資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第五章 圓
8 正多邊形和圓
列清單·劃重點(diǎn)
知識點(diǎn)1 圓的內(nèi)接正n邊形
把⊙O分成n等份，順次連接這 n個等分點(diǎn)，便得到了一個⊙O的內(nèi)接 .
知識點(diǎn)2 正多邊形的有關(guān)概念
1.正多邊形的中心：一個正 n邊形一共有n條對稱軸，正多邊形的對稱軸相交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)到正多邊形各邊的距離都相等，到正多邊形各頂點(diǎn)的距離也都相等，這個點(diǎn)叫做 .
2.正多邊形的外接圓：以正多邊形的中心為圓心，以中心到一個頂點(diǎn)的距離為半徑作圓，便得到這個正多邊形的 .正多邊形的外接圓的 叫做正多邊形的半徑.
3.正多邊形的內(nèi)切圓：以正多邊形的中心為圓心，以中心到一條邊的距離為半徑作圓，便得到這個正多邊形的 .正多邊形的內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的 .
4.正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對外接圓的圓心角叫做正多邊形的 .
知識點(diǎn)3 與正多邊形有關(guān)的計算
計算正多邊形的邊長、半徑、邊心距、中心角、周長和面積之間的關(guān)系的問題時，通常歸結(jié)為解三角形的問題.
如圖所示，設(shè)正 n邊形的半徑為R，邊心距為r，邊長為a，半中心角為θ，周長為p，面積為S，則
(1)正n邊形的中心角與它的每個外角相等，都等于
知識點(diǎn)4 用尺規(guī)作正多邊形
1.正四邊形、正八邊形的作法
如圖所示，在⊙O中，用直尺和圓規(guī)作兩條 ，順次連接這兩條直徑的四個端點(diǎn)，便得到一個正四邊形.
如果再逐次平分各邊所對的劣弧，那么就可以作出正八邊形.如圖所示.
2.正六邊形、正三角形的作法
如圖所示，先作⊙O的任意一條直徑 AB，再分別以A，B為圓心，以 為半徑作弧，與⊙O相交于點(diǎn) C，D和E，F(xiàn)，則A,C,E,B,F,D是⊙O的六等分點(diǎn),然后順次連 接 各 等 點(diǎn)，即得 到 正 六 邊 形ACEBFD,順次連接B,C,D,即得到正三角形BCD.
明考點(diǎn)·識方法
考點(diǎn)1 正多邊形的作圖
典例1 用直尺和圓規(guī)作一個正八邊形.
思路導(dǎo)析 作兩條互相垂直的直徑，將圓分成四條相等的弧，再將每條弧分別二等分，順次連接八個等分點(diǎn)，所得到的八邊形就是正八邊形.
變式 畫一個半徑為2cm 的正六邊形.
考點(diǎn)2 利用正多邊形的性質(zhì)求角的度數(shù)
典例2 如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P 在 上，點(diǎn)Q 是 的中點(diǎn)，則∠CPQ 的度數(shù)為 .
思路導(dǎo)析 根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形中心角的計算方法求出∠COD=∠DOE=60°,再根據(jù)圓周角定理求出∠COQ的度數(shù)，再由圓周角定理進(jìn)行計算即可.
變式 如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中 3 個正五邊形的位置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是( )
A.7個 B.8個 C.9個 D.10個
考點(diǎn)3 利用正多邊形的性質(zhì)求線段長
典例3 如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF 的 邊 心 距OG 為 ( )
B. D.3
思路導(dǎo)析 連接OC，OD，由圓的周長可求出OC長,由正六邊形 ABCDEF 可求出∠COD=60°,進(jìn)而可求出∠COG=30°，根據(jù)30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出邊心距OG的長.
規(guī)律總結(jié)
圓內(nèi)接正三角形的邊長是它的半徑的 倍，圓內(nèi)接正方形的邊長是它的半徑的 倍，圓內(nèi)接正六邊形的邊長等于它的半徑.
變式 如圖，等邊三角形ABC和正方形DEFG 均內(nèi)接于⊙O,若 EF=2,則 BC的長為 ( )
B.2 C. D.
考點(diǎn)4 利用正多邊形的性質(zhì)求面積
典例4 如圖,⊙O的周長為 8π,正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于⊙O.則△OAB 的面積為( )
A.4 C.6
思路導(dǎo)析 根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計算即可.
