資源簡介

2025年九年級中考數(shù)學二輪復習專題：二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題
1．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B（﹣3，0），C（0，3）兩點，與x軸的另一個交點為A．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上找一點E，使得AE+CE的值最小，直接寫出點E的坐標；
（3）設點P為x軸上的一個動點，是否存在使△BPC為等腰三角形的點P，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．
2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過點A（﹣3，2），與y軸交于點B，其對稱軸為直線，為y軸上一點，直線AC與拋物線交于另一點D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）試在線段AD下方的拋物線上求一點E，使得△ADE的面積最大，并求出最大面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，x軸上一點N，使得△DNF是等腰直角三角形？如果存在，求點F的坐標；如果不存在，請說明理由．
3．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0）與點C（0，3）．
（1）求拋物線對應的函數(shù)解析式，并寫出拋物線與x軸的交點B的坐標；
（2）點P在線段AC上，過點P作x軸的垂線與拋物線交于點Q，直線PQ交x軸于點M，連接CQ，OP，如果S△CPQ＝2S△OPM，求PM的長；
（3）探究拋物線的對稱軸上是否存在一點E，使得以點E，B，C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標，若不存在，請說明理由．
4．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A、點B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線y＝4ax﹣12a經(jīng)過點B、點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P在第二象限的拋物線上，PE∥AB交線段BC于點E，設點P的橫坐標為t，PE的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；（直接寫出t的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，連接OP，點Q在線段OB上，過點Q作QF∥OP交PE于點F，過點Q作QD⊥OB，QD交BC于點D，連接CF、FD，當△FCD為CF為腰的等腰直角三角形時，求點D的坐標．
5．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A（1，0）和點B（3，0），與y軸相交于點C．
（1）求二次函數(shù)的表達式和線段BC的長；
（2）在拋物線對稱軸上找一點P，使△PBC為等腰三角形？直接寫出點P的坐標．
6．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）運動過程中是否存在點P，使線段PQ的值最大？若存在，請求出這個最大值并求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試探究在點P的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A、C、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明．
7．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于點A（1，0）和B（3，0），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，在拋物線的對稱軸DE上求作一點M，使△AMC的周長最小，并求出點M的坐標和周長的最小值；
（3）如圖2，點P是x軸上動點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線和直線BC于點F、G．設點P的橫坐標為m，是否存在點P，使△FCG是以FG為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
8．如圖，拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸交于點C（0，8），點P為直線BC上方拋物線上的動點，連接CP，PB，直線BC與拋物線的對稱軸l交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△BCP的面積最大值；
（3）點M是拋物線的對稱軸l上一動點．是否存在點M，使得△BEM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為x＝﹣1，該拋物線與x軸交于A、B兩點，且A點坐標為（1，0），交y軸于C（0，3），設拋物線的頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；
（2）在對稱軸上是否存在一點P，使得△ACP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
10．如圖，拋物線的頂點D坐標是（1，﹣4），與x軸交于點A（﹣1，0），點B，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的表達式；
