資源簡介

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專題2 三角函數的圖象與性質
2.2 解三角形問題和最值問題（正余弦定理）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
正弦定理 2024年II卷第15題，13分 2024年北京卷第16題，13分 2023年北京卷第7題，4分 2023年乙卷第4題，5分 2022年II卷第18題，12分 預測2025年高考仍將重點考查已知三角形邊角關系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面圖形的邊、角與面積，題型既有選擇也有填空更多是解答題，若考解答題，主要放在前兩題位置，為中檔題，若為選題可以為基礎題，多為中檔題，也可為壓軸題。
余弦定理 2024年I卷第15題，13分 2024年甲卷第11題，5分 2022年乙卷第17題，12分
三角形的幾何計算 2023年甲卷第16題，5分 2023年II卷第17題，10分 2022年天津卷第16題，15分
范圍與最值問題 2022年上海卷第19題，14分 2022年甲卷第16題，5分 2022年I卷第18題，12分
解三角形是每年高考常考內容，在選擇、填空題中考查較多，有時會出現在選擇題、填空題的壓軸小題位置，綜合考查以解答題為主，中等難度．
1．（2024新高考II卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．(2)若，，求的周長．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規方法還可利用同角三角函數的關系解方程組，亦可利用導數，向量數量積公式，萬能公式解決；
（2）先根據正弦定理邊角互化算出，然后根據正弦定理算出即可得出周長.
【詳解】（1）方法一：常規方法（輔助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常規方法（同角三角函數的基本關系）
由，又，消去得到：
，解得，又，故
方法三：利用極值點求解
設，則，
顯然時，，注意到，
，在開區間上取到最大值，于是必定是極值點，
即，即，又，故
方法四：利用向量數量積公式（柯西不等式）
設，由題意，，
根據向量的數量積公式，，
則，此時，即同向共線，
根據向量共線條件，，又，故
方法五：利用萬能公式求解
設，根據萬能公式，，
整理可得，，
解得，根據二倍角公式，，又，故
（2）由題設條件和正弦定理，
又，則，進而，得到，
于是，，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周長為
2．（2024新高考I卷）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；(2)若的面積為，求c．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，因為，所以，
從而，
又因為，即，注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為，
由已知的面積為，可得，所以.
3．（2024天津卷）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）設，，則根據余弦定理得，
即，解得（負舍）；則.
（2）法一：因為為三角形內角，所以，
再根據正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，因為，則
（3）法一：因為，且，所以，
由（2）法一知，因為，則，所以，
則，
.
法二：，則，
因為為三角形內角，所以，
所以
4．（2024北京卷）在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.
【詳解】（1）由題意得，因為為鈍角，
則，則，則，解得，因為為鈍角，則.
（2）選擇①，則，因為，則為銳角，則，
此時，不合題意，舍棄；
選擇②，因為為三角形內角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
因為為三角形內角，則，
則，
則
5．（2023全國甲卷（文））記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；(2)若，求面積．
【解析】（1）因為，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
6．（2023年全國乙卷（理））在中，已知，，.
(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
【解析】（1）由余弦定理可得：，
則，，.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
7．（2023新高考Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．
【解析】（1），，即，
又，，
，，即，所以，.
（2）由（1）知，，由，
由正弦定理，，可得，
，.
8．（2022新高考II卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；(2)若，求b．
【解析】（1）由題意，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，
則，.
9．（2022全國乙卷（文））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據余弦定理可知，
，化簡得：，故原等式成立．
10．（2022新高考I卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．
【解析】（1）因為，即，而，所以；
（2）由（1）知，，所以，而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
11．（2024全國甲卷（理））在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，則由正弦定理得.
由余弦定理可得:，即:，
根據正弦定理得，所以，
因為為三角形內角，則，則.故選：C.
12．（2023年北京高考數學真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，
又，所以.故選：B.
13．（2023全國乙卷（文））在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，則.故選：C.
14．（2023全國甲卷（理））在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
【答案】
【解析】如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由可得，，
解得：．故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．故答案為：．
15．（2022年全國甲卷（理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
【答案】/
【解析】[方法一]：余弦定理
設，則在中，，
在中，，
所以，
當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，
，，令，則，
，，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則 在中，，
在中，，
所以，記，則
由方程有解得：即，解得：
所以，此時所以當取最小值時，，即.
高頻考點一 倍長定比分線模型
核心知識：
如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接，易知∥，且，．．
典例1：（2024北京高考模擬預測）在① ，② ，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在中，內角的對邊分別為，且滿足____．(1)求；(2)若的面積為在邊上，且 ， ，求的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．
【解析】（1）方案一：選條件①.
由，可得 ，由正弦定理得 ，
因為 ，所以 ，
所以 ，故 ，
又 ，于是 ，即 ，因為 ，所以
方案二：選條件②．
，由正弦定理得 ，即 ， ，
由余弦定理得 又 ，所以
（2）由題意知 ，得．① ，即 ②
聯立①②解得 而 ，
由余弦定理得
，故 即的值為
變式訓練
1．（2024·河南安陽·高三統考期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且AB邊上的中線，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由，得，
如圖，作出平行四邊形ACBE，則與的面積相等.在中，，，則，∴.
