資源簡介

目 錄
第一部分 知識結構導圖
第二部分 專題知識梳理
第三部分 真題復習精練 （選擇題、計算題、解答題）
小學階段所學的立體圖形主要有長方體、正方體、圓柱體和圓錐體，這四種立體圖形的表面積和體積的計算是小升初數學的熱點內容，特別是涉及到立體圖形的切拼時，立體圖形的表面積和體積發生了變化，牢固掌握這些立體圖形的特征和有關的計算方法及切拼時表面積和體積的變化規律是解題的關鍵，本講將在前面兩講學習的基礎上進一步總結整理立體圖形切拼時表面積和體積的變化規律。
圖形 名稱 圖形 計算公式
文字公式 字母公式
長方體 表面積=（長×寬+長×高+高×寬）×2
體積=長×寬×高
正方體 表面積=邊長×邊長×6
體積=棱長×棱長×棱長
圓柱 表面積=側面積+底面積×2 側面積=底面周長×高
體積=底面積×高
圓錐
1.立體圖形：
（1）要充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。
（2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍；反之，把兩個立體圖形拼合到一起，減少的表面積等于重合部分面積的兩倍。
（3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應把它們最小的面拼合起來；若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應把它們最大的面拼合起來。
2.解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：
（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積；把物體從水中取出，水面下降部分的體積等干物體的體積，這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么排開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。
（2）把一種形狀的物體變為另一種形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變.
（3）求一些不規則物體體積時，可以通過變形的方法求體積。
（4）求與體積相關的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定勢。
一、填空題
1．（2022·重慶忠縣·小升初真題）一個長方體的玻璃魚缸，長8dm、寬5dm。放入一塊不規則的石頭后水深1.9dm，撈出這塊石頭后，水面下降0.2dm。這塊石頭的體積是( )。
2．（2022·陜西榆林·小升初真題）一塊圓柱形橡皮泥，底面積是24平方厘米，高是5厘米，如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是( )厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是( )平方厘米。
3．（2022·浙江溫州·小升初真題）一個圓錐形碎石堆，底面周長是62.8米，高是0.9米，將這堆碎石鋪在10米寬的公路上，厚度為6厘米，能鋪( )米。
4．（2022·四川·小升初真題）有一玻璃密封器皿如圖1，測得其底面直徑為20，高為20。現內裝藍色溶液若干，如圖2放置時，測得液面高10。如圖3放置時，測得液面高16。該玻璃密封器皿總容量為( )。（結果保留）
5．（2022·甘肅平涼·小升初真題）小華在玩一個圓柱體橡皮泥，高為30厘米，側面展開圖正好是一個正方形，這個圓柱體的側面積是( )平方厘米，體積為( )立方厘米；若要在它周圍添加橡皮泥，使它成為高不變、底面直徑不變的長方體，則需要添加的橡皮泥體積為( )立方厘米。
6．（2022·遼寧大連·小升初真題）一個長方體容器的底面積是20平方厘米，目前水面高度10厘米。放入一塊石頭，完全浸沒后，水面升高了3厘米。這塊石頭的體積是( )立方厘米。
7．（2022·河南信陽·小升初真題）一個圓柱體水箱中水高為10厘米，圓柱的底面積為20平方厘米，現將一個石塊放進水中（完全淹沒），水溢出了30毫升。拿出石塊，水面下降了4厘米，石塊的體積是( )立方厘米。
8．（2022·河南鄭州·小升初真題）—個正方體容器，從里面量棱長為2分米，倒入5升水，再把一塊石頭沒入水中。這時量得容器內水深15厘米，石頭的體積是( )立方厘米。
9．（2020·甘肅隴南·小升初真題）下圖是由5個棱長為1cm的小正方體搭成的，這個立體圖形的表面積是( )，體積是( )。
10．（2022·安徽蚌埠·小升初真題）用棱長1分米的小正方體搭成一個模型，從正面看是，從上面看是，從側面看是，這個模型的體積是( )立方分米。
11．（2022·浙江杭州·小升初真題）下面圖形是由棱長為1厘米的正方體拼成的，它的表面積是( )平方厘米；至少還需要( )個這樣的小正方體才能拼成一個大正方體。
12．（2022·廣東揭陽·小升初真題）下圖是由若干個棱長5cm的正方體疊成的，它露在外面的面積是( )cm2，這些正方體的體積共( )cm3。
13．（2022·浙江溫州·小升初真題）有7個分開擺放的棱長1cm的小正方體，把它們搭成一個幾何體（如下圖），表面積比原來減少了( )cm2。
14．（2022·海南省直轄縣級單位·小升初真題）用棱長是1厘米的小正方體拼成如圖。這個圖形的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
15．（2022·陜西西安·小升初真題）由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積為( )。
二、計算題
16．（2022·陜西渭南·小升初真題）計算下面組合圖形的體積。（單位：cm）

17．（2022·浙江寧波·小升初真題）求下面圖形的體積（單位：厘米）。
18．（2022·陜西安康·小升初真題）計算如圖圖形的體積。
19．（2022·貴州黔東南·小升初真題）求下面圖形的表面積。（單位：厘米）
20．（2021·陜西漢中·小升初真題）計算下面圖形的表面積。（單位：cm）
三、解答題
21．（2022·陜西西安·小升初真題）把一塊底面半徑為3厘米，高為5厘米的圓錐形鐵塊完全浸沒在一個盛有水的圓柱形玻璃容器內（水沒有溢出），已知容器的底面直徑為20厘米，容器內的水面會上升多少厘米？
