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專題1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1.5 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 高頻壓軸解答題全歸納
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
不等式 2024年天津卷第20題，16分 2023年I卷第19題，12分 2023年甲卷第21題，12分 2023年天津卷第20題，16分 2022年II卷第22題，12分 預(yù)測(cè)2025年新高考數(shù)學(xué)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合還是會(huì)以壓軸解答題的形式出現(xiàn)，分值15-17分。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，不僅是重點(diǎn)考查內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 通過對(duì)近十年的高考數(shù)學(xué)試題，分析并歸納出五大考點(diǎn)：（1）含參函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；（2）函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）不等式恒成立與存在性問題；（4）函數(shù)不等式的證明．（5）導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題。其中，對(duì)于函數(shù)不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題、含三角函數(shù)形式的問題探究和不等式的放縮應(yīng)用這四類問題是目前高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點(diǎn)．
極最值 2024年II卷第16題，15分 2023年乙卷第21題，12分 2023年II卷第22題，12分
恒成立與有解 2024年I卷第18題，17分 2024年甲卷第21題，12分 2022年北京卷第20題，12分 2020年I卷第21題，12分
零點(diǎn)問題 2024年北京卷第20題，12分 2022年甲卷第21題，12分 2022年I卷第22題，12分 2022年乙卷第20題，12分
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合在高考中通常以壓軸題形式出現(xiàn)，常見的有函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、不等式證明問題、不等式存在性問題等，綜合性較強(qiáng)，難度較大.在求解導(dǎo)數(shù)綜合問題時(shí)，通常要綜合利用分類討論、構(gòu)造函數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求等思想方法，同時(shí)聯(lián)系不等式、方程等知識(shí)，思維難度大，運(yùn)算量不低.可以說，只要考生啃下本節(jié)這個(gè)硬骨頭，就具有了強(qiáng)大的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等核心素養(yǎng).
1．（2024新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．
【解析】（1）時(shí)，，其中，則，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，而成立，故即，所以的最小值為.，
（2）的定義域?yàn)椋O(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，
關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
因?yàn)樵趫D象上，故，
而，
所以也在圖象上，
由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為.
（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，
先考慮時(shí)，恒成立.此時(shí)即為在上恒成立，
設(shè)，則在上恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，
故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；
綜上，在上恒成立時(shí).
而當(dāng)時(shí)，而時(shí)，由上述過程可得在遞增，故的解為，
即的解為.綜上，.
2．（2024新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，，
可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以切線方程為，即.
（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br/>若，則對(duì)任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無極大值，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；
解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br/>若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，
可知與有交點(diǎn)，則，
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無極大值，符合題意，
由題意可得：，即，構(gòu)建，
因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.
3．（2024全國(guó)甲卷理）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無極大值. (2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在處取極小值且極小值為，無極大值.
（2），
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，
所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，故在上，
即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.
當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；
綜上，.
4．（2024全國(guó)甲卷文）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【詳解】（1）定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），且時(shí)，，
令，下證即可.
，再令，則，
顯然在上遞增，則，即在上遞增，
故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證
5．（2024天津卷）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，求證：．
【解析】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為，故其方程為.
（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
所以在上遞減，在上遞增，這就說明，即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對(duì)任意，都有.
一方面，若對(duì)任意，都有，則對(duì)有
，取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，則對(duì)任意都有，滿足條件.
綜合以上兩個(gè)方面，知的值是2.
（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)，有.
證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
所以在上遞減，在上遞增.
不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.
情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；
情況二：當(dāng)時(shí)，有.
對(duì)任意的，設(shè)，則.
由于單調(diào)遞增，且有
，
且當(dāng)，時(shí)，由可知
.
所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)，時(shí).
故在上遞減，在上遞增.
①當(dāng)時(shí)，有；
②當(dāng)時(shí)，由于，故我們可以取.
從而當(dāng)時(shí)，由，可得
.
再根據(jù)在上遞減，即知對(duì)都有；
綜合①②可知對(duì)任意，都有，即.
根據(jù)和的任意性，取，，就得到.
所以.
情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.
而根據(jù)的單調(diào)性，知或.
故一定有成立.綜上，結(jié)論成立.