又，∴，∴，
故面積的最大值為.故選：A
2．（2024·湖南長沙·高三寧鄉一中校考期中）設a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．(1)求AD的長度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．
【解析】（1）依據題意，由可得
，則，，
，，解得，
，解得AD為
（2）G為的重心，，，
，，，， ，
高頻考點2 倍角定理與正弦平方差
核心知識：
，這樣的三角形稱為“倍角三角形”。
推論1：。
推論2：。
正弦平方差：。
典例1：（2024·四川綿陽·校考一模）在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．(1)證明：；(2)求的取值范圍．
【解析】（1）∵，由正弦定理，得，
即，∴，
∴或（舍），即，
∴，∴．
（2）由銳角△ABC，可得，，．即， ∴．
∵． 令，，
因為在上單調遞增，所以當，
當，∴．
變式訓練：
1．（2024·湖南·高三校聯考期末）記的內角的對邊分別為，已知，且.(1)證明：；(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.
【解析】（1）證明：依題意知，
故，即，
由余弦定理得，
代入可得，
因為，所以，即；
（2）由題意為銳角三角形，且，由（1）知，則，
由正弦定理得，
，其中為銳角，所以，
因為，則，解得，
則，則，即，因此.
2．（2024·河南·高三校聯考階段練習）從①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并解答問題．
在銳角中，角所對的邊分別為，且________．
(1)證明：；(2)求的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）選擇①：由及余弦定理可得
；即，
又，所以，
即，可得．
又易知，可得，所以或，
即或（舍），故．
選擇②：由及，得，則由正弦定理得，
又，，
即，所以．
又，可得，所以，故．
選擇③：由可得，
即，所以．
又，可得，所以，故．
（2）令，由（1）可知，可得．
由銳角可得，即，解得，
所以．令，根據對勾函數的性質知在上單調遞增，
可得，即的取值范圍是．
高頻考點3 角平分線模型與張角定理
核心知識：
角平分線張角定理：如圖，為平分線，。
斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積一下積。
典例1：（2024·山東德州·校聯考模擬預測）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且。(1)求C；(2)若△ABC的三條角平分線相交于點O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．
【解析】（1）由及，有，
又由正弦定理，有，
有，有，有，又由，可得；
（2）由，有，可得，
在△OAB中，由△OAB的面積為，有，可得，
又由余弦定理及AB＝7，有，有，
代入，有AO＋BO＝8，
聯立解得或由對稱性不妨設
在△OAB中，有，可得，
又由OA為角A的角平分線，有，
在△OAC中，由正弦定理有，有，可得．
變式訓練：
1．（2024·貴州貴陽·高三校考階段練習）在中，內角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)邊上存在點，使為的角平分線，若，求的周長.
【解析】（1）因為在中，，
所以，所以由正弦定理得，
即，由余弦定理得，因為，所以.
（2）因為，且
所以，由余弦定理得：，
整理得，解得或（舍去），
所以，所以的周長為.
2．（2024·福建福州·高三校聯考期中）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設.(1)求A；(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.
【解析】（1），
即：，由正弦定理可得：，
所以，又因為，所以.
（2）為的角平分線，.
由，得，
又，所以，故，所以，
當且僅當，即時，的最小值為9.
高頻考點4 隱圓問題
核心知識：若三角形中出現，且為定值，則點C位于阿波羅尼斯圓上．
典例1：（2024·四川眉山·三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數學家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內到兩定點的距離的比值為常數的動點的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，設的外接圓半徑為，
則，
以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：
則、，設點，由，可得，
化簡可得，所以，的邊上的高的最大值為，因此，.故選：A.
變式訓練：
1.在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D為坐標原點，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標系，則,因為，，所以由平面幾何知識得A點軌跡為圓弧（因為為平面四邊形，所以取圖中第四象限部分的圓弧），設圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對角線的最大值為
2．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）在中，，則的面積最大值為 ．
【答案】3
【解析】因為，所以由正弦定理得，即，
以線段所在直線為x軸，以的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，則，
由得，因為，所以整理得，
由此可知點C的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
所以當點C在圓上運動時，點C到x軸的最大距離為半徑，
所以的面積在上單調遞減，所以．
故答案為：.
高頻考點5 正切比值與和差問題
核心知識：
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
典例1：（2024·河南安陽·高三統考階段練習）在中，角所對的邊分別為，若，且，則 ．
【答案】
【解析】中，，，，
由正弦定理有，，由，得，
有，即，，得，
由，可得，
即，代入，
得，∴，由余弦定理，
，得，故答案為：
變式訓練：
1.在△ABC中，且，則△ABC面積的最大值為 ．
【答案】6
【解析】因為，故，
又，所以，
，故，所以，故同號，因 ，故．設邊上的高為，則，
由基本不等式有，當且僅當時等號成立，所以即面積的最大值為，當且僅當時取最大值，綜上，填．
2.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則 ，的最小值為 .
