資源簡介

專題13 立體幾何綜合解答題（新高考專用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 8
【熱考考點(diǎn)】 35
【熱考點(diǎn)一】“含圓”結(jié)構(gòu)模型 35
【熱考點(diǎn)二】立體幾何探索性問題 42
【熱考點(diǎn)三】立體幾何折疊問題 48
【熱考點(diǎn)四】立體幾何補(bǔ)圖問題 56
【熱考點(diǎn)五】不常見建系問題 62
【熱考點(diǎn)六】通過找?guī)缀侮P(guān)系建系 70
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a α，b α，a∥b a∥α
性質(zhì)定理 一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β
性質(zhì) 兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面 α∥β，a α a∥β
性質(zhì)定理 兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
3.直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 l⊥α
性質(zhì)定理 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 a∥b
4.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.
(2)范圍：.
5.二面角
(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.
6.平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直 α⊥β
性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直 l⊥α
1.三個(gè)重要結(jié)論
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.
(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.
2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
7.空間向量的有關(guān)概念
名稱 定義
空間向量 在空間中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共線向量 (或平行向量) 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一個(gè)平面的向量
8.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.
9.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
10.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐標(biāo)表示
數(shù)量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
11.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
12.空間位置關(guān)系的向量表示
位置關(guān)系 向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n l∥α u⊥n u·n＝0
l⊥α u∥n u＝λn
平面α，β的法向量分別為n1，n2 α∥β n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
1.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).
2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).
3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用＝x＋y證明MN∥平面ABC時(shí)，必須說明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).
13.兩條異面直線所成的角
設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，
則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
14.直線和平面所成的角
直線AB與平面α相交于B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
15.平面與平面的夾角
(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面 β的夾角.
(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
16.點(diǎn)P到直線l的距離
設(shè)＝a，u是直線l的單位方向向量，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
17.點(diǎn)P到平面α的距離
若平面α的法向量為n，平面α內(nèi)一點(diǎn)為A，則平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離d＝＝，如圖所示.
6.線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.
1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是.
一、解答題
1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到的距離.
3．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
5．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
6．（2024·廣東江蘇·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值為，求．
7．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br/>8．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
9．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
10．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
11．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
12．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
13．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
14．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
參考答案
1．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）
因?yàn)?，故，故?br/>故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
則
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
設(shè)平面的法向量為，
則由可得，取，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為
2．(1)證明見詳解；
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；
（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.
【詳解】（1）由題意得，，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面平面，
所以平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋遥?br/>所以四邊形是平行四邊形，所以，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，
又，所以，故.
又平面，所以平面，
易知.
在中，，
所以.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，
得，得，
故點(diǎn)到平面的距離為.
3．(1)證明見詳解；
(2)
【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；
（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫?br/>平面，所以平面；
（2）如圖所示，作交于，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以?br/>結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，
所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危瑸橹悬c(diǎn)，所以，
四邊形為平行四邊形，，
所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，
因?yàn)椋裕曰ハ啻怪保?br/>以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，
，設(shè)平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，即，令，得，即，
則，即，令，得，
即，，則，
故二面角的正弦值為.
4．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；
（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，
由是的中點(diǎn)，故，且，
由是的中點(diǎn)，故，且，
則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有、、、、、，
則有、、，
設(shè)平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，
即點(diǎn)到平面的距離為.
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.
【詳解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
由是的中點(diǎn)，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】
6．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而 ，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；
（2）過點(diǎn)D作于，再過點(diǎn)作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長度表示出，即可解方程求出．
【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫?，而平面，所以?br/>又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因?yàn)?，所以?根據(jù)平面知識(shí)可知，
又平面，平面，所以平面．
（2）如圖所示，過點(diǎn)D作于，再過點(diǎn)作于，連接，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面，而平面平面?br/>所以平面，又，所以平面，
根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，
即，即．
因?yàn)椋O(shè)，則，由等面積法可得，，
又，而為等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
7．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以，同理，
所以為直角三角形，
又因?yàn)?，?br/>所以，則為直角三角形，故，
又因?yàn)?，?br/>所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，
所以二面角的大小為.
8．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.
【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，
于是，即，
則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）過作垂直的延長線交于點(diǎn)，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
在中，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱錐的高為，
因?yàn)?，所以?br/>所以，
又，
所以.
9．(1)證明見解析.
(2)
【分析】(1)由平面得，又因?yàn)椋勺C平面，從而證得平面平面；
(2) 過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?
所以,
又因?yàn)?，即?br/>平面，,
所以平面，
又因?yàn)槠矫?
所以平面平面.
（2）如圖，

