資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第五章 圓
10 圓錐的側面積
列清單·劃重點
知識點1 圓錐的有關概念
如圖所示,以 Rt△VOA 的直角邊 VO所在的直線為軸旋轉一周后，形成的立體圖形叫做圓錐.
線段 OA 旋轉后形成的圓面叫做圓錐的底面；
直線 VO 叫做圓錐的軸；
線段VO 的長叫做圓錐的高；
線段 VA 旋轉后形成的曲面叫做圓錐的側面；
點V 叫做圓錐的頂點.
在圓錐的底面圓周上任取一點A，連接點 A 和圓錐的頂點 V，所得到的線段 VA叫做圓錐的一條 .
知識點2 圓錐的有關計算公式
圓錐的側面展開圖是一個扇形，如圖所示，設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為 ，扇形的弧長為 ，圓錐的側面積：
圓錐的側面積與底面積的和稱為圓錐的全面積，即
注意
(1)圓錐有無數條母線，母線長都相等.(2)母線長=側面展開圖的扇形半徑.(3)底面周長=側面展開圖的扇形弧長.
明考點·識方法
考點1 與圓錐側面積有關的計算問題
典例1 如圖,為便于研究圓錐與扇形的關系，小方同學利用扇形紙片恰好圍成一個底面半徑為5cm ，母線長為 12 cm 的圓錐的側面，那么這個扇形紙片的面積是 cm (結果用含π的式子表示).
思路導析 本題考查了圓錐側面積的計算，底面半徑r=5cm ,母線長=12 cm,代入、 計算即可.
變式 如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
考點2 圓錐側面展開圖中圓心角的相關計算
典例 2 圓錐的高為2，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖(扇形)的圓心角是 度，該圓錐的側面積是 (結果用含π的式子表示).
思路導析 根據勾股定理，先求出圓錐底面半徑，進而得出底面周長，即圓錐側面展開圖的弧長，根據圓錐母線為圓錐的側面展開圖的半徑，結合扇形弧長公式和面積公式，即可求解.
規律總結
(1)設側面展開圖的圓心角的度數為 n°，則根據底面圓的周長=側面展開圖中扇形的弧長，可得 化簡得 或 若母線長是底面圓半徑的a倍，則側面展開圖的圓心角為
(2)圓錐的高h，底面半徑r及母線 組成一個直角三角形，利用勾股定理可得到
變式 用一個圓心角為90°，半徑為8 的扇形作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面直徑是 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
考點3 與圓錐有關的最短路徑問題
典例3 某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽.如圖，這個圓錐的底面圓周長為20πcm，母線 AB 長為30cm.為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點 A 處開始，繞側面一周又回到點 A 的彩帶(彩帶寬度忽略不計)，這條彩帶的最短長度是 ( )
思路導析 將圓錐側面展開，化曲為直，利用“兩點之間線段最短”求解.
注意
將所求問題轉化為平面上兩點之間線段最短的問題，充分利用圓錐底面周長等于側面展開圖的弧長，聯系空間元素與平面元素之間的關系.
變式 如圖是一個底面直徑為10，母線OE長也為10的圓錐，A是母線OF 上的一點，FA=2，則圓錐的側面積是 ，從點 E 沿圓錐側面到點A 的最短路徑長是
當堂測·夯基礎
1.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何 ”譯文：屋內墻角處的米堆為一個圓錐的四分之一(如圖)，米堆底部的弧長為8 尺，米堆的高為5尺，那么這個米堆遮擋的墻面面積為 ( )
A. 平方尺 平方尺 平方尺 D.45π平方尺
2.將矩形紙片ABCD接如圖所示進行裁剪，所裁剪出的扇形與圓剛好能夠做成一個圓錐.若BC=9 cm,則AB的長為 ( )
A. 5cm B.5. 5cm C.6 cm D.7 cm
3.如圖，已知圓錐的母線與高的夾角為30°，則圓錐側面展開扇形的圓心角度數為 ( )
A.90° B.120° C.180° D.210°
4.如圖，從一個半徑為1m 的圓形鐵片中剪出一個圓心角為 的扇形，再將剪下的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面半徑為 m.
5.如圖所示，已知圓錐底面半徑 母線長為20 cm.
(1)求它的側面展開圖的圓心角；
(2)若一甲蟲從 A 點出發沿著圓錐側面繞行到母線SA 的中點 B，請你動腦筋想一想它所走的最短路線是多少
6.如圖是一款近似圓錐形帳篷，其側面展開后是一個半徑為3m 、圓心角為的扇形，制作這頂帳篷(側面與底面)需要多少平方米的材料 (結果保留π)
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 母線
知識點2
【明考點·識方法】
典例1 60π
變式 A
典例2 120 3π
解析：根據勾股定理可得圓錐底面半徑
∴該圓錐底面周長=2π，
∵圓錐母線長為3，∴該圓錐的側面展開圖的半徑為3，
解得n=120,即展開圖(扇形)的圓心角是120度，
圓錐的側面積
變式 C
典例3 B 解析：∵圓錐的底面圓周長為20πcm,
∴圓錐的側面展開圖的扇形的弧長為20πcm,
設扇形的圓心角為n度，解得 n=120,
過點 B作BC⊥AA'于點C,
∴這條彩帶的最短長度是30 cm.
變式
【當堂測·夯基礎】
1. A
2. C 解析:如圖,
設圓錐的底面的半徑為r cm，則 DE=2rcm,AE=AB=(9-2r) cm,
根據題意得解得
所以
3. C 4.
5.解：(1)設它的側面展開圖的圓心角為n°，根據圓錐的底面周長就是側面展開圖(扇形)的弧長得
又 解得
∴它的側面展開圖的圓心角是
(2)根據側面展開圖的圓心角是 畫出側面展開圖如圖，
根據兩點之間，線段最短可知 AB 為最短路徑，
B 為 的中點，
由(1)知
∴它所走的最短路線長是
6.解：由題意得帳篷的側面需要的材料為
設帳篷的底面半徑為r，則 解得
∴帳篷的底面需要的材料為
∴制作這頂帳篷(側面與底面)需要的材料為
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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