【答案】 2 /
【解析】∵，∴，∴，.
又，∴
∴
又∵在銳角ΔABC中，∴，
當且僅當時取等號，檢驗可取，∴，故答案為：2，
3.（2024·湖北·統考一模）銳角中，角A所對的邊為，的面積，給出以下結論：①；②；③；
④有最小值8.其中結論正確的是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】分析：由三角形的面積公式得，結合正弦定理證得①正確；把①中的用表示，化弦為切證得②正確；由，展開兩角和的正切證得③正確；由，結合②轉化為關于的代數式，換元即可求得最值，證得④正確.
由，得，又，得，故①正確；
由，得，
兩邊同時除以，可得，故②正確；
由且，
所以，整理移項得，故③正確；
由，，且都是正數，
得，
設，則，，
當且僅當，即時取“=”，此時，，
所以的最小值是，故④正確，故選D.
高頻考點6 四邊形定值和最值與托勒密定理
核心知識：
正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內接的四邊形，尤其是擁有對角互補的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四邊形中，有，當且僅當四邊形ABCD四點共圓時，等號成立．
典例1：（2024·廣東廣州·高三校考階段練習）廣州市從化區政府擬在云嶺湖建一個旅游觀光項目，設計方案如下：如圖所示的圓O是圓形湖的邊界，沿線段AB，BC，CD，DA建一個觀景長廊，其中A，B，C，D是觀景長廊的四個出入口且都在圓O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P處和湖邊D處各建一個觀景亭，且它們關于直線AC對稱，在湖面建一條觀景橋APC．觀景亭的大小、觀景長廊、觀景橋的寬度均忽略不計，設．
(1)當時，求三角形區域ADC內的湖面面積的最大值；(2)若CD=8百米且規劃建亭點P在三角形ABC區域內（不包括邊界），試判斷四邊形ABCP內湖面面積是否有最大值？若有，求出最大值，并寫出此時的值；若沒有，請說明理由．
【解析】（1）∵，∴在中，
令AD=x，CD=y， 在中，∴，
∵，∴（當且僅當x=y時，取等號）
∵，∴（平方百米）
所以三角形區域ADC內的湖面面積最大值平方百米．
（2）∵點P和點D關于直線AC對稱，∴，PC=CD=8
由（1）知，∴
∵，∴∵點P在區域內 ∴，∴，
∵在中， 在中，
∴ 解得或（舍去），
∵，∴四邊形ABCP內的湖面面積有最大值，
所以當時，四邊形ABCP內的湖面面積取到最大值，最大值為32平方百米
變式訓練：
1.如圖．在平面四邊形中，．設，證明：為定值．
【解析】證明：設，則．
在中，因為，，所以．
在中，由余弦定理，即，
則，即，故為定值．
2．克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接AC，BD．由，及正弦定理，得，
解得，．在中，，，，所以．
因為四邊形ABCD內接于半徑為的圓，它的對角互補，所以，
所以,所以，所以四邊形ABCD的周長為．故選：A．
3．（2023·湖北·武漢市第三中學校聯考一模）已知中，角，，所對的邊分別為，，，滿足.(1)求的大小；(2)如圖，，在直線的右側取點，使得，求為何值時，四邊形面積的最大，并求出該最大值．

【解析】（1）由題意，，
由正弦定理得
即
又因為中，，所以，
又因為，所以，即．又，故.
（2）由（1）知，，因為，所以為等邊三角形，
在中，由余弦定理得，，
而，
，所以四邊形的面積為
，
因為，，當，即時，取得最大值，為，
故四邊形面積的最大值為．
高頻考點7 邊角特殊，構建坐標系
核心知識：利用坐標法求出軌跡方程
典例1：（2024·山東聊城·校考三模）在中，，點在邊上，且，若，則長度的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】如圖，以點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，
設，因為，則 ，所以，即，
所以點軌跡是一個圓，圓心，半徑，，，，
求長度的最大值即為求長度的最大值, 在中，由正弦定理，
則，當時，即與圓相切時，，
則長度的最大值為4，長度的最大值為5.故選：C.
變式訓練：
1.已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在中，在中，
故，，因為，故，
又角的平分線交于點，則，故.故.
以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，
故，，設，則，
即，故，
化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當縱坐標最大，即時面積取最大值為.故選：C
2．（2024·江蘇南京·統考一模）在△ABC中，角所對的邊分別為．若，則△ABC的面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】方法1：在△ABC中，以線段所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，，設，因為，所以.
得，整理得，即是如圖1所示的圓上的動點.
如圖2，當點C在y軸上時，即時，△ABC面積最大，
故，當時，即時，△ABC面積取得最大值為.
方法2：如圖3，CD是△ABC邊AB上的高，設，，，由，得，即，又，得當且僅當時取等號)，所以，
又，
當且僅當時，等號成立，即，
將與代入中，得. 所以△ABC面積的最大值為.
方法3:由三角形面積公式，得，即，
由，得，由余弦定理，得，
所以
(當且僅當時取等號)，
當時，即時，取得最大值，即，所以△ABC面積的最大值為.
