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第五章 圓
9 弧長及扇形的面積
列清單·劃重點
知識點1 弧長
在半徑為 R 的圓中，n°的弧的弧長計算公式為 .
注意
(1)在弧長公式中，n表示“1°”的圓心角的倍數，在應用公式計算時，“180”不應再寫單位.
(2)題中若沒有標明精確度，可以用含π的式子表示弧長，如弧長是π，5.1π等.
(3)在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量.
知識點2 扇形
1.扇形定義：由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做 (如圖所示).
2.扇形的周長：扇形的周長等于弧長加上兩半徑的長,即.
知識點3 扇形的面積
如果扇形的半徑為 R，圓心角為n°，那么扇形面積的計算公式為 .
因扇形的弧長 扇形 面 積 可以寫成 所以又得到扇形面積的另一個計算公式：
注意
(1)公式 中的“n”與弧長公式中“n”的意義一樣，表示“1°”的圓心角的倍數，參與計算時不帶單位.
(2)扇形的面積公式 與三角形的面積公式 十分相似.為了便于記憶，可以把扇形看作曲邊三角形，把弧長l看作底邊，半徑 R 看作底邊上的高.
(3)在求扇形的面積時，當已知半徑R和圓心角的度數求扇形的面積時，應選用公.式當已知半徑R 和弧長求扇形的面積時，應選用公式
知識點4 不規則圖形的面積
求不規則圖形的面積時，可通過割或補的方法把不規則圖形轉化為幾個規則圖形進行面積計算.
明考點·識方法
考點1 弧長公式的應用
典例1 如圖,在 扇 形 AOB 中,∠AOB=80°,半徑OA=3,C 是上一點，連接OC,D 是OC 上一點,且OD=DC,連接 BD.若 BD⊥OC,則.的長為
( )
A. B. C. D.π
思路導析 本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質；連接BC，根據OD=DC,BD⊥OC,易證△OBC是等腰三角形，再根據OB=OC，推出△OBC是等邊三角形，得到∠BOC=60°,即可求出∠AOC=20°,再根據弧長公式計算即可.
規律總結
整個圓周()可看作是 360°的弧的弧長，可得1°的弧的弧長為所以n°的弧的弧長為 即 故求弧長常轉化為求圓心角和半徑.
變式 如圖,在扇形AOB中,OA=6,∠AOB=120°,則的長為
考點2 扇形面積公式的應用
典例 2 如圖,點 A,B,C 在⊙O 上,∠ABC=40°,連接OA,OC.若⊙O的半徑為3，則扇形AOC(陰影部分)的面積為( )
A. π B.π C. π D.2π
思路導析 先利用圓周角定理求出∠AOC 的度數，然后利用扇形面積公式求解即可.
變式 如圖所示，兩個同心圓被兩條半徑截得的.的長為5πcm,的長為 7πcm,AC=4 cm.則陰影部分的面積為 cm .
考點3 求弓形的面積
典例3 工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為 2 米的圓，為預估淤泥量，測得淤泥橫截面(圖中陰影部分)寬AB為1 米，請計算出淤泥橫截面的面積( )
思路導析 本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，求不規則圖形的面積等；過點O作OD⊥AB 于點D，根據圓的直徑為2米可得OA=OB=AB=1m,得到△AOB 為等邊三角形,即得 由垂徑定理得 m，由勾股定理得 再根據淤泥橫截面的面積 即可求解.
注意
弓形面積可轉化為扇形面積與三角形面積的差或和.
變式 如圖所示是一個水平放置的圓柱形水管的橫截面.已知水面高水面寬 求水管截面有水部分的面積.
考點4 求陰影部分的面積
典例4 如圖，將扇形 OAB 沿OB方向平移，使點O平移到OB的中點O處，得到扇形O'A'B'.若∠AOB=90°, ，則陰影部分的面積為 ( )
思路導析 設與交于點T，連接OT，則 由 OT=OB,可得 則 可得 ∠AOT=∠AOB-∠TOO'=30°,由平移的性質，得 得 計算求解即可.
規律總結
將不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積是解決這類題目的關鍵.其中求陰影部分的面積常用的方法有圖形變換法，加減法，方程法，割補法，等積變換法等.
變式 如圖,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,∠A=60°,將 Rt△ABC繞點C 順時針旋轉 90°后得到 Rt△DEC,點 B 經過的路徑為 將線段 AB 繞點 A 順時針旋轉60°后,點 B 恰好落在CE 上的點 F 處，點B 經過的路徑為 ，則圖中陰影部分的面積是 ( )
當堂測·夯基礎
1.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧點O是這段弧所在圓的圓心,連接 OA,OB,AB,點 C是AB 的中點，連接OC 并延長交 于點D.若AB=2,CD=2- 則弧 的長是 ( )
A. π B.π
第1題圖 第2題圖
2.如圖，傳送帶的一個轉動輪的半徑為 10 cm，轉動輪轉n°,傳送帶上的物品 A 被傳送 6π cm,則n為 ( )
A.90 B.108 C.120 D.無法判斷
3.如圖，扇形的圓心角為120°,點 C 在 圓 弧 上,∠ABC=30°,OA=2,陰影部分的面積為( )
4.如圖，在正方形ABCD中有一點 P,連接 AP,BP,旋轉△APB 到△CEB 的位置.
(1)若正方形的邊長是8，PB=4.求陰影部分面積；
(2)若 PB=4,PA=7,∠APB=135°,求PC的長.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1
知識點2 1.扇形
知識點3
【明考點·識方法】
典例1 B 解析:連接BC,
∵OD=DC,BD⊥OC,∴OB=BC,∴△OBC是等腰三角形，
∵OB=OC,∴OB=OC=BC,
∵△OBC是等邊三角形，
∵∠AOB=80°,∴ ∠AOC = ∠AOB -∠BOC=20°,
∵OA=3,
變式 4π
典例2 D
變式 24π
典例3 A 解析：∵圓的直徑為2米，∴OA=OB=1m,
∴OA=OB=AB,∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°,
過點O作OD⊥AB 于點 D,則
∴在 Rt△AOD 中,
∴淤泥橫截面的面積=S扇形AOB-S△AOB =
變式 解：如圖所示，在CD上取圓心O，連接OA,OB.
由題意,得CD=OC+OD.
∵AO =OC +AC ,OA=OD,AC=AB ,
解得OD=2.
OA=OD=2cm.
∴∠AOC=45°,∴∠AOB=90°,
∴S弓形=S扇形AOB - S△AOB
答：水管截面有水部分的面積為.
典例4 B
變式 D
【當堂測·夯基礎】
1. D 2. B 3. B
4.解:(1)∵把△APB 旋轉到△CEB 的位置，
∴△APB≌△CEB,∴BP=BE,∠ABP=∠EBC,
以 B為圓心，BP 為半徑畫弧交AB 于 F點，如圖，
∴扇形 BFP 的面積=扇形 BEQ的面積,
∴圖形 ECQ的面積=圖形AFP 的面積,
(2)連接PE,∵△APB≌△CEB,
∴ BP = BE = 4,∠ABP = ∠EBC,PA=EC=7,∠BEC=∠APB=135°,
∴△PBE為等腰直角三角形，
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