資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.1同底數冪的乘法七大題型（一課一講）
（內容:同底數冪的乘除、積的乘方、冪的乘方）
【浙教版】
題型一：利用冪的運算進行判斷式子是否正確
【經典例題1】（七年級下·河南周口·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-1】下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】下列變形不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】（七年級下·河南南陽·期中）下列各式中計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】（七年級下·廣西南寧·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-5】（七年級下·湖北十堰·期末）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：冪的運算
【經典例題2】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式訓練2-1】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式訓練2-2】計算：
(1)； (2)； (3)．
【變式訓練2-3】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)．
【變式訓練2-4】計算：
(1)； (2)．
【變式訓練2-5】計算：．
題型三：用科學記數法表示數的乘法
【經典例題3】（2023·河北石家莊·模擬預測）神舟號飛船離地飛行速度約為每秒，則飛船離地飛行1分鐘的路程約為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】（2023·河南南陽·一模）“白色污染”的主要來源有食品包裝袋、泡沫塑料填充物等．已知一個塑料快餐盒的污染面積為，如果30萬名游客每人丟棄一個快餐盒，那么造成污染的最大面積用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】（七年級下·山西大同·期末）月球到地球的平均距離約為千米，而地球到太陽的平均距離約是月球到地球的平均距離的390倍，由此可知，地球到太陽的平均距離約是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【變式訓練3-3】（2022·湖北隨州·中考真題）2022年6月5日10時44分07秒，神舟14號飛船成功發射，將陳冬、劉洋、蔡旭哲三位宇航員送入了中國空間站．已知中國空間站繞地球運行的速度約為，則中國空間站繞地球運行走過的路程（m）用科學記數法可表示為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-4】廣闊無垠的太空中有無數顆恒星，其中羅斯248星離太陽系的距離約光年．光年是天文學中一種計量天體時空距離的長度單位，表示光在一年中所通過的距離，已知1光年約為千米，則羅斯248星距離太陽系約為（ ）千米．
A． B． C． D．
【變式訓練3-5】（七年級下·山東青島·期中）光在真空中的速度為km/s，太陽光照射到地球上大約需要s，則地球與太陽之間的距離用科學記數法表示為 km．
【變式訓練3-6】（七年級下·江蘇泰州·月考）數學課上老師與同學們一起利用球的體積公式πr3計算出地球的體積約是立方千米，接著老師介紹道：“科學家們尋找到一顆星球，也可以近似地看作球體，它的半徑是地球的10000倍”．則這個星球它的體積約是 立方千米．
題型四：利用冪的運算中逆運算進行求解
【經典例題4】（1）已知，求的值；
（2）若，求的值．
【變式訓練4-1】（七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）計算的結果為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【變式訓練4-2】已知，求的值．
【變式訓練4-3】已知，當時，求m的值．
【變式訓練4-4】（七年級下·江蘇泰州·期末）（1）已知：，，計算的值．
（2）已知：，求的值．
【變式訓練4-5】（2024七年級下·浙江·期中）（1）已知，求的值；；
（2）已知，，求的值．
題型五：利用冪的運算比較大小
【經典例題5】（七年級下·河南新鄉·期中）已知，則a，b，c的大小關系為 （ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】（七年級下·北京朝陽·期中）比較大小： ．（填“”、“”或“”）
【變式訓練5-2】已知，，，試比較a，b，c的大小．
【變式訓練5-3】（七年級下·內蒙古赤峰·期中）閱讀探究題：
比較兩個底數大于1的正數冪的大小，可以在底數（或指數）相同的情況下，比較指數（或底數）的大小，如：，．
在底數（或指數）不相同的情況下，可以化相同，進行比較，如：與，
解：，∵，∴
(1)，求x的值
(2)[類比解答]比較，的大小．
(3)[拓展拔高]比較，，的大小．
【變式訓練5-4】（七年級下·江蘇鹽城·期末）閱讀下面的材料：
材料一：比較和的大小
解：因為，且，所以，即，
小結：指數相同的情況下，通過比較底數的大小，來確定兩個冪的大小，