(也可以用基本不等式求的最大值，即，
當時，即時取等號，所以△ABC面積的最大值為.)
方法4：在△ABC中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，
0
極大值
即當時，，，所以△ABC面積的最大值為.
高頻考點8 利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題
核心知識：
與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．
典例1：（2024·高三·河北滄州·期中）記的內角，，所對的邊分別為，，，已知．(1)求A；(2)若的面積為，，求的周長．
【解析】（1）由正弦定理及，可得
，因，則，
則，結合，則；
（2）因的面積為，則，
則，由正弦定理及，
則，則.
由余弦定理，，
則，則三角形周長為.
變式訓練：
1．（2024·四川·高三校聯考階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的周長.
【解析】（1）因為，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
即，所以，
又，所以，所以，又，所以.
（2）由，又，所以，所以，
由余弦定理得，所以，所以，
所以，所以，所以，
即的周長為.
2.（2024·眉山·一模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，且.(1)求；(2)若的外接圓半徑為，周長為，且，求.
【解析】（1）因為，
故，所以.
因為，所以，又，所以.
（2）由正弦定理可知，，，
因為，所以，所以.
所以.
又，所以，所以，故.
高頻考點9 三角形中的幾何計算
核心知識：解決三角形中幾何計算的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化。
典例1：（2024·江蘇揚州·模擬預測）如圖，四邊形中，已知，．
(1)若的面積為，求的周長；(2)若，，，求的值．
【解析】（1）在中，，
因為，所以，由，得，
∴，即，
∴，即的周長為；
（2）設，則，又，所以，，
在中，由，得，
在中，由，得，∴，即，
即，，
即，即，∴，
∵，∴，∴，解得，即的值為.
變式訓練：
1.（2024·高三·安徽·期中）如圖，在平面四邊形中，與的交點為E，平分，，．(1)證明：；(2)若，求．
【解析】（1）如圖，由題意知，則，
由余弦定理得，
即，整理得，因為，所以．
（2）因為，所以，因為，所以，所以．
又因為，，所以四邊形是等腰梯形，所以．
設，則，解得．．
在中，由正弦定理可得，
又因為，所以．
2．在中，.(1)求角B的大小；(2)若E為的中點，F是邊上的點，且滿足，，求的值.
【解析】（1）由，得，即，
所以，又，所以，所以，所以；
（2）由及正弦定理可得：，
又，所以，如圖以點為原點建立平面直角坐標系，
設，則，則，所以，設，則，
因為，所以，解得，所以.
高頻考點10 中線長定理與余弦和為0
核心知識：
中線長定理：若分別為的中線，則有：
余弦和為0：在中，點為線段上一點，則有：
即．
典例1：（2024·山東濰坊·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，．
(1)求角；(2)是邊上的點，若，，求的值．
【解析】（1）由得：，
由正弦定理得：，
，又，，；
有意義，，，即，又，.
（2），，設，則，
在中，由正弦定理得：，即；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，
即，又，.
變式訓練：
1.（2024·高三·江蘇揚州·期中）在中，，且邊上的中線長為1.
(1)若，求的面積；(2)若，求的長.
【解析】（1）由題可知，由勾股定理得，，所以是直角三角形，
又，所以，又邊上中線，所以，，，
所以.
（2）方法一：由題可知，
設，則，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，則，①
在和中，由余弦定理得
所以，②
在中，由余弦定理得，
即，即，③將代入得，④
由①④得，即，即，
即，即，
因為，所以，則，所以.故的長為2.
方法二：作的角平分線，交與，設，則，
在和中，由正弦定理可得，
又，所以，所以.
由題可知，所以，
在和中，，所以，所以，
則，即，即，所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，則，解得.故的長為2.
方法三：延長到，使，連接，由題可知，
設，則，在和中，，
所以，所以，則，所以，
即，即，所以（舍）或.
在和中，由余弦定理得
所以，則，解得.故的長為2.
2.（2024·廣東·模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.
【解析】（1）由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
，即，.
（2）由余弦定理得：，則.
由正弦定理得所以，
因為是銳角三角形，所以，即，
則.中線長的取值范圍是.
高頻考點11 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍
核心知識：
對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．
典例1：（2024·浙江·模擬預測）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求c的值以及的面積；
(2)若，求的值以及的取值范圍．
【解析】（1）由，可得，
因為，所以，所以，可得，
由余弦定理得，
所以的面積．
（2）因為，所以，
解得，
在中，由正弦定理得，則，
因為，故，所以，
即的取值范圍為.
變式訓練：
1．（2024·重慶·高三重慶市萬州沙河中學校聯考階段練習）在銳角中，內角的對邊分別為，已知.(1)求A;(2)求的取值范圍.
【解析】（1）因為，由正弦定理可得，
因為為銳角三角形，可知，則，所以，且，所以.
（2）因為，可知，即，且為銳角三角形，則，解得，
又因為
，
由，可知，則，
所以.
2．（2024·重慶·模擬預測）已知為銳角三角形，其內角A，B，C所對的邊分別為，，，.