（2）將拋物線沿著射線CB方向平移個單位長度，平移后新拋物線的頂點是點E，求△ABE的面積．
（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，是否存在以PB為腰的等腰直角△PMB，如果存在，直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．
11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于點A（﹣4，0）和點C，與y軸交于點B（0，4），點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P在拋物線上，且在直線AB上方，求△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，點F為拋物線頂點，Q為拋物線的對稱軸上任意一點，若△PFQ是等腰三角形，求出所有符合條件的點Q的坐標．
12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線，且經(jīng)過A（﹣4，0），C（0，2）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC，求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標；
（3）在對稱軸上是否存在點Q，使△QBC為等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
13．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的圖象與y軸交于點A與x軸的負半軸交于點B，且△AOB的面積為6．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求該二次函數(shù)的表達式；
（3）如果點p在坐標軸上，且△ABP是等腰三角形，直接寫出p點坐標．
14．如圖，二次函數(shù)的圖象的頂點C的橫坐標為﹣1，直線y＝﹣x+n與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，2），點B在y軸上．
（1）求n的值及二次函數(shù)的表達式．
（2）求△ABC的面積．
（3）在該二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點Q，使得△ABQ是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
15．綜合與探究
如圖，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC．若點P在線段BC上運動（點P不與點B，C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F．設點P的橫坐標為m．
（1）求點A，B，C的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)解析式．
（2）若PF＝2PE，求m的值．
（3）在點P的運動過程中，是否存在m使得△CPE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
16．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣2，0），B（1，0），交y軸于C（0，2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連接AC，在直線AC上方的拋物線上是否存在點N，使△NAC的面積最大，若存在，求出這個最大值及此時點N的坐標，若不存在，說明理由；
（3）若點M在x軸上，是否存在點M，使以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．
參考答案
1．【解答】解：（1）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B（﹣3，0），C（0，3）兩點，將點B，點C的坐標代入得：
，
解得，
故拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∵點A、B關(guān)于直線l對稱，
∴BC與對稱軸l的交點即為點E，如圖，
則此時AE+CE＝BE+CE＝BC為最小，
設直線BC的解析式為y＝mx+n，將點B，點C的坐標代入得：
，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝x+3；
當x＝﹣1時，y＝x+3＝2，
∴點E（﹣1，2）；
（3）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴，
當B為頂角的頂點時，
則，
∴點P的坐標為或；
當C為頂角的頂點時，
則PC＝BC，
∴點P與點B關(guān)于y軸對稱，
∴點P的坐標為（3，0）；
當BC為底邊時，
則PC＝PB，即點P在線段BC的垂直平分線上，
∴點P的坐標為（0，0）；
綜上，點P的坐標為（0，0）或（3，0）或或．
【點評】主要屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度．
2．【解答】解：（1）由題意得：，
解得：
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y＝﹣x+，
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：﹣x+＝x2﹣x﹣2，
解得：x＝﹣3（舍去）或5，
∴D（5，﹣2），
