資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第6章 二元一次方程
6.1 二元一次方程組和它的解
學習目標與重難點
學習目標：
1.掌握代入消元法解二元一次方程組的具體步驟，能靈活選擇方程進行變形，并通過代入消去一個未知數，求解方程組。
2.通過實際問題抽象出方程組，體會數學建模思想。經歷代入法的探究過程，理解消元思想的核心作用。
3. 感受代入法在實際生活中的應用價值，增強學習興趣。培養嚴謹的代數運算習慣和邏輯推理能力。
學習重點： 代入法的步驟（變形—代入—解一元一次方程—回代）及其應用
學習難點： 方程變形時如何選擇合適的變量進行代換（如系數簡單或分數系數處理），復雜代數運算中的符號處理與計算準確性。
預習自測
一、知識鏈接
1.(1)什么是二元一次方程組？
(2)①②③是二元一次方程組嗎？①②和③有什么不同？
(3)如何用代入法解方程組①②？試著做一做．
自學自測
2.已知方程3x+2y=5，用含x的代數式表示 y,則 y= .
3.解方程組，用代入消元法消去未知數 較好.
教學過程
一、創設情境、導入新課
在 6.1 節的問題 2 中,設應拆除 舊校舍,建造 新校舍,那么根據題意, 可列出方程組
你會怎樣求這個二元一次方程組的解呢
二、合作交流、新知探究
探究一：探索
上述方程②表明, 與 的值是相等的,因此,方程①中的 可以看成 ,即將②代入①：你能完成嗎：
________
可得
【以上過程通過 “代入”, “消去” 了 ,得到了一元一次方程, 就可以解了!】
解 把②代入①, 得
把 代入②,得
所以
答: __________________________
【強調】在這個解法中,通過將 ② 代入①,能消去未知數 ,得到一個關于 的一元一次方程,求出它的解,進而由②求出 的值.
探究二：典例精析
用同樣的方法可以解 6.1 節問題 1 中的二元一次方程組.
例 1 解方程組:
【這里沒有一個方程是一個未知數用另一個未知數表示的形式,怎么辦呢 】
解：
例 2 解方程組:
解：
【強調】在解例 1 、例 2 時,我們是通過 “代入”消去一個未知數, 將方程組轉化為一元一次方程來解的. 這種解法叫做代入消元法, 簡稱代入法.
思考 回顧并概括上面的解答過程, 并想一想, 怎樣解方程組:
請同學們總結：
拓展：
1.已知方程x－2y＝8，用含x的式子表示y，則y =_________________，用含y的式子表示x，則x =________________
2.已知x＝2，y＝2是方程ax－2y＝4的解，則a＝________.
三、課堂練習
【必做題】
1.用代入法解下列方程組：
(2)
2. 用代入法解方程組時，將方程①代入方程②正確的是 ( )
A.3x-2x-3=8 B.3x-2x-6=8
C.3x-4x-3=8 D.3x-4x+6=8
3. 已知 則用含x的式子表示 y為____________________
【選做題】
4.已知|2x+3y-7|+(3x-2y-4) =0,則x= ,y= .
5. - xa+b+2+9y3a-b+1=11是關于x,y的二元一次方程,求2a+b的值
【綜合拓展作業】
6. 創建文明城市，構建美好家園.為提高垃圾分類意識，幸福社區決定采購 A，B兩種型號的新型垃圾桶.若購買3個A 型垃圾桶和4個B型垃圾桶共需要580元，購買6個 A 型垃圾桶和5個 B型垃圾桶共需要860元，求兩種型號垃圾桶的單價.
總結反思、拓展升華
1.代入消元法：是由二元一次方程組中一個方程，將一個未知數用含另一未知數的式子表示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法
2.用代入消元法解二元一次方程組的步驟：
（1）從方程組中選取一個系數比較簡單的方程，把其中的某一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來.
（2）把（1）中所得的方程代入另一個方程，消去一個未知數.
（3）解所得到的一元一次方程，求得一個未知數的值.
（4）把所求得的一個未知數的值代入（1）中求得的方程，求出另一個未知數的值，從而確定方程組的解.
五、【作業布置】
【知識技能類作業】 必做題
1.用代入法解方程組時,變形正確的是(　　)
A.先將①變形為x=再代入② B.先將①變形為y=,再代入②
C.先將②變形為x=,再代入① D.先將②變形為y=9(4x+1),再代入①
2.由方程組可得出x與y的關系是(　　)
A.2x+y=4 B.2x-y=4 C.2x+y=-4 D.2x-y=-4
3.用代入法解下列方程組：
(1)　　　(2)
【綜合拓展類作業】選做題
4. 有大、小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5 t，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35 t.
