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2.3確定二次函數的解析式培優練習北師大版2024—2025學年九年級下冊
考點一：一般式：(a，b，c為常數，a≠0)；
例1．二次函數圖象經過A（﹣1，0），B（0，﹣2），C（4，0），求二次函數解析式．
變式1.已知二次函數y＝ax2+bx的圖象經過點（﹣2，8）和（﹣1，5），這個二次函數的表達式為（　　）
A．y＝﹣x2+6x B．y＝x2+6x C．y＝﹣x2﹣6x D．y＝x2﹣6x
變式2.關于x的二次函數y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的圖象過原點，則a的值為（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
變式3.已知二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的圖象經過點（﹣1，0），且對任意x的值，始終成立，則該二次函數的解析式為（　　）
A． B．
C． D．
變式4.用“描點法”畫二次函數y＝ax2+bx+c的圖象，列表如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 …
（1）在圖中畫出這個二次函數y＝ax2+bx+c的圖象；
（2）求出該二次函數的表達式；
（3）根據圖象，直接寫出當﹣1≤x≤2時，y的取值范圍是 　 　．
例2．已知拋物線y＝x2+mx+n（m，n為常數）經過點（1，0），（0，3）．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）已知點A（t﹣1，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）在該拋物線上．
（i）當t＜0時，比較y1，y2，y3的大小；
（ii）若P（x，y）是拋物線上一點，且當t≤x≤t+1時，y有最小值2t，求t的值．
變式1．如圖，已知拋物線y＝x2﹣mx+n過點A與B（2，0），與y軸交于點C（0，﹣2）．點D在拋物線上，且與點C關于對稱軸l對稱．
（1）求該拋物線的函數關系式和對稱軸；
（2）求△BCD的面積．
變式．已知二次函數y＝ax2﹣2ax+c．
（1）若該函數的圖象經過點A（﹣1，2），B（1，﹣2）．
①求該函數的表達式及頂點坐標．
②當﹣1≤x≤m時，該函數的最大值與最小值的差為3，求m的值．
（2）若點P（﹣2，s），Q（n﹣4，r）都在該函數圖象上，且s＞r，求n的取值范圍．
變式2．已知二次函數y＝ax2+bx+3的圖象經過點（﹣2，0），（2，﹣4）．
（1）請求此二次函數的解析式；
（2）判斷點P（﹣3，3）是否在這個二次函數的圖象上？請說明理由．
考點二：頂點式：(a，h，k為常數，a≠0)；
例1．已知二次函數的圖象以A（1，﹣4）為頂點，且過點B（﹣2，5），求該函數的關系式．
變式1．已知拋物線的頂點坐標是（2，1），且拋物線經過點（3，0），則這條拋物線的函數表達式是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1
變式2．如果一條拋物線的形狀和開口方向與y＝﹣2x2+2相同，且頂點坐標是（4，﹣2），則它的解析式是（　　）
A．y＝2（x﹣4）2+2 B．y＝﹣2（x﹣4）2﹣2
C．y＝﹣2（x﹣4）2+2 D．y＝﹣2（x+4）2﹣2
變式3．已知二次函數y＝ax2+bx+c，當x＝1時，有最大值8，其圖象的形狀、開口方向與拋物線y＝﹣2x2相同，則這個二次函數的表達式是（　　）
A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+4
C．y＝﹣2x2+4x+8 D．y＝﹣2x2+4x+6
變式4．拋物線y＝a（x+h）2的對稱軸是直線x＝﹣2，且過點（1，﹣3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的頂點坐標．
變式5．已知二次函數圖象的頂點是（1，2），且圖象經過點（0，3）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）求證：對任意實數m，點（m，﹣m）都不在這個二次函數的圖象上．
例2．已知二次函數的圖象經過（0，0），且它的頂點坐標是（1，﹣2）．
（1）求這個二次函數的關系式；
（2）判斷點P（3，﹣6）是否在這條拋物線的圖象上．
變式1．已知拋物線的頂點坐標為（3，﹣1），且經過點（0，2）．
（1）求該拋物線的表達式．
（2）請判斷點是否在該拋物線上，并說明理由．
變式2．已知拋物線的頂點坐標為（0，1）．
（1）拋物線的解析式為　 　；
（2）已知點A（0，2），點B（1，3），點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m，求線段PA的長（用含有字母m的式子表示）；
（3）拋物線上是否存在點P，使得PA+PB的值最小，若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，說明理由．
考點三：交點式：(，為拋物線與x軸交點的橫坐標，a≠0)．
例1．已知二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸的交點為M（﹣1，0），N（3，0）．求此二次函數的表達式．
變式1．如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若y＜﹣4，直接寫出x的取值范圍．
變式2．已知一個二次函數的圖象經過A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的對稱軸和頂點P的坐標；
（3）△ABP的面積為 　 　．
變式3．已知二次函數y＝x2+bx+c（b、c為常數）的圖象經過點（1，0），（3，0）．
（1）求該二次函數的表達式和頂點坐標；
（2）當y＝8時，求x的值．

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