22．（2022·廣西玉林·小升初真題）陀螺在我國最少有四、五千年的歷史，是民間最早的娛樂工具之一。小剛有一個底面直徑是6厘米的木制陀螺（如圖），這個陀螺的體積是多少立方厘米？
23．（2022·山東日照·小升初真題）一個底面內直徑是8分米的圓柱形無蓋鐵桶，高6分米。
（1）做這個鐵桶需要多少鐵皮？
（2）鐵桶裝有高為3分米的水，放入一個底面半徑是2分米的圓錐后，水面上升2分米，這個圓錐的高是多少？
24．（2022·甘肅隴南·小升初真題）有一個完全封閉的容器，從里面測得長是20厘米，寬是15厘米，高是10厘米。平放時測得容器里水的高度是6厘米。如果把這個容器豎起來放（如圖），水的高度是多少厘米？
25．（2022·陜西漢中·小升初真題）一個圓柱形容器，從里面量底面半徑為20厘米，里面盛有80厘米深的水，現將一個底面半徑為10厘米的圓錐形鐵塊完全浸沒水中，這時水面比原來上升了。這個圓錐形鐵塊的高是多少厘米？
26．（2022·河北保定·小升初真題）把一個圓錐完全浸沒在一個底面半徑是4厘米的圓柱形水槽里，水面上升了3厘米。已知圓錐的底面積是12平方厘米，這個圓錐的高是多少厘米？（π取3.14）
27．（2022·河北廊坊·小升初真題）一只底面半徑為40厘米的圓柱形水桶內盛有80厘米深的水，將一個高8厘米的圓錐形鐵塊沉沒水中，水沒有溢出，水面上升1.5厘米，鐵塊的底面積是多少平方厘米？
28．（2022·湖南婁底·小升初真題）一個底面直徑是16厘米的圓柱形容器中裝有一些水，把一個底面半徑是5厘米的圓錐形鉛塊完全浸沒在水中，水未溢出，容器內的水上升了2.5厘米，圓錐形鉛塊的高是多少厘米？
29．（2022·重慶·小升初真題）一個圓柱形容器，底面直徑4分米，高7分米。它里面裝有一些水，水的高度是5分米，現將一個圓錐完全沉入水中，溢出了37.68升水。這個圓錐的體積是多少？
30．（2022·廣西南寧·小升初真題）一個正方體玻璃魚缸從內測量棱長是5分米，水深3分米。李明現在將一個底面積是12.5平方分米的圓錐裝飾物放入魚缸，完全浸沒在水中，這時水面上升了2厘米，這個圓錐裝飾物的高是多少？
31．（2022·安徽銅陵·小升初真題）如圖，在一個內直徑8厘米的瓶子里裝了一些水，水的高度是7厘米。把瓶蓋擰緊倒置垂直豎放，高18厘米。這個瓶子的容積是多少？
32．（2022·河南鄭州·小升初真題）小明為了測量出一只雞蛋的體積，按如下的步驟進行了一個實驗：
①在一個底面直徑是8厘米的圓柱體玻璃杯中裝入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；
②將雞蛋放入水中，再次測量水面的高度是6.2厘米。
如果玻璃的厚度忽略不計，這只雞蛋的體積大約是多少立方厘米？
33．（2022·廣東茂名·小升初真題）在一只底面半徑是30厘米，高50厘米的圓柱形水桶里，裝有水和一個半徑為10厘米的圓錐形鋼材（鋼材完全浸沒在水中），如果把鋼材從水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，這個圓錐形鋼材的高是多少厘米？
34．（2022·河北唐山·小升初真題）張醫生定做了一個藥箱，從側面看是由一個半圓和一個正方形組成。（如圖）
（1）如果忽略厚度不計，這個藥箱的容積是多少？
（2）如果給藥箱外表面刷漆（底面不刷），刷漆的面積是多少？
35．（2022·安徽合肥·小升初真題）古代的銅錢都是“外圓內方”，銅錢內正方形的邊長是0.5厘米。小明把20枚相同的古代銅錢疊在一起的形狀如圖，每枚銅錢的體積是多少立方厘米？（取值3.14）
36．（2022·內蒙古呼倫貝爾·小升初真題）這只工具箱的表面積是多少？（單位：分米）
37．（2024·福建莆田·小升初真題）2000多年前，古希臘國王讓人做了一頂純金的皇冠，但他懷疑皇冠被摻了銅，所以請數學家阿基米德來幫忙。阿基米德用“排水法”來鑒別皇冠的真偽：金子的密度約為19克/立方厘米，銅的密度約為9克/立方厘米，在質量相同的情況下金子的體積比較小；如果摻了銅后，密度減小，體積增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的實驗：第一步，稱出這頂皇冠的質量是950克；第二步，把這頂皇冠浸沒在裝滿水的容器中，測量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝質量÷體積）
（1）這頂皇冠是否被摻了銅？請計算說明理由。
（2）如果有摻銅，請你算出皇冠被摻了多少克銅？
21世紀教育網(www.21cnjy.com)目 錄
第一部分 知識結構導圖
第二部分 專題知識梳理
第三部分 真題復習精練 （選擇題、計算題、解答題）
小學階段所學的立體圖形主要有長方體、正方體、圓柱體和圓錐體，這四種立體圖形的表面積和體積的計算是小升初數學的熱點內容，特別是涉及到立體圖形的切拼時，立體圖形的表面積和體積發生了變化，牢固掌握這些立體圖形的特征和有關的計算方法及切拼時表面積和體積的變化規律是解題的關鍵，本講將在前面兩講學習的基礎上進一步總結整理立體圖形切拼時表面積和體積的變化規律。
圖形 名稱 圖形 計算公式
文字公式 字母公式
長方體 表面積=（長×寬+長×高+高×寬）×2
體積=長×寬×高
正方體 表面積=邊長×邊長×6
體積=棱長×棱長×棱長
圓柱 表面積=側面積+底面積×2 側面積=底面周長×高
體積=底面積×高
圓錐
1.立體圖形：
（1）要充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。
（2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍；反之，把兩個立體圖形拼合到一起，減少的表面積等于重合部分面積的兩倍。
（3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應把它們最小的面拼合起來；若把幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應把它們最大的面拼合起來。
2.解答立體圖形的體積問題時，要注意以下幾點：
（1）物體沉入水中，水面上升部分的體積等于物體的體積；把物體從水中取出，水面下降部分的體積等干物體的體積，這是物體全部浸沒在水中的情況。如果物體不全部浸在水中，那么排開水的體積就等于浸在水中的那部分物體的體積。
（2）把一種形狀的物體變為另一種形狀的物體后，形狀變了，但它的體積保持不變.
