資源簡介

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專題2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2.1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合運用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 2024年甲卷第8題，5分 2023年甲卷第7題，5分 2023年乙卷第14題，5分 2025年新高考三角函數(shù)考查重點：一是同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，需復(fù)習(xí)三角函數(shù)定義，題型為選擇或填空，難度適中；二是三角恒等變換，注重公式變形、應(yīng)用及最值問題，同樣以選擇或填空形式出現(xiàn)，難度為基礎(chǔ)至中檔；三是三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及恒等變換，組合考查為熱點，題型靈活，既可為基礎(chǔ)或中檔題，也可能成為壓軸題。考生需全面掌握三角函數(shù)相關(guān)知識，靈活運用，以應(yīng)對高考挑戰(zhàn)。
三角恒等變換 2024年I卷第4題，5分 2024年II卷第13題，5分 2024年北京卷第12題，5分 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 2024年I卷第7題，5分 2024年II卷第6、9題，11分 2024年天津卷第7題，5分 2024年北京卷第6題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年甲卷第10題，5分 2023年乙卷第6題，5分 2023年I卷第15題，5分 2023年II卷第16題，5分
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)在高考中占據(jù)重要地位，是考查的重點和熱點。高考對這部分內(nèi)容的考查主要集中在三個方面：
1）三角函數(shù)的圖象方面，這包括圖象的變換問題以及根據(jù)圖象來確定三角函數(shù)的解析式。這類問題通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生對圖象變換和解析式確定的理解和掌握。
2）三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用方面，這涉及利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域以及單調(diào)區(qū)間等問題。這類問題通常以解答題的形式出現(xiàn)，要求學(xué)生能夠靈活運用三角函數(shù)的性質(zhì)來解決問題。
3）三角恒等變換的求值和化簡也是高考命題的熱點之一。這部分內(nèi)容既可以單獨命題，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度相對較低；也可以作為工具，與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合，求解最值、范圍等問題，這時多以解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。
1．（2024新高考Ⅰ卷）當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024新高考Ⅰ卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024新高考Ⅱ卷）設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（多選題）（2024新高考Ⅱ卷）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
5．（2024新高考Ⅱ卷）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
6．（2024全國甲卷（理））已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024全國甲卷（文））函數(shù)在上的最大值是 ．
8．（2024北京卷）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024天津卷）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
10．（2024北京卷）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱.若，則的最大值為 ．
11．（2023新高考Ⅱ卷）已知為銳角，，則　　
A． B． C． D．
12．（2023新高考Ⅰ卷）已知，，則　　
A． B． C． D．
13．（2023全國乙卷）已知函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則　　
A． B． C． D．
14．（2022新高考Ⅱ卷）若，則　　
A． B． C． D．
15．（2023北京卷）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
高頻考點一 齊次化模型
核心知識：
齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：（一次顯型齊次化）
或者（二次隱型齊次化）
這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構(gòu)造成的代數(shù)式，這個思想在圓錐曲線里面關(guān)于斜率問題處理也經(jīng)常用到。
典例1：（2024·陜西安康·三模）已知，則（ ）
A．6 B． C． D．2
變式訓(xùn)練
1.（2024·高三·江西宜春·期末）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2024·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
高頻考點2 輔助角與最值問題
核心知識：
第一類：一次輔助角:=．（其中）
第二類：二次輔助角
典例1：（2024·上海楊浦·高三校考期中）已知函數(shù)，當取得最大值時， .
變式訓(xùn)練：
1.（2024·高三·山東臨沂·期中）已知關(guān)于x的方程有解，則的最小值為 .
2．（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是 ．
高頻考點3 與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題
核心知識：
三角函數(shù)和二次函數(shù)交匯也是一種常見題型，我們將其分為三類，第一類是最簡單的，就是，與之間的二次函數(shù)關(guān)系，第二類則有一點隱藏，就是與之間的關(guān)系，第三類則是與之間的關(guān)系.
