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人教版2019 高中物理選擇性必修第二冊
第一章 安培力與洛倫茲力
第3節 帶電粒子在勻強磁場中的運動（1）
學習目標：
1.知道帶電粒子的初速度方向和磁場方向垂直時，帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動。
2.會應用動力學方法推導半徑公式和周期公式。
3.會分析帶電粒子在勻強磁場中運動的基本問題。
目錄：
一、帶電粒子在勻強磁場中的運動
二、帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑和周期
三、帶電粒子在磁場中運動情況分析
四、鞏固提高
導入新課：在現代科學技術中，常常要研究帶電粒子在磁場中的運動。
討論交流：如果在磁場中發射一束帶電粒子，判斷下圖中帶電粒子（電量q，重力不計）所受洛倫茲力的大小和方向。
v∥B
v與B的夾角為θ
v⊥B
(1)當v∥B時，F洛=0，帶電粒子將以入射速度v做勻速直線運動。
(2)當v⊥B時，F洛=qvB，由于洛倫茲力始終與粒子運動方向垂直，因此不改變粒子速度的大小，只改變粒子速度的方向，洛倫茲力對粒子起到了向心力作用，粒子做勻速圓周運動。
（3）當v與B間有夾角時，將速度v分解為v1和v2，則v1=vsin θ，v2=vcos θ，帶電粒子在垂直磁場方向以分速度v1做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，在平行于磁場方向以分速度v2做勻速直線運動，合運動為螺旋形運動(旋進運動)。
一、帶電粒子在勻強磁場中的運動
1.帶電粒子的受力分析
討論交流：一個質量為 1.67×10-27 kg、電荷量為 1.6×10-19 C 的帶電粒子，以 5×105m/s 的初速度沿與磁場垂直的方向射入磁感應強度為 0.2 T 的勻強磁場。求出粒子所受的重力和洛倫茲力的大小之比
G ＝ mg ＝ 1.67×10-27×9.8 N ＝ 1.64×10-26 N
F ＝ qvB ＝ 1.6×10-19×5×105×0.2 N ＝ 1.6×10-14 N
洛倫茲力遠大于重力，重力作用的影響可以忽略。
洛倫茲力的方向始終與運動方向垂直，所以帶電粒子在運動過程中速度大小如何變化，運動軌跡如何？
v
－
v
















v
-
F
v
-
F
洛倫茲力只改變速度方向不改變速度大小
洛倫茲力始終與速度方向垂直
電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動。
如何用實驗驗證這一結論？
F
F
2.探究帶電粒子在磁場中運動軌跡
v
-
F
v
-
F
勵磁線圈
電子槍
加速電壓選擇擋
洛倫茲力演示儀
洛倫茲力演示儀示意圖
作用是改變電子束出射的速度
作用是能在兩線圈之間產生平行于兩線圈中心的連線的勻強磁場
3.實驗驗證
不加磁場，電子束的徑跡是一條直線
加磁場，電子束的徑跡是為圓
電子束的在磁場中勻速圓周運動半徑和周期什么規律？
二、帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑和周期
由此可知，半徑r與速度成正比，周期T與速度無關，與軌道半徑r無關。
（1）當電子束出射速度不變，磁感應強度變大時，圓周半徑變小；
（2）當磁感應強度不變，電子束出射速度變大時，圓周半徑變大。
1.帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑
由洛倫茲力提供向心力，即:qvB=mv2/r
得：r=mv/Bq
討論交流：
