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2.6實數之培優訓練實數的性質與運算北師大版2024—2025學年八年級上冊
一、平方根、算術平方根和立方根
例1．若一個正數的兩個平方根分別是和，則這個正數是（ ）
A．1 B． 3 C． 4 D． 9
例2．已知的算術平方根是 ，的立方根是2．
（1）求的值； （2）求的平方根；
變式1．下列說法正確的是（　　）
A．如果一個數的立方根等于這個數本身，那么這個數一定是零
B．一個數的立方根和這個數同號，零的立方根是零
C．一個數的立方根不是正數就是負數
D．負數沒有立方根
變式2．已知的平方根是，的平方根是．求：的算術平方根；
二、非負數的性質
例3．已知為實數，且，求的值．
例4．已知實數滿足，且，
求的值；
變式3．若，求的值；
變式4．（1）已知非零實數滿足，求的值；
（2）已知非負實數滿足，求的值；
三、比較實數大小的方法
例5．是兩個連續整數，若，則分別是（　　）
A．2，3 B． 3，2 C． 3，4 D． 6，8
例6．如果的小數部分為， 的整數部分為，則= ；
變式5．若整數滿足，則的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
變式6．滿足>0．99的最小整數的值是（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
四、數形結合
例7．在數軸上標注了四段范圍，如圖，則表示的點落在（　　）
A．段① B． 段②
C． 段③ D． 段④
例8．已知在紙面上有一數軸（如圖所示），折疊紙面，使表示的點與3表示的點重合，則表示的點與數____________表示的點重合；
變式7．張華想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300的長方形紙片，使它的長寬之比為3：2．他不知能否裁得出來，正在發愁．李明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片．”你同意李明的說法嗎？張華能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？
變式8．（1）已知實數在數軸上的位置如圖所示，化簡=_________；
（2）．已知：表示a、b兩個實數的點在數軸上的位置如圖所示，請你化簡．
五、觀察與發現
例9．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用﹣1來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數部分是1，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．又例如：∵，即：，的整數部分為2，小數部分為。
請解答：（1）的整數部分是　 　，小數部分是　 　；
（2）如果的小數部分為， 的整數部分為，求的值；
例10．閱讀下列解題過程：
====
===
請回答下列問題：
（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出結果．=　 　；
（2）利用上面提供的信息請化簡：；
變式9．觀察、發現： ====。
（1）試化簡： ；
（2）直接寫出結果： =　 　；
（3）求值： +++…+ ；
六、課后練習
1.一個正數的平方根為2x+1和x﹣7，則這個正數為（　　）
A．5 B．10 C．25 D．±25
2.已知a＜0，化簡的結果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2a
3.已知實數a、b在數軸上的對應點如圖所示，則下列命題中正確的是（　　）
A．丨a+b丨＝丨a丨+丨b丨 B．丨a﹣b丨＝丨a丨﹣丨b丨
C．丨a+b丨＝丨b丨﹣丨a丨 D．丨a﹣b丨＝丨b丨﹣丨a丨
4.若＝0，則a2+b2的算術平方根是　 　．
5.已知+＝y+4，則yx的平方根為　 　．
6.當x＝　 　時，有最小值，這個最小值為　 　．
7.已知實數x，y滿足++y＝4，則代數式的值為　 　．
8.如果2＜x＜3，那么化簡的最終結果是　 　．
9.如果，那么x的取值范圍是　 　．
10.已知y＝，求y﹣x的平方根．
如圖，a、b、c分別是數軸上A、B、C所對應的實數，
試化簡：﹣|a﹣c|+．
12.閱讀下面的文字，解答問題，例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整數部分為2，小數部分為（﹣2）．
請解答：（1）的整數部分是　 　，小數部分是　 　．
（2）已知：9﹣小數部分是m，9+小數部分是n，且（x+1）2＝m+n，請求出滿足條件的x的值
13.閱讀下面的文字，解答問題：
大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部寫出來，而1＜＜2，于是可用﹣1來表示的小數部分．
請解答下列問題：
（1）的整數部分是　 　，小數部分是　 　．
（2）如果的小數部分為a，的整數部分為b，求a+b﹣的值
（3）已知：100+＝x+y，其中x是整數，且0＜y＜1，求x++24﹣y的平方根．

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