（3）求一些不規則物體體積時，可以通過變形的方法求體積。
（4）求與體積相關的最大、最小值時，要大膽想象，多思考、多嘗試，防止思維定勢。
一、填空題
1．（2022·重慶忠縣·小升初真題）一個長方體的玻璃魚缸，長8dm、寬5dm。放入一塊不規則的石頭后水深1.9dm，撈出這塊石頭后，水面下降0.2dm。這塊石頭的體積是( )。
【答案】8dm3/8立方分米
【分析】不規則石頭的體積即下降水的體積，根據長方體的體積公式：V＝abh，即可列式解答。
【詳解】8×5×0.2
＝40×0.2
＝8（dm3）
【點睛】解答本題的關鍵是理解石頭的體積即下降水的體積。
2．（2022·陜西榆林·小升初真題）一塊圓柱形橡皮泥，底面積是24平方厘米，高是5厘米，如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是( )厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是( )平方厘米。
【答案】 15 72
【分析】根據圓柱的體積公式：V＝Sh，據此求出橡皮泥的體積，橡皮泥的體積不變，根據圓錐的體積公式：V＝Sh，據此解答即可；
【詳解】24×5×3÷24
＝120×3÷24
＝360÷24
＝15（厘米）
24×5×3÷5
＝120×3÷5
＝360÷5
＝72（平方厘米）
如果捏成與圓柱等底的圓錐形，高是15厘米；如果捏成與圓柱等高的圓錐形，底面積是72平方厘米。
【點睛】本題考查圓柱和圓錐的體積，熟記公式是解題的關鍵。
3．（2022·浙江溫州·小升初真題）一個圓錐形碎石堆，底面周長是62.8米，高是0.9米，將這堆碎石鋪在10米寬的公路上，厚度為6厘米，能鋪( )米。
【答案】157
【分析】先根據圓錐的底面周長求出圓錐的底面半徑，再利用“”表示出這堆碎石的體積，最后根據“”求出這堆碎石可以鋪路的長度，據此解答。
【詳解】6厘米＝0.06米
62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（米）
×0.9×3.14×102÷10÷0.06
＝0.3×3.14×100÷10÷0.06
＝0.942×100÷10÷0.06
＝9.42÷0.06
＝157（米）
所以，能鋪157米。
【點睛】熟練掌握圓錐和長方體的體積計算公式是解答題目的關鍵。
4．（2022·四川·小升初真題）有一玻璃密封器皿如圖1，測得其底面直徑為20，高為20。現內裝藍色溶液若干，如圖2放置時，測得液面高10。如圖3放置時，測得液面高16。該玻璃密封器皿總容量為( )。（結果保留）
【答案】
【分析】藍色溶液的體積沒有發生變化，圖2和圖3的陰影部分都是液體的體積。由圖2可以根據圓柱的體積＝算出藍色溶液的體積。再根據圖三求出空白部分的體積，空白的部分是一個和圓柱相同的底面，但是高是4cm的圓柱。整個玻璃器皿的體積＝藍色溶液的體積＋空白部分的體積。
【詳解】藍色溶液的體積：
＝
＝
＝（cm3）
空白部分的體積：
＝
＝
＝（cm3）
玻璃器皿的體積：（cm3）
則玻璃密封器皿總容量為cm3。（結果保留）
5．（2022·甘肅平涼·小升初真題）小華在玩一個圓柱體橡皮泥，高為30厘米，側面展開圖正好是一個正方形，這個圓柱體的側面積是( )平方厘米，體積為( )立方厘米；若要在它周圍添加橡皮泥，使它成為高不變、底面直徑不變的長方體，則需要添加的橡皮泥體積為( )立方厘米。
【答案】 900 －
【分析】根據圓柱側面展開圖的特征可知，如果圓柱的側面沿高展開是一個正方形，那么這個圓柱的底面周長和高相等，根據圓柱的側面積公式：S側＝Ch，圓柱的體積公式：V圓柱體＝Sh，再根據長方體的體積公式公式：V長方體＝abh，需要添加的體積等于長方體的體積減去圓柱的體積，把數據代入公式解答。
【詳解】30×30＝900（平方厘米）
30÷π÷2
＝÷2
＝（厘米）
π×（）2×30
＝π××30
＝
＝（立方厘米）
××30
＝
＝（立方厘米）
則需要添加的橡皮泥體積為（－）立方厘米。
【點睛】由題目里數據可得這是一個細高的圓柱體，需要充分展開空間思維，結合相關公式來計算，數據稍顯復雜，要縝密計算。
6．（2022·遼寧大連·小升初真題）一個長方體容器的底面積是20平方厘米，目前水面高度10厘米。放入一塊石頭，完全浸沒后，水面升高了3厘米。這塊石頭的體積是( )立方厘米。
【答案】60
【分析】根據題意知，這塊石頭的體積等于上升的水的體積，用底面積乘上升的高度即可。
【詳解】20×3＝60（立方厘米）
這塊石頭的體積是60立方厘米。
【點睛】本題主要考查某些實物體積的測量方法。
7．（2022·河南信陽·小升初真題）一個圓柱體水箱中水高為10厘米，圓柱的底面積為20平方厘米，現將一個石塊放進水中（完全淹沒），水溢出了30毫升。拿出石塊，水面下降了4厘米，石塊的體積是( )立方厘米。
【答案】110
【分析】由題可知，石塊的體積等于溢出水的體積加上下降的水的體積，先用水箱的底面積乘下降的厘米數，求出下降水的體積，進而加上溢出水的體積即可解答。
【詳解】20×4＝80（立方厘米）
30毫升＝30立方厘米
80＋30＝110（立方厘米）
【點睛】此題主要考查某些實物體積的測量方法。
8．（2022·河南鄭州·小升初真題）—個正方體容器，從里面量棱長為2分米，倒入5升水，再把一塊石頭沒入水中。這時量得容器內水深15厘米，石頭的體積是( )立方厘米。
【答案】1000