(1)求的取值范圍；(2)若，求周長的取值范圍.
【解析】（1）因為為銳角三角形，所以，，.
又因為，所以，
由正弦定理得，
因為為銳角三角形，所以，即，解得，
所以，即，所以的取值范圍為.
（2）因為，由（1）知，，由正弦定理，得
，
故的周長，令，由（1）知，則，
因為函數在上單調遞增，
所以周長的取值范圍為.
1．（2024·四川眉山·校考三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數學家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內到兩定點的距離的比值為常數的動點的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，設的外接圓半徑為，
則，
以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：
則、，設點，由，可得，
化簡可得，所以，的邊上的高的最大值為，因此，.選：A.
2．（2024·山東日照·高三校聯考期末）已知的三個內角A，B，C滿足，則（ ）
A．是銳角三角形 B．角的最大值為
C．角的最大值為 D．
【答案】D
【解析】由得，則，所以是鈍角三角形，故A不正確；
由得，則，整理得，
所以，當且僅當等號成立，∴，故B不正確；
由得，化簡可得，則，因為為鈍角，所以為銳角，取，得，，
符合題意，即可以取大于的值，故C錯誤；
由得，，，所以，即，結合正弦定理可得，故D正確.故選：D.
3．（多選題）（2024·湖北咸寧·高三統考期末）的內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A． B． C．的面積為 D．的周長為
【答案】BC
【解析】因為 ，，所以 ，由正弦定理知 ，
化簡得，所以 A，
因為，所以 ，所以 又因為，所以，故B正確；
由 ，得 ，即 ，
所以 ，由正弦定理可得，即故A錯誤；
故的面積為： ，故C正確；
由余弦定理知 ，
所以，，故的周長為，故D錯誤；故選：BC.
4．（2024·福建·高三統考階段練習）波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現有，，則當的面積最大時，AC邊上的高為 .
【答案】
【解析】，,即．根據阿波羅尼斯圓可得：點B的軌跡為圓, 以線段AC中點為原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標系,求出B的軌跡方程，進而得出結論．為非零常數，根據阿波羅尼斯圓可得：點B的軌跡是圓.
以線段AC中點為原點，AC所在直線為x軸建立直角坐標系，則，設，∵
∴，，整理得
因此，當面積最大時，BC邊上的高為圓的半徑.
5．（2024·安徽馬鞍山·高三校考階段練習）阿波羅尼斯是古希臘數學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的“數學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內到兩定點距離之比為定值（）的動點的軌跡.已知在中，角的對邊分別為，則面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】由已知條件結合余弦定理，可求出，，建立坐標系求出點所在的圓的方程，求出點到距離的最大值，即可求出結論.依題意，，得，
即，以邊所在的直線為軸，的垂直平分線為軸 建立直角坐標系，則，設，
由，則的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為，邊高的最大值為，
∴. 故答案為：
6．（2024·湖南長沙·校考模擬預測）阿波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓現有，，，則當的面積最大時，它的內切圓的半徑為 .
【答案】
【解析】∵，∴為非零常數，故點B的軌跡是圓.
以線段中點為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系，則，，設，
∵，，，整理得，
因此，當面積最大時，邊上的高為圓的半徑4.此時，，
設內切圓的半徑為r，則，解得.
故答案為：
7.（2024·浙江·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】由余弦定理，得，則由，得，所以，
由正弦定理，得，所以，
所以，，．
因為，所以，
則．
令，而 則，
，
當且僅當時，等號成立，故的最小值為．故答案為：
8．（2025·重慶·高三專題練習）為等邊內一動點，且，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】如圖所示，不妨設等邊的邊長為2，為的中點，
延長至，使得，以點為圓心，為半徑作圓弧，
為內一動點，，點在弦所對的弧上，
由圖可知：當點取與軸的交點時，，以為原點，為軸，建立平面直角坐標系，
可得：，，，．點所在圓的方程為：．
設參數方程為：，
，
令，化為：，設，，則，
解得，，故的最小值為．故答案為：.
9．（2024·遼寧·校聯考二模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，(1)求角B的大小；(2)若，D為邊AB上一點，且，求的值．
【解析】（1），，
所以，即，故，因為，所以；
（2）因為，所以，
，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，故，所以或，
當時，，，當時，，.所以的值為或1.
10．（2024·遼寧·高三校聯考期末）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題，在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 ．
(1)求C；(2)若△ABC的面積為，D在邊AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
【解析】（1）方案一：選條件①．由，可得，
由正弦定理得，
因為，所以，所以，
故，又，于是，即，
因為，所以．
方案二：選條件②．
因為，所以由正弦定理及同角三角函數的基本關系式得，即，
因為，所以，
又所以，因為，所以．
方案三：選條件③．
，由正弦定理得，
即，∴，∴由余弦下定得．又，所以．
（2）由題意知，得．
由余弦定理得，
當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為．
11.（2024·河北滄州·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；(2)若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．
【解析】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，由正弦定理，得，
即，
由，得，則，
因此，即，則，所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
則，解得，從而，又，
由余弦定理，得，解得，所以BD的長為.
