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1.4解直角三角形知識梳理培優(yōu)專題練習(xí)北師大版2024—2025學(xué)年九年級下冊
一、直角三角形的邊角關(guān)系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊．
（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=_____；（2）兩銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=______；
（3）直角三角形斜邊上的中線等于_______；
（4）在直角三角形中，30°角所對的邊等于_______．
二、解直角三角形的四種類型：
已知條件 解法
兩條直角邊a、
c=______, tanA=______, ∠B=_______.
一條直角邊a和斜邊c b=______, sinA=_____, ∠B=______.
一條直角邊a和銳角A c=_______, b=_______, ∠B=_______
斜邊c和銳角A a=_______, b=_______, ∠B=______
三、30°，45°，60°的三角函數(shù)值
a 30° 45° 60°
sina
cosa
tana
cota
四、解直角三角形：
只有下面兩種情況：
（1）已知兩條邊；
（2）已知一條邊和一個銳角
題型一、已知一個銳角的三角函數(shù)值和一條直角邊
例1、如圖，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CD＝，求AB的長.
例2、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC邊上的中線，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的長；
（2）求sin∠DAE的值．
例3．如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF為AD邊上的中線．
（1）求AC的長；
（2）求tan∠FBD的值．
例4．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周長；
（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．
題型二、已知一個銳角的三角函數(shù)值構(gòu)造直角三角形
例1．如圖，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．
（1）求邊AC的長；
（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求的值．
例2．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BD，BC∥AD，連接AC交BD于點E，∠BAC＝∠ADB，且．
（1）求BD的長；
（2）若，求CD的長．
例3．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中點，DE⊥BC于點E，ED、BA的延長線交于點F．
（1）求∠ABC的正弦值；
（2）求的值．
例4．如圖，在△ABC中，AC＝16，，點D在邊BC上，CD＝2BD，AD＝CD．
（1）求BD的長；
（2）求∠CAB的正切值．
例5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC上一點，AB＝5，BD＝1，tanB＝．
（1）求AD的長；
（2）求sinα的值．
題型三、解斜三角形
例1．如圖，在△ABC中，．
（1）求AC的值．
（2）求△ABC的面積（結(jié)果保留根號）
例2．如圖，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°；求AC和AB的長．
例3．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD是邊BC上的中線，sin∠DAB＝，BD＝3．求：
（1）AB的長；
（2）∠CAB的余切值．
例4． 如圖，若△ABC和△DEF的面積分別為S1，S2，則S1：S2（　　）
A．5：8 B．8：5 C．1：1 D．2：7
題型四、在網(wǎng)格中求一個銳角的三角函數(shù)
例1．在如圖所示的4×4正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，tan∠ABC的值是（　　）
B．
C． D．
例2．如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（　　）
B．
C． D．
例3．如圖，在8×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則sinB的值為（　　）
B．
C． D．
例4．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個正方形的頂點叫做格點，點A，B，C，D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則tan∠APD的值為（　　）
A．2 B．
C．3 D．
課后練習(xí)
1．在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴大為原來的2倍，則銳角∠A的余弦值的變化情況是（　　）
A．都縮小為原來的 B．都擴大為原來的2倍
C．都沒有變化 D．不能確定
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，則BC的長是（　　）
A．3 B．6
C．8 D．9
3．在銳角△ABC中，AD⊥BC于點D，若tan∠BAD＝，tan∠CAD＝，則∠BAC的度數(shù)是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，則BC的長是（　　）
A．6 B．2 C．2 D．9
5．如圖，在8×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則cosB的值為（　　）
B．
C． D．
6．如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，則tan∠ACB的值為（　　）
A．1 B．
C． D．
7．在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，那么sin∠ACB的值為（　　）
B．
C． D．
8.如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（　　）
B．
C． D．
9.如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（　　）
B．
C． D．
10.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．點D是AC的中點，過點D作DE⊥AC交BC于點E．延長ED至點F，使得DF＝DE，連結(jié)AE、AF、CF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若＝，則tan∠BCF的值為 　 　．
11.如圖①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：
∵sinA＝，sinB＝
∴c＝，c＝
∴＝
根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識．在圖②的銳角△ABC中，探究、、之間的關(guān)系，并寫出探究過程．

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