過點E作EG∥y軸交AC于點G，
設E（x，x2﹣x﹣2），則G（x，﹣x+），
∴EG＝﹣x+﹣x2+x+2，
∴S△ADE＝×8（﹣x+﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣1）2+，
∵﹣3＜x＜5，
∴當x＝1時，△ADE的面積最大為，
此時E（1，﹣）；
（3）存在一點F，x軸上一點N使得△DNF是等腰直角三角形，理由如下：
∵拋物線對稱軸為直線x＝，
設N（x，0），
如圖1：當∠FND＝90°，NF＝DN時，過點N作HI⊥x軸，過點F作FH⊥HI交于H點，過點D作DI⊥HI交于點I，
∵∠FND＝90°，
∴∠FNH+∠DNI＝90°，
∵∠FNH+∠HFN＝90°，
∴∠DNI＝∠HFN，
∴△FHN≌△NID（AAS），
∴FH＝NI＝2，HN＝ID，
∴|x﹣|＝2，
解得x＝或x＝，
則DI＝5﹣＝或DI＝5﹣＝，
則F（，）或（，）；
如圖2，當∠FDN＝90°，DF＝DN時，過點K作KL∥x軸交對稱軸于點K，過點N作NL⊥KL交于L點，
同理可證△FKD≌△DLN（AAS），
∴NL＝KD＝2，DL＝FK，
∵KD＝5﹣＝≠2，
∴此情況不存在；
如圖3，當∠NFK＝90°，NF＝FD，過F點作TS∥x軸，過點N作TN⊥TS交于點T，過點D作DS⊥TS交于點S，
同理可證△FNT≌△DFS（AAS），
∴NT＝SF，DS＝TF，
∴NT＝，
∴F（，﹣）；
綜上所述：F點坐標為（，）或（，）或（，﹣）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3．【解答】解：（1）將A（3，0），點C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴拋物線對應的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴拋物線與x軸的交點B的坐標為（﹣1，0）；
（2）設點P的橫坐標為m，則Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，0），
設直線AC的解析式為y＝kx+n，
將A（3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
∴P（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，PM＝﹣m+3，
∵S△CPQ＝2S△OPM，
∴PQ OM＝2×OM PM，
∴PQ＝2PM，
即﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m＝2或3（舍去），
∴PM＝﹣m+3＝1；
（3）如圖：
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴拋物線的對稱軸為x＝﹣＝1，
設點E的坐標為（1，a），
∵B（﹣1，0），C（0，3），
∴BC2＝12+32＝10，
BE2＝22+a2＝4+a2，
CE2＝12+（a﹣3）2＝a2﹣6a+10，
當BC＝BE時，4+a2＝10，
解得a＝±，
∴點E的坐標為（1，）或（1，﹣）；
當BC＝CE時，a2﹣6a+10＝10，
解得a＝0或6（此時，點B、C、E在同一直線上，舍去），
∴點E的坐標為（1，0）；
當CE＝BE時，4+a2＝a2﹣6a+10，
解得a＝1，
∴點E的坐標為（1，1）；
綜上，存在，點E的坐標為（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用點的坐標表示線段長度，等腰三角形的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是對二次函數(shù)性質(zhì)的掌握和運用以及分類思想的運用．
4．【解答】解：（1）在直線y＝4ax﹣12a中，
當y＝0時，4ax﹣12a＝0，
∴x＝3，
∴B的坐標為（3，0），
把點B的坐標（3，0）代入拋物線中得：﹣×9+3a﹣12a＝0，
∴a＝﹣，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+6；
（2）由（1）得：C（0，6），
當y＝0時，﹣x2﹣x+6＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣4，
∴A的坐標為（﹣4，0），
設BC的解析式為：y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴BC的解析式為：y＝﹣2x+6，
設點E的坐標為（x，﹣2x+6），
∵點P的橫坐標為t，
∴P（t，﹣t2﹣t+6），
∵PE∥x軸，
∴﹣2x+6＝﹣t2﹣t+6，
∴x＝t2+t，
∴d＝t2+t﹣t＝t2﹣t（﹣4＜t＜0）；
（3）如圖3，延長QD，PE交于點G，
設點D的坐標為（m，﹣2m+6），則Q（m，0），
∵OP∥FQ，PE∥AB，
∴四邊形POQF是平行四邊形，
∴PF＝OQ＝m，
∵DQ⊥x軸，PE∥x軸，
∴∠G＝90°，
∵△CFD是以CF為腰的等腰直角三角形，
∴CF＝DF，∠CFD＝90°，
∴∠CFH+∠DFG＝90°，
∵∠CHF＝∠CFH+∠FCH＝90°，
∴∠DFG＝∠FCH，
∴△CFH≌△FDG（AAS），
∴FH＝DG，CH＝FG，
∴，
解①得：t2+3t＝0，
∴t1＝0（舍），t2＝﹣3，
把t＝﹣3代入②中得：3﹣m＝﹣++6﹣（﹣2m+6），
∴m＝2，
∴D（2，2）．