6．（2023新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1），則，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，令得，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
證明：（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，
要證，只需證，只需證，
設(shè)（a），，則（a），令（a）得，，
當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增，
所以（a），即（a），
所以得證，即得證．
7．（2023新高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）證明：設(shè)，，則，，
在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，
，即，，，，
設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，
，，即，，，，
綜合可得：當(dāng)時(shí)，；
（2），，且，，
①若，即時(shí)，易知存在，使得時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；
②若，即或時(shí)，存在，使得，時(shí)，，
在，上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，滿足為的極大值點(diǎn)，符合題意；
③若，即時(shí)，為偶函數(shù)，只考慮的情況，
此時(shí)，時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，與顯然與為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去．
綜合可得：的取值范圍為，，．
8．（2023全國(guó)乙卷）已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；（3）若在存在極值，求的取值范圍．
【解析】（1）時(shí)，（1），，（1），
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．
（2），定義域?yàn)椋?br/>要使函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，則由，且，可知，
即的圖像關(guān)于對(duì)稱，
則（1），，得，解得．綜上，，；
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，
令，則，令，
在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，
，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，在區(qū)間上無零點(diǎn)，不合題意，
當(dāng)，時(shí)，由于，“，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
在區(qū)間上無零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，“，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，“，單調(diào)遞增，
的最小值為，令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，（1），恒成立，
，令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
（1），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
，
，
，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得：在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
，令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（4），，
，
函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)得取值范圍是．
9．（2023全國(guó)甲卷）已知，．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）已知，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>若，此時(shí)，可得，
因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減；
（2）不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>，令，，
此時(shí)，不妨令，
可得，所以單調(diào)遞增，此時(shí)（1），
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，
又（1），所以在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，即存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意，綜上，的取值范圍為，．
10．（2023天津卷）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）證明：．
【解析】（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得，
則曲線在處的切線斜率為（2）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，，即，即，
而 在上單調(diào)遞增，因此，原不等式得證；
（Ⅲ）證明：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則；
當(dāng)時(shí)，，
由（2），，故，不等式右邊得證；
要證，只需證：對(duì)任意的，，
令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即，則，
因此當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，累加得，
又，，
故，即得證．
11．（2022新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
（2）令，，，在上恒成立，
又，令，則，，
①當(dāng)，即，存在，使得當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋栽趦?nèi)遞增，所以，這與矛盾，故舍去；
②當(dāng)，即，，
若，則，所以在，上單調(diào)遞減，，符合題意．
若，則，
所以在上單調(diào)遞減，，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
另的導(dǎo)數(shù)為，
①當(dāng)時(shí)，，
所以在遞增，所以，與題意矛盾；
②當(dāng)時(shí)，，所以在遞減，所以，滿足題意；．
③當(dāng)時(shí)，．
設(shè)，，則在遞減，所以，
，所以在遞減，所以，滿足題意；
④當(dāng)時(shí)，，
令，則，，可得遞減，，
所以存在，使得．當(dāng)時(shí)，，在遞增，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，在遞增，所以，與題意矛盾．
綜上可得，的取值范圍是，．
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，
令得，，整理得，，
，，，
即．
另運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時(shí)，左邊成立．
假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即．
當(dāng)時(shí)，要證，
只要證，
即證．
可令，則，，則需證明，
再令，則需證明．
構(gòu)造函數(shù)，，，可得在，上遞減，
則（1），所以原不等式成立，
即時(shí)，成立．
綜上可得，成立．
12．（2022全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；
（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br/>令，解得，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故（1），要使得恒成立，僅需，
故，故的取值范圍是，；
（2）證明：由已知有函數(shù)要有兩個(gè)零點(diǎn)，故（1），即，
不妨設(shè)，要證明，即證明，
，，即證明：，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，
即證明：，構(gòu)造函數(shù)，，
，構(gòu)造函數(shù)，
，因?yàn)椋裕?br/>故在恒成立，故在單調(diào)遞增，故（1）
又因?yàn)椋试诤愠闪ⅲ试趩握{(diào)遞增，
又因?yàn)椋?），故（1），故，即．得證．
高頻考點(diǎn)一 函數(shù)單調(diào)性討論（含參數(shù)）
核心知識(shí)：
1、導(dǎo)函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調(diào)性
導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時(shí)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)易于判斷，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為雩，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
2、導(dǎo)函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調(diào)性
當(dāng)主導(dǎo)函數(shù)（決定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的函數(shù)）為二次函數(shù)時(shí)，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為探究該二次函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題．對(duì)于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：
（1）若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；
（2）若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性。
3、導(dǎo)函數(shù)為含參二階求導(dǎo)型的函數(shù)單調(diào)性
當(dāng)無法直接通過解不等式得到一階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)時(shí)，可對(duì)“主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，使解題思路清晰．“再構(gòu)造、再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強(qiáng)大武器。
在此我們首先要清楚之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調(diào)性的。
（1）二次求導(dǎo)目的：通過的符號(hào)，來判斷的單調(diào)性；
（2）通過賦特殊值找到的零點(diǎn)，來判斷正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得出單調(diào)性。
典例1：（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，，討論函數(shù)的單調(diào)性.
【解析】（1），，則，則，即切線斜率，
故切線方程為，即；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，
當(dāng)時(shí)，，由，可得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東·高三校考階段練習(xí)）已知.(1)討論的單調(diào)性；
【解析】（1）由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>且，令，
若時(shí)，，則，可得在上單調(diào)遞增；
若時(shí)，因?yàn)椋?br/>令，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，則，可得單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則，可得單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
若時(shí)，函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為且，
當(dāng)時(shí)，，則，可得在上單調(diào)遞增.
2.（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，
即切線的斜率為，又，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
化簡(jiǎn)得．
（2）求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
高頻考點(diǎn)2 證明不等式
核心知識(shí)：
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；
（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友；（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題；（6）同構(gòu)變形。
典例1：（2025·河北·高三校考期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；(2)若函數(shù)，且，證明：.
【解析】（1）設(shè)函數(shù)，可得，
當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以，所以.
（2）證明：設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，則恒成立，則由，得，
又，所以，因?yàn)椋傻茫?br/>令，可得，所以單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，所以，同理得，要證，
只需證，即證.因?yàn)椋裕?br/>設(shè)函數(shù)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕裕裕?br/>所以，即.
變式訓(xùn)練：
1.（2024·高三·四川·期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：.
【解析】（1）解，令，得時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），要證明，則只需證明，
令，，
，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，即，當(dāng)時(shí)，得證.
【方法二】證明：令，，
，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，
，又當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，當(dāng)時(shí)，得證.
2.（2024·安徽·校考一模）已知函數(shù)（）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
【解析】（1），
①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；
③當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；
④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.
綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是（），遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，，由題意可得，只需證明，
方法一：令，則，
令，易知在上單調(diào)遞增，
，故存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值. ，
所以，即當(dāng)時(shí)，.
方法二：不等式等價(jià)于，
只需證，令，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
令代替得到，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
故存在，使得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
所以，即當(dāng)時(shí)，.
高頻考點(diǎn)3 極最值問題
核心知識(shí)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題
解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對(duì)含有參數(shù)的極最值問題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作。
典例1：（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，
可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，
所以切線方程為，即.
（2）定義域?yàn)椋遥?br/>若，則對(duì)任意恒成立．所以在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意，
若，令，解得，令，解得，
可知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，則有極大值，無極小值，由題意可得：，即.