過點(diǎn)作，垂足為.
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br/>所以平面，
所以四棱錐的高為.
因?yàn)槠矫?，平?
所以,,
又因?yàn)?，為公共邊?br/>所以與全等，所以.
設(shè)，則，
所以為中點(diǎn)，,
又因?yàn)?所以,
即，解得，
所以，
所以四棱錐的高為．
10．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；
（2）利用直角三角形求出的長及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.
【詳解】（1）如圖，
底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，
平面平面，
過作交于，又平面平面，平面，
平面
到平面的距離為1，，
在中，，
設(shè)，則，
為直角三角形，且，
，，，
，解得，
，
（2），
，
過B作，交于D，則為中點(diǎn)，
由直線與距離為2，所以
，，，
在，，
延長，使，連接，
由知四邊形為平行四邊形，
，平面，又平面，
則在中，，，
在中，，，
,
又到平面距離也為1，
所以與平面所成角的正弦值為.
11．(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）法一：由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以由求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；
（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，則，得，
因此，則，有，
又，平面，
則有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因?yàn)椋^點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
在中，，
在中，，
設(shè)，所以由可得：，
可得：，所以，
則，所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
，
所以平面平面BEF；

（3）法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，
由，得，且，
又由（2）知，，則為二面角的平面角，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，則，
從而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值為.