三角函數(shù)最值問題，一直是高考中的難點與重點。這類題目常融合三角恒等變換，結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式，求解不易。通常，處理三角函數(shù)最值問題，可采用以下策略：化一簡化法、變量替換法（換元）、主元突出法、圖形與數(shù)值結(jié)合法，以及導(dǎo)數(shù)求極值法。
典例1：（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
典例2：（2025 山東高考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最小值是 ．
變式訓(xùn)練：
1.（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．4
2.（2024·江蘇·高三校聯(lián)考）已知，求的最大值 .
高頻考點4 絕對值與三角函數(shù)綜合模型
核心知識：
關(guān)于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：，
典例1：（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．的最小值為
C． D．在上有解
變式訓(xùn)練：
1．（2024·上海寶山·高三校考開學(xué)考試）已知，給出下述四個結(jié)論:①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);③在上為增函數(shù); ④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
2．（2024·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)；③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；
④若，則函數(shù)在上有4個零點．其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
高頻考點5 三角函數(shù)的綜合性質(zhì)
核心知識：
三角函數(shù)的綜合性質(zhì)解題，關(guān)鍵在于掌握其基本關(guān)系、圖像變換及周期性。解題時，先識別函數(shù)類型，利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合圖像分析性質(zhì)，如單調(diào)性、最值等。最后，靈活運用三角函數(shù)公式求解，注意計算準確性。
典例1：（多選題）（2024·重慶·校考一模）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與原圖象關(guān)于軸對稱，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B．的一個周期是 C．是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞減
變式訓(xùn)練：
1.（多選題）已知函數(shù)，若，且，則函數(shù)的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
2.（多選題）已知函數(shù)，若及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．的圖象關(guān)于點中心對稱 D．的最大值為
高頻考點6 w的取值與范圍問題
核心知識：已知函數(shù)
1、在區(qū)間內(nèi)沒有零
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
3、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
典例1：（2024·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知，記（）．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．3 B． C． D．
變式訓(xùn)練：
1．（2024·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
高頻考點7 換元法配湊角
核心知識：三角函數(shù)“湊角拆角”問題，常規(guī)配湊解法繁瑣。采用換元法，可簡化步驟，快速求解。
典例1：已知，則 .
變式訓(xùn)練：
1.若，則 .
2.設(shè)，若，則的值為 ．
高頻考點8 三倍角公式
核心知識：
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
典例1：若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
變式訓(xùn)練：
1.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用．黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式和二倍角角公式，則t與的關(guān)系式正確的為（ ）
A． B． C． D．
2．已知為銳角，且.則 .
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)，已知函數(shù)在上恰有6個零點，則取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建泉州·二模）若，且與存在且唯一，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知，則m，n的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·廣東茂名·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．0 B．4 C． D．0或4
8．（2024·北京·高三強基計劃）在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2024·福建·一模）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的最大值為2；④的周期為．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
10.關(guān)于函數(shù)，其中有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)； ②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；
③在有3個零點； ④的最小正周期為．其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
11．（2024·北京·高三校考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·湖北·高三校聯(lián)考）已知在上的最小值為，則的解有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
13.（2024·新疆·三模）已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有個零點，則的范圍為（ ）
A． B． C． D．
14.（2024·高三·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
15．（2022·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
16．（多選題）（2024·福建泉州·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在上的最大值為 B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞減
17．（多選題）（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為 B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．方程的解為，
18．（多選題）（2024·湖北襄陽·二模）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖像橫坐標縮短為原來的倍，再向左平移單位，得到函數(shù).則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．為偶函數(shù) B．不等式的解集為
C．在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在的零點為且，則
19．（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．是的一個周期 B．是的一條對稱軸
C．的值域為 D．在上單調(diào)遞減
20.（多選題）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，且對于恒成立，則（ ）
A．函數(shù)為偶函數(shù) B．當時，的值域為
C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可得函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱
21.（多選題）已知函數(shù)（，）圖象的兩條對稱軸間距離的最小值為，且為的一個零點，則（ ）
A．的最小正周期為 B． C．在上單調(diào)遞增
D．當時，曲線與直線的所有交點的橫坐標之和為
22．（多選題）設(shè)函數(shù)的最小正零點為，則（ ）
A．的圖象過定點 B．的最小正周期為
C．是等比數(shù)列 D．的前項和為
23．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（，）的最小正周期為T，，若在內(nèi)恰有10個零點則的取值范圍是 ．
24．（2024·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）若，，則 ．
25．（2024·天津河西·高三校考期末）已知直線的一個方向向量為，傾斜角為，則 ．
26.若函數(shù)在處取得最大值，則 .