令，，在上單調(diào)遞減,
又，不等式等價(jià)于，解得.綜上的取值范圍是．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·江蘇·校考一模）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：存在極值點(diǎn)，并求的最小值.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
則
令，得；令，得；
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
（2）
令，因?yàn)椋?br/>所以方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
又因?yàn)椋裕睿斜砣缦?
- 0 +
減 極小值 增
所以存在極值點(diǎn).所以存在使得成立，
所以存在使得，所以存在使得對(duì)任意的有解，
因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，記，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．
所以需要，即需要，
即需要，即需要
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以需要，故的最小值是．
2.（2024·四川眉山·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)設(shè)，函數(shù).
（i）判斷的單調(diào)性；（ii）若，求的最小值.
【解析】（1）由題可知，則，令，可得，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
，又，，
即在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)不同的零點(diǎn).
（2）（i）由題可知，則，
令，可得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.
（ii）由，可得，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，
故，，即.
故
，設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，的最小值為，
故的最小值為.
高頻考點(diǎn)4 零點(diǎn)問題
核心知識(shí)：
函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍。求解步驟：第1步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第2步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；第3步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)。
典例1：（2024·北京順義·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程和的極值；(2)證明在恒為正；
(3)證明：當(dāng)時(shí)，曲線：與曲線：至多存在一個(gè)交點(diǎn)．
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
解得，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.
（2）因?yàn)椋院瘮?shù)在單調(diào)遞增，
又，所以，當(dāng)時(shí)，總有，即在恒為正.
（3）令，得，記，
則曲線至多有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn).
求導(dǎo)得，其中，
由（2）知，在單調(diào)遞增，
因?yàn)椋院瘮?shù)存在唯一零點(diǎn)，且，
當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
又為函數(shù)的零點(diǎn)，所以，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，即曲線無交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在唯一零點(diǎn)，即曲線存在一個(gè)交點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，曲線至多有一個(gè)交點(diǎn).
變式訓(xùn)練：
1.（2024·高三·湖北·期中）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解析】（1），且.
當(dāng)時(shí)，，，從而，
即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，從而，
即此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
∴綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2），又，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，記，
從而，且此時(shí)，，
∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
，，∴存在，使得
且時(shí)，，即此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
時(shí)，，即此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
∴由，得，即函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；而由，，
即函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).∴函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn).
2.（2025·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，
又，故切線方程為，化簡(jiǎn)得．
（2）法一：的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
令，則，即，所以，
令，，所以將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為的圖象和直線的交點(diǎn)問題，
求導(dǎo)得，
因?yàn)榈姆帜负愠闪ⅲ睿?br/>則，易知在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，，
則恒成立，所以令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，
又因?yàn)椋唬唬瑒t的圖象如圖③所示，
圖③ 圖①圖②
要使的圖象和直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象知，即，
所以的取值范圍為．
法二：的定義域?yàn)椋?br/>①當(dāng)時(shí)，，易知在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，
若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即；
②當(dāng)時(shí)，，令，解得（舍）或，
可知在上有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；時(shí)，，
故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，作出函數(shù)圖象如圖①所示，
所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；
④當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意，
⑤當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
又，作出函數(shù)圖象如圖②所示，
故在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；綜上，的取值范圍為．
高頻考點(diǎn)5 不等式恒成立問題
核心知識(shí)：
1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
典例1：（2024·高三·天津?yàn)I海新·期末）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在時(shí)，使成立，求a的取值范圍.
(3)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
由，得；由，得，所以函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
（2）依題意，，則，
于是存在，成立，設(shè)，
則，函數(shù)在上遞增，
，所以.
（3）依題意，對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
設(shè)，則對(duì)任意恒成立，
下面證明對(duì)任意恒成立，
設(shè)，，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，
于是對(duì)任意恒成立，只需在上單調(diào)遞增，
即在上恒成立，則在上恒成立，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
變式訓(xùn)練：
1.（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，已知函數(shù).
(1)當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，求切線的方程；
(2)若函數(shù)的圖象總是在軸的下方，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，解得，
則，又，所以切點(diǎn)為，
所以切線的方程為，即.
（2）由題意知，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，不合題意，
當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
設(shè)，此時(shí)，所以，即為減函數(shù)，而，
要使函數(shù)的圖象總是在軸的下方，必須，即，
所以，所以，即的取值范圍是．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
(3)在第（2）小題的條件下，若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由知單調(diào)遞增，所以極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；
當(dāng)時(shí)，對(duì)有，對(duì)有，
所以在上遞減，在上遞增，所以恰有個(gè)極值點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；
（2）根據(jù)已知有，所以，故.
此時(shí)由（1）中得到的單調(diào)性，可知僅在處取得最小值.
假設(shè)，則，但，這導(dǎo)致矛盾，所以，即.
當(dāng)時(shí)，由（1）中得到的單調(diào)性知在處取得最小值，所以，確實(shí)滿足條件. 綜上，的值為.
（3）此時(shí)，，根據(jù)（2）的結(jié)論，我們有.
設(shè)，則.
再設(shè)，則.
情況一：若，則對(duì)有，故在上遞增，從而對(duì)有.
從而在上遞增，這就意味著對(duì)都有.
從而對(duì)任意，都有，不滿足條件；
情況二：若，令是兩個(gè)正數(shù)和中較小的一個(gè)，則對(duì)有.
故在上遞減，從而對(duì)有.
從而在上遞減，這就意味著，所以存在使得，滿足條件. 綜合以上兩種情況，可知的取值范圍是.