12.（2024·江蘇·模擬預測）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.
【解析】（1）因為中，，
故，
因為，故；
（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，
又②，同理在中，③，
④，
BD是的角平分線，則，則，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，則
，即；
（ii）因為，故，則由⑤得，則，
由以及（i）知，即，則，
當且僅當，結合，即時等號成立，
故，即的最大值為.
13．（2025·江蘇南京·高三校考期中）已知△ABC為銳角三角形，設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．R為△ABC外接圓半徑．（1）若R＝1，且滿足，求的取值范圍；（2）若，求的最小值．
【解析】（1）因為，所以由正弦定理，得，
又由余弦定理，得，所以，
即，所以，又因為△ABC為銳角三角形，所以，
所以
，
因為△ABC為銳角三角形，所以 ，即，所以，
所以，即，所以，
所以，即的取值范圍為.
（2）因為，所以，即，
又因為△ABC為銳角三角形，所以，所以，所以由正弦定理，得，
又因為，所以，
所以，即,
兩邊同時除以，得，
因為且△ABC為銳角三角形，所以，所以 所以，
所以，
令，則，所以
，
當且僅當時，即時等號成立，所以的最小值為.
14．（2024·四川綿陽·校考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c．已知，．(1)求邊b的長；(2)延長BC至D，使得，連接AD．已知為銳角，且它的角平分線與AB交于點E，若外接圓半徑為．求長．
【解析】（1）因為，
所以由正弦定理可得，所以
又因為，所以，∴，即，∴
（2）由（1）可知， 在中，由正弦定理：，
可得：，所以，∵為銳角，∴ 由
可得：
即①
因為，所以，在中，由余弦定理可求得，求得，
代入①可解得：
15．（2025·遼寧·高三統考期中）如圖，已知三個內角，，的對邊分別為，，，且，，．(1)求；(2)是外一點，連接，構成平面四邊形，若，求的最大值．
【解析】（1）由已知，則，
所以，化簡可得，
又在中，，所以，則，即，
又，，所以，，所以；
（2）由（1）得，設，則，
在中，由正弦定理得，即，且，即，
在中，由余弦定理得，
即，
由，所以，所以當，即時，取得最大值為，
所以的最大值為.
16.已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范圍.
【解析】（1）以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
設的中點為，則共線且，
設，則，，，，
故，故，故，
所以.
（2）設，則，
故，，
故，
故，所以，
故，而，，
故，
而，故，故，所以，.
17．（2024·湖北宜昌·高三統考期中）在中，內角的對邊分別為，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的周長和面積．
【解析】（1）證明：因為，所以，
則，因為，所以，
又因為，因為，所以，
所以，所以，所以是等腰三角形．
（2）因為，所以，
所以的周長為，的面積．
18.記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；(2)若，求．
【解析】（1）方法1：在中，因為為中點，，，
則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，所以.
方法2：在中，因為為中點，，，
則，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，則，
，過作于，于是，，所以.
（2）方法1：在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因為為中點，則，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
19．（2024·江西·高三臨川一中校聯考階段練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，從下面兩個條件中選一個，求的最小值．①點M，N分別是邊，上的動點（不包含端點），且；②點M，N是邊上的動點（不包含端點且），且．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【解析】（1）由正弦邊角關系得，
所以，由余弦定理得，即，
所以，又，則．
（2）由（1）及題設，則，
選①，此時，設，，
由余弦定理得，即，
因為，
所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為．
選②，此時，，
設，因為，則，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
所以，
所以當時，取得最小值．
20．（2024·廣東·校考模擬預測）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若是上的一點，且，求最小值．
【解析】（1），
又，則或，
若，則；
若，則，又，不符合題意，舍去，綜上所述.
（2）①，又②，
①÷②得：令，又，
，令
令，令，
當時，當時，
由對勾函數性質可得當時，為減函數，故，
同理當時，
所以當三角形為等邊三角形時最小，最小值為
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專題2 三角函數的圖象與性質
2.2 解三角形問題和最值問題（正余弦定理）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
正弦定理 2024年II卷第15題，13分 2024年北京卷第16題，13分 2023年北京卷第7題，4分 2023年乙卷第4題，5分 2022年II卷第18題，12分 預測2025年高考仍將重點考查已知三角形邊角關系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理解平面圖形的邊、角與面積，題型既有選擇也有填空更多是解答題，若考解答題，主要放在前兩題位置，為中檔題，若為選題可以為基礎題，多為中檔題，也可為壓軸題。
余弦定理 2024年I卷第15題，13分 2024年甲卷第11題，5分 2022年乙卷第17題，12分
三角形的幾何計算 2023年甲卷第16題，5分 2023年II卷第17題，10分 2022年天津卷第16題，15分
范圍與最值問題 2022年上海卷第19題，14分 2022年甲卷第16題，5分 2022年I卷第18題，12分
解三角形是每年高考常考內容，在選擇、填空題中考查較多，有時會出現在選擇題、填空題的壓軸小題位置，綜合考查以解答題為主，中等難度．
1．（2024新高考II卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．(2)若，，求的周長．
2．（2024新高考I卷）記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；(2)若的面積為，求c．
3．（2024天津卷）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
4．（2024北京卷）在中，內角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
5．（2023全國甲卷（文））記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；(2)若，求面積．
6．（2023年全國乙卷（理））在中，已知，，.