27.（2024·高三·江西萍鄉(xiāng)·期中）設(shè)，且，則實數(shù)的取值范圍是 ．
28.已知，則的最大值為 .
29.已知，且，則 .
30．已知，，則 .
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2.1 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合運用
考點分布 考查頻率 命題趨勢
同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 2024年甲卷第8題，5分 2023年甲卷第7題，5分 2023年乙卷第14題，5分 2025年新高考三角函數(shù)考查重點：一是同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，需復(fù)習(xí)三角函數(shù)定義，題型為選擇或填空，難度適中；二是三角恒等變換，注重公式變形、應(yīng)用及最值問題，同樣以選擇或填空形式出現(xiàn)，難度為基礎(chǔ)至中檔；三是三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及恒等變換，組合考查為熱點，題型靈活，既可為基礎(chǔ)或中檔題，也可能成為壓軸題。考生需全面掌握三角函數(shù)相關(guān)知識，靈活運用，以應(yīng)對高考挑戰(zhàn)。
三角恒等變換 2024年I卷第4題，5分 2024年II卷第13題，5分 2024年北京卷第12題，5分 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分
三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 2024年I卷第7題，5分 2024年II卷第6、9題，11分 2024年天津卷第7題，5分 2024年北京卷第6題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年甲卷第10題，5分 2023年乙卷第6題，5分 2023年I卷第15題，5分 2023年II卷第16題，5分
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)在高考中占據(jù)重要地位，是考查的重點和熱點。高考對這部分內(nèi)容的考查主要集中在三個方面：
1）三角函數(shù)的圖象方面，這包括圖象的變換問題以及根據(jù)圖象來確定三角函數(shù)的解析式。這類問題通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生對圖象變換和解析式確定的理解和掌握。
2）三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用方面，這涉及利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域以及單調(diào)區(qū)間等問題。這類問題通常以解答題的形式出現(xiàn)，要求學(xué)生能夠靈活運用三角函數(shù)的性質(zhì)來解決問題。
3）三角恒等變換的求值和化簡也是高考命題的熱點之一。這部分內(nèi)容既可以單獨命題，以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度相對較低；也可以作為工具，與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合，求解最值、范圍等問題，這時多以解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。
1．（2024新高考Ⅰ卷）當時，曲線與的交點個數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，
所以在上函數(shù)有三個周期的圖象， 在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，
如圖所示：
由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C
2．（2024新高考Ⅰ卷）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
而，所以，故即，
從而，故，故選：A.
3．（2024新高考Ⅱ卷）設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，
注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，
若，令，可得
因為，則，當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，
所以符合題意；綜上所述：.
解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，
因為，則為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，
若，則，又因為當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.
4．（多選題）（2024新高考Ⅱ卷）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
【答案】BC
【解析】A選項，令，解得，即為零點，
令，解得，即為零點，顯然零點不同，A選項錯誤；
B選項，顯然，B選項正確；
C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；
D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤. 故選：BC
5．（2024新高考Ⅱ卷）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則 .
【答案】
【解析】法一：由題意得，
因為，，則，，又因為，
則，，則，
則，聯(lián)立 ，解得.
法二： 因為為第一象限角，為第三象限角，則,
，，
則
故答案為：.
