，一動點在直線上運動，雙曲線與橢圓在一象限的交點為，當與相等時，取得最大值，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標原點），若，則與的離心率之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為M，且．雙曲線和橢圓有相同焦點，且雙曲線的離心率為，P為曲線與的一個公共點，若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【熱考點四】橢圓與雙曲線的通徑與離心率
【典例4-1】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別是、，過的直線交雙曲線的左支于、兩點，若，且，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知雙曲線的左、右焦點分別是、，是雙曲線右支上的一點，交雙曲線的左支于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】若橢圓（）的離心率與雙曲線（，）的離心率之積為1，，分別是雙曲線E的左、右焦點，M，N是雙曲線E的左支上兩點，且，，，A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點與左焦點，，則橢圓C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓C于M，N兩點.若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，過原點的直線交橢圓于，兩點，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【熱考點五】橢圓與雙曲線的等腰三角形問題
【典例5-1】橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為
A． B． C． D．
【變式5-1】已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】已知雙曲線C的焦點為，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
1．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【熱考點六】雙曲線的底邊等腰三角形
【典例6-1】設(shè)為雙曲線C：的右焦點，直線l：（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】設(shè)雙曲線的左 右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左 右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
1．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，且在線段的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．專題15 圓錐曲線的離心率（新高考專用）
目錄
【知識梳理】 2
【真題回顧】 4
【熱考考點】 13
【熱考點一】頂角為直角焦點三角形與離心率的取值范圍 13
【熱考點二】焦點三角形頂角范圍與離心率 18
【熱考點三】共焦點的橢圓與雙曲線離心率 22
【熱考點四】橢圓與雙曲線的通徑與離心率 27
【熱考點五】橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 32
【熱考點六】雙曲線的底邊等腰三角形 37
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
一、單選題
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國甲卷·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國甲卷·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2022·全國乙卷·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
6．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
7．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
8．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
9．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
10．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是 ．
11．（2022·全國甲卷·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值 ．
參考答案
題號 1 2 3 4 5
答案 C A B A AC
1．C
【分析】由焦點坐標可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.
【詳解】由題意，設(shè)、、，
則，，，
則，則.
故選：C.
2．A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
3．B
【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.
【詳解】解：因為離心率，解得，，
分別為C的左右頂點，則，
B為上頂點，所以.
所以，因為
所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
4．A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
5．AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
6．
【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.
【詳解】由題可知三點橫坐標相等，設(shè)在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案為：
7．
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.
【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
故答案為：
8．/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因為，所以，則，
又，所以，則，
又點在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
9．13
【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
故答案為：13.
10．
【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點，再根據(jù)可求得點，最后根據(jù)點在雙曲線上，即可解出離心率．
【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，
聯(lián)立，得，由，得
而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.
故答案為：．
11．2（滿足皆可）
【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.
【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,
結(jié)合漸近線的特點，只需，即，
可滿足條件“直線與C無公共點”
所以，
又因為，所以，
故答案為：2（滿足皆可）
【熱考點一】頂角為直角焦點三角形與離心率的取值范圍
【典例1-1】已知橢圓上一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，設(shè)橢圓得左焦點為，連接，
則四邊形為矩形，
則，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，
所以.
故選：B.
【典例1-2】已知橢圓C：上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，
因為，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形為矩形，
所以，
在中，，
根據(jù)橢圓定義可知：，
所以，
所以，，所以，
所以離心率為
故選：B．
頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示：
橢圓：，根據(jù)范圍求解值域．
雙曲線：，根據(jù)范圍求解值域．
【變式1-1】設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，為其右焦點，點關(guān)于原點的對稱點為，且，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，設(shè)，
則根據(jù)題意得，
則雙曲線的離心率為
，
令，
易知在單調(diào)遞增，
且，
則，即.
故選：C.