【分析】根據長方體的體積公式：V＝Sh，用倒入水的體積除以正方體容器的底面積，即可求出倒入水后水面的高度為12.5厘米；石頭放入水中后，石頭的體積＝水面上升的體積，水面上升的體積可看作長為20厘米，寬為20厘米，高為（15－12.5）厘米的長方體的體積，根據長方體的體積公式，把數據代入即可得解。
【詳解】5升＝5立方分米
5÷（2×2）
＝5÷4
＝1.25（分米）
1.25分米＝12.5厘米
2分米＝20厘米
20×20×（15－12.5）
＝400×2.5
＝1000（立方厘米）
即石頭的體積是1000立方厘米。
【點睛】此題的解題關鍵是掌握不規則物體的體積的計算方法，通過轉化的數學思想，靈活運用長方體的體積公式，解決問題。
9．（2020·甘肅隴南·小升初真題）下圖是由5個棱長為1cm的小正方體搭成的，這個立體圖形的表面積是( )，體積是( )。
【答案】 20 5
【分析】根據圖可知，可以把這個組合體看成左邊的一個小正方體和右邊的長方體兩部分，根據長方體的表面積公式：（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，和正方體的表面積公式：棱長×棱長×6，把數代入求出這兩個的表面積，然后相加，再減去2個邊長是1厘米的正方形的面積即可；由圖可知，長方體的長是2厘米，寬是1厘米，高是2厘米；
根據正方體的體積公式：棱長×棱長×棱長，把數代入求出一個小正方體的體積，之后再乘5即可求出這個立體圖形的體積。
【詳解】長方體的表面積：（2×1＋2×2＋1×2）×2
＝（2＋4＋2）×2
＝8×2
＝16（平方厘米）
正方體的表面積：1×1×6＝1×6＝6（平方厘米）
16＋6－1×1×2
＝22－2
＝20（平方厘米）
體積：1×1×1×5
＝1×5
＝5（立方厘米）
【點睛】本題主要考查長方體正方體的表面積公式和體積公式，熟練掌握它們的公式并靈活運用。
10．（2022·安徽蚌埠·小升初真題）用棱長1分米的小正方體搭成一個模型，從正面看是，從上面看是，從側面看是，這個模型的體積是( )立方分米。
【答案】6
【分析】這個立方體圖形，從正面看是3個正方形，說明從正面看是由3個小正方體組成的，分兩層，下層2個，上層1個靠右；從上面看是4個正方形，說明最下面1層有4個小正方體，從右面看也是4個正方形，說明上面有2個小正方體，由此即可知道這個立體圖形是由4＋2＝6個小正方體組成，根據正方體的體積公式：棱長×棱長×棱長，求出1個小正方體的體積，再乘6即可。
【詳解】由分析可知，這個模型是由6個小正方體構成。
1×1×1
＝1×1
＝1（立方分米）
1×6＝6（立方分米）
【點睛】此題考查了從不同方向觀察物體和幾何體，鍛煉了學生的空間想象力和抽象思維能力以及正方體的體積公式。
11．（2022·浙江杭州·小升初真題）下面圖形是由棱長為1厘米的正方體拼成的，它的表面積是( )平方厘米；至少還需要( )個這樣的小正方體才能拼成一個大正方體。
【答案】 18 4
【分析】（1）觀察圖形可知：從上面和下面看：分別有3個小正方體的面；從左面和右面看：分別有3個小正方體的面；從前面和后面看分別有3個小正方體的面，1個小正方體的面的面積是1×1＝1平方厘米，由此即可求出這個圖形的表面積；
（2）觀察圖形可知：拼組后的大正方體的每條棱長至少是由2個小正方體組成的，由此可以求出拼組后的大正方體中的小正方體的個數，再減去圖中已有的小正方體個數即可。
【詳解】3×6＝18（平方厘米）
2×2×2－4
＝8－4
＝4（個）
【點睛】此題主要考查了學生通過觀察立體圖形解決問題的能力，根據已知圖形確定出拼組后的正方體的最小棱長是解決本題的關鍵。
12．（2022·廣東揭陽·小升初真題）下圖是由若干個棱長5cm的正方體疊成的，它露在外面的面積是( )cm2，這些正方體的體積共( )cm3。
【答案】 350 1000
【分析】觀察圖形可知，從正面看，有5個面露在外面；從上面看，有5個面露在外面；從右面看有4個面露在外面，一個露在外面的面有：5＋5＋4＝11個，再用棱長×棱長×露在外面面的個數，即可求出露在外面面的面積；再根據正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數據，求出一個正方體的體積，再乘8，即可求出這個立體圖形的體積。
【詳解】露在外面的面的個數：
5＋5＋4
＝10＋4
＝14（個）
露在外面的面積：5×5×14
＝25×14
＝350（cm2）
體積：5×5×5×8
＝125×8
＝1000（cm3）
【點睛】解答本題的關鍵是數清楚露在外面的個數，以及正方體體積公式的應用。
13．（2022·浙江溫州·小升初真題）有7個分開擺放的棱長1cm的小正方體，把它們搭成一個幾何體（如下圖），表面積比原來減少了( )cm2。
【答案】18
【分析】根據正方體表面積＝棱長×棱長×6，求出一個小正方體表面積，再乘7，是原來7個小正方體表面積和；拼成的幾何體，看上去表面積比大正方體少了3個小正方形，里面有出現了同樣的3個小正方形，所以拼成的幾何體的表面積＝8個小正方體拼成的大正方體的表面積，求出大正方體表面積，與原來7個小正方體表面積和求差即可。
【詳解】1×1×6×7＝42（cm2）
1＋1＝2（cm）
2×2×6＝24（cm2）
42－24＝18（cm2）
【點睛】關鍵是掌握并靈活運用正方體表面積公式。
14．（2022·海南省直轄縣級單位·小升初真題）用棱長是1厘米的小正方體拼成如圖。這個圖形的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