1.帶電粒子垂直進入非勻強磁場后做半徑不斷變化的圓周運動，這時公式r=mv/Bq是否成立？
提示：公式r=mv/Bq仍然成立。在非勻強磁場中，隨著B的變化，粒子軌跡的圓心、半徑不斷變化，但粒子運動到某位置的半徑仍由B、q、v決定，仍滿足r=mv/Bq。
2.一個帶正電粒子沿垂直于磁場的方向射入一勻強磁場。粒子的一段徑跡如圖所示。徑跡上的每一小段都可近似看成圓弧。由于帶電粒子使沿途的空氣電離，粒子的能量逐漸減小(帶電荷量、質量不變)。從圖中情況可以作出何種判斷？
(1)粒子的運動軌跡方向由a→b，還是b→a
(2)粒子在磁場中運動的半徑隨速度的減小是增大還是減小？
提示：(1)由左手定則，洛倫茲力指向軌跡凹的一側，如圖。可判定粒子軌跡方向為b→a。
（2）由于粒子的能量變小，由EK=1/2 mv2知，速率變小，所以可判定粒子在磁場中運動的半徑隨速度的減小而減小。
2.帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期
根據勻速圓周運動規律：
及 得：
根據向心力與周期關系：
及 得：
周期由磁場和粒子的荷質比決定，而與粒子的速度和軌道半徑無關。
1.已知氚核的質量約為質子質量的3倍，電荷量與質子電荷量相等。現在質子和氚核以大小相同的速度在同一勻強磁場中做勻速圓周運動。下列說法正確的是 (　　)
A.質子和氚核運動半徑之比為3∶1
B.質子和氚核運動半徑之比為1∶3
C.質子和氚核運動周期之比為1∶1
D.質子和氚核運動周期之比為2∶3
練習：
B
解析:帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力有Bqv=mv2/R，可得R=mv/Bq，若質子、氚核在同一勻強磁場中做勻速圓周運動時的速度相同，則它們做勻速圓周運動的半徑之比等于它們比荷的反比。質子和氚核運動半徑之比R1/R2=q2m1/q1m2=1/3,故A錯誤，B正確；帶電粒子在同一勻強磁場中做勻速圓周運動的周期T=2πR/v,質子和氚核運動周期之比T1/T2=R1/R2=1/3，故C、D錯誤。
2.洛倫茲力演示儀的實物圖和原理圖分別如圖(a)、(b)所示。電子束從電子槍向右水平射出，使玻璃泡中稀薄氣體發光，從而顯示電子的運動軌跡。調節加速極電壓可改變電子速度大小，調節勵磁線圈電流可改變磁感應強度，某次實驗，觀察到電子束打在圖(b)中的P點。下列說法正確的是（ ）
A.兩個勵磁線圈的電流均為順時針方向
B.當減小勵磁線圈中的電流時，電子可能
出現完整的圓形軌跡
C.當減小加速極電壓時，電子可能出現完
整的圓形軌跡
D.在出現完整軌跡后，增大加速極電壓，
若電子仍做完整的圓周運動，則電子在磁
場中做圓周運動的周期變大
C
解析:磁場方向垂直紙面向外，由右手螺旋定則可知兩個勵磁線圈的電流均為逆時針方向，故A錯誤；由電子軌跡半徑r=mv/Bq知B增大，r減小，所以當增大勵磁線圈中的電流時，電子可能出現完整的圓形軌跡，故B錯誤；由動能定理得qU=1/2 mv2,r=mv/Bq,知U減小，v減小，r減小，所以當減小加速極電壓時，電子可能出現完整的圓形軌跡；在出現完整軌跡后，增大加速極電壓，若電子仍做完整的圓周運動，由T=2πm/Bq知電子在磁場中做圓周運動的周期不變，故C正確，D錯誤。
1.圓心角與偏向角、弦切角的關系
如圖所示，帶電粒子射出勻強磁場時的速度方向與射入勻強磁場時的速度方向之間的夾角φ叫作偏向角，軌跡圓弧對應的角叫作圓心角，弦PM與入
射速度(即P點軌跡切線)的夾角叫作弦切角
θ，則φ、α、θ三者的關系為:　
φ=α=2θ
三、帶電粒子在磁場中運動情況分析
切線與半徑垂直，弦線的中垂線與半徑方向重合.
速度偏向角等于圓心角,弦切角等于圓心角的一半.