【點評】本題為二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)與方程，三角形全等的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，坐標與圖形的性質(zhì)等知識點．在（1）中求出B的坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得直線BC解析式是解題的關(guān)鍵，在（3）證明△CFH≌△FDG是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，計算量較大，綜合性較強．
5．【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣4x+3；
令拋物線y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
根據(jù)題意：B（3，0），
∵C（0，3），
則BC＝3；
（2）存在．
理由：∵BC＝3，
設點P（2，m），
由點P、B、C的坐標得，PB2＝1+m2，BC＝18，PC2＝4+（m﹣3）2，
當PB＝BC時，
則1+m2＝18，則m＝±，即點P（2，1±）
當PB＝PC或BC＝PC時，
同理可得：18＝4+（m﹣3）2或1+m2＝4+（m﹣3）2，
解得：m＝2或3±，
即點P（2，2）或（2，3±），
綜上，P（2，1±）或（2，2）或（2，3±）．
【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
6．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得，，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣8；
（2）存在，
∵拋物線y＝x2+bx+c與y軸交于點C，
∴C（0，﹣8），
設直線BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝2x﹣8，
∵點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，
∴P（m，m2﹣2m﹣8），Q（m，2m﹣8），
∴PQ＝2m﹣8﹣（m2﹣2m﹣8）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∴當m＝2時，線段PQ的值最大，這個最大值為4，
此時P點的坐標為（2，﹣8）；
（3）由（2）直線BC的解析式為y＝2x﹣8，
設Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），
當CQ＝CA時，m2+（2m﹣8+8）2＝68，
解得m1＝，m2＝﹣（舍去）；
∴Q（，﹣8），
當AQ＝AC時，（m+2）2+（2m﹣8）2＝68，
解得：m1＝（舍去），m2＝0（舍去）；
當QA＝QC時，（m+2）2+（2m﹣8）2＝m2+（2m）2，
解得m＝，
∴Q（，﹣）．
綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（，﹣8）或（，﹣）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，會利用勾股定理表示線段之間的關(guān)系；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．
7．【解答】解：（1）已知拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于點A（1，0）和B（3，0），將點A、B的坐標代入得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如圖，連接BC交DE于點M，此時MA+MC最小，
又∵AC是定值，所以此時△AMC的周長最?。?br/>令x＝0時，則有y＝﹣3，即C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，OA＝1，
∴；
同理，
∴此時△AMC的周長＝；
∵DE是拋物線的對稱軸，拋物線與x軸交點A（1，0）和B（3，0），
∴AE＝BE＝1，對稱軸為x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵點M在第四象限，且在拋物線的對稱軸上，
∴M（2，﹣1）；
（3）存在點P，使△FCG是以FG為腰的等腰三角形；m＝4或或；理由如下：
設直線BC的解析式為y＝kx+b，把點B、C坐標代入得：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
∵點P的橫坐標為m，
∴點F（m，﹣m2+4m﹣3），點G（m，m﹣3），
則FG2＝（m﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3﹣m+3）2＝（﹣m2+3m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝（m﹣0）2+（m﹣3+3）2＝2m2，
當FG＝FC時，則（﹣m2+3m）2＝（m2﹣4m）2+m2，
解得m＝0（舍去）或4；
當FG＝CG時，則（﹣m2+3m）2＝2m2，
解得m＝0（舍去）或；
綜上，存在點P，使△FCG是以FG為腰的等腰三角形；m＝4或或．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、點的對稱性、等腰三角形的性質(zhì)等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
8．【解答】解：（1）將A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，得：
，
解得，
∴；
（2）令y＝0，則，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
設直線BC的解析式為y＝kx+b，代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+8，