【答案】 24 6
【分析】這個立體圖形的每個面都是小正方形，根據正方形的面積＝邊長×邊長，求出每個小正方形的面積；觀察這個立體圖形的上、下面都是5個面，左、右面都是3個面，前、后面都是4個面，據此算出小正方形的總個數，再乘每個小正方形的面積，即是這個立體圖形的表面積；
這個立體圖形是由6個小正方體組成的，根據正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，求出每個小正方體的體積，再乘6即可。
【詳解】小正方形的個數：
（5＋4＋3）×2
＝12×2
＝24（個）
這個圖形的表面積是：
1×1×24＝24（平方厘米）
這個圖形的體積：
1×1×1×6＝6（立方厘米）
【點睛】掌握不規則的立體圖形的表面積、體積的計算方法是解題的關鍵。
15．（2022·陜西西安·小升初真題）由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積為( )。
【答案】50
【分析】首先數出露出的面的數量，前、后面露出的面數量都是7個，左、右面露出的面的數量都是10個，上、下面露出的面的數量都是8個。那么露出的面一共是50個，再根據正方形的面積計算公式正方形的面積＝邊長邊長，求出邊長為1的正方形的面積，再乘50即可解答。
【詳解】前、后面露出的面數量都是7個，左、右面露出的面的數量都是10個，上、下面露出的面的數量都是8個。
（個）
（）
由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積是50。
二、計算題
16．（2022·陜西渭南·小升初真題）計算下面組合圖形的體積。（單位：cm）

【答案】43.96cm3
【分析】把這個組合圖形分成兩個圓錐加上一個圓柱，再根據圓錐和圓柱的體積作答。
【詳解】2÷2＝1（cm）　
18－3－3＝12（cm）
3.14×12×12＋3.14×12×3××2
＝3.14×12＋3.14×2
＝37.68＋6.28
＝43.96（cm3）
【點睛】解決此題，關鍵在于把組合的立體圖形分成我們常見的立體圖形。
17．（2022·浙江寧波·小升初真題）求下面圖形的體積（單位：厘米）。
【答案】214.2立方厘米
【分析】由圖可知，該幾何體是由底面圓半徑是2厘米，高是10厘米的圓柱的和長10厘米，寬6厘米，高2厘米的長方體組成，根據圓柱的體積公式：，長方體體積公式：，分別求出圓柱和長方體的體積，再將兩數相加即可解答。
【詳解】22×3.14×10×
＝4×3.14×10×
＝12.56×10×
＝125.6×
＝94.2（立方厘米）
10×2×6＋94.2
＝20×6＋94.2
＝120＋94.2
＝214.2（立方厘米）
18．（2022·陜西安康·小升初真題）計算如圖圖形的體積。
【答案】169.56立方分米
【分析】根據圓錐的體積公式：V＝πr2h，圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數據代入公式求出它們的體積和即可。
【詳解】3.14×（6÷2）2×3＋3.14×（6÷2）2×9×
＝84.78＋84.78
＝169.56（立方分米）
【點睛】此題主要考查圓錐、圓柱體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
19．（2022·貴州黔東南·小升初真題）求下面圖形的表面積。（單位：厘米）
【答案】282.6平方厘米
【分析】利用圓環的面積公式：S＝，再乘2，即可求出這個圖形左右兩邊圓環的面積，里面小圓柱的側面積可通過公式：S＝求出，外面大圓柱的側面積同樣可通過公式：S＝求出，注意兩個圓柱的直徑不同，把2個圓環的面積加上大小圓柱的側面積即是這個圖形的表面積。
【詳解】圓環面積：R＝6÷2＝3（厘米），r＝4÷2＝2（厘米）；
（3×3－2×2）×3.14×2
＝（9－4）×3.14×2
＝5×3.14×2
＝31.4（平方厘米）
外側面積：6×3.14×8＝150.72（平方厘米）
內側面積：4×3.14×8＝100.48（平方厘米）
表面積：31.4＋150.72＋100.48＝282.6（平方厘米）
20．（2021·陜西漢中·小升初真題）計算下面圖形的表面積。（單位：cm）
【答案】3113cm2
【分析】長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，圓柱的側面積＝底面周長×高，長方體的表面積＋圓柱的側面積即為這個組合圖形的表面積，據此解答。
【詳解】（20×30＋20×5＋30×5）×2＋3.14×15×30
＝850×2＋1413
＝1700＋1413
＝3113（cm2）
三、解答題
21．（2022·陜西西安·小升初真題）把一塊底面半徑為3厘米，高為5厘米的圓錐形鐵塊完全浸沒在一個盛有水的圓柱形玻璃容器內（水沒有溢出），已知容器的底面直徑為20厘米，容器內的水面會上升多少厘米？
【答案】0.15厘米
【分析】根據圓錐的體積公式：V＝πr2，圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數據代入公式求出圓錐的體積，然后用圓錐的體積除以圓柱形容器的底面積即可。
【詳解】×3.14×32×5÷[3.14×（20÷2）2]
＝×3.14×9×5÷[3.14×100]
＝3.14×3×5÷314
＝9.42×5÷314
＝47.1÷314
＝0.15（厘米）