法二：平面的法向量為，
平面的法向量為，
所以，
因?yàn)?，所以?br/>故二面角的正弦值為.
12．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；
（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；
（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解
【詳解】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，
由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.
由面，面，故，又，，平面，則平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面與平面所成角即.
又，，則，故，在中，，則，
于是
（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.
由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，
由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.
又平面，則，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，
即點(diǎn)到平面的距離是.
[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
，
.
由，即.
13．(1)證明見解析；
(2)1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡可得，，
解得或，
或，
.
14．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；
（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．
【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，
因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因?yàn)?，所以，即有?br/>，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
【熱考點(diǎn)一】“含圓”結(jié)構(gòu)模型
【典例1-1】如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓心，，是底面圓的兩條直徑，點(diǎn)在上，．
(1)求證：；
(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，
所以，
又，且，平面，平面,
所以平面．
又平面，所以．
（2）由題意，在中，，所以，所以，
又為的中點(diǎn)，所以，.
設(shè)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則．
因此，
由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．
【典例1-2】（24-25高三上·浙江·期中）如圖，四邊形為圓臺(tái)的軸截面，，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，母線長為，是弧上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，
∵，，，，
∴，，∴為平行四邊形，
∴，又面，面，
所以面.
（2）法一：過作于點(diǎn)，易知圓臺(tái)底面，
∵，，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，母線長為，
∴，，又，∴，，
又，則，所以，
又由，可得，，
取中點(diǎn)，連結(jié)，，所以，
則為二面角的平面角，
又易知，，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為
法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，和垂直的直線為軸，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由法一知，，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，，所以，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
若以，，為，，軸建立坐標(biāo)系，
則，
所以，，，
同理可求得平面的法向量為；
平面的法向量為，
則.
關(guān)鍵找出三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系．
【變式1-1】（2022·安徽黃山·二模）如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺(tái)，，且側(cè)棱長為.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）延長三條側(cè)棱交于一點(diǎn)O.
因?yàn)椋詾榈闹形痪€，
因?yàn)閭?cè)棱長為，所以.
所以，于是
同理可得
因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線.
所以，即平面；
（2）由（1）可知兩兩垂直，所以可以以所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.
則.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋?br/>所以，令，則，
即平面的一個(gè)法向量為
取平面的一個(gè)法向量為，
所以，
由于二面角為鈍角，則其余弦值為.
1．如圖，弧是半徑為a的半圓，為直徑，點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段的三等分點(diǎn)，平面外點(diǎn)F滿足，：
(1)證明：；
(2)已知點(diǎn)Q，R為線段上的點(diǎn)，使得，求當(dāng)最短時(shí)，平面和平面所成二面角的正弦值．
【解析】（1）連接，因?yàn)榛∈前霃綖閍的半圓，
為直徑，點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，所以，
在中，，
在中，，且點(diǎn)C是底邊的中點(diǎn)，
所以，，
所以在中，有，
所以，
又因?yàn)?，，平面，平面?br/>所以平面，
又面，所以，
又因?yàn)椋矫?，平面?br/>所以平面，而平面，所以.
（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)C作交弧于G，
以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，
設(shè)，因?yàn)榧矗?br/>所以，
則，，
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，
設(shè)，則，
由得，則，
則，，
設(shè)平面的法向量為，則，，
所以，令則，
所以，又由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，
所以，
設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，則，
則，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為.
【熱考點(diǎn)二】立體幾何探索性問題
【典例2-1】如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）在正三棱柱中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，
則，
又平面，平面，
則有，
而，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br/>（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，則點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)，
如下圖所示，因?yàn)?，?br/>所以與相似，
因此，
即有，于是，，所以.
【典例2-2】（24-25高三上·上海·期中）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面，．
(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角為直二面角？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）由題意可知，平面平面，則，為中點(diǎn)，
又，，
，則．
過作平行線， 如圖以此平行線所在直線為軸，，為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面法向量為，則，
則，
取，則直線與平面所成角的正弦值為；
（2）不存在
，，
所以，
設(shè)平面法向量為，
則， 則，令，則，
取，平面法向量為．
因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，，解得?br/>又因?yàn)?，不符題意．
所以在線段上不存在一點(diǎn)，使得二面角為直二面角.
與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．
【變式2-1】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值；
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【解析】（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，,
,
，且平面平面
（2）由（1）得，，
異面直線與所成角的余弦值為．
（3）由（1）得，,．
設(shè)平面的法向量，
由得，，
令，則，
設(shè)，
．
整理得，，解得或存在點(diǎn)或．
1．如圖1，在中，，分別為，的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得，如圖2.
(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，如下圖，連接，則，
則，，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面；
（2）由（1）以及已知條件可知兩兩相互垂直，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，
可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為，
設(shè)，則，
，
，
整理可得：，解得：，
存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí).
【熱考點(diǎn)三】立體幾何折疊問題
【典例3-1】如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將翻折成，使平面平面.
(1)證明：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)點(diǎn)，分別在線段、上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長.
【解析】（1）
取中點(diǎn)，連接.
∵，∴，由折疊得.
∵平面，∴平面.
∵平面，∴.
（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.
∵，
∴.
以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，
∴，，
設(shè)平面的法向量為，則，取.
由題意得，平面的法向量為，
∴，
由圖可得二面角的平面角為銳角，∴二面角的余弦值為.
（3）連接.
設(shè)，則.
∵翻折后與重合，∴，
由（2）得，，，
∴，解得，即.
【典例3-2】如圖1，菱形的邊長為4，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，連接，得到如圖2所示的四棱錐.
(1)證明：；
(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.
【解析】（1）在菱形中，由，得△是等邊三角形，由是的中點(diǎn)，得，
在四棱錐中，由，,平面，
得平面，而平面，
所以.
（2）菱形的邊長為是的中點(diǎn)，，，
由（1）知平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸負(fù)方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）
則，設(shè)，，
由，，得，解得，即，
，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面的夾角的正弦值.
1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．
2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握?qǐng)D形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．
【變式3-1】在平面四邊形中，，，，將沿翻折至，得到如圖所示的三棱錐．
(1)證明：；
(2)當(dāng)三棱錐的體積為12時(shí)，求二面角的余弦值．
【解析】（1）如圖①，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)?，所以，所以?br/>又，，平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）過點(diǎn)作平面，垂足為，連接，
因?yàn)?，?br/>所以，，
因?yàn)槿忮F的體積為12，
所以
，
解得，
因?yàn)?，所以?br/>則，．
解法一：如圖①，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，
過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
①
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，，
則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，，
則平面的一個(gè)法向量為，
則，
由圖知二面角為鈍二面角，
故二面角的余弦值為．
解法二：如圖②，易知，
則過分別作的垂線，垂足為，
則即為二面角的平面角，且，
因?yàn)槠矫?，且平面?br/>所以，結(jié)合（1）中，
又，所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>所以，
在中，，
在中，由余弦定理得，
則，
由等面積法得，
解得，
則，
則在中，由余弦定理得，
故二面角的余弦值為．
②
1．如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，沿將翻折至位置得到四棱錐為上一動(dòng)點(diǎn).

