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人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-6.2.1排列-導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解并掌握排列的概念.2.能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．
一、排列概念的理解
問題　從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？
知識(shí)梳理
1．排列：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照____________排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．
2．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同的充要條件：(1)兩個(gè)排列的元素___________；(2)元素的排列________也相同．
例1　判斷下列問題是否為排列問題：
(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；
(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；
(3)選2個(gè)小組去種菜；
(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；
(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；
(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信．
反思感悟　判斷一個(gè)問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮
(1)“取”，檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否重復(fù)；
(2)“排”，檢驗(yàn)取出的m個(gè)元素是否有順序性，其關(guān)鍵方法是，交換兩個(gè)位置看其結(jié)果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序．
跟蹤訓(xùn)練1　下列問題是排列問題的是(　　)
A．從8名同學(xué)中選取2名去參加知識(shí)競(jìng)賽，共有多少種不同的選取方法？
B．10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？
C．平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？
D．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)相乘，其結(jié)果共有多少種？
二、畫樹狀圖寫排列
例2　四個(gè)人A，B，C，D坐成一排照相有多少種坐法？并寫出所有坐法．
反思感悟　利用“樹狀圖”法解決簡(jiǎn)單排列問題的適用范圍及策略
(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列．
跟蹤訓(xùn)練2　寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列．
三、簡(jiǎn)單的排列問題
例3　用具體數(shù)字表示下列問題．
(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，其商的個(gè)數(shù)；
(2)由0,1,2,3組成的能被5整除且沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)；
(3)有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí)，若每家單位至多招1名實(shí)習(xí)生，每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí)，且這4名大學(xué)生全部被分配完畢，其分配方案的個(gè)數(shù)．
反思感悟　要想正確地表示排列問題的排列個(gè)數(shù)，應(yīng)弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個(gè)元素和n(m≤n)個(gè)不同的位置各是什么．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)滬寧高鐵線上有六個(gè)大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應(yīng)為滬寧線上的六個(gè)大站(這六個(gè)大站之間)準(zhǔn)備不同的火車票的種數(shù)為(　　)
A．15 B．30 C．12 D．36
(2)12名選手參加校園歌手大賽，比賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，共有______種不同的獲獎(jiǎng)情況．
1．知識(shí)清單：
(1)排列的定義：順序性．
(2)“樹狀圖”法列舉排列．
(3)排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．
3．常見誤區(qū)：排列的定義不明確．
1．從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為(　　)
A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B．甲乙丙、乙丙甲
C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D．甲乙、甲丙、乙丙
2．3個(gè)學(xué)生在4本不同的參考書中各挑選1本，不同的選法種數(shù)為(　　)
A．3 B．24 C．34 D．43
3．(多選)下列問題中是排列問題的是(　　)
A．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組
B．從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)
C．從a，b，c，d中選出3個(gè)字母
D．從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)
4．從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有________個(gè)．
參考答案與詳細(xì)解析
問題　
知識(shí)梳理
1．一定的順序
2．(1)完全相同　(2)順序
例1　解　(1)票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題．
(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(3)(4)不存在順序問題，不屬于排列問題．
(5)每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題．
(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．
所以在上述問題中，(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．
跟蹤訓(xùn)練1　B　[對(duì)于A,8名同學(xué)中選取2名，不涉及順序問題，不是排列問題，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,10個(gè)人互相通信，涉及到順序問題，是排列問題，B正確；
對(duì)于C,5個(gè)點(diǎn)中任取3點(diǎn)，不涉及順序問題，不是排列問題，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)，根據(jù)乘法交換律知，結(jié)果不涉及順序，不是排列問題，D錯(cuò)誤．]
例2　解　按照A→B→C→D的順序安排位置，A有4種坐法，B有3種坐法，C有2種坐法，D有1種坐法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，有4×3×2×1＝24(種)坐法．畫出樹狀圖．
由“樹狀圖”可知，所有坐法為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
跟蹤訓(xùn)練2　解　由題意作樹狀圖，如圖．
故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個(gè)．
例3　解　(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù)，分別作為商的分子和分母，其商共有100×99＝9 900(個(gè))．
(2)因?yàn)榻M成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是“0”，故確定此四位數(shù)，只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可，共有3×2×1＝6(個(gè))．
(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位，
分別把4名大學(xué)生安排到4家單位，
共有5×4×3×2＝120(個(gè))分配方案．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)B　[對(duì)于兩個(gè)大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因?yàn)槊繌堒嚻睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站，因此，每張火車票對(duì)應(yīng)從6個(gè)不同元素(大站)中取出2個(gè)不同元素(起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30(種)．]
(2)1 320
解析　共有12×11×10＝1 320(種)不同的獲獎(jiǎng)情況．
隨堂演練
1．C　[從三人中選出兩人，而且要考慮這兩人的順序，所以有如下6種站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．]
2．B　[3個(gè)學(xué)生在4本不同的參考書中各挑選一本，相當(dāng)于從4個(gè)不同元素中選3個(gè)的排列，其選法種數(shù)為4×3×2＝24.]
3．AD　[由排列的定義知AD是排列問題．]
4．24

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