過點P作PG∥y軸交BC于G，
設，則G（t，﹣t+8），
∴，
∴，
∴當t＝4時，△BCP的面積有最大值，最大值為32；
（3）存在點M，使得△BEM為等腰三角形，理由如下：
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，
∴E（3，5），設M（3，m），
∴，，EM＝|m﹣5|，
當BE＝BM時，，
解得m＝5（舍）或m＝﹣5，
∴M（3，﹣5）；
當BE＝EM時，，
解得或，
∴或；
當BM＝EM時，，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
綜上所述：M點坐標為（3，0）或（3，﹣5）或或．
【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合﹣面積問題以及特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
9．【解答】解：（1）點A（1，0）關(guān)于x＝﹣1的對稱點B（﹣3，0），
設過A（1，0）、B（﹣3，0）的拋物線為y＝a（x﹣1）（x+3），
該拋物線又過C（0，3），則有：3＝﹣3a，解得a＝﹣1，
即y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，頂點D為（﹣1，4）；
（2）在對稱軸上存在一點P，使得△ACP為等腰三角形；點P的坐標為（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）．理由如下：
設P（﹣1，t），
∵A（1，0），C（0，3），
∴AP2＝（1+1）2+t2＝4+t2，CP2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，AC2＝12+32＝10，
∵△APC為等腰三角形，
∴有AP＝CP、AP＝AC和CP＝AC三種情況，
①當AP＝CP時，則有AP2＝CP2，即4+t2＝t2﹣6t+10，
解得t＝1，
此時P（﹣1，1）；
②當AP＝AC時，則有AP2＝AC2，即4+t2＝10，
解得t＝，
此時P（﹣1，）或（﹣1，）；
③當CP＝AC時，則有CP2＝AC2，即t2﹣6t+10＝10，
解得t＝0或t＝6，
此時P（﹣1，0）或P（﹣1，6），
設直線AC解析式為y＝kx+b，將點A，點C的坐標代入得：
，
解得：，
∴直線AC解析式為y＝﹣3x+3，
當x＝﹣1時y＝6，則P（﹣1，6）在直線AC上，
綜上，在對稱軸上存在一點P，使得△ACP為等腰三角形；點P的坐標為（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
10．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點D的坐標為（1，﹣4），
∴設拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣1）2﹣4，
把點A（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）當x＝0時，y＝3，
∴C（0，﹣3），
∵頂點D坐標是（1，﹣4），
∴對稱軸是：直線x＝1，
∵拋物線與x軸交于點A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵將拋物線沿著射線CB方向平移個單位長度，
∴將拋物線向上平移3個單位，再向右平移3個單位，得到的解析式為：y＝（x﹣1﹣3）2﹣4+3，即y＝（x﹣4）2﹣1，
∴平移后新拋物線的頂點是點E的坐標為（4，﹣1），如圖1，
∴△ABE的面積＝×4×1＝2；
（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，分以下幾種情況討論：
①當∠BPM＝90°時，PM＝PB，如圖2，
∴M點與A點重合，
∴M（﹣1，0）；
②當∠PBM＝90°時，PB＝BM，
如圖3，當P點在M點上方時，過點B作x軸的垂線GH，過點P作PH⊥GB于點H，過點M作MG⊥HG于點G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠H＝∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，∠H＝∠G＝90°，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
設P（1，t），則M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得：t1＝2+，t2＝2﹣，
∴點M的坐標為（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M點在對稱軸的左側(cè)，
∴M點的坐標為（1﹣，﹣2）；
③如圖4，當P點在M點下方時，PB＝PM，過點B作TS⊥x軸，過點M作MT⊥TS于T，過點P作PS⊥TS于S，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBS+∠MBT＝90°，
∵∠PBS+∠BPS＝90°，
∴∠MBT＝∠BPS，
∵BP＝BM，∠T＝∠S＝90°，
∴△BPS≌△MBT（AAS），
∴BS＝MT，PS＝BT＝2，
設P（1，t），則M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得：t1＝﹣2+，t2＝﹣2﹣，
∴點M的坐標為（1﹣，2）或（1+，2），
∵M點在對稱軸的左側(cè)，
∴M點的坐標為（1﹣，﹣2）；