(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
7．（2023新高考Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．
8．（2022新高考II卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；(2)若，求b．
9．（2022全國乙卷（文））記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：
10．（2022新高考I卷）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．
11．（2024全國甲卷（理））在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2023年北京高考數學真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2023全國乙卷（文））在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
14．（2023全國甲卷（理））在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
15．（2022年全國甲卷（理））已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
高頻考點一 倍長定比分線模型
核心知識：
如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接，易知∥，且，．．
典例1：（2024北京高考模擬預測）在① ，② ，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在中，內角的對邊分別為，且滿足____．(1)求；(2)若的面積為在邊上，且 ， ，求的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分．
變式訓練
1．（2024·河南安陽·高三統考期末）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且AB邊上的中線，則面積的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2024·湖南長沙·高三寧鄉一中校考期中）設a，b，c分別為的內角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．(1)求AD的長度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．
高頻考點2 倍角定理與正弦平方差
核心知識：
，這樣的三角形稱為“倍角三角形”。
推論1：。
推論2：。
正弦平方差：。
典例1：（2024·四川綿陽·校考一模）在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．(1)證明：；(2)求的取值范圍．
變式訓練：
1．（2024·湖南·高三校聯考期末）記的內角的對邊分別為，已知，且.(1)證明：；(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.
2．（2024·河南·高三校聯考階段練習）從①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并解答問題．
在銳角中，角所對的邊分別為，且________．
(1)證明：；(2)求的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
高頻考點3 角平分線模型與張角定理
核心知識：
角平分線張角定理：如圖，為平分線，。
斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積一下積。
典例1：（2024·山東德州·校聯考模擬預測）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且。(1)求C；(2)若△ABC的三條角平分線相交于點O，AB＝7，OAB的面積為，求OC．
變式訓練：
1．（2024·貴州貴陽·高三校考階段練習）在中，內角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)邊上存在點，使為的角平分線，若，求的周長.
2．（2024·福建福州·高三校聯考期中）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設.(1)求A；(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.
高頻考點4 隱圓問題
核心知識：若三角形中出現，且為定值，則點C位于阿波羅尼斯圓上．
典例1：（2024·四川眉山·三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數學家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內到兩定點的距離的比值為常數的動點的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練：
1.在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
2．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學校考階段練習）在中，，則的面積最大值為 ．
高頻考點5 正切比值與和差問題
核心知識：
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）中，．
典例1：（2024·河南安陽·高三統考階段練習）在中，角所對的邊分別為，若，且，則 ．
變式訓練：
1.在△ABC中，且，則△ABC面積的最大值為 ．
2.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則 ，的最小值為 .
3.（2024·湖北·統考一模）銳角中，角A所對的邊為，的面積，給出以下結論：①；②；③；
④有最小值8.其中結論正確的是
A．1 B．2 C．3 D．4
高頻考點6 四邊形定值和最值與托勒密定理
核心知識：
正常的四邊形我們不去解釋，只需多一次余弦定理即可，我們需要注意一些圓內接的四邊形，尤其是擁有對角互補的四邊形，尤其一些四邊形還需要引入托勒密定理．
托勒密定理：在四邊形中，有，當且僅當四邊形ABCD四點共圓時，等號成立．
典例1：（2024·廣東廣州·高三校考階段練習）廣州市從化區政府擬在云嶺湖建一個旅游觀光項目，設計方案如下：如圖所示的圓O是圓形湖的邊界，沿線段AB，BC，CD，DA建一個觀景長廊，其中A，B，C，D是觀景長廊的四個出入口且都在圓O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P處和湖邊D處各建一個觀景亭，且它們關于直線AC對稱，在湖面建一條觀景橋APC．觀景亭的大小、觀景長廊、觀景橋的寬度均忽略不計，設．(1)當時，求三角形區域ADC內的湖面面積的最大值；(2)若CD=8百米且規劃建亭點P在三角形ABC區域內（不包括邊界），試判斷四邊形ABCP內湖面面積是否有最大值？若有，求出最大值，并寫出此時的值；若沒有，請說明理由．
變式訓練：
1.如圖．在平面四邊形中，．設，證明：為定值．
2．克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北·武漢市第三中學校聯考一模）已知中，角，，所對的邊分別為，，，滿足.(1)求的大小；(2)如圖，，在直線的右側取點，使得，求為何值時，四邊形面積的最大，并求出該最大值．

高頻考點7 邊角特殊，構建坐標系
核心知識：利用坐標法求出軌跡方程
典例1：（2024·山東聊城·校考三模）在中，，點在邊上，且，若，則長度的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式訓練：
1.已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·江蘇南京·統考一模）在△ABC中，角所對的邊分別為．若，則△ABC的面積的最大值為 ．
高頻考點8 利用正、余弦定理求解與三角形的周長、面積有關的問題
核心知識：
與三角形面積或周長有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理，進行邊和角的轉化．要適當選用公式，對于面積公式，一般是已知哪一個角就使用哪個公式．
典例1：（2024·高三·河北滄州·期中）記的內角，，所對的邊分別為，，，已知．(1)求A；(2)若的面積為，，求的周長．
變式訓練：
1．（2024·四川·高三校聯考階段練習）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的周長.