6．（2024全國甲卷（理））已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】因為，所以，，
所以，故選：B.
7．（2024全國甲卷（文））函數(shù)在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】，當時，，
當時，即時，.故答案為：2
8．（2024北京卷）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，
則，即，且，所以.故選：B.
9．（2024天津卷）已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，則，所以，
即，當時，，
所以當，即時，故選：D
10．（2024北京卷）在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對稱.若，則的最大值為 ．
【答案】/
【解析】由題意，從而，
因為，所以的取值范圍是，的取值范圍是，
當且僅當，即時，取得最大值，且最大值為.故答案為：.
11．（2023新高考Ⅱ卷）已知為銳角，，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，則，故，
即，為銳角，，．故選：．
12．（2023新高考Ⅰ卷）已知，，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因為，，所以，
所以，則．
故選：．
13．（2023全國乙卷）已知函數(shù)在區(qū)間，單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知，，取，，
又根據(jù)“五點法“可得，，，，
，．故選：．
14．（2022新高考Ⅱ卷）若，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解法一：因為，
所以，即，
所以，所以，
所以，所以，，所以，所以．
解法二：由題意可得，，
即，
所以，故．故選：．
15．（2023北京卷）設(shè)函數(shù)．
(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．
條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）因為
所以，因為，所以.
（2）因為，
所以，所以的最大值為，最小值為.
若選條件①：因為的最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；
若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，
所以,所以,,所以，
又因為，所以，所以，
所以，因為，所以.所以，；
若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．
高頻考點一 齊次化模型
核心知識：
齊次分式：分子分母的正余弦次數(shù)相同，例如：（一次顯型齊次化）
或者（二次隱型齊次化）
這種類型題，分子分母同除以（一次顯型）或者（二次隱型），構(gòu)造成的代數(shù)式，這個思想在圓錐曲線里面關(guān)于斜率問題處理也經(jīng)常用到。
典例1：（2024·陜西安康·三模）已知，則（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】故選：C.
變式訓(xùn)練
1.（2024·高三·江西宜春·期末）已知，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由題意若，則，不符合題意，
所以，
即，解得，故選：D
2．（2024·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，則.
故選：C.
3．（2024·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故選：B
高頻考點2 輔助角與最值問題
核心知識：
第一類：一次輔助角:=．（其中）
第二類：二次輔助角
典例1：（2024·上海楊浦·高三校考期中）已知函數(shù)，當取得最大值時， .
【答案】
【解析】由函數(shù)，其中，
當取得最大值，則，解得，
此時. 故答案為：.
變式訓(xùn)練：
1.（2024·高三·山東臨沂·期中）已知關(guān)于x的方程有解，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由，其中，
則，可得，即，
兩邊平方化簡可得，因此，
由，則，當且僅當時，等號成立. 故答案為：.
2．（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因為，所以，
，
當且僅當時取等，令，，，
所以.
則的范圍是：.故答案為：
高頻考點3 與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題
核心知識：
三角函數(shù)和二次函數(shù)交匯也是一種常見題型，我們將其分為三類，第一類是最簡單的，就是，與之間的二次函數(shù)關(guān)系，第二類則有一點隱藏，就是與之間的關(guān)系，第三類則是與之間的關(guān)系.
三角函數(shù)最值問題，一直是高考中的難點與重點。這類題目常融合三角恒等變換，結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式，求解不易。通常，處理三角函數(shù)最值問題，可采用以下策略：化一簡化法、變量替換法（換元）、主元突出法、圖形與數(shù)值結(jié)合法，以及導(dǎo)數(shù)求極值法。
典例1：（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，函數(shù)，
令，則，當，即時，，
所以函數(shù)的最小值是. 故選：D
典例2：（2025 山東高考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】導(dǎo)數(shù)法
．
令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
則．故答案為：.
［方法二］： 三元基本不等式的應(yīng)用
因為，
所以
．
當且僅當，即時，取等號．
根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是，此時．故答案為：.