高頻考點(diǎn)6 極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題
核心知識(shí)：極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念
所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往．如下圖所示．
圖1 極值點(diǎn)不偏移 圖2 極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)右偏．
典例1：（2024.江蘇高考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且存在，使得的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)；①求證：；②求證：．
【解析】（1），，其中，，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即或，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，得或，
當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間和，單調(diào)遞減區(qū)間，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，的單增區(qū)間和，單減區(qū)間；
（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，
單調(diào)遞減區(qū)間是，、是方程的兩根，有，，
又的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)，故，則，
要證，即證，又，
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，即可證，
又，即可證，令，，
由，
則
恒成立，
故在上單調(diào)遞增，即，
即恒成立，即得證；
②由，則，令，，
則
，
故在上單調(diào)遞增，即，
即當(dāng)時(shí)，，
由，故，又，故，
由，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，
即，又由①知，故，
又，故.
變式訓(xùn)練：
1.（2025·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，當(dāng)與的極小值之和為0時(shí)，求正實(shí)數(shù)的值；(2)若，求證：.
【解析】（1）定義域均為，，令，解得：，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取極小值，且；
又，令，解得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在取極小值，且所以，解得：.
（2）令，因?yàn)椋裕?br/>由可得：
（1）-（2）得：，所以，
要證：，只要證：，只要證：，
不妨設(shè)，所以只要證：，
即證：，令，只要證：，
令，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即有成立，所以成立.
2.（2024·河南·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，求證：．
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得：．
驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，易得在處取得極大值．
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
②若，，
當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br/>所以，令，，則，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為1，
所以，即，所以，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)不存在，滿足等號(hào)成立條件，所以．
高頻考點(diǎn)7 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題
核心知識(shí)：
1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式。
2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根；（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式。<同構(gòu)小套路>①指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍。
（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程。
（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解。
典例1：已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1），所以．又，
所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．
（2）解法，令，則，
令，則，所以是增函數(shù)，
又，（1），由零點(diǎn)存在定理及是增函數(shù)，
知存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，，單調(diào)遞增，所以．
由，得，即，
令，則，是增函數(shù)，
又，，所以①，
①兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，即，所以②，
由①②，得，于是，即．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）的定義域?yàn)?
關(guān)于的方程，
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，則是方程的兩根.
又，所以，令，解得或，
令，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由，可得，即.令，易知單調(diào)遞增.
由，可得，則，即.
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則的取值范圍為.
2．（2024·天津和平·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍.
【解析】（1），當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).令，解得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2），即.
令函數(shù)，則，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即.
令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng).
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.故的取值范圍為.
高頻考點(diǎn)8 洛必達(dá)法則
核心知識(shí)：
法則1、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），那么=．
法則2、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導(dǎo)，且；
（3），那么=．
法則3、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），那么=．
注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．
（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)．當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．
典例1：已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，則有，
設(shè)，則．
又設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，而，所以在上單調(diào)遞增，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，所以符合洛必達(dá)法則條件，
所以，即當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·遼寧·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)，；
函數(shù)在處取得極值，；
又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化為，即；
當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，則；
令，則；
令，則；
得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而
（或，，
得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．
可得：，故，所以在是減函數(shù)，
而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒有意義，
變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．
2.（2024·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)．如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍．
【解析】，若，則；
若，則等價(jià)于，即
則.記，
因此，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且，
故，所以在上單調(diào)遞減，而.
另一方面，當(dāng)時(shí)，，因此.
高頻考點(diǎn)9 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題
核心知識(shí)：
導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題常用：分段分析法解題。
典例1.（2024·黑龍江佳木斯·三模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程：(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)若，，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，
又因?yàn)椋栽谔幍那芯€方程為.
（2）由題知，在時(shí)恒成立，所以，
因?yàn)椋裕曰颍獾茫缘娜≈捣秶鸀?
（3）證明：由（2）知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，，因此，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以，故當(dāng)時(shí)，．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知 (1)將，，，按由小到大排列，并證明；
(2)令 求證: 在內(nèi)無零點(diǎn).
【解析】（1）令，則，令，
則，因?yàn)椋裕瑒t在上單調(diào)遞增，
則，所以當(dāng)時(shí)，，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，
又，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，
綜上：
（2）要證在內(nèi)無零點(diǎn)，只需證
由（1）知只需證；
即證：，即證：，令，則。
令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，
所以 即在內(nèi)無零點(diǎn).
2.（2024·福建三明·高三校考開學(xué)考試）已知曲線C：
(1)若曲線C過點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的值域；
(3)若，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】（1）依題意得，，此時(shí)，，
則切線斜率為，故切線方程：，即；
（2）當(dāng)時(shí)，，則，
∴，∴在上單調(diào)遞減，
又，，故值域?yàn)椋?br/>（3），
令得，令得，
令得．減區(qū)間為，增區(qū)間為，∴．
當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，令，，∴在上單調(diào)遞增，
∴，即，
又，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，又
令，則，∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).
高頻考點(diǎn)10 函數(shù)的圖象
核心知識(shí)：
在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時(shí)，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，并適時(shí)地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的．
典例1：（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)和應(yīng)用中具有重要作用，不動(dòng)點(diǎn)是指被函數(shù)映射到其自身的點(diǎn).對(duì)于函數(shù)，我們把滿足的稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，
已知函數(shù).(1)證明：在有唯一的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)已知，且的前項(xiàng)和為.證明：①為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；②.
【解析】（1）令，則，，，
所以當(dāng)時(shí)，在上遞減，
而，故在有唯一的零點(diǎn)，即在有唯一的不動(dòng)點(diǎn).
（2）①因?yàn)椋裕谏蠁握{(diào)遞增；
，所以，
而在的不動(dòng)點(diǎn)為，所以，
假設(shè)時(shí)，成立，
則，即成立，
結(jié)合可得：對(duì)于任意恒成立，
故為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；
②，
因?yàn)椋裕虼耍矗?br/>故.
變式訓(xùn)練：
1．2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，直線為曲線與的一條公切線.(1)求；(2)若直線與曲線，直線，曲線分別交于三點(diǎn)，其中，且成等差數(shù)列，證明：滿足條件的有且只有一個(gè).
