資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第五章 圓
7 切線長定理
列清單·劃重點
知識點1 尺規作圖：過圓外一點 P，作⊙O的切線.
已知:⊙O和⊙O外一點 P;
求作：過點 P 作⊙O 的切線.
作法:①連接OP;
②作線段 OP 的垂直平分線MN，垂足為點C；
③以點 C 為圓心，CO為半徑畫圓，交⊙O于點A,B;
④作直線 PA,PB,則直線 PA,PB 即為所求作.
知識點2 切線長
過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的 .
知識點3 切線長定理
1.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的 相等.
2.數學符號語言：
∵PA,PB 是⊙O的兩條切線,A,B 為切點,∴PA=PB.
注意
(1)切線是直線，沒有長度，不能度量.定理中的切線長相等，是指這點與兩切點之間的線段長相等；
(2)利用切線長定理可以證明線段相等、角相等、弧相等以及垂直關系.如圖所示，還可得AD=BD,∠APO=∠BPO,AC=BC,△PAB為等腰三角形等.
明考點·識方法
考點1 切線長定理的應用
典例1 如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形 臉 恰 好 與 帽子 邊沿PA,PB分別相切于點A,B,不倒翁的鼻尖正好是圓心O,若∠OAB=28°,則∠APB的度數為 ( )
A.28° B.50° C.56° D.62°
思路導析 由切線長定理得 PA=PB，進而借助切線的性質得
進而得
變式 如圖,PA,PB 分別切⊙O于 A,B,PA=10 cm,C是劣弧AB 上的點(不與點 A,B重合),過點 C的切線分別交 PA,PB于點E,F.則△PEF的周長為 cm.
考點2 切線長定理在圓外切三角形中的應用
典例2 如圖所示，在△ABC中,AB=5 cm,BC= 7 cm,AC=8cm ,⊙O 與 BC,AC,AB分別相切于點 D,E,F,求AF,BD和CE 的長.
思路導析 由切線長定理可知 BF=BD，AF=AE,CE=CD,設AE=AF=x,則 BF=BD=5-x,EC=DC=8-x.而 BD+DC=7,通過列方程可求出x的長.
變式 如圖，在四邊形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20cm,BC=24 cm.現用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是( )
考點3 切線長定理在圓外切四邊形中的應用典例3 如圖所示，四邊形ABCD的邊 典例微課與⊙O分別相切于點E,F,G,H,判斷AB,BC,CD,DA之間有怎樣的數量關系，并說明理由.
思路導析 直接利用切線長定理得出DH=DG，CG=CF,BE=BF,AE=AH,進而得出答案.
規律總結
(1)圓的外切四邊形的對邊之和相等.
(2)圓外切平行四邊形是菱形，圓外切矩形是正方形.
(3)若一個四邊形的兩組對邊之和相等，則這個四邊形是某個圓的外切四邊形.換言之，若一個四邊形的兩組對邊之和相等，則這個四邊形有一個內切圓.
變式 如圖，⊙O為四邊形ABCD 的內切圓,∠A=∠B=90°,AD=4,BC=6,求⊙O的半徑.
當堂測·夯基礎
1.如圖,四邊形ABCD外切于⊙O,且AB=10,CD=15,則四邊形ABCD的周長為( )
A.60 B.55 C.45 D.50
第1題圖 第2題圖
2.如圖,△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內切圓，點D 是其中的一個切點,已知AD=10 cm,小明準備用剪刀沿著與⊙O 相切的任意一條直線 MN 剪下一塊三角形(△AMN),則剪下的△AMN 的周長為( )
A.20 cm B.15 cm C.10 cm D.隨直線 MN 的變化而變化
3.以正方形 ABCD的AB 邊為直徑作半圓O，過點 C 作直線切半圓于點 F，交 AB邊于點E，若△CDE 的周長為12，則直角梯形 ABCE周長為 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
4.如圖,⊙O 內切于正方形ABCD,O為圓心,作∠MON=90°,其兩邊分別交 BC,CD于點N,M,若CM+CN=10,則⊙O的面積為 .
5.如圖,PA,PB 是⊙O的切線,CD 切⊙O于點E,△PCD 的周長為12,∠APB=60°.求:
(1)PA的長;
(2)∠COD的度數.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點 2 切線長
知識點 3 1.切線長
【明考點·識方法】
典例1 C 解析:∵PA,PB分別切⊙O于點A,B,∴PA=PB,OA⊥PA,
變式 20
典例2 解:∵⊙O 與 BC,AC,AB 分別相切于點D,E,F,
∴AE=AF,BF=BD,EC=DC.
設AE=AF=x cm,則 BF=BD=(5-x) cm,CE=DC=(8-x) cm,
∴BD+DC=(5-x)+(8-x)=7.解得x=3,即AF=3cm,
∴BD=BF=5-3=2(cm),CE=AC-AE=8-3=5(cm).
變式 B 解析：如圖所示，延長 BA 交CD延長線于點 E，當這個圓為△BCE 的內切圓時，此圓的面積最大，
∵AD∥BC,∠BAD=90°,∴△EAD∽△EBC,∠ABC=90°,
即 解得 EA=12,∴EB=32cm,
.
設這個圓的圓心為點 O，與EB,BC,EC分別相切于點F,G,H,連接OF,OG,OH,OE,OB,OC,∴OF=OG=OH,
S△EOC,
∴24×32=(24+32+40)·OF,∴OF=8cm,
∴此圓的半徑為 8cm .
典例3 解:AD+BC=CD+AB,理由:
∵四邊形ABCD的邊與⊙O分別相切于點E,F,G,H,
∴DH=DG,CG=CF,BE=BF,AE=AH.
∴AH+DH+CF+BF=DG+GC+AE+BE,即AD+BC=CD+AB.
變式 解:過點D作DG⊥BC于點G,設AD與圓的切點為H，DC與圓的切點為F，BC與圓的切點為E，AB與圓的切點為M，連接OM,OE,OH,如圖,則OH⊥AD,OE⊥BC,OM⊥AB,OH=OE=OM,
∵∠A=∠B=90°,∴四邊形 AMOH,四邊形 BMOE 都是正方形，
∴∠HOM=∠MOE=90°,∴∠EOH=180°,∴點 E,O,H三點共線,
∴四邊形 HEGD 是矩形,∴BG=AD=4,CG=BC-BG=6-4=2,
∵點 E,F,H 是切點,∴DF=DH,CF=CE,
設⊙O 半徑為R,則 BE=AH=OM=R,DG=HE=2R,∴CE=CF=6-R,DF=DH=4-R,
解得
所以⊙O的半徑為
【當堂測·夯基礎】
1. D 2. A 3. C
4.25π 解析:設⊙O與正方形ABCD 的邊CD 相切于點E,與 BC相切于點F,連接OE,OF,則四邊形OECF 是正方形,∴CF=CE=OE=OF,∠OEM=∠OFN=
∵∠MON=90°,∴∠EOM=∠FON,∴△OEM≌△OFN(ASA),
∴EM=NF,∴CM+CN=CE+CF=10,∴OE=5,
∴⊙O 的面積為 25π.
5.解:(1)∵CA,CE都是圓O的切線,∴CA=CE,
同理DE=DB,PA=PB,
∴三角形 PCD 的周長 = PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12,
即 PA 的長為6;
(2)∵∠P=60°,∴∠PCE+∠PDE=120°,
∵CA,CE是圓O的切線,
同理：∠CDB)=120°,
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