［方法三］： 升冪公式＋多元基本不等式
，，
當且僅當，即時，．
根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是．故答案為：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放縮
，
當且僅當時等號成立．故答案為：.
［方法五］：萬能公式＋換元+導(dǎo)數(shù)求最值
設(shè)，則可化為，
當時，；當時，，對分母求導(dǎo)后易知，
當時，有最小值．故答案為：.
［方法六］： 配方法
，
當且僅當即時，取最小值．故答案為：.
［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應(yīng)用＋導(dǎo)數(shù)法
因為，所以，
即函數(shù)的一個周期為，因此時，的最小值即為函數(shù)的最小值．
當時，，
當時， 因為
，令，解得或，由，，，所以的最小值為．故答案為：.
變式訓(xùn)練：
1.（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，
則原函數(shù)可化為，，所以當時，函數(shù)取最大值.故選：C.
2.（2024·江蘇·高三校聯(lián)考）已知，求的最大值 .
【答案】
【解析】∵，且，
∴，即，
所以，設(shè)，
由.故的最大值為.故答案為：
高頻考點4 絕對值與三角函數(shù)綜合模型
核心知識：
關(guān)于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：，
典例1：（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．的最小值為
C． D．在上有解
【答案】D
【解析】，是以為周期的函數(shù)，
當時，，則，
，∴函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小值為1，故AB錯誤，
由，故C錯誤；
由，∴在上有解，故D正確.故選：D.
變式訓(xùn)練：
1．（2024·上海寶山·高三校考開學(xué)考試）已知，給出下述四個結(jié)論:①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);③在上為增函數(shù); ④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】對于①，易得的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為
，所以是偶函數(shù)，故正確；
對于②和③，因為，
，
且，所以在不是減函數(shù)，在也不是增函數(shù)，故②，③錯誤；
對于④，當時，，
因為，所以，
所以，所以；
當時，
因為，所以，所以；
當時，；
當時
因為，所以，所以，
所以，綜上所述，當時，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當時，的最大值也為，故的最大值為，故④正確；故選：D
2．（2024·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)；③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；
④若，則函數(shù)在上有4個零點．其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】由，可知為偶函數(shù)，①對.
由，得關(guān)于對稱；
由，得的周期為；當時，
其中且；作出在上的圖象，并根據(jù)的對稱性及周期性作出的大致圖象.
由圖可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上不單調(diào)，②錯；
的最大值，最小值，故，③錯；
若，則在上有4個零點，④對，故選：A.
高頻考點5 三角函數(shù)的綜合性質(zhì)
核心知識：
三角函數(shù)的綜合性質(zhì)解題，關(guān)鍵在于掌握其基本關(guān)系、圖像變換及周期性。解題時，先識別函數(shù)類型，利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合圖像分析性質(zhì)，如單調(diào)性、最值等。最后，靈活運用三角函數(shù)公式求解，注意計算準確性。
典例1：（多選題）（2024·重慶·校考一模）函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與原圖象關(guān)于軸對稱，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B．的一個周期是 C．是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【解析】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，
由題意可得，即，
故，故，由于，故,故，
對于A，，A正確；
對于B，，即的一個周期是，B正確；
對于C，，
不妨取，此時，此時函數(shù)不是偶函數(shù)，即不是偶函數(shù)，C錯誤；
對于D，當時，，，
由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，D正確，故選：ABD
變式訓(xùn)練：
1.（多選題）已知函數(shù)，若，且，則函數(shù)的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】的解析式經(jīng)過輔助角公式變換可轉(zhuǎn)化為正弦型，因為，
所以當時函數(shù)取得最小值，即直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，
又，所以，根據(jù)圖象的對稱性得到，
即，所以，
所以．
所以，解得，
則的最小正周期，，
當時，；當時，．驗證得AD不符合題意，故選：BC．
2.（多選題）已知函數(shù)，若及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．的圖象關(guān)于點中心對稱 D．的最大值為
【答案】AB
【解析】因為，所以，根據(jù)圖象可知，當時，，所以單調(diào)遞增，故，從而．又，所以，由得，
故，．
選項A：的最小正周期為，故，A正確．
選項B：令，解得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B正確．
選項C：由于，，
故的圖象不關(guān)于點中心對稱，故C錯誤．
選項D：，
其中為銳角，且，（輔助角公式的應(yīng)用）,所以的最大值為，D錯誤．故選：AB
高頻考點6 w的取值與范圍問題
核心知識：已知函數(shù)
1、在區(qū)間內(nèi)沒有零
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
3、在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5、已知單調(diào)區(qū)間，則.