【解析】（1）設(shè)與相切于點(diǎn)，而，
則，即，，則切點(diǎn)為，，即；
設(shè)與相切于點(diǎn)，而，
，即，則切點(diǎn)為，，，所以，.
（2）依題意，，則，，，
由成等差數(shù)列，得，即，，
令，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，， 則，使得，即，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上遞減，在上遞增，
，
由，得，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，因此在上存在唯一零點(diǎn)，
所以滿足條件的有且只有一個(gè).
2.（2024·天津北辰·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求使恒成立的最大偶數(shù)a．(3)已知當(dāng)時(shí)，總成立．令，若在的圖像上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，求證：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
所以，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，
所以切線方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，使等價(jià)于，令，所以，
令，所以，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br/>所以在上，使，即，
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
因?yàn)椋裕裕遥?br/>所以使恒成立的最大偶數(shù)為．
（3）時(shí)，，，
令，則，
令，則，單調(diào)遞增，
又，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，所以，當(dāng)時(shí)，，
即，則，
，
．
高頻考點(diǎn)11 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景下的新定義壓軸解答題
核心知識(shí)：
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通常考查考生對(duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸。
典例1：若存在一個(gè)數(shù)，使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有，則稱有下界， 是的一個(gè)下界．(1)求函數(shù)的下界的取值范圍；(2)判斷是否是下界為的函數(shù)，并說明理由；(3)若函數(shù)，是的一個(gè)整數(shù)下界，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）
【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的，，則，
因?yàn)椋睿傻茫斜砣缦拢?br/>減 極小值 增
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，
所以，，因此，函數(shù)的下界的取值范圍為.
（2）令，其中，，
因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，故，因此，函數(shù)是下界為的函數(shù).
（3）當(dāng)時(shí)，，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以，存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
，令，其中，
，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，
所以，，且，因此，整數(shù)的最大值為.
變式訓(xùn)練：
1.（2024·上海徐匯·一模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)圖象上，且滿足，則稱為函數(shù)的一個(gè)“類數(shù)”，函數(shù)的所有“類數(shù)”構(gòu)成的集合稱為“類集”.(1)若，分別判斷和是否為函數(shù)的“類數(shù)”，并說明理由；(2)設(shè)的圖象在上連續(xù)不斷，集合.記函數(shù)的“類集”為集合，若，求證：；(3)已知，若函數(shù)的“類集”為時(shí)的取值構(gòu)成集合，求當(dāng)時(shí)的最大值.
【解析】（1），
是函數(shù)的“類數(shù)”；
，
不是函數(shù)的“類數(shù)”.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)的“類集”為集合，且，
所以存在，使得且，
若，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，
不妨設(shè)，由零點(diǎn)存在定理知，必存在使得，所以存在零點(diǎn)，即.
（3），則.先證明：
因?yàn)楹瘮?shù)的“類集”為，所以對(duì)任意，
令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，必有，即對(duì)于恒成立，
所以函數(shù)的最小正周期應(yīng)有，即，則.
再證明，此時(shí)，對(duì)于任意.
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則，
所以時(shí)函數(shù)的“類集”為，即.
我們不難發(fā)現(xiàn)，上述過程中令也成立.因此，的最大值是.
2.（2024·江西·高三統(tǒng)考期中）一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式．如果當(dāng)無限接近于0（亦即時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為．當(dāng)時(shí)，定積分的幾何意義表示由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積（如下圖）．
如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么
(1)求；(2)設(shè)函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）數(shù)列滿足，利用定積分的幾何意義，證明：．
【解析】（1）由于，故.
（2）由，①由恒成立，得恒成立．令，則．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在,上單調(diào)遞增，又，所以在,恒成立．
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，在恒成立，與矛盾．綜上所述，．
②由，可得，所以．
即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故，所以，
由題意可得是由曲線，兩直線，與軸所圍成的曲邊梯形的面積．
而表示圖一陰影所示各矩形的面積和，
所以，不等式的左邊成立．
表示圖二陰影所示各矩形的面積和，
所以，不等式的右邊成立．故得證.
1.（2024·浙江寧波·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，.
(1)若，求在處的切線方程；(2)若，試討論的單調(diào)性.
【解析】（1）若，則，，
又，故，
所以在處的切線方程為，即；
（2），，
當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，
所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，令，解得，或，令．解得，
所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．
綜上：當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，所以在，,上單調(diào)遞增，,上單調(diào)遞減．
2．（2025·四川達(dá)州·校考一模）已知函數(shù).(1)若在上有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，證明：.
【解析】（1）令，得，令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，如圖，作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，的取值范圍為或；
（2）因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以是函數(shù)的最小值，，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)沒有最小值，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
綜上所述，，則，即，
即，即，令，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
因?yàn)椋裕矗?
3.（2024·上海閔行·校考三模）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，給出的定義域，并證明：曲線是軸對(duì)稱圖形；(3)證明：.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>則，
由題意可知，，解得.
（2），
對(duì)于函數(shù)，
有，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>對(duì)于函數(shù)，則，可得，解得或，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋试摱x域關(guān)于直線對(duì)稱，
因?yàn)?br/>，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以曲線是軸對(duì)稱圖形.
（3）當(dāng)時(shí)，，則，令，
則，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，，
即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，，
取，可得，
于是，即，所以，，
故.