答：容器內的水面會上升0.15厘米。
【點睛】此題主要考查圓錐、圓柱體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
22．（2022·廣西玉林·小升初真題）陀螺在我國最少有四、五千年的歷史，是民間最早的娛樂工具之一。小剛有一個底面直徑是6厘米的木制陀螺（如圖），這個陀螺的體積是多少立方厘米？
【答案】113.04立方厘米
【分析】由題干可知，圓柱和圓錐是等底的，求圓柱和圓錐的體積之和就是陀螺的體積。分別利用圓柱和圓錐的體積公式求解即可。
【詳解】3.14×（6÷2）2×3＋×3.14×（6÷2）2×3
＝3.14×32×3＋×3×3.14×32
＝3.14×9×3＋3.14×9
＝84.78＋28.26
＝113.04（立方厘米）
答：這個陀螺的體積是113.04立方厘米。
【點睛】此題考查的是圓柱和圓錐的體積公式的應用，熟記公式是解題關鍵。
23．（2022·山東日照·小升初真題）一個底面內直徑是8分米的圓柱形無蓋鐵桶，高6分米。
（1）做這個鐵桶需要多少鐵皮？
（2）鐵桶裝有高為3分米的水，放入一個底面半徑是2分米的圓錐后，水面上升2分米，這個圓錐的高是多少？
【答案】（1）200.96平方分米；（2）24分米
【分析】（1）做這個鐵桶需要多少鐵皮，就是求這個圓柱的底面積加上側面積，圓柱的底面積：S＝πr2，圓柱的側面積＝底面周長×高。
（2）水面上升2分米部分的圓柱的體積與圓錐的體積相等，根據圓柱的體積公式：V＝Sh，計算出水面上升2分米部分的圓柱的體積。水面上升2分米部分的圓柱的體積。根據圓錐的體積公式：V＝Sh，可以推算求圓錐高的計算公式：h＝3V÷S，計算出這個圓錐的高是多少。
【詳解】（1）3.14×（8÷2）2＋3.14×8×6
＝3.14×16＋25.12×6
＝50.24＋150.72
＝200.96（平方分米）
答：做這個鐵桶需要200.96平方分米。
（2）3.14×（8÷2）2×2×3÷（3.14×22）
＝3.14×16×2×3÷（3.14×4）
＝50.24×2×3÷12.56
＝301.44÷12.56
＝24（分米）
答：這個圓錐的高是24分米。
【點睛】本題解題關鍵是熟練掌握圓柱的表面積，圓柱、圓錐體積的計算方法。
24．（2022·甘肅隴南·小升初真題）有一個完全封閉的容器，從里面測得長是20厘米，寬是15厘米，高是10厘米。平放時測得容器里水的高度是6厘米。如果把這個容器豎起來放（如圖），水的高度是多少厘米？
【答案】9厘米
【分析】根據題意可知，平放變成豎放后，容器中水的體積是不變的，所以可先在平放狀態下算出水的體積，長方形的體積＝長×寬×高，然后根據長方體的體積＝底面積×高，用水的體積除以豎放時的底面積即可求出水的高度。據此解答。
【詳解】20×15×6÷（20×10）
＝20×15×6÷200
＝1800÷200
＝9（厘米）
答：水的高度是9厘米。
25．（2022·陜西漢中·小升初真題）一個圓柱形容器，從里面量底面半徑為20厘米，里面盛有80厘米深的水，現將一個底面半徑為10厘米的圓錐形鐵塊完全浸沒水中，這時水面比原來上升了。這個圓錐形鐵塊的高是多少厘米？
【答案】60厘米
【分析】水面上升的部分就是圓錐形鐵塊的體積，根據圓柱的體積公式：底面積×高，代入數據，求出增加部分的體積，再根據圓錐的體積公式：底面積×高×，高＝圓錐體積÷底面積÷，代入數據，即可解答。
【詳解】80×＝5（厘米）
3.14×202×5
＝3.14×400×5
＝1256×5
＝6280（立方厘米）
6280÷（3.14×102）÷
＝6280÷（3.14×100）÷
＝6280÷314×3
＝20×3
＝60（厘米）
答：這個圓錐形的鐵塊的高是60厘米。
【點睛】利用求不規則物體體積的方法，求出圓錐形鐵塊的體積，以及利用圓柱的體積公式和圓錐的體積公式進行解答。
26．（2022·河北保定·小升初真題）把一個圓錐完全浸沒在一個底面半徑是4厘米的圓柱形水槽里，水面上升了3厘米。已知圓錐的底面積是12平方厘米，這個圓錐的高是多少厘米？（π取3.14）
【答案】37.68厘米
【分析】由題意得，圓錐的體積等于上升的水的體積，即可求出圓錐的體積，則圓錐的高＝體積×3÷底面積，代數計算即可。
【詳解】（3.14×42×3×3）÷12
＝452.16÷12
＝37.68（厘米）
答：圓錐的高是37.68厘米。
【點睛】解決本題的關鍵是明確圓錐的體積等于上升的水的體積。
27．（2022·河北廊坊·小升初真題）一只底面半徑為40厘米的圓柱形水桶內盛有80厘米深的水，將一個高8厘米的圓錐形鐵塊沉沒水中，水沒有溢出，水面上升1.5厘米，鐵塊的底面積是多少平方厘米？
【答案】2826平方厘米
【分析】根據題意，把一個圓錐形鐵塊沉沒水中，水面上升1.5厘米，水面上升部分的體積等于圓錐形鐵塊的體積；根據圓柱的體積公式V＝πr2h，求出圓錐形鐵塊的體積；根據圓錐的體積公式V＝Sh可知，圓錐形鐵塊的底面積S＝3V÷h，代入數據計算即可求出鐵塊的底面積。
【詳解】3.14×402×1.5
＝3.14×1600×1.5
＝5024×1.5
＝7536（立方厘米）
7536×3÷8
＝22608÷8
＝2826（平方厘米）
答：鐵塊的底面積是2826平方厘米。
【點睛】本題考查圓柱、圓錐的體積計算公式的靈活應用，明白水面上升部分的體積等于放入的圓錐形鐵塊的體積是解題的關鍵。
28．（2022·湖南婁底·小升初真題）一個底面直徑是16厘米的圓柱形容器中裝有一些水，把一個底面半徑是5厘米的圓錐形鉛塊完全浸沒在水中，水未溢出，容器內的水上升了2.5厘米，圓錐形鉛塊的高是多少厘米？