三、帶電粒子在磁場中運動情況分析
θ
θ
切線與半徑垂直，
速度偏向角等于圓心角
a
a
a
a
弦線的中垂線與半徑方向重合
弦切角等于圓心角的一半
θ
θ
兩條切線與兩條半徑方向夾角相等
1.圓心角與偏向角、弦切角的關系
研究帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的問題，應按照“一找圓心，二求半徑，三求周期或時間”的基本思路分析。問題的關鍵是作出粒子的運動軌跡圖。
2.定圓心
(1)洛倫茲力的方向一定過圓心。
如圖甲所示，已知粒子進磁場的入射方向(垂直于邊界)和出磁場的出射方向，試通過作圖確定圓心的位置。
兩洛倫茲力方向的交點即為圓心的位置，故通過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓心，如圖所示。
(2)圓的弦的中垂線必過圓心。
如圖乙所示，已知進磁場的入射方向(垂直于邊界)和射出磁場的位置M，試通過作圖確定圓心的位置。
通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓心(如圖所示)。
(3)圓的任意兩條弦的中垂線的交點為圓心。
如圖丙所示，帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，分別經過A、O、B三點，試通過作圖確定圓心的位置。
連接OA、OB，分別作OA、OB的中垂線，交點即為圓心的位置，如圖所示。
3.求半徑r
（1）如圖，確定好圓心的位置。如何求帶電粒子軌跡的半徑，已知磁場的寬度為d，速度方向如圖所示。
作出粒子的軌跡如圖所示，由圓的半徑和d構成直角三角形，再根據邊角
關系得:
（2）如圖，若粒子在P點垂直于磁場左邊界入射，且從M點飛出，若已知M點距P點粒子入射線方向上的Q點距離為H，磁場寬度為L,則帶電粒子在磁場中運動軌跡半徑為多少？
由幾何關系可以知道：
根據直角三角形的三邊關系可以知道：
即：
v0
P
M
O
L
H
Q
4.求時間t
（1）利用軌跡對應圓心角或軌跡長度求時間。
(2)求帶電粒子在勻強磁場中的運動時間(已知帶電粒子在勻強磁場中運動一周的時間為T)。
①方法一：周期一定時，由圓心角求：t=θ/2π T
或：t=α/360 T （θ--單位弧度，α--單位度）
方法二：v一定時，由弧長求：t=L/v=θr/v
T=
T
②t/θ=T/2π
3.一個重力不計的帶電粒子以大小為v的速度從坐標為(0，L)的a點，平行于x軸射入磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向外的圓形勻強磁場區域，并從x軸上的b點射出磁場，射出磁場時的速度方向與x軸正方向的夾角為60°，如圖所示。
(1)求帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑；
(2)求粒子從a點運動到b點的時間；
(3)其他條件不變，要使該粒子恰從O點
射出磁場，求粒子的入射速度大小。
解析:(1)粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示
由幾何知識可知:Rcos 60°+L=R,解得R=2L
(2)粒子在磁場中運動的周期為:
T=2πR/v=4πL/v
粒子從a點運動到b點的時間為:
t=600/3600 T=2πL/3v
(3)要使該粒子恰從O點射出磁場，則應滿足R'=L/2,設粒子質量為m，由洛倫茲力提供向心力可得:qBv'=mv2/R'，對速度為v的粒子在磁場中的運動有qBv=mv2/R，
聯立解得v'=v/4
5.勻強磁場中做勻速圓周運動的解題方法
畫軌跡
畫出軌跡，并確定圓心，利用幾何方法求半徑
找聯系
軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯系，偏轉角度與圓心角、運動時間相聯系，在磁場中運動的時間與周期相聯系
用規律
牛頓第二定律和圓周運動的規律，特別是周期用規律公式，半徑公式。
畫軌跡
找聯系
用規律
畫出軌跡，并確定圓心，利用幾何方法求半徑
軌道半徑與磁感應強度、運動速度相聯系，偏轉角度與圓心角、運動時間相聯系，在磁場中運動的時間與周期相聯系
牛頓第二定律和圓周運動的規律，特別是周期用規律公式，半徑公式。
5.勻強磁場中做勻速圓周運動的解題方法
四、鞏固提高
4.如圖所示，長方形區域內存在垂直于紙面向里的勻強磁場，AB邊長為l，AD邊足夠長，一質量為m、電荷量為+q的粒子從BC邊上的O點以初速度v0沿垂直于BC方向射入磁場，粒子從A點離開磁場，速度方向與直線AB成30°角，不計粒子重力。求：
(1)OB的長度；
(2)磁場的磁感應強度大小；
(3)粒子在磁場中經歷的時間。

解析:(1)粒子運動軌跡如圖，根據幾何關系得Rsin 30°=L
解得粒子在磁場中做圓周運動的半徑為R=2L，
所以OB=R-Rcos 30°=(2- )L
(2)粒子在磁場中做圓周運動有:qv0B=mv02/2L,
解得:B=mv0/2Lq
(3)粒子在磁場中經歷的時間
得：
5.如圖所示，a和b所帶電荷量相同，以相同動能從A點射入磁場，在勻強磁場中做圓周運動的半徑ra＝2rb，則可知(重力不計)(　　)
A. 兩粒子都帶正電，質量比ma/mb=4
B. 兩粒子都帶負電，質量比ma/mb=4
C. 兩粒子都帶正電，質量比ma/mb=1/4
D. 兩粒子都帶負電，質量比ma/mb=1/4
B
解析:由于qa＝qb，Eka＝Ekb，由動能Ek＝1/2 mv2和粒子偏轉半徑r＝mv/Bq,可得:
可見m與半徑r的二次方成正比，故ma∶mb＝4∶1，再根據左手定則知粒子應帶負電，故選B．

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