變式 剪紙藝術(shù)是我國的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，如圖是以正八邊形為背景圖形設(shè)計成的剪紙作品，記正八邊形A B C D E F G H 的面積為 S .圖中陰影部分面積 S ，則的值為 ( )
當(dāng)堂測·夯基礎(chǔ)
1.如圖，畫出了⊙O的內(nèi)接正四邊形和內(nèi)接正五邊形，且點(diǎn) A在B,C之間,則 ∠ABC= ( )
A.6° B.9° C.12° D.18°
第1題圖 第2題圖
2.如圖，電子屏幕上有邊長為1 的正六邊形 ABCDEF，紅色光點(diǎn)和藍(lán)色光點(diǎn)會按規(guī)則在六個頂點(diǎn)上閃亮.規(guī)則為：紅點(diǎn)按順時針方向每秒一個頂點(diǎn)依次閃亮(例如，經(jīng)過1 秒由點(diǎn)A 亮變?yōu)辄c(diǎn) F 亮)，藍(lán)點(diǎn)按逆時針方向每秒隔1個頂點(diǎn)閃亮(例如，經(jīng)過1 秒由點(diǎn)A亮變?yōu)辄c(diǎn) C 亮).若一開始，紅點(diǎn)在 A處，藍(lán)點(diǎn)在 B 處同時開始閃亮，則經(jīng)過751秒后，兩個閃亮的頂點(diǎn)之間的距離是( )
A.0 B.1 C. D.2
3.如圖,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,等邊△AEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,EF交BC,CD于點(diǎn)G,H,則 的值等于( )
A. B. C. D.2
4.苯(分子式為C H )的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的.隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子組成了一個完美的正六邊形(如圖1)，圖2 是其平面示意圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF 的中心，則∠CBF-∠COD 的度數(shù)為 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.某廠家要設(shè)計一個裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六邊形，六邊形的邊長為1 cm，目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計方案，我們以6支彩鉛為例，可以設(shè)計如圖收納方案一和收納方案二，你認(rèn)為底面積更小的是 ，兩種方案底面積差為 (結(jié)果保留根號).
參考答案
【列清單·劃重點(diǎn)】
知識點(diǎn)1 正n邊形
知識點(diǎn)2 1.正多邊形的中心 2.外接圓半徑 3.內(nèi)切圓 邊心距 4.中心角
知識點(diǎn)4 1.相互垂直的直徑 2. OA
【明考點(diǎn)·識方法】
典例1 解：步驟如下：
(1)任意作一個圓，記作⊙O;
(2)用直尺作⊙O的一條直徑AE;
(3)用直尺和圓規(guī)作 AE 的垂直平分線與⊙O交于C，G兩點(diǎn)；
(4)用圓規(guī)將 AC,CE,EG,GA分別二等分,順次連接上述八個等分點(diǎn)(如圖所示).那么八邊形ABCDEFGH 就是所要求作的正八邊形.
變式 解：如圖所示，作半徑是2cm 的圓，作出直徑CF,再分別以 F,C為圓心,以O(shè)F 為半徑作弧，與⊙O相交于點(diǎn)A,E 和B,D,則A,B,C,D,E,F 是⊙O 的六等分點(diǎn)，順次連接各個等分點(diǎn)即可.
正六邊形 ABCDEF 即為所求作.
典例2 45° 解析:如圖,連接OC,OD,OE,OQ,
∵正六邊形 ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴ ∠COD = ∠DOE =
∵點(diǎn)Q是DE的中點(diǎn)，∴∠DOQ = ∠EOQ =
∴∠COQ=∠COD+∠DOQ=60°+30°=90°,
變式 D
典例3 C
變式 D
典例4 B
變式 B
【當(dāng)堂測·夯基礎(chǔ)】
1. B 2. C
3. C 解析:如圖,連接AC,交 EF 于點(diǎn) M,則AC所在的直線是正三角形，正方形及圓的對稱軸，
∴AC⊥EF,設(shè)半徑為 r,則 EF=
在 Rt △AEM 中, ∠AEM=60°,
在 Rt△CMG中,∠MCG=45°,
同理 ∴GH=2CM=r,
4. A
5.方案二
解析：如圖1中，圓的半徑為3cm，∴底面積為9πcm .
如圖2中,連接OA,OD.
∵OD=2 cm,∠OAD=30°,∠ADO=90°,∴OA=2OD=4 cm,
∴等邊三角形的邊長
∴底面積
∴等邊三角形作為底面時，面積比較小，底面積為
兩種方案底面積差為
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