(1)若為的中點(diǎn)，證明：在翻折過程中均有平面；
(2)若，①證明：平面平面；
②記四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，若，求點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）取PA中點(diǎn)G，連FG，EG，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，
由題意可知：∥，且，
則∥，且，可知四邊形CFGE為平行四邊形，
則∥，且平面，平面，
所以∥平面.
（2）①在四邊形中，連接，
由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，則，
且，則，
可知，即，且，
若，且，則，可知，
且，平面，可得平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br/>②取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，
則，∥，可得，
因?yàn)闉榈冗吶切?，則，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚母呒礊榈冗叺母撸?br/>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
若，則，解得，
即，可知為中點(diǎn)，
以為原點(diǎn)，OA，OH，別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
所以點(diǎn)到平面的距離.
【熱考點(diǎn)四】立體幾何補(bǔ)圖問題
【典例4-1】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，．

(1)在側(cè)面PBC中能否作出一條線段，使其與AD平行？如果能，請(qǐng)寫出作圖過程并給出證明；如果不能，請(qǐng)說明理由；
(2)若四棱錐的體積是，求直線BP與平面PCD所成角的大?。?br/>【解析】（1）不能．
在梯形ABCD中，，，，則AD不平行于BC，
直線AD與BC必相交于一點(diǎn)，而平面，則直線與平面有公共點(diǎn)
又平面，因此直線與平面相交，
所以在側(cè)面PBC中不能作AD的平行線.
（2）過點(diǎn)B作于H，連接PH，
由平面ABCD，平面ABCD，得，而平面PCD，
則平面PCD，即PH是BP在平面PCD內(nèi)的射影，是直線BP與平面PCD所成角，
在中，，，則是等邊三角形，，，
又，則，即，
在中，，，又四棱錐的體積是，
即，解得，
在中，，因此，
所以直線BP與平面PCD所成角大小是.
【典例4-2】（23-24高三上·河北承德·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若平面經(jīng)過點(diǎn)，且與棱交于點(diǎn)．請(qǐng)作圖畫出在棱上的位置，并求出的值．
【解析】（1）連接，則為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）如圖，過作直線與平行，
則，故共面．
延長與交于點(diǎn)，連接，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．
因?yàn)榈酌媸钦叫危堑闹悬c(diǎn)，
所以，且，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
則，所以．
（1）利用公理和定理作截面圖
（2）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理作平行線
（3）利用平面與平面垂直作平面的垂線
【變式4-1】如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐中，平面與直線和直線平行，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)求作過作四棱錐的截面，使與截面平行（寫出作圖過程，不要求證明）.截面的定義：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.
【解析】（1）∵平面，平面，平面平面，∴
∵平面，平面，平面平面，∴
∴，
∵平面，平面，平面平面，∴
∵平面，平面，平面平面，∴
∴，
∴四邊形是平行四邊形.
（2）
如圖，延長，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線,則直線為平面和平面的交線，延長，交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接.∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn),∴是的一條中位線∴，又∵平面,平面,∴截面.
故平面即為所求截面.
1．在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，三棱錐的體積為，平面與平面的交線為.

(1)求四棱錐的體積，并在答卷上畫出交線（注意保留作圖痕跡）；
(2)若，，且平面平面，在上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1），，
∵，∴，
∴，
延長，，設(shè)的延長線和的延長線交點(diǎn)為，連接，
則平面和平面的交線為直線.
（2）取的中點(diǎn)，連接，
∵，是的中點(diǎn)，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
，，解得.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線，分別為，軸，
以過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則，，，，
∴，，，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，得，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，可得，
平面與平面夾角的余弦值為
∴，
整理得，解得：或，
即在直線上存在點(diǎn)，平面與平面的夾角的余弦值為，
此時(shí)或，
則或.
【熱考點(diǎn)五】不常建系問題
【典例5-1】如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因?yàn)閭?cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，所以，，從而，
又是正三角形，是中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，平面，所以平面?br/>平面，平面，平面平面，所以，而，所以，所以平面，平面，
所以平面；
（2），連接，
平面，平面平面，平面，所以，又由三棱柱的性質(zhì)得，所以是平行四邊形，所以，
是的中心，則，所以，
所以，
設(shè)，則，，
由三棱柱性質(zhì)知四邊形是等腰梯形，如圖，，作于，則，又，
所以，．
由（1）知是平面的一個(gè)法向量，而是與的夾角，
所以直線與平面所成角的正弦值等于．
【典例5-2】《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.