材料二：比較和的大小．
解：因為，且，所以，即，
小結：底數相同的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個冪的大小
解決下列問題：
(1)比較、、的大小：
(2)比較、、的大小：
(3)比較與的大小．
題型六：利用冪的運算表示字母之間的關系
【經典例題6】若，則 （填“”“”或“”）．
【變式訓練6-1】若，則滿足的關系式是 ．
【變式訓練6-2】若x，y均為正數，，則與之間的數量關系為 ．
【變式訓練6-3】（七年級下·湖北恩施·期末）已知，，試用含，的式子表示： ．
【變式訓練6-4】（七年級下·江蘇蘇州·期末）若，，，則用a，b的代數式表示c為
【變式訓練6-5】按一定規律排列的一組數：，…．若表示這組數中連續的三個數，猜想滿足的關系式是 ．
題型七：冪的運算中定義新運算
【經典例題7】同底數冪的乘法法則為（其中為正整數）．類似的，我們規定關于任意正整數的一種新運算：．若，則 ．
【變式訓練7-1】（七年級下·北京朝陽·期中）定義一種新運算，若，則，例，．若，求x的值．
【變式訓練7-2】（七年級下·江蘇鎮江·期末）規定兩數a，b之間的一種運算，記作，如果，則．我們叫為“雅對”．例如：因為，所以．我們還可以利用“雅對”定義說明等式成立．證明如下：
設，，則，，故，則，即．
(1)根據上述規定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；
(2)計算＝_________，并說明理由；
(3)利用“雅對”定義說明：，對于任意非0整數n都成立．
【變式訓練7-3】對數運算是高中常用的一種重要運算，它的定義為：如果且，那么數x叫做以a為底N的對數，記作：，例如：，則，其中的對數叫做常用對數，此時可記為．當，且，，時，．
(1)解方程：．
(2) ___________．
(3)計算：．
【變式訓練7-4】（七年級下·江蘇鹽城·期末）定義一種冪的新運算：，請利用這種運算規則解決下列問題：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若運算的結果為810，則t的值是多少？
【變式訓練7-5】（七年級下·上海浦東新·期中）如果，那么我們規定：，例如，因為，那么我們就說，；
(1)請根據上述定義，填空：
______；______；______；
(2)已知，，，且，求的值．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.1同底數冪的乘法七大題型（一課一講）
（內容:同底數冪的乘除、積的乘方、冪的乘方）
【浙教版】
題型一：利用冪的運算進行判斷式子是否正確
【經典例題1】（七年級下·河南周口·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：．與不是同類項不能合并，故該選項不符合題意；
．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；
． ，原計算錯誤，故該選項不符合題意；
．，原計算正確，故該選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-1】下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】A．，原計算錯誤，不符合題意；
B．，原計算錯誤，不符合題意；
C．，原計算錯誤，不符合題意；
D．，原計算正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-2】下列變形不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、，該選項正確，不符合題意，
B、，該選項正確，不符合題意，
C、，該選項不正確，符合題意，
D、，該選項正確，不符合題意，
故選：C ．
【變式訓練1-3】（七年級下·河南南陽·期中）下列各式中計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，則此項錯誤，不符合題意；
B、，則此項錯誤，不符合題意；
C、，則此項錯誤，不符合題意；
D、，則此項正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-4】（七年級下·廣西南寧·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、不是同類項，不能合并，原運算錯誤，不符合題意；
B、，原運算錯誤，不符合題意；
C、，原運算錯誤，不符合題意；
D、，原運算正確，符合題意；
故選D．
【變式訓練1-5】（七年級下·湖北十堰·期末）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是正確的；
C、，故該選項是錯誤的；
D、，故該選項是錯誤的；
故選：B．
題型二：冪的運算
【經典例題2】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【詳解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【變式訓練2-1】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【變式訓練2-2】計算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1) (2) (3)