(1)一輛大貨車和一輛小貨車一次分別可以運貨多少噸？
(2)若有41 t貨物需要運輸，計劃安排大、小兩種貨車(兩種都有)恰好一次性運完，每輛貨車均滿載，則共有幾種運貨方案？
答案
1.(1)什么是二元一次方程組？
方程組中含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組．
(2)①②③是二元一次方程組嗎？①②和③有什么不同？
都是二元一次方程組．①②的兩個方程中有一個未知數的系數為1或－1，③的兩個方程中未知數的系數都不為1或－1.
(3)如何用代入法解方程組①②？試著做一做．
解方程組①，得解方程組②，得
自學自測
已知方程 3x+2y=5，我們需要用含 x 的代數式表示 y。
首先，將方程 3x+2y=5 中的 3x 移到等式的另一邊，得到：
2y=5 3x
然后，兩邊同時除以2，得到：
y=
觀察方程①和②，我們可以看到方程②中 x 的系數較小（為2），因此用代入消元法消去未知數 x 較好。
具體步驟為：
首先，由方程②解出 x：
x=27y+2
然后，將這個表達式代入方程①中，消去 x，從而解出 y。
最后，將求得的 y 值代回到任一方程中，求出 x 的值。
【必做題】
1.解：(1)由①式，我們可以解出 x 關于 y 的表達式：
x=y+2③
將③式代入②式，以消去 x 變量：
2(y+2)+y=7
2y+4+y=7
3y=3
y=1
將y=1代入③式求出 x 的值：x=3
因此，方程組的解為：
x=3,
y=1
(2) 由①式，我們可以解出 y 關于 x 的表達式：y=2x 5③
接下來，我們將③式代入②式，以消去 y 變量：
4x+3(2x 5)= 10
4x+6x 15= 10
10x=5
x=
得到 x后，我們再將其代入③式求出 y 的值：
y=2× 5
y=1 5
y= 4
因此，方程組的解為：
x= ,y= 4
2.答案：D
3.y= 3x+8
【選做題】
4. x=2，y=1。
5.x和y的最高次數都應為1。
a+b+2=1
移項得：a+b= 1(方程1)
3a b+1=1
移項得：3a b=0(方程2)
接下來，我們解這個二元一次方程組來找出a和b的值。
將方程1和方程2相加，得：a=
將a 代入方程1中，得：b=
最后，我們求2a+b的值：
2a+b=-
【綜合拓展作業】
5. 設A型垃圾桶的單價為x元，B型垃圾桶的單價為y元。
根據題意，我們可以列出以下方程組：
3x+4y=580(1)
6x+5y=860(2)
為了消元求解，我們可以將方程(1)乘以5，方程(2)乘以-4，然后相加：得x=60
將x=60代入方程(1)得：y=100
所以，A型垃圾桶的單價為60元，B型垃圾桶的單價為100元。
【知識技能類作業】 必做題
1. 選B.先將①移項得3y=2-2x,再兩邊同除以3得y=.
2.【解析】選A.由2x+m=1,得m=1-2x;
由y-3=m,得m=y-3,所以1-2x=y-3, 即2x+y=4.
3.解：(1)由②，得x＝－y－.③
把③代入①，得4(－y－)＋5y＝－7.解這個方程，得y＝1.
把y＝1代入③，得x＝－3.
所以這個方程組的解是
(2)整理方程①，得3x－2y＝4.③
由③，得x＝y＋.④
把④代入②，得5(y＋)＋8y＝1.解這個方程，得y＝－.
把y＝－代入④，得x＝1.
所以這個方程組的解是
【綜合拓展類作業】選做題
4. 解：(1)設一輛大貨車一次可以運貨x t，一輛小貨車一次可以運貨y t.
根據題意，得解這個方程組，得
答：一輛大貨車一次可以運貨4 t，一輛小貨車一次可以運貨2.5 t.
(2)設安排m輛大貨車，n輛小貨車．
根據題意，得4m＋2.5n＝41.變形，得m＝.
因為m，n都是正整數，所以或
所以共有兩種運貨方案：
方案1：安排大貨車4輛，小貨車10輛；方案2：安排大貨車9輛，小貨車2輛．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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