典例1：（2024·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知，記（）．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
則或，
由，解得，
而，故需滿足，即，此時不存在；
由，解得，
則需滿足，即，即，故，即，故選：C
變式訓(xùn)練：
1．（2024·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當時，因為，則，
因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，
當時，，
因為函數(shù)在上單調(diào)，則，
所以 其中，解得，所以，解得，
又因為，則．所以，．因此的取值范圍是．故選：D．
2．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，當時，因為，則，
因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，
當時，，
因為函數(shù)在上單調(diào)，則，
所以 其中，解得，所以，解得，
又因為，則．當時，；當時，；
當時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：B．
高頻考點7 換元法配湊角
核心知識：三角函數(shù)“湊角拆角”問題，常規(guī)配湊解法繁瑣。采用換元法，可簡化步驟，快速求解。
典例1：已知，則 .
【答案】
【解析】所以.故答案為：.
變式訓(xùn)練：
1.若，則 .
【答案】/0.5
【解析】由得：，
所以
化簡得到：，
所以；所以.故答案為：.
2.設(shè)，若，則的值為 ．
【答案】
【解析】，若，，，
，，
．
故答案為：.
高頻考點8 三倍角公式
核心知識：
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
典例1：若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為，所以原不等式可變形為
令，則，
.當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以.又，所以. 故答案為：．
變式訓(xùn)練：
1.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用．黃金分割比，現(xiàn)給出三倍角公式和二倍角角公式，則t與的關(guān)系式正確的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，即，令，
則，，，即，
因為，所以，即，整理得，
解得，因為，所以，故．故選：B
2．已知為銳角，且.則 .
【答案】
【解析】由題設(shè)及三倍角的余弦公式，得，即.
故.故答案為:
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)，已知函數(shù)在上恰有6個零點，則取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可知，令，
即或，即或，
當時，零點從小到大依次為，
因此有，即．故選：B．
2．（2024·湖北荊州·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由，可得，可得
則，
因為，所以與異號，可得為第二或第四象限，
當為第二象限角時，可得；當為第四象限角時，可得.故選：C.
3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，所以，因為，所以，
因為，所以，
因為，則．故選：B．
4．（2024·福建泉州·二模）若，且與存在且唯一，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【詳解】，由，得，即，
所以，有，
所以，，
所以，
因為，所以，因為滿足條件的與存在且唯一，所以唯一，
若，有兩解，其中一解中有鈍角，此情況不存在.
所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，
因為，所以，所以，
則，解得，
所以．故選：B．
5．（2024·河北衡水·三模）已知，則m，n的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】依題意，，，
則，
即，即.故選：D
6．（2024·廣東茂名·一模）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由，得，則，
所以.故選：D
7．（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A．0 B．4 C． D．0或4
【答案】D
【解析】由，可得，
整理得或.故選：D.
8．（2024·北京·高三強基計劃）在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，令所求代數(shù)式為M，則，
等號當，且，即時取得．因此所求代數(shù)式的最大值為2．故選：C
9．（2024·福建·一模）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的最大值為2；④的周期為．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】對①，根據(jù)偶函數(shù)的定義可判斷；對②，去絕對值并利用導(dǎo)數(shù)判斷；對③，直接根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷；對④，利用排除法可排除選項.對①，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且，為偶函數(shù)，故①正確；
對②，當時，，則，在不恒成立，在區(qū)間上是增函數(shù)錯誤，故②錯誤；
對③，若的最大值為2，則，顯然不可能同時取到，故③錯誤；
利用排除法，可選排除選項ACD.故選：B.