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
．
【變式訓練2-3】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)．
【答案】(1) (2) (3) (4) (5)
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式；
（5）解：原式．
【變式訓練2-4】計算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【變式訓練2-5】計算：．
【答案】0
【詳解】解：
．
題型三：用科學記數法表示數的乘法
【經典例題3】（2023·河北石家莊·模擬預測）神舟號飛船離地飛行速度約為每秒，則飛船離地飛行1分鐘的路程約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵飛行速度約為每秒，
∴飛行1分鐘的路程約為：，
故選：A．
【變式訓練3-1】（2023·河南南陽·一模）“白色污染”的主要來源有食品包裝袋、泡沫塑料填充物等．已知一個塑料快餐盒的污染面積為，如果30萬名游客每人丟棄一個快餐盒，那么造成污染的最大面積用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：萬．
故選：A．
【變式訓練3-2】（七年級下·山西大同·期末）月球到地球的平均距離約為千米，而地球到太陽的平均距離約是月球到地球的平均距離的390倍，由此可知，地球到太陽的平均距離約是（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
【答案】C
【詳解】解：，
地球到太陽的平均距離約為千米．
故選：C．
【變式訓練3-3】（2022·湖北隨州·中考真題）2022年6月5日10時44分07秒，神舟14號飛船成功發射，將陳冬、劉洋、蔡旭哲三位宇航員送入了中國空間站．已知中國空間站繞地球運行的速度約為，則中國空間站繞地球運行走過的路程（m）用科學記數法可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：路程=．
故選：B．
【變式訓練3-4】廣闊無垠的太空中有無數顆恒星，其中羅斯248星離太陽系的距離約光年．光年是天文學中一種計量天體時空距離的長度單位，表示光在一年中所通過的距離，已知1光年約為千米，則羅斯248星距離太陽系約為（ ）千米．
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：，
故選：A．
【變式訓練3-5】（七年級下·山東青島·期中）光在真空中的速度為km/s，太陽光照射到地球上大約需要s，則地球與太陽之間的距離用科學記數法表示為 km．
【答案】
【詳解】解：．
故答案為：．
【變式訓練3-6】（七年級下·江蘇泰州·月考）數學課上老師與同學們一起利用球的體積公式πr3計算出地球的體積約是立方千米，接著老師介紹道：“科學家們尋找到一顆星球，也可以近似地看作球體，它的半徑是地球的10000倍”．則這個星球它的體積約是 立方千米．
【答案】
【詳解】解：，
故答案為：．
題型四：利用冪的運算中逆運算進行求解
【經典例題4】（1）已知，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1） （2）
【詳解】解：（1）因為，
所以，
解得；
（2）因為，
所以，
由，得，
所以，
所以，
所以．
【變式訓練4-1】（七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）計算的結果為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【詳解】解：
．
故選：D．
【變式訓練4-2】已知，求的值．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【變式訓練4-3】已知，當時，求m的值．
【答案】
【詳解】解：因為，
所以，，
所以，
當時，，
解得：．
【變式訓練4-4】（七年級下·江蘇泰州·期末）（1）已知：，，計算的值．
（2）已知：，求的值．
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）解：，，
故．
（2）解：，
∵，
∴．
【變式訓練4-5】（2024七年級下·浙江·期中）（1）已知，求的值；；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【詳解】解：（1），
，
，
，
解得：；
（2）當，時，
．
題型五：利用冪的運算比較大小
【經典例題5】（七年級下·河南新鄉·期中）已知，則a，b，c的大小關系為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故選：C
【變式訓練5-1】（七年級下·北京朝陽·期中）比較大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【詳解】解：，
，
，
，
故．
故答案為：．
【變式訓練5-2】已知，，，試比較a，b，c的大小．
【答案】
【詳解】解：，，，
∵,
∴，
即．
【變式訓練5-3】（七年級下·內蒙古赤峰·期中）閱讀探究題：
比較兩個底數大于1的正數冪的大小，可以在底數（或指數）相同的情況下，比較指數（或底數）的大小，如：，．