（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.
（i）證明：平面平面；
（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.
【解析】（1）因?yàn)椤镑M臑”是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，又平面，所以，，；即，為直角三角形；
若，由，平面，可得：平面；
所以，即，為直角三角形；滿足四個(gè)面都是直角三角形；
同理，可得或或，都能滿足四個(gè)面都是直角三角形；
故可填：或或或；
（2）（i）證明：
∵平面，平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面.
（ii）由題意知，在平面中，直線與直線相交.
如圖所示，設(shè)，連結(jié)，則即為.
∵平面，平面，
∴，
∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴，.
∴即為二面角的一個(gè)平面角.
在中，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴二面角的大小為.
利用傳統(tǒng)方法解決
【變式5-1】如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為a，，平行于和的平面分別與交于四點(diǎn)．
(1)證明：四邊形是矩形；
(2)求三棱錐的體積（用含a的式子表示）；
(3)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面平面，平面?br/>所以，同理，則.
由三棱柱可知，平面平面，
又平面平面，且平面平面，
所以，所以四邊形是平行四邊形.
由，平面，平面，
所以平面， 又平面，，
又平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，且平面平面，
所以.
過作平面，垂足為，在平面內(nèi)過作，垂足為，
作，垂足為，連接，
所以平面，，同理，，.
因?yàn)槠矫妫矫?，?br/>所以平面，平面，
則，同理.
在與中，為公共邊，且，
故與全等，故，
在與中，，又為公共邊，
則與全等，則，
所以即為的角平分線，
又為等邊三角形，故，又，
因?yàn)槠矫?，平面，?br/>所以平面，平面，
所以，又，，
所以有，故四邊形為矩形.
（2）由為等邊三角形，且邊長為，則，
在中，；在中，；
在中，；
所以，
即，則，
則三棱錐的高，
.
（3）由（1）知，，則，
所以在中，，
過作平面，垂足為，
則三棱柱的高也即，由（2）知，
故即為直線與平面所成角，
則，
由，則.
故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
1．四面體，．
(1)求的面積；
(2)求與平面所成角的正弦值；
(3)求四面體的外接球半徑．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以由余弦定理可得，，，
所以，，
，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，
所以；
（2）過作平面于，過作于，過作于，
連接，
因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，平面?br/>所以平面，又平面，所以，同理可得，
又因?yàn)椋?，所以，所以?br/>所以，所以是的平分線，
因?yàn)?，所以，進(jìn)而在中，可得，
所以，
因?yàn)椋匀切问侵苯侨切危?br/>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以O(shè)C與平面ABC所成角的正弦值為；
（3）三角形是直角三角形，則設(shè)三角形斜邊的中點(diǎn)為，連接，
過作平面，因?yàn)樗拿骟w的外心在直線上，設(shè)球心為，
在中，因?yàn)?，所以?br/>由余弦定理可得，
所以，設(shè)，
所以，，
因?yàn)椋裕淼茫?br/>解得，所以外接球的半徑為.
【熱考點(diǎn)六】通過找?guī)缀侮P(guān)系建系
【典例6-1】（24-25高三上·河北衡水·期中）如圖，四棱錐的底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，且平面平面.
(1)證明：；
(2)若，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.
【解析】（1）
連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br/>所以，為中點(diǎn)，
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以.
（2）設(shè)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，
由（1）可知，點(diǎn)在平面內(nèi)，設(shè)，
由，
得，即，
所以當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積最大，此時(shí)，
則，，，,，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
【典例6-2】四棱錐中，底面為等腰梯形，，側(cè)面為正三角形；
(1)當(dāng)時(shí)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(2)當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求三棱錐的外接球的體積．
【解析】（1）因?yàn)榈酌鏋榈妊菪?，?br/>所以，，，所以.
所以，
又，平面，且，所以平面.
又平面，所以平面平面.
取中點(diǎn)，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以?br/>平面平面，
所以平面.
再取中點(diǎn)，連接，則，所以.
所以可以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，，，..
設(shè)，可得
所以，取平面的法向量.
因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，
所以，解得或（舍去）.
所以：線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時(shí).
（2）當(dāng)平面平面時(shí), 與平面所成角為.
當(dāng)平面與平面不垂直時(shí)，過做平面，連接，
則為與平面所成角，因?yàn)椋?br/>，，，所以.
故當(dāng)平面平面時(shí)，與平面所成角最大.
此時(shí)，設(shè)棱錐的外接球球心為，,
所以，解得.
所以三棱錐的外接球的體積為：.
利用傳統(tǒng)方法證明關(guān)系，然后通過幾何關(guān)系建坐標(biāo)系．
【變式7-1】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長為，點(diǎn)在母線上，且.
(1)求證：直線平面；
(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）設(shè)，連接，
為底面圓的內(nèi)接正三角形，，為中點(diǎn)，
，
又.
，且.
平面平面，，
平面平面，平面.
（2）為中點(diǎn)，
又，為中點(diǎn)，，，
，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè).
設(shè)平面的法向量，
則令，解得，
設(shè)直線與平面所成夾角為，
，
令，則，
，
當(dāng)，即時(shí)，，
，
此時(shí)，
點(diǎn)到平面的距離.
1．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架、的邊長都是，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子、分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長度保持相等，記.
(1)證明：平面；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長最小并求出最小值；
(3)當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br/>所以，平面，
又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
因?yàn)椋裕?
則，易知平面的一個(gè)法向量為.
因?yàn)?，所?
又平面，所以平面.
（2），其中.
，
當(dāng)時(shí)，最小，最小值為.
（3）由（2）可知，當(dāng)、分別為、的為中點(diǎn)時(shí)，最短，
此時(shí)、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
所以，，
所以平面與平面夾角的余弦值為.專題13 立體幾何綜合解答題（新高考專用）
目錄
【知識(shí)梳理】 2
【真題回顧】 8
【熱考考點(diǎn)】 13
【熱考點(diǎn)一】“含圓”結(jié)構(gòu)模型 13
【熱考點(diǎn)二】立體幾何探索性問題 15
【熱考點(diǎn)三】立體幾何折疊問題 16
【熱考點(diǎn)四】立體幾何補(bǔ)圖問題 18
【熱考點(diǎn)五】不常見建系問題 20
【熱考點(diǎn)六】通過找?guī)缀侮P(guān)系建系 22
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行 a α，b α，a∥b a∥α
性質(zhì)定理 一條直線和一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β
性質(zhì) 兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面 α∥β，a α a∥β
性質(zhì)定理 兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化
3.直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 l⊥α