【變式1-2】雙曲線（，）左支上一點關(guān)于原點的對稱點為點為其右焦點，若，設(shè)，且，則離心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，則，
因為雙曲線左支上一點關(guān)于原點的對稱點為點為其右焦點，，
所以由雙曲線的對稱性可得四邊形為矩形，
所以，
因為，，
所以，
因為，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，所以，
所以，
所以雙曲線的離心率的范圍為，
故選：D
1．已知雙曲線右支上非頂點的一點A關(guān)于原點的對稱點為為雙曲線的右焦點，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，
因為，則四邊形為矩形，
所以，
則，．
．
．
即，
則，
因為，則，
可得，即，
所以，
即雙曲線離心率的取值范圍是，
故選：C．
【熱考點二】焦點三角形頂角范圍與離心率
【典例2-1】已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，
若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，橢圓的最大張角為，所以，所以，所以，
故選：C．
【典例2-2】已知為橢圓上一動點，、分別為該橢圓的左、右焦點，為短軸一端點，如果長度的最大值為，則使為直角三角形的點共有（ ）個
A．8個 B．4個或6個 C．6個或8個 D．4個或8個
【答案】B
【解析】當為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點有2個；
當為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點有2個；
因為為短軸一端點，令，長度的最大值為，
橢圓，
所以說明橢圓與圓有且僅有下頂點這唯一交點，
設(shè) ，
所以 ，即
所以 ，
因為，
所以帶入中得：
，
因為 ，
所以，
所以，
所以，
因為，
當 帶入得：
所以，
所以，
所以即 ，
當 時， 為下頂點，此時 最大為直角，根據(jù)對稱滿足的點有2個，
當 時， 為下頂點，此時 為銳角，滿足的點有0個，
所以使為直角三角形的點共有4個或6個，
故選：B.
是橢圓的焦點，點在橢圓上，，則（當且僅當動點為短軸端點時取等號）．
【變式2-1】已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，點在以為直徑端點的圓上，
由此可得該圓的半徑，，即，
，.
故選：A.
【變式2-2】已知橢圓的方程為為其左、右焦點，為離心率，為橢圓上一動點，有如下說法：
①當時，使為直角三角形的點有且只有4個；
②當時，使為直角三角形的點有且只有6個；
③當時，使為直角三角形的點有且只有8個；
以上說法中正確的個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】當時，使為直角三角形的點有且只有4個，分別為橫坐標為的四個點；
當時，使為直角三角形的點有且只有6個，分別為橫坐標為的四個點及短軸兩個頂點；
當時，使為直角三角形的點有且只有8個，分別為橫坐標為的四個點及為直角的四個點
1．已知為橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點.若使為直角三角形的點有且只有4個，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當軸時，有兩個點滿足為直角三角形；
當軸時，有兩個點滿足為直角三角形.
使為直角三角形的點有且只有4個，
以原點為圓心，為半徑的圓與橢圓無交點，，
，又，解得.
故選：A.
【熱考點三】共焦點的橢圓與雙曲線離心率
【典例3-1】已知橢圓與雙曲線共焦點，分別為左、右焦點，點為與的一個交點，且，設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)點在第一象限，由題知，
解得，，
在中，由余弦定理得，，
化簡得，即，
所以，
令，因為，所以，
則，
由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以．
故選：C
【典例3-2】已知以為焦點的橢圓與雙曲線共焦點，一動點在直線上運動，雙曲線與橢圓在一象限的交點為，當與相等時，取得最大值，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意設(shè)，設(shè)雙曲線的實軸長為，
雙曲線與橢圓在一象限的交點為，
設(shè)，則，
故，
由，得，
即；
動點在直線上運動，設(shè)l與x軸交點為E，設(shè)，
在中，，
在中，，
由題意知為銳角，且,
即，
當且僅當，即時，等號成立，
即的最大值為，而當與相等時，取得最大值，
可知，即，結(jié)合，
得，則，
故雙曲線的離心率，
故選：C
，與基本不等式聯(lián)姻求解離心率的取值范圍
【變式3-1】已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標原點），若，則與的離心率之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
故焦點坐標為、，
則橢圓的離心率為，
由，，則，
過點作于點，由為中點，
故，，
由，故，
則，，
由雙曲線定義可知，，
故，則離心率為，
故與的離心率之和為.
故選：B.