在底數（或指數）不相同的情況下，可以化相同，進行比較，如：與，
解：，∵，∴
(1)，求x的值
(2)[類比解答]比較，的大小．
(3)[拓展拔高]比較，，的大小．
【答案】(1)6(2)(3)
【詳解】（1）解：，
即：，
∴，
∴；
（2），
∵，
∴，
即：；
（3），
∵，
∴；
∴．
【變式訓練5-4】（七年級下·江蘇鹽城·期末）閱讀下面的材料：
材料一：比較和的大小
解：因為，且，所以，即，
小結：指數相同的情況下，通過比較底數的大小，來確定兩個冪的大小，
材料二：比較和的大小．
解：因為，且，所以，即，
小結：底數相同的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個冪的大小
解決下列問題：
(1)比較、、的大小：
(2)比較、、的大小：
(3)比較與的大小．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：，，，
，
，
；
（2），，，
，
，
；
（3），，
，
．
題型六：利用冪的運算表示字母之間的關系
【經典例題6】若，則 （填“”“”或“”）．
【答案】
【詳解】解：∵，
①，
又，
②，
得到，，
即，
故．
故答案為：．
【變式訓練6-1】若，則滿足的關系式是 ．
【答案】
【詳解】解：∵
∴，
∵，且，
∴，
故答案為：．
【變式訓練6-2】若x，y均為正數，，則與之間的數量關系為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式訓練6-3】（七年級下·湖北恩施·期末）已知，，試用含，的式子表示： ．
【答案】/
【詳解】解：，，
．
故答案為：．
【變式訓練6-4】（七年級下·江蘇蘇州·期末）若，，，則用a，b的代數式表示c為
【答案】
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【變式訓練6-5】按一定規律排列的一組數：，…．若表示這組數中連續的三個數，猜想滿足的關系式是 ．
【答案】
【詳解】解：觀察數列可發現：，
∴前兩個數的積等于第三個數，
∵x、y、z表示這列數中的連續三個數，
∴x、y、z滿足的關系式是．
故答案為：．
題型七：冪的運算中定義新運算
【經典例題7】同底數冪的乘法法則為（其中為正整數）．類似的，我們規定關于任意正整數的一種新運算：．若，則 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
，
∴，
；
故答案為：．
【變式訓練7-1】（七年級下·北京朝陽·期中）定義一種新運算，若，則，例，．若，求x的值．
【答案】
【詳解】解：設，，，
，，，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練7-2】（七年級下·江蘇鎮江·期末）規定兩數a，b之間的一種運算，記作，如果，則．我們叫為“雅對”．例如：因為，所以．我們還可以利用“雅對”定義說明等式成立．證明如下：
設，，則，，故，則，即．
(1)根據上述規定，填空：＝__________；（_________，16）＝4；
(2)計算＝_________，并說明理由；
(3)利用“雅對”定義說明：，對于任意非0整數n都成立．
【答案】(1)3，±2
(2)，理由見解析
(3)見解析
【詳解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
故答案為：3，±2；
（2）；
理由如下：
設，，則，，
∴，
∵，
∴；
故答案為：
（3）設，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，對于任意自然數n都成立．
【變式訓練7-3】對數運算是高中常用的一種重要運算，它的定義為：如果且，那么數x叫做以a為底N的對數，記作：，例如：，則，其中的對數叫做常用對數，此時可記為．當，且，，時，．
(1)解方程：．
(2) ___________．
(3)計算：．
【答案】(1)；(2)；(3)
【詳解】（1）解：；
∴，
∴或（負數舍去），
故；
（2）解：解法一：；
解法二：設，則，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案為：；
（3）解：．
【變式訓練7-4】（七年級下·江蘇鹽城·期末）定義一種冪的新運算：，請利用這種運算規則解決下列問題：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若運算的結果為810，則t的值是多少？
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：；
（2）解：當，，時，
；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【變式訓練7-5】（七年級下·上海浦東新·期中）如果，那么我們規定：，例如，因為，那么我們就說，；
(1)請根據上述定義，填空：
______；______；______；
(2)已知，，，且，求的值．
【答案】(1)2，6，4；(2)．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，， ，
故答案為：2，6，4；
（2）解：∵，，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴．

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