10.關(guān)于函數(shù)，其中有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)； ②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；
③在有3個零點； ④的最小正周期為．其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】的定義域為，
，所以是偶函數(shù)，①正確.
當時，是嚴格增函數(shù)，②正確.
當時，，所以在有無數(shù)個零點，則③錯誤.
，
所以不是的最小正周期，④錯誤. 綜上所述，正確的為①②.故選：A
11．（2024·北京·高三校考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)在上恰有4個不同的零點，
則方程在上恰有4個不同的解，即方程在上恰有4個不同的解，
所以函數(shù)與函數(shù)在上恰有4個不同的交點，
因為函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
函數(shù)是由函數(shù)圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮?br/>作出兩個函數(shù)圖象，如圖：
要使函數(shù)與函數(shù)在上恰有4個不同的交點，
由圖知：的周期滿足，所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B
12．（2024·湖北·高三校聯(lián)考）已知在上的最小值為，則的解有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】當時，，而，顯然不滿足題意；
當時，因為，所以，
要使在上的最小值為，則有，所以，
此時在處取得最小值，即，
令，
因為，所以在上單調(diào)遞減，
又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又因為，由函數(shù)零點存在性定理可知，此時函數(shù)有唯一的零點，
也即當，函數(shù)在上的最小值為時，則的解只有一個；
當時，因為，所以，
要使在上的最小值為，則有，解得，
當時，則，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知，
函數(shù)在上的最小值為，解得，滿足題意；
當時，則，此時在處取得最小值，即，從而將問題轉(zhuǎn)化為與的圖像有多少個交點，
因為，所以在上單調(diào)遞增，
又，，
則與的大致圖像如下，
所以與的圖像有唯一交點，
即當，函數(shù)在上的最小值為時，則的解只有一個；
綜上可知，的解有3個，故選：C.
13.（2024·新疆·三模）已知，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有個零點，則的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵在區(qū)間上有且只有個零點，
∴令，當時，，
∴在區(qū)間上有且只有個零點，即在區(qū)間上有且只有個零點，
又∵的零點（即對稱中心的橫坐標）為，，
∴當時，，當時，，
當時，，當時，，
當時，，∴，解得.故選：D.
14.（2024·高三·福建廈門·期中）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【解析】因直線是一條對稱軸，所以，.
整理可得：，即，. 由，得.
則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因為函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以.
解得.因為，且，所以的最小值為11.故選：C.
15．（2022·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：依題意可得，因為，所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．故選：C．
16．（多選題）（2024·福建泉州·二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．在上的最大值為 B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞減
【答案】BD
【詳解】
,
對于A，，所以，所以，則在上的值域為，函數(shù)的最大值為，故A錯誤；
對于B，設(shè)，則，所以為偶函數(shù)，故B正確；
對于C，設(shè)，則，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；
對于D，，，令，設(shè)，則時，單調(diào)遞減，所以原函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：BD
17．（多選題）（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為 B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．方程的解為，
【答案】ABD
【詳解】對于A，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；
對于B，由，所以，
因為，則，則，
因為，則，所以，故B正確；
對于C，，由，得，
而，即時，沒有意義，故C錯誤；
對于D，，則，方程，得，
即，即，
所以或，因為，，
所以或，解得或，故D正確.故選：ABD.
