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2.5一元二次方程根與系數的關系培優北師大版2024—2025學年九年級上冊
例1.已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的兩根，
（1）求x1+ x2與x1·x2 的值
（2）求+的值
（3）求的值
（4）求的值
練習1．已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0兩根為x1、x2，則x1+x2＝　 　．
練習2.已知 x1，x2是關于 x 的方程﹣x2+2x+4＝0 的兩個根，則 x1+x2﹣x1x2＝　 　．
練習3.若x1，x2是x2﹣6x﹣7＝0的根，則x1 x2＝　 　．
練習4.已知x1、x2是方程x2+4x﹣12＝0的兩個實數根，則　 　．
例2.關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的兩實數根分別為x1、x2，
（1）求m的取值范圍
（2）若x1＝2求另一個根x2的值
（3）若x1+3x2＝5，求m的值
練習1.如果1是方程2x2﹣x+m＝0的一個根，則m＝　 　．
練習2.已知關于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一個根為x＝3，則另一個根為　 　．
例3.關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）當方程有一個根為﹣1時，求k的值及另一個根；
（2）當方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍；
（3）若方程兩實根x1、x2滿足x1+x2＝x1 x2，求k的值．
練習1.已知關于x的方程：x2+ax+a﹣2＝0．
（1）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
（2）設方程的兩根為x1，x2，若x1+x2＝1，求a的值．
例4．閱讀材料：
材料1：關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數根x1，x2和系數a，b，c，有如下關系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
則 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：
（1）應用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數根為x1，x2，則x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數根為m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知實數s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
練習1．閱讀材料，解答問題：
材料1
為了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我們把x2看作一個整體，然后設y＝x2，則原方程可化為y2﹣13y+36＝0，經過運算，原方程的解為x1，2＝±2，x3，4＝±3．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2
已知實數m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根據上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解為 　 　；
（2）間接應用：
已知實數a，b滿足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展應用：
已知實數m，n滿足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
課后練習
1．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實數根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在實數m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．
2．已知關于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有兩實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）設方程兩實數根分別為x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求實數k的值．
3．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求證：無論k為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根x1，x2滿足x1﹣x2＝3，求k的值．
4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的兩個實數根．
（1）求k的取值范圍．
（2）是否存在實數k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，請求出k的值；如果不存在，請說明理由．
5．已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的兩實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求m的值和△ABC的周長．
6．已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；
（2）如果方程的兩個實數根為x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值．
7．已知關于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p為常數）有兩個不相等的實數根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　；
（2）求+，x1+；
（3）已知+＝2p+1，求p的值．
8．已知x1，x2是關于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整數，求k的值．
9．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求證：無論m為何值，方程總有實數根；
（2）若x1，x2是方程的兩個實數根，且+＝﹣，求m的值．
10．關于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩個根為α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
11．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；
（2）設該方程的兩個實數根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
12．已知關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個不等實數根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
13．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根分別為α，β，且α+2β＝5，求m的值．
14．閱讀材料：
材料1：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數根分別為m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個根為x1，x2，則x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）類比應用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
（3）思維拓展：已知實數s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
15．已知關于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有實數根．
（1）求實數k的取值范圍．
（2）設方程的兩個實數根分別為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
16．已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數根分別為x1、x2，且+＝12，求m的值．
17．已知關于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有實數根，求m的取值范圍；
（2）若方程的兩實數根分別為x1，x2，且滿足+＝14．求+4x2﹣10的值．
18．已知關于x的方程x2+2mx+m2+m＝0有兩個不相等的實數根x1，x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）若，求m的值．

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