綜上所述，點M的坐標為（﹣1，0）或（1﹣，﹣2）或（1﹣，﹣2）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，平移的原則等知識，正確作輔助線構(gòu)建全等三角形，并注意用分類討論的思想解決問題．
11．【解答】解：（1）拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于點A（﹣4，0）和點C，與y軸交于點B（0，4），將點A，點B的坐標代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）設直線AB的解析式為y＝kx+b，將點A，點B的坐標代入得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝x+4，
過點P作x軸的垂線交AB于點H，如圖：
設P（x，﹣x2﹣3x+4），
∴H（x，x+4），
∴PH＝﹣x2﹣3x+4﹣（x+4）＝﹣x2﹣4x，
∵△ABP面積＝×PH×AO，
∴S△ABP＝×（﹣x2﹣4x）×4＝﹣2x2﹣8x＝﹣2（x+2）2+8，
∴當x＝﹣2時，△ABP面積最大值為8，
此時P（﹣2，6）；
（3）拋物線整理得：y＝﹣x2﹣3x+4＝，
∴頂點F的坐標為，對稱軸為直線，
設點Q的坐標為，
∴QF2＝，PF2＝＝，PQ2＝，
當QF＝PF時，則＝，
解得：，，
∴此時點Q的坐標為：，；
當QF＝PQ時，則＝，
解得：，
∴點Q的坐標為：；
當PQ＝PF時，＝，
解得：m1＝，m2＝，
當m＝時，P、Q重合，不合題意，舍去，
∴此時點Q的坐標為（﹣，）；
綜上所述，點Q的坐標為（，），（﹣，），（﹣，），（，）．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．【解答】解：（1）拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線，且經(jīng)過A（﹣4，0），C（0，2）兩點，與x軸交于另一點B．
由拋物線的對稱性可知：點A與點B關(guān)于直線對稱，
∴點B的坐標為（1，0），
設拋物線解析式為y＝a（x+4）（x﹣1），把點C的坐標代入得：
2＝﹣4a，
解得：，
∴；
（2）點P為直線AC上方的拋物線上的一點，設，
如圖，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，
設直線AC的解析式為y＝kx+b1，將A（﹣4，0），C（0，2）代入得：
，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝，
∴Q（m，m+2），
∴PQ＝m+2﹣（m+2）＝﹣2m，
∴S△PAC＝PQ×4＝2PQ＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴當m＝﹣2時，S△PAC的最大值是4，此時P（﹣2，3）．
（3）設點，
∵B（1，0），C（0，2），
當QB＝QC時，，
解得：q＝0，即；
當QB＝BC時，，該方程無解；
當QC＝BC時，，
解得：，即或．
綜上，當點Q的坐標為或或．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與面積綜合、二次函數(shù)與幾何綜合等知識點，掌握分類討論思想成為解題的關(guān)鍵．
13．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的圖象與y軸交于點A，
∴令x＝0，得y＝4，即A（0，4），OA＝4．
∵△AOB的面積為6，
∴，
∵OA＝4，
∴OB＝3，
∴B（﹣3，0）；
（2）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的圖象與x軸的負半軸交于點B，
又∵B（﹣3，0），
∴﹣（﹣3）2+（﹣3）（k﹣1）+4＝0，
解得，
故二次函數(shù)解析式為；
（3）∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∵∠BOA＝90°，
∴．
①如圖1，當AB＝AP，P在x軸上時，
∵AB＝AP，AO⊥BP，
∴OB＝OP＝3，
∴P（3，0）；
②如圖2，當AB＝AP，P在y軸負半軸上時，
∵AB＝5，AB＝AP，
∴AP＝5．
∵OA＝4，
∴OP＝AP﹣OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
③同理，當AB＝AP，P在y軸正半軸上時，
∵AB＝5，AB＝AP，
∴AP＝5．
∵OA＝4，
∴OP＝AP+OA＝9，
∴P（0，9）；
④如圖3，當BA＝BP，P在x軸負半軸上時，
∵AB＝5，AB＝BP，
∴BP＝5．
∵OB＝3，
∴OP＝OB+BP＝3+5＝8，
∴P（﹣8，0）．
⑤如圖4，當BA＝BP，P在y軸負半軸上時，
∵AB＝BP，BO⊥AP，
∴OA＝OP＝4，
∴P（0，﹣4）．
⑥如圖5，當BA＝BP，P在x軸正半軸上時，
∵AB＝5，AB＝BP，
∴BP＝5．
∵OB＝3，
∴OP＝PB﹣OB＝5﹣3＝2，
∴P（2，0）．
⑦如圖6，作AB的垂直平分線交y軸于點P1，交x軸于點P2，則有P1A＝BP1，P2A＝BP2，連接P1B，P2A．
∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA＝4，OB＝3
設AP1＝x，則P1B＝AP1＝x，OP1＝OA﹣AP1＝4﹣x，
在Rt△BOP1中，∠BOP1＝90°，
∴，即32+（4﹣x）2＝x2，
解得，即，．
∴，
同理，設OP2＝y(tǒng)，則AP2＝P2B＝OP2+OB＝y(tǒng)+3，OA＝4，
在Rt△AOP2中，∠AOP2＝90°，
∴，即42+y2＝（y+3）2，
解得，即，
∴，
綜上，符合題意的P點坐標為：（3，0），（0，﹣1），（0，9），（﹣8，0），（0，﹣4），（2，0），，．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+n過點A（﹣3，2），