18．（多選題）（2024·湖北襄陽·二模）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖像橫坐標縮短為原來的倍，再向左平移單位，得到函數(shù).則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．為偶函數(shù) B．不等式的解集為
C．在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在的零點為且，則
【答案】BD
【詳解】，
，為奇函數(shù)，A選項錯誤；
函數(shù)的圖像橫坐標縮短為原來的倍，得函數(shù)的圖像，
再向左平移單位，得到函數(shù)的圖像，
若，即，
則有，解得，B選項正確；
時，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，C選項錯誤；
時，有，函數(shù)在的零點為，
則有，，，所以，D選項正確.故選：BD
19．（多選題）已知函數(shù)，則（ ）
A．是的一個周期 B．是的一條對稱軸
C．的值域為 D．在上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】，
圖像如圖所示：
由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為，故選項A錯誤，不符合題意；
是的一條對稱軸，故選項B正確，符合題意；的值域為，故選項C正確，符合題意；
在上單調(diào)遞減，選項D正確，符合題意；故選：BCD.
20.（多選題）已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，且對于恒成立，則（ ）
A．函數(shù)為偶函數(shù) B．當時，的值域為
C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后可得函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱
【答案】ACD
【解析】由題意的最小正周期為，得：，
對于恒成立，則，
圖象關(guān)于直線對稱，代入，得到，
由于，取，則，
所以為偶函數(shù)，
當時，，所以，所以的值域為，故B錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象.
因為當時，，所以得到的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確.
故選：ACD.
21.（多選題）已知函數(shù)（，）圖象的兩條對稱軸間距離的最小值為，且為的一個零點，則（ ）
A．的最小正周期為 B． C．在上單調(diào)遞增
D．當時，曲線與直線的所有交點的橫坐標之和為
【答案】AB
【解析】對于A，因圖象的兩條對稱軸間距離的最小值為，則的最小正周期為，故A正確；對于B，由A分析可得，，因為的一個零點，
則，因，取，則.
得，故B正確；
對于C，，因在上不單調(diào)，故C錯誤；
對于D，由AB分析可畫出在上的圖象如圖所示，則與有4個交點，設(shè)其橫坐標從左到右依次為，，，，令，，得，，
所以函數(shù)的對稱軸方程為，，當時，，當時，，
數(shù)形結(jié)合可知，故D錯誤．故選：AB．
22．（多選題）設(shè)函數(shù)的最小正零點為，則（ ）
A．的圖象過定點 B．的最小正周期為
C．是等比數(shù)列 D．的前項和為
【答案】AC
【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，的最小正周期為，故B錯誤；
對于C，令，得，所以，
整理得，即的零點為，
而是的最小正零點，則，，顯然，，，
所以是，的等比數(shù)列，故C正確；對于D，的前項和為，故D錯誤.故選：AC.
23．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（，）的最小正周期為T，，若在內(nèi)恰有10個零點則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】函數(shù)（，）的周期為，又，所以，
所以，即，
因為，所以，解得，所以，因為，所以，
要使在內(nèi)恰有10個零點，則.所以的取值范圍是.故答案為：.
24．（2024·江蘇徐州·高三校考階段練習(xí)）若，，則 ．
【答案】
【解析】因為，所以
因為，所以，即，
因為，所以，
所以，解得，故答案為：.
25．（2024·天津河西·高三校考期末）已知直線的一個方向向量為，傾斜角為，則 ．
【答案】-1
【解析】因為直線的一個方向向量為，所以，所以，
所以
．故答案為：．
26.若函數(shù)在處取得最大值，則 .
【答案】
【解析】因為，設(shè)，，
則，，當，時，
即當，函數(shù)取最大值，最大值為，所以，
所以.故答案為：.
27.（2024·高三·江西萍鄉(xiāng)·期中）設(shè)，且，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】，
令，則，且，
所以，
因為是上的減函數(shù)，所以，
即．故答案為：
28.已知，則的最大值為
【答案】
【解析】，設(shè)，，
，其中，
可知當時，.故答案為：
29.已知，且，則 .
【答案】
【解析】由于，，故.
而，故.
所以. 故答案為：
30．已知，，則 .
【答案】/
【解析】由可得，則，
因為，所以，
則.
故答案為：
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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