【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨設(shè)P為第一象限的點，
在橢圓中： ① ,
在雙曲線中: ②,
聯(lián)立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
橢圓的離心率，
雙曲線的離心率，
故選：B
1．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為M，且．雙曲線和橢圓有相同焦點，且雙曲線的離心率為，P為曲線與的一個公共點，若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因為橢圓的上頂點為M，且，
所以，
所以，所以，
設(shè)雙曲線的方程為，
假設(shè)點在第一象限，則
，得，
在中，由余弦定理得
，即，
整理得，
所以，則，
，所以，
所以，
故選：D
【熱考點四】橢圓與雙曲線的通徑與離心率
【典例4-1】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別是、，過的直線交雙曲線的左支于、兩點，若，且，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖所示：
，由雙曲線的定義可得，
所以，，則，
由余弦定理可得，
，
因為，
故，整理可得，故該雙曲線的離心率為.
故選：B.
【典例4-2】已知雙曲線的左、右焦點分別是、，是雙曲線右支上的一點，交雙曲線的左支于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
因為是雙曲線右支上的一點，交雙曲線的左支于點，
若，
由雙曲線的定義，可得，
，則，
所以，
故為等邊三角形，則，
在中，，，，
由余弦定理，可得
，
因此，雙曲線的離心率為.
故選：D.
橢圓與雙曲線的4a通徑體
如圖，若，易知，若，則一定有，根據(jù)可得，即
【變式4-1】若橢圓（）的離心率與雙曲線（，）的離心率之積為1，，分別是雙曲線E的左、右焦點，M，N是雙曲線E的左支上兩點，且，，，A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點與左焦點，，則橢圓C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題，，又，，．
，直線MN過點，
，，
，．
在中，
．
設(shè)橢圓C的焦距為，離心率為，雙曲線E的焦距為，離心率為，
在中，
，
，，．
，，，，
橢圓C的方程為.
故選：B．
【變式4-2】已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓C于M，N兩點.若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以可設(shè)，，，
因為，所以，解得，
因為，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即橢圓的離心率為.
故選：B.
1．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，過原點的直線交橢圓于，兩點，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】過原點的直線交橢圓于，兩點，被平分，
又被平分，四邊形是平行四邊形，
又，四邊形是矩形，
，
由對稱性可得，設(shè)，，
，，
，
．
故選：B．
【熱考點五】橢圓與雙曲線的等腰三角形問題
【典例5-1】橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，由橢圓定義知，
又，所以，再由橢圓定義，
因為，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化簡可得，即，
解得或（舍去）.
故選：D
【典例5-2】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．
所求橢圓方程為，故選B．
法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．
同角余弦定理使用兩次
【變式5-1】已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，
在和中利用余弦定理可得
即
化簡可得
同除得：解得或（舍去）
故選：
【變式5-2】已知雙曲線C的焦點為，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)則，，由雙曲線的定義可得，，在和中，利用余弦定理求出，進而求出雙曲線的標準方程.如圖，設(shè)則，，
由雙曲線的定義可得，
在和中，由余弦定理得
又互補，，
兩式消去，可得，
所以，，
所以雙曲線的標準方程可得.
故選：B
1．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，
又，所以，從而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故選：C．
【熱考點六】雙曲線的底邊等腰三角形
【典例6-1】設(shè)為雙曲線C：的右焦點，直線l：（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線C的左焦點為，如圖，取線段的中點H，連接，則．
因為，所以，即，則．
設(shè)．因為，
所以，則，從而，故，解得．
因為直線l的斜率為，所以，整理得，即，則，故．
故選：C
【典例6-2】設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，如圖，取線段的中點，連接，則．因為，所以，即，則．設(shè)．因為，所以，則，從而，故，解得．因為直線的斜率為，所以，整理得，即，
故選：D．
當或者時，令,則一定存在①，②
【變式6-1】設(shè)雙曲線的左 右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左 右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)為的中點，連接.
易知，所以，所以.
因為為的中點，所以.
設(shè)，因為，所以.
因為，所以.
所以.
因為是的中點，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因為直線的斜率為，
所以，所以，
，所以離心率為.
故選：A
1．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，且在線段的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，如圖：
設(shè)M，N的中點為P，連接 ，則點P在以原點為圓心，半徑為c的圓上，并且有 ， ；
直線l的方程為 ，令 ，
，由雙曲線的性質(zhì)可得 ，
解得 ，
在 中， ，在 中， ，
解得 ，由于 ， ，
解得 ；
故選：D.

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