∴2＝3+n，
解得n＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣1．
令x＝0，則y＝﹣1，
∴點B（0，﹣1）．
設二次函數(shù)的表達式為y＝ax2+bx+c，由題意得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2+2x﹣1；
（2）由（1）知，直線AB的表達式為y＝﹣x﹣1，二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣1．
設直線y＝﹣x﹣1與二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點D，則點D（﹣1，0），
把x＝﹣1代入y＝x2+2x﹣1得：y＝﹣2，
∴點C（﹣1，﹣2），
∴△ABC的面積＝；
（3）在該二次函數(shù)的對稱軸上存在點Q，使得△ABQ是以AB為腰的等腰三角形；理由如下：
設點Q（﹣1，m），
∵點B（0，﹣1），A（﹣3，2），
∴AB2＝18，AQ2＝4+（2﹣m）2，BQ2＝1+（m+1）2．
分兩種情況：
①當AB＝AQ時，18＝4+（2﹣m）2，
解得，
∴點Q的坐標為或；
②當AB＝BQ時，18＝1+（m+1）2，
解得，
∴點Q的坐標為或．
綜上所述，在該二次函數(shù)的對稱軸上存在點Q，使得△ABQ是以AB為腰的等腰三角形；點Q的坐標為或或或．
【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，兩點距離公式等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
15．【解答】解：（1）當y＝0時，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
當x＝0時，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
設直線BC的解析式為y＝kx﹣4，
將點B代入可得4k﹣4＝0，
解得k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣4；
（2）∵點P的橫坐標為m，
∴P（m，m﹣4），則E（m，m2﹣3m﹣4），F(xiàn)（m，0），
∴PF＝4﹣m，PE＝﹣m2+4m，
∵PF＝2PE，
∴4﹣m＝2（﹣m2+4m），
解得m＝4（舍）或m＝；
（3）存在m使得△CPE為等腰直角三角形，理由如下：
由（2）可得，PC2＝2m2，PE2＝（m2﹣4m）2，CE2＝m2+（m2﹣3m）2，
當∠PCE＝90°時，PE2＝2PC2，即（m2﹣4m）2＝4m2，
解得m＝2或m＝6（舍）；
當∠CEP＝90°時，2CE2＝PC2，即2m2+2（m2﹣3m）2＝2m2，
解得m＝3或m＝0（舍）；
綜上所述：m的值為3或2．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．【解答】解：（1）由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣2，0），B（1，0），設二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x+2）（x﹣1），
把C（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣1），
解得a＝﹣1，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，
答：二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；
（2）在直線AC上方的拋物線上存在點N，使△NAC的面積最大，
過N作ND∥y軸，交AC于D，如圖：
設直線AC的解析式為y＝kx+b，把A（﹣2，0）、C（0，2）代入得：
，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+2，
設N（n，﹣n2﹣n+2），則D（n，n+2），
∴ND＝（﹣n2﹣n+2）﹣（n+2）＝﹣n2﹣2n，
∴S△NAC＝ND |xC﹣xA|＝×（﹣n2﹣2n）×2＝﹣n2﹣2n＝﹣（n+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴當n＝﹣1時，S△NAC有最大值為1，此時N（﹣1，2），
答：在直線AC上方的拋物線上存在點N（﹣1，2），使△NAC的面積最大為1；
（3）在x軸上存在點M，使以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形，
設M（t，0），而B（1，0），C（0，2），
∴BM2＝（t﹣1）2，CM2＝t2+4，BC2＝12+22＝5，
①當BC＝CM時，t2+4＝5，
解得t＝1（與B重合，舍去）或t＝﹣1，
∴M（﹣1，0）；
②當BM＝BC時，（t﹣1）2＝5，
解得t＝+1或t＝﹣+1，
∴M（+1，0）或（﹣+1，0）；
③當BM＝CM時，（t﹣1）2＝t2+4，
解得t＝﹣，
∴M（﹣，0），
綜上所述，M坐標為（﹣1，0）或（+1，0）或（﹣+1，0）或（﹣，0）．
【點評】本題考查函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、等腰三角形判定等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點坐標及相關(guān)線段的長度．

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