【答案】19.2厘米
【分析】根據題意可知，把圓錐放入圓柱形容器內，上升部分水的體積等于這個圓錐的體積，根據圓柱的體積公式：，圓錐的體積公式：，那么，把數據代入公式解答。
【詳解】3.14×（16÷2）2×2.5÷÷（3.14×52）
＝3.14×64×2.5×3÷（3.14×25）
＝200.96×2.5×3÷78.5
＝502.4×3÷78.5
＝1507.2÷78.5
＝19.2（厘米）
答：這個圓錐形鐵塊的高是19.2厘米。
【點睛】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
29．（2022·重慶·小升初真題）一個圓柱形容器，底面直徑4分米，高7分米。它里面裝有一些水，水的高度是5分米，現將一個圓錐完全沉入水中，溢出了37.68升水。這個圓錐的體積是多少？
【答案】62.8立方分米
【分析】根據題意可知，這個圓錐的體積等于容器內無水部分的體積加上溢出水的體積，根據圓柱的體積計算公式： ，即可解題。
【詳解】37.68升＝37.68立方分米
3.14×（4÷2）2×（7－5）＋37.68
＝3.14×22×2＋37.68
＝3.14×4×2＋37.68
＝25.12＋37.68
＝62.8（立方分米）
答：這個圓錐的體積是62.8立方分米。
【點睛】明確圓錐的體積等于容器內無水部分的體積加上溢出水的體積是解決本題的關鍵。
30．（2022·廣西南寧·小升初真題）一個正方體玻璃魚缸從內測量棱長是5分米，水深3分米。李明現在將一個底面積是12.5平方分米的圓錐裝飾物放入魚缸，完全浸沒在水中，這時水面上升了2厘米，這個圓錐裝飾物的高是多少？
【答案】1.2分米
【分析】圓錐裝飾物放入魚缸后，先換算單位，水面上升的高度為0.2分米，圓錐裝飾物的體積等于水面上升的體積，水面上升的體積可看作長寬均為5分米，高為0.2分米的長方體的體積，根據長方體的體積公式：V＝abh，代入數據即可求出這個圓錐裝飾物的體積，再利用圓錐的體積公式：V＝Sh，用圓錐裝飾物的體積除以圓錐的底面積，即可求出這個圓錐裝飾物的高。
【詳解】2厘米＝0.2分米
5×5×0.2÷÷12.5
＝5÷÷12.5
＝15÷12.5
＝1.2（分米）
答：這個圓錐裝飾物的高是1.2分米。
【點睛】此題的解題關鍵是掌握求不規則物體的體積的計算方法，通過轉化的數學思想，靈活運用長方體的體積和圓錐的體積公式求解。
31．（2022·安徽銅陵·小升初真題）如圖，在一個內直徑8厘米的瓶子里裝了一些水，水的高度是7厘米。把瓶蓋擰緊倒置垂直豎放，高18厘米。這個瓶子的容積是多少？
【答案】1256毫升
【分析】瓶子的底面直徑和正放時液面的高度已知，根據圓柱的體積公式：V＝，則可以求出瓶內液體的體積，同樣的方法，可以求出倒放時空余部分的體積，瓶子的容積＝飲料的體積＋倒放時空余部分的體積。據此解答。
【詳解】8÷2＝4（厘米）
3.14×42×7＋3.14×42×18
＝3.14×16×7＋3.14×16×18
＝351.68＋904.32
＝1256（立方厘米）
＝1256（毫升）
答：這個瓶子的容積是1256毫升。
【點睛】此題解答關鍵是利用體積不變的特性，把不規則圖形轉化為規則圖形來計算。
32．（2022·河南鄭州·小升初真題）小明為了測量出一只雞蛋的體積，按如下的步驟進行了一個實驗：
①在一個底面直徑是8厘米的圓柱體玻璃杯中裝入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；
②將雞蛋放入水中，再次測量水面的高度是6.2厘米。
如果玻璃的厚度忽略不計，這只雞蛋的體積大約是多少立方厘米？
【答案】60.288立方厘米
【分析】根據求不規則物體的體積＝容器的底面積×水面上升的高度，再根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，據此進行計算即可。
【詳解】3.14×（8÷2）2×（6.2－5）
＝3.14×16×1.2
＝50.24×1.2
＝60.288（立方厘米）
答：這只雞蛋的體積大約是60.288立方厘米。
【點睛】本題考查圓柱的體積，明確上升的水的體積就是雞蛋的體積是解題的關鍵。
33．（2022·廣東茂名·小升初真題）在一只底面半徑是30厘米，高50厘米的圓柱形水桶里，裝有水和一個半徑為10厘米的圓錐形鋼材（鋼材完全浸沒在水中），如果把鋼材從水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，這個圓錐形鋼材的高是多少厘米？
【答案】27厘米
【分析】根據題意，把圓錐形鋼材從水中完全取出后桶里的水面下降了1厘米，那么水下降的體積等于這個圓錐形鋼材的體積；水下降部分是一個底面半徑為30厘米、高1厘米的圓柱體，根據圓柱的體積公式V＝πr2h，求出水下降部分的體積，也就是圓錐的體積；
已知圓錐形鋼材的底面半徑為10厘米，根據圓的面積公式S＝πr2，求出鋼材的底面積；再根據圓錐的高h＝3V÷S，求出這個圓錐形鋼材的高。
【詳解】水下降部分的體積（圓錐的體積）：
3.14×302×1
＝3.14×900×1
＝2826（立方厘米）
圓錐的底面積：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
圓錐的高：
2826×3÷314
＝8478÷314
＝27（厘米）