2.（2024·眉山·一模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，已知，且.(1)求；(2)若的外接圓半徑為，周長為，且，求.
高頻考點9 三角形中的幾何計算
核心知識：解決三角形中幾何計算的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化。
典例1：（2024·江蘇揚州·模擬預測）如圖，四邊形中，已知，．
(1)若的面積為，求的周長；(2)若，，，求的值．
變式訓練：
1.（2024·高三·安徽·期中）如圖，在平面四邊形中，與的交點為E，平分，，．(1)證明：；(2)若，求．
2．在中，.(1)求角B的大小；(2)若E為的中點，F是邊上的點，且滿足，，求的值.
高頻考點10 中線長定理與余弦和為0
核心知識：
中線長定理：若分別為的中線，則有：
余弦和為0：在中，點為線段上一點，則有：
即．
典例1：（2024·山東濰坊·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，．
(1)求角；(2)是邊上的點，若，，求的值．
變式訓練：
1.（2024·高三·江蘇揚州·期中）在中，，且邊上的中線長為1.
(1)若，求的面積；(2)若，求的長.
2.（2024·廣東·模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.
高頻考點11 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范圍
核心知識：
對于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉化為只含有三角形某一個角的三角函數形式，結合角的范圍，確定所求式的范圍．
典例1：（2024·浙江·模擬預測）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求c的值以及的面積；
(2)若，求的值以及的取值范圍．
變式訓練：
1．（2024·重慶·高三重慶市萬州沙河中學校聯考階段練習）在銳角中，內角的對邊分別為，已知.(1)求A;(2)求的取值范圍.
2．（2024·重慶·模擬預測）已知為銳角三角形，其內角A，B，C所對的邊分別為，，，.
(1)求的取值范圍；(2)若，求周長的取值范圍.
1．（2024·四川眉山·校考三模）阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數學家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內到兩定點的距離的比值為常數的動點的軌跡．已知在中，角、、所對的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東日照·高三校聯考期末）已知的三個內角A，B，C滿足，則（ ）
A．是銳角三角形 B．角的最大值為
C．角的最大值為 D．
3．（多選題）（2024·湖北咸寧·高三統考期末）的內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A． B． C．的面積為 D．的周長為
4．（2024·福建·高三統考階段練習）波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現有，，則當的面積最大時，AC邊上的高為 .
5．（2024·安徽馬鞍山·高三校考階段練習）阿波羅尼斯是古希臘數學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的“數學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內到兩定點距離之比為定值（）的動點的軌跡.已知在中，角的對邊分別為，則面積的最大值為 ．
6．（2024·湖南長沙·校考模擬預測）阿波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓現有，，，則當的面積最大時，它的內切圓的半徑為 .
7.（2024·浙江·模擬預測）在銳角三角形中，角的對邊分別為，若，則的最小值是 ．
8．（2025·重慶·高三專題練習）為等邊內一動點，且，則的最小值為 ．
9．（2024·遼寧·校聯考二模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，(1)求角B的大小；(2)若，D為邊AB上一點，且，求的值．
10．（2024·遼寧·高三校聯考期末）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題，在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足 ．
(1)求C；(2)若△ABC的面積為，D在邊AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
11.（2024·河北滄州·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求證：；(2)若的角平分線交AC于點D，且，，求BD的長．
12.（2024·江蘇·模擬預測）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.
13．（2025·江蘇南京·高三校考期中）已知△ABC為銳角三角形，設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．R為△ABC外接圓半徑．（1）若R＝1，且滿足，求的取值范圍；（2）若，求的最小值．
14．（2024·四川綿陽·校考二模）在三角形ABC中，角A、B、C所對邊分別為a，b，c．已知，．(1)求邊b的長；(2)延長BC至D，使得，連接AD．已知為銳角，且它的角平分線與AB交于點E，若外接圓半徑為．求長．
15．（2025·遼寧·高三統考期中）如圖，已知三個內角，，的對邊分別為，，，且，，．(1)求；(2)是外一點，連接，構成平面四邊形，若，求的最大值．
16.已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范圍.
17．（2024·湖北宜昌·高三統考期中）在中，內角的對邊分別為，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的周長和面積．
18.記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；(2)若，求．
19．（2024·江西·高三臨川一中校聯考階段練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，從下面兩個條件中選一個，求的最小值．①點M，N分別是邊，上的動點（不包含端點），且；②點M，N是邊上的動點（不包含端點且），且．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
20．（2024·廣東·校考模擬預測）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若是上的一點，且，求最小值．
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