4．（2024·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)求在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解析】（1）由已知可得，，
當(dāng)時(shí)，，．令，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增．
（2）令，
當(dāng)時(shí)，，，所以．
令，，令，則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)．
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，
所以，使，即在內(nèi)有1個(gè)極值點(diǎn)．
令，當(dāng)時(shí)，由，得到
令，當(dāng)時(shí)，，則，
所以．令，則，
由（1）中的得，所以，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)．
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又，．
所以使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以．又，
所以使，即在內(nèi)有1個(gè)極值點(diǎn)．
綜上，在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．
5.（2024·湖北荊門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若恰有1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)．
①求極大值與極小值的和；②判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解析】（1）由題可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，，故切點(diǎn)為，切線在該點(diǎn)處的斜率為，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）由（1）得，
因?yàn)榉帜冈诙x域內(nèi)恒成立，所以導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)取決于分子的符號(hào)，
令，其對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式．
若，此時(shí)，則且不恒為0，所以且不恒為0，所以在上單調(diào)遞增，故沒有極值點(diǎn)，若，此時(shí)或，則有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，則同號(hào)．
當(dāng)時(shí)，，兩根均為負(fù)數(shù)，則在上恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，則沒有極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，兩根均為正數(shù)，故當(dāng)或時(shí)，，所以，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)．
故時(shí)，恰有1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)．
①，故極大值與極小值的和為0．②由①知，，，則，
又由①知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以有3個(gè)零點(diǎn)．
6．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>又函數(shù)在處的切線平行于軸，則，即，解得，
此時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)樵谏嫌星覂H有兩個(gè)零點(diǎn)，
令，則，即在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
令，，則問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，
又，，作出與的大致圖象，如圖，
結(jié)合圖象可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
7．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，
令，可得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也為最大值，且，
所以，所以在上單調(diào)遞減.
（2）由，得，即在上恒成立.
令，可得，
令，可得，令，可得；令，可得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，
所以在中存在唯一的使得，在中存在唯一的使得，
即有.因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，的極小值為
時(shí)，的極小值為因?yàn)椋?br/>可得，所以，所以.
代入和，則有，
同理可得，所以，所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為
8.（2024·廣東·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)實(shí)數(shù)，令，正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.
【解析】（1）.
若，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
若，當(dāng)時(shí)，，即在（，上均單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
若，則，即在上單調(diào)遞增.
若，當(dāng)時(shí)，，即在，上均單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，，
，，
令，，由于，知當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增. 從而，，
于是，，即，
而，所以，而當(dāng)，時(shí)，取最小值6.
9.（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．
【解析】（1）由題意得，，則，由，解得．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
綜上，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
（2）（i）由，得，設(shè)，
由（1）得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
又，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根，即方程有兩個(gè)不同的根，故的取值范圍是．
（ii）不妨設(shè)，則，且．
法一：當(dāng)時(shí)，結(jié)合（i）知，即； 當(dāng)時(shí)，．
設(shè)
則所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，所以
又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，
又，所以，故，所以，得證．
法二：設(shè)，，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以，即．
又，所以，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
所以，即，又，所以，得證．
10.（2025·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>令，即，△，解得或，
若，此時(shí)△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．
若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
若，此時(shí)△，方程的兩根為：
，且，，所以在上單調(diào)遞增．
綜上所述：若，在單調(diào)遞增；
若，在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，
下面證，即證2 ，設(shè)，，
設(shè)，，易知在恒成立，
所以在單調(diào)遞增，所以，
所以在單調(diào)遞增，所以，
所以，即當(dāng)時(shí)，．
法二：，即，令，則原不等式等價(jià)于，
，令，則，遞減，
故，，遞減，又，故，原結(jié)論成立．
11．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍.
【解析】（1），當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).令，解得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2），即.
令函數(shù)，則，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即.
令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng).
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.故的取值范圍為.
12.（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br/>令，則所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，（1），
即在上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，無減區(qū)間．
（2）對(duì)任意，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意，恒成立．
當(dāng)，對(duì)任意，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)任意，恒成立．
記，則，
記，則，
所以在單調(diào)遞減，又（1），所以，時(shí)，，即，
所以在單調(diào)遞減．所以，
綜上所述，的取值范圍是．
13．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1），在點(diǎn)，（1）處的切線的斜率（1），
又（1），切線的方程為，
即，由經(jīng)過點(diǎn)，可得．
（2）證明：易知為方程的根，
由題只需說明當(dāng)和時(shí)原方程均沒有實(shí)數(shù)解即可．
①當(dāng)時(shí)，若，顯然有，而恒成立，此時(shí)方程顯然無解，
若，，，
令，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故在單調(diào)遞減，
從而，，此時(shí)方程也無解．
若，由，記，則，
設(shè)，則有恒成立，恒成立，
故令在上遞增，在上遞減
（1），可知原方程也無解，
由上面的分析可知時(shí)，，方程均無解．
②當(dāng)時(shí)，若，顯然有，而恒成立，此時(shí)方程顯然無解，
若，和①中的分析同理可知此時(shí)方程也無解．
若，由，記，則，
由①中的分析知，故在恒成立，從而在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
如果，即，則，要使方程無解，只需，即有
如果，即，此時(shí)，，方程一定有解，不滿足．
由上面的分析知時(shí)，，方程均無解，
綜合①②可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，的取值范圍為．
14.（2024·高三·天津西青·期末）已知函數(shù)和．
(1)若曲線數(shù)與在處切線的斜率相等，求的值；
(2)若函數(shù)與有相同的最小值．①求的值；②證明：存在直線，其與兩條曲線與共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
【解析】（1），由題知，即，即.
（2）①的定義域?yàn)椋?br/>若，則，此時(shí)無最小值，不合題意，故.
令，得，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，
所以.的定義域?yàn)椋?
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以.
因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担剩淼玫剑渲校?br/>設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，
故的唯一解為，故的解為.綜上，.
②，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；
當(dāng)時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，
即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br/>(令，則)，
所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且
只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，
即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br/>（令，則）
所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，
再次，證明存在，使得，因?yàn)椋裕?br/>若，則，即，所以只需證明在上有解即可，
即在上有零點(diǎn)，因?yàn)椋?br/>所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取
則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，
因?yàn)樗裕?br/>又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，即，所以，
同理，因?yàn)椋忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
15.（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足：.求證：的前項(xiàng)和滿足.