答：這個圓錐形鋼材的高是27厘米。
34．（2022·河北唐山·小升初真題）張醫生定做了一個藥箱，從側面看是由一個半圓和一個正方形組成。（如圖）
（1）如果忽略厚度不計，這個藥箱的容積是多少？
（2）如果給藥箱外表面刷漆（底面不刷），刷漆的面積是多少？
【答案】（1）27.85立方分米
（2）46.84平方分米
【分析】（1）這個藥箱的容積包括一個長方體的容積和半個圓柱的體積，利用長方體的體積公式：體積＝長×寬×高；圓柱的體積公式：體積＝底面積×高；代入數據求出長方體的體積和半個圓柱的體積，再相加，即可解答。
（2）如果給藥箱外表面刷漆（底面不刷），刷漆的面積是指4個長方體的面和圓柱的一個底面積和圓柱側面積的一半，根據長方形面積公式：長×寬；圓柱的表面積公式：底面面積＋側面積÷2，代入數據，求出面積，再相加，即可解答。
【詳解】（1）5×2×2＋3.14×（2÷2）2×5÷2
＝10×2＋3.14×1×5÷2
＝20＋3.14×5÷2
＝20＋15.7÷2
＝20＋7.85
＝27.85（立方分米）
答：這個藥箱的容積是27.85立方分米。
（2）2×2×2＋2×5×2＋3.14×2×5÷2＋3.14×（2÷2）2
＝4×2＋10×2＋6.28×5÷2＋3.14×1
＝8＋20＋31.4÷2＋3.14
＝8＋20＋15.7＋3.14
＝28＋15.7＋3.14
＝43.7＋3.14
＝46.84（平方分米）
答：刷漆的面積是46.84平方分米。
【點睛】本題考查了長方體和圓柱體積公式及表面積公式的應用；關鍵是熟記公式。
35．（2022·安徽合肥·小升初真題）古代的銅錢都是“外圓內方”，銅錢內正方形的邊長是0.5厘米。小明把20枚相同的古代銅錢疊在一起的形狀如圖，每枚銅錢的體積是多少立方厘米？（取值3.14）
【答案】0.578立方厘米
【分析】根據圖示可知，20枚相同的古代銅錢疊在一起的體積等于圓柱的體積減去長方體的體積。利用圓柱的體積公式：V＝πr2h，長方體體積公式：V＝abh，計算出20枚銅錢的體積，再除以20即可求出每枚銅錢的體積。
【詳解】3.14×（2÷2）2×4－0.5×0.5×4
＝12.56－1
＝11.56（立方厘米）
11.56÷20＝0.578（立方厘米）
答：每枚銅錢的體積是0.578立方厘米。
【點睛】本題主要考查組合圖形的體積，關鍵利用圓柱、長方體的體積公式計算。
36．（2022·內蒙古呼倫貝爾·小升初真題）這只工具箱的表面積是多少？（單位：分米）
【答案】117.96平方分米
【分析】通過觀察圖形可知，上面的半圓柱求出一個底面的面積加上圓柱側面積的一半，下面的長方體求它的5個面的面積，根據圓的面積公式：S＝πr2，圓柱的側面積公式：S＝πdh，長方形的面積公式：S＝a×b，把數據分別代入公式解答。
【詳解】3.14×22＋3.14×2×2×5÷2＋5×4＋5×3×2＋4×3×2
＝3.14×4＋12.56×5÷2＋20＋30＋24
＝12.56＋31.4＋20＋30＋24
＝63.96＋30＋24
＝117.96（平方分米）
答：它的表面積是117.96平方分米。
【點睛】此題主要考查圓柱的表面積公式、長方體的表面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
37．（2024·福建莆田·小升初真題）2000多年前，古希臘國王讓人做了一頂純金的皇冠，但他懷疑皇冠被摻了銅，所以請數學家阿基米德來幫忙。阿基米德用“排水法”來鑒別皇冠的真偽：金子的密度約為19克/立方厘米，銅的密度約為9克/立方厘米，在質量相同的情況下金子的體積比較小；如果摻了銅后，密度減小，體積增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的實驗：第一步，稱出這頂皇冠的質量是950克；第二步，把這頂皇冠浸沒在裝滿水的容器中，測量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝質量÷體積）
（1）這頂皇冠是否被摻了銅？請計算說明理由。
（2）如果有摻銅，請你算出皇冠被摻了多少克銅？
【答案】（1）被摻了銅；計算說明見詳解
（2）342克
【分析】（1）先通過排水法求出皇冠的體積，再計算假設皇冠是純金時的體積，與實際體積比較判斷是否摻銅。如果假設皇冠是純金時的體積小于實際體積，說明皇冠被摻了銅。
（2）設皇冠被摻了x克銅，則金的質量為（950－x）克。根據體積關系列方程求解，即銅的體積加上金的體積等于實際皇冠的體積。銅的體積為x÷9，金的體積為（950－x）÷19，實際皇冠體積為70立方厘米，據此列出方程為：（950－x）÷19＋x÷9＝70，計算出結果即可。
【詳解】（1）950÷19＝50（立方厘米）
50立方厘米＝50毫升
因為50毫升＜70毫升，所以這頂皇冠被摻了銅。
（2）解：設皇冠被摻了x克銅，則金的質量為（950－x）÷19
（950－x）÷19＋x÷9＝70
9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171
8550－9x＋19x ＝ 11970
8550－10x－8550＝11970－8550
10x＝3420
x＝342
答：皇冠被摻了342克銅。
【點睛】本題涉及了密度、質量、體積三者的關系，在列方程時，需要理解皇冠由純金和銅兩部分組成，同時運用三者的數量關系，有一定難度。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