性質(zhì)定理 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 a∥b
4.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.
(2)范圍：.
5.二面角
(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.
6.平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號(hào)表示
判定定理 如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直 α⊥β
性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直 l⊥α
1.三個(gè)重要結(jié)論
(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.
(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.
2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
7.空間向量的有關(guān)概念
名稱 定義
空間向量 在空間中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共線向量 (或平行向量) 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一個(gè)平面的向量
8.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.
9.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交換律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
10.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐標(biāo)表示
數(shù)量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共線 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
11.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.
12.空間位置關(guān)系的向量表示
位置關(guān)系 向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n l∥α u⊥n u·n＝0
l⊥α u∥n u＝λn
平面α，β的法向量分別為n1，n2 α∥β n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
1.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).
2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).
3.向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不滿足結(jié)合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用＝x＋y證明MN∥平面ABC時(shí)，必須說明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).
13.兩條異面直線所成的角
設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，
則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
14.直線和平面所成的角
直線AB與平面α相交于B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
15.平面與平面的夾角
(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面 β的夾角.
(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
16.點(diǎn)P到直線l的距離
設(shè)＝a，u是直線l的單位方向向量，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
17.點(diǎn)P到平面α的距離
若平面α的法向量為n，平面α內(nèi)一點(diǎn)為A，則平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離d＝＝，如圖所示.
6.線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.
1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是.
一、解答題
1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到的距離.
3．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
5．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
6．（2024·廣東江蘇·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值為，求．
7．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br/>8．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
9．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
10．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
11．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
12．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
13．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
14．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
【熱考點(diǎn)一】“含圓”結(jié)構(gòu)模型
【典例1-1】如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓心，，是底面圓的兩條直徑，點(diǎn)在上，．
(1)求證：；
(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．
【典例1-2】（24-25高三上·浙江·期中）如圖，四邊形為圓臺(tái)的軸截面，，圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，母線長為，是弧上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【變式1-1】（2022·安徽黃山·二模）如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺(tái)，，且側(cè)棱長為.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
1．如圖，弧是半徑為a的半圓，為直徑，點(diǎn)E為弧的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段的三等分點(diǎn)，平面外點(diǎn)F滿足，：
(1)證明：；
(2)已知點(diǎn)Q，R為線段上的點(diǎn)，使得，求當(dāng)最短時(shí)，平面和平面所成二面角的正弦值．
【熱考點(diǎn)二】立體幾何探索性問題
【典例2-1】如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【典例2-2】（24-25高三上·上?！て谥校┤鐖D，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面，．
(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角為直二面角？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式2-1】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值；
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
1．如圖1，在中，，分別為，的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得，如圖2.
(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【熱考點(diǎn)三】立體幾何折疊問題
【典例3-1】如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將翻折成，使平面平面.
(1)證明：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)點(diǎn)，分別在線段、上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長.
【典例3-2】如圖1，菱形的邊長為4，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，連接，得到如圖2所示的四棱錐.
(1)證明：；
(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的正弦值.
【變式3-1】在平面四邊形中，，，，將沿翻折至，得到如圖所示的三棱錐．
(1)證明：；
(2)當(dāng)三棱錐的體積為12時(shí)，求二面角的余弦值．
1．如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，沿將翻折至位置得到四棱錐為上一動(dòng)點(diǎn).