【解析】（1）由，，則，
當(dāng)時(shí)，，令，得，所以函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，即，由于，設(shè)方程的兩根為，
則，所以，所以函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，即，
當(dāng)，即時(shí)，設(shè)方程的兩根為，
則，，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，方程無解，所以函數(shù)無極值點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，由，可得，所以，則，，
可得，所以.設(shè)，，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，
所以，
所以，則，
所以，則.綜上所述，.
16.（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）定義運(yùn)算：，已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：．
(3)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）由題意知：，，
①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，不存在最大值．
②當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)，；，，
函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
，令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，
因此，．
（2）由（1）知，，即，當(dāng)時(shí)， ．
．
．
（3）
“函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)”等價(jià)于“方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根”
故，解得，
要證，即證，
，不妨令，故
由得，令
在恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故．成立．
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專題1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1.5 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 高頻壓軸解答題全歸納
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
不等式 2024年天津卷第20題，16分 2023年I卷第19題，12分 2023年甲卷第21題，12分 2023年天津卷第20題，16分 2022年II卷第22題，12分 預(yù)測(cè)2025年新高考數(shù)學(xué)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合還是會(huì)以壓軸解答題的形式出現(xiàn)，分值15-17分。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，不僅是重點(diǎn)考查內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 通過對(duì)近十年的高考數(shù)學(xué)試題，分析并歸納出五大考點(diǎn)：（1）含參函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；（2）函數(shù)的零點(diǎn)問題；（3）不等式恒成立與存在性問題；（4）函數(shù)不等式的證明．（5）導(dǎo)數(shù)中含三角函數(shù)形式的問題。其中，對(duì)于函數(shù)不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題、含三角函數(shù)形式的問題探究和不等式的放縮應(yīng)用這四類問題是目前高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的熱點(diǎn)．
極最值 2024年II卷第16題，15分 2023年乙卷第21題，12分 2023年II卷第22題，12分
恒成立與有解 2024年I卷第18題，17分 2024年甲卷第21題，12分 2022年北京卷第20題，12分 2020年I卷第21題，12分
零點(diǎn)問題 2024年北京卷第20題，12分 2022年甲卷第21題，12分 2022年I卷第22題，12分 2022年乙卷第20題，12分
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合在高考中通常以壓軸題形式出現(xiàn)，常見的有函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、不等式證明問題、不等式存在性問題等，綜合性較強(qiáng)，難度較大.在求解導(dǎo)數(shù)綜合問題時(shí)，通常要綜合利用分類討論、構(gòu)造函數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求等思想方法，同時(shí)聯(lián)系不等式、方程等知識(shí)，思維難度大，運(yùn)算量不低.可以說，只要考生啃下本節(jié)這個(gè)硬骨頭，就具有了強(qiáng)大的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等核心素養(yǎng).
1．（2024新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．
2．（2024新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
3．（2024全國(guó)甲卷理）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
4．（2024全國(guó)甲卷文）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．
5．（2024天津卷）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，求證：．
6．（2023新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
7．（2023新高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍．
8．（2023全國(guó)乙卷）已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；（3）若在存在極值，求的取值范圍．
9．（2023全國(guó)甲卷）已知，．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍．
10．（2023天津卷）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）證明：．
11．（2022新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．
12．（2022全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；
（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．
高頻考點(diǎn)一 函數(shù)單調(diào)性討論（含參數(shù)）
核心知識(shí)：
1、導(dǎo)函數(shù)為含參一次型的函數(shù)單調(diào)性
導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)時(shí)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)易于判斷，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為雩，討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
2、導(dǎo)函數(shù)為含參二次型函數(shù)的單調(diào)性
當(dāng)主導(dǎo)函數(shù)（決定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的函數(shù)）為二次函數(shù)時(shí)，確定原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為探究該二次函數(shù)在給定區(qū)間上根的判定問題．對(duì)于此二次函數(shù)根的判定有兩種情況：
（1）若該二次函數(shù)不容易因式分解，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域；
（2）若該二次函數(shù)容易因式分解，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性。
3、導(dǎo)函數(shù)為含參二階求導(dǎo)型的函數(shù)單調(diào)性
當(dāng)無法直接通過解不等式得到一階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)時(shí)，可對(duì)“主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，使解題思路清晰．“再構(gòu)造、再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強(qiáng)大武器。
在此我們首先要清楚之間的聯(lián)系是如何判斷原函數(shù)單調(diào)性的。
（1）二次求導(dǎo)目的：通過的符號(hào)，來判斷的單調(diào)性；
（2）通過賦特殊值找到的零點(diǎn)，來判斷正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而得出單調(diào)性。
典例1：（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，，討論函數(shù)的單調(diào)性.
變式訓(xùn)練
1．（2024·廣東·高三校考階段練習(xí)）已知.(1)討論的單調(diào)性；
2.（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．
高頻考點(diǎn)2 證明不等式
核心知識(shí)：
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)；
（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友；（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題；（6）同構(gòu)變形。
典例1：（2025·河北·高三校考期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；(2)若函數(shù)，且，證明：.
變式訓(xùn)練：
1.（2024·高三·四川·期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：.
2.（2024·安徽·校考一模）已知函數(shù)（）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.
高頻考點(diǎn)3 極最值問題
核心知識(shí)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題
解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對(duì)含有參數(shù)的極最值問題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作。
典例1：（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范圍．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·江蘇·校考一模）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：存在極值點(diǎn)，并求的最小值.
2.（2024·四川眉山·一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)設(shè)，函數(shù).
（i）判斷的單調(diào)性；（ii）若，求的最小值.