(1)若為的中點(diǎn)，證明：在翻折過程中均有平面；
(2)若，①證明：平面平面；
②記四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，若，求點(diǎn)到平面的距離.
【熱考點(diǎn)四】立體幾何補(bǔ)圖問題
【典例4-1】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，．

(1)在側(cè)面PBC中能否作出一條線段，使其與AD平行？如果能，請(qǐng)寫出作圖過程并給出證明；如果不能，請(qǐng)說明理由；
(2)若四棱錐的體積是，求直線BP與平面PCD所成角的大?。?br/>【典例4-2】（23-24高三上·河北承德·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若平面經(jīng)過點(diǎn)，且與棱交于點(diǎn)．請(qǐng)作圖畫出在棱上的位置，并求出的值．
【變式4-1】如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐中，平面與直線和直線平行，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)求作過作四棱錐的截面，使與截面平行（寫出作圖過程，不要求證明）.截面的定義：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.
1．在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，三棱錐的體積為，平面與平面的交線為.

(1)求四棱錐的體積，并在答卷上畫出交線（注意保留作圖痕跡）；
(2)若，，且平面平面，在上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【熱考點(diǎn)五】不常建系問題
【典例5-1】如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．
【典例5-2】《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.

（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.
（i）證明：平面平面；
（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.
【變式5-1】如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為a，，平行于和的平面分別與交于四點(diǎn)．
(1)證明：四邊形是矩形；
(2)求三棱錐的體積（用含a的式子表示）；
(3)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
1．四面體，．
(1)求的面積；
(2)求與平面所成角的正弦值；
(3)求四面體的外接球半徑．
【熱考點(diǎn)六】通過找?guī)缀侮P(guān)系建系
【典例6-1】（24-25高三上·河北衡水·期中）如圖，四棱錐的底面為正方形，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，且平面平面.
(1)證明：；
(2)若，當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.
【典例6-2】四棱錐中，底面為等腰梯形，，側(cè)面為正三角形；
(1)當(dāng)時(shí)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(2)當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求三棱錐的外接球的體積．
【變式7-1】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長為，點(diǎn)在母線上，且.
(1)求證：直線平面；
(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
1．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架、的邊長都是，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子、分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長度保持相等，記.
(1)證明：平面；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長最小并求出最小值；
(3)當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.

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