高頻考點(diǎn)4 零點(diǎn)問題
核心知識(shí)：
函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍。求解步驟：第1步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第2步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；第3步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)。
典例1：（2024·北京順義·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程和的極值；(2)證明在恒為正；
(3)證明：當(dāng)時(shí)，曲線：與曲線：至多存在一個(gè)交點(diǎn)．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·高三·湖北·期中）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
2.（2025·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
高頻考點(diǎn)5 不等式恒成立問題
核心知識(shí)：
1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，．
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．
典例1：（2024·高三·天津?yàn)I海新·期末）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在時(shí)，使成立，求a的取值范圍.
(3)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
變式訓(xùn)練：
1.（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，已知函數(shù).
(1)當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，求切線的方程；
(2)若函數(shù)的圖象總是在軸的下方，求的取值范圍.
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
(3)在第（2）小題的條件下，若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
高頻考點(diǎn)6 極值點(diǎn)偏移問題與拐點(diǎn)偏移問題
核心知識(shí)：極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念
所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，而往往．如下圖所示．
圖1 極值點(diǎn)不偏移 圖2 極值點(diǎn)偏移
極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)右偏．
典例1：（2024.江蘇高考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且存在，使得的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn)；①求證：；②求證：．
變式訓(xùn)練：
1.（2025·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，當(dāng)與的極小值之和為0時(shí)，求正實(shí)數(shù)的值；(2)若，求證：.
2.（2024·河南·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，求證：．
高頻考點(diǎn)7 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題
核心知識(shí)：
1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式。
2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根；（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式。<同構(gòu)小套路>①指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍。
（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程。
（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解。
典例1：已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.
2．（2024·天津和平·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍.
高頻考點(diǎn)8 洛必達(dá)法則
核心知識(shí)：
法則1、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），那么=．
法則2、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2），和在與上可導(dǎo)，且；
（3），那么=．
法則3、若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；
（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；
（3），那么=．
注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：
（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．
（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．
（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)．當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．
（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．
，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．
典例1：已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·遼寧·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2.（2024·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)．如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍．
高頻考點(diǎn)9 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題
核心知識(shí)：
導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題常用：分段分析法解題。
典例1.（2024·黑龍江佳木斯·三模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程：(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)若，，證明：．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知 (1)將，，，按由小到大排列，并證明；
(2)令 求證: 在內(nèi)無零點(diǎn).
2.（2024·福建三明·高三校考開學(xué)考試）已知曲線C：
(1)若曲線C過點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求在上的值域；
(3)若，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
高頻考點(diǎn)10 函數(shù)的圖象
核心知識(shí)：
在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時(shí)，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，并適時(shí)地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運(yùn)算量的目的．
典例1：（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)和應(yīng)用中具有重要作用，不動(dòng)點(diǎn)是指被函數(shù)映射到其自身的點(diǎn).對(duì)于函數(shù)，我們把滿足的稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，
已知函數(shù).(1)證明：在有唯一的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)已知，且的前項(xiàng)和為.證明：①為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，且；②.
變式訓(xùn)練：
1．2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，直線為曲線與的一條公切線.(1)求；(2)若直線與曲線，直線，曲線分別交于三點(diǎn)，其中，且成等差數(shù)列，證明：滿足條件的有且只有一個(gè).
2.（2024·天津北辰·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求使恒成立的最大偶數(shù)a．(3)已知當(dāng)時(shí)，總成立．令，若在的圖像上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，求證：．
高頻考點(diǎn)11 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)背景下的新定義壓軸解答題
核心知識(shí)：
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通常考查考生對(duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸。
典例1：若存在一個(gè)數(shù)，使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有，則稱有下界， 是的一個(gè)下界．(1)求函數(shù)的下界的取值范圍；(2)判斷是否是下界為的函數(shù)，并說明理由；(3)若函數(shù)，是的一個(gè)整數(shù)下界，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）
變式訓(xùn)練：
1.（2024·上海徐匯·一模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)圖象上，且滿足，則稱為函數(shù)的一個(gè)“類數(shù)”，函數(shù)的所有“類數(shù)”構(gòu)成的集合稱為“類集”.(1)若，分別判斷和是否為函數(shù)的“類數(shù)”，并說明理由；(2)設(shè)的圖象在上連續(xù)不斷，集合.記函數(shù)的“類集”為集合，若，求證：；(3)已知，若函數(shù)的“類集”為時(shí)的取值構(gòu)成集合，求當(dāng)時(shí)的最大值.
2.（2024·江西·高三統(tǒng)考期中）一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式．如果當(dāng)無限接近于0（亦即時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為．當(dāng)時(shí)，定積分的幾何意義表示由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積（如下圖）．
如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么
(1)求；(2)設(shè)函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）數(shù)列滿足，利用定積分的幾何意義，證明：．
1.（2024·浙江寧波·校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，.
(1)若，求在處的切線方程；(2)若，試討論的單調(diào)性.
2．（2025·四川達(dá)州·校考一模）已知函數(shù).(1)若在上有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，證明：.
3.（2024·上海閔行·校考三模）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，給出的定義域，并證明：曲線是軸對(duì)稱圖形；(3)證明：.
4．（2024·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)求在區(qū)間上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
5.（2024·湖北荊門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若恰有1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)．
①求極大值與極小值的和；②判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
6．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
7．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
8.（2024·廣東·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)實(shí)數(shù)，令，正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.
9.（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．
10.（2025·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，．
11．（2024·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍.
12.（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．
13．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
14.（2024·高三·天津西青·期末）已知函數(shù)和．
(1)若曲線數(shù)與在處切線的斜率相等，求的值；
(2)若函數(shù)與有相同的最小值．①求的值；②證明：存在直線，其與兩條曲線與共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
15.（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足：.求證：的前項(xiàng)和滿足.
16.（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）定義運(yùn)算：，已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：．
(3)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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