資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.2單項式的乘法七大題型（一課一講）
（內容:單項式乘單項式、單項式乘多項式）
【浙教版】
題型一：計算單項式乘以單項式
【經典例題1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】下列關于單項式乘法的說法中，不正確的是（ ）
A．幾個單項式的積仍是單項式
B．幾個單項式相乘，有一個因式為0，積一定為0
C．幾個符號相同的單項式相乘，積為正數
D．幾個不為0的單項式的積的次數不可能比各個單項式的次數低
【變式訓練1-2】下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】如果單項式與是同類項，那么這兩個單項式的乘積為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-5】在下列各式中，應填入“”的是（ ）
A．______ B．______
C．______ D．______
題型二：計算單項式乘以多項式
【經典例題2】下列說法正確的是（ ）
A．單項式乘多項式的積可能是一個多項式，也可能是單項式
B．單項式乘多項式的積仍是一個單項式
C．單項式乘多項式的結果的項數與原多項式的項數相同
D．單項式乘多項式的結果的項數與原多項式的項數不同
【變式訓練2-1】下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-2】下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-3】下列各題計算正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-4】若，則代數式的值為 ．
【變式訓練2-5】已知，，，且的值與無關，則 ．
題型三：單項式乘法中求參數的值
【經典例題3】若單項式和的積為，則的值為（ ）
A．2 B．30 C． D．15
【變式訓練3-1】已知單項式與的積與是同類項，則 ， ．
【變式訓練3-2】若，則的值為 ．
【變式訓練3-3】已知有理數滿足，則 ．
【變式訓練3-4】要使的展開式中不含項，則 ．
【變式訓練3-5】如果單項式與的差是一個單項式，則這兩個單項式的積是 ．
題型四：單項式乘法的計算題
【經典例題4】計算：
(1)；
(2)（把作為整體看作一個因式的底數）；
(3)．
【變式訓練4-1】計算：
（1）；
（2）．
【變式訓練4-2】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
(5)．
【變式訓練4-3】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式訓練4-4】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式訓練4-5】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
題型五：單項式乘法的實際應用
【經典例題5】如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為4的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的面積是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練5-1】圖中陰影部分是一塊綠地，根據圖中所給的數據，則陰影部分的面積為（　?。ㄩL度單位：m）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】為改善居住環境，某社區計劃修建一個廣場，廣場的平面圖（單位：）如圖所示．
(1)用含m，n的代數式表示該廣場的面積S．
(2)若m，n滿足，求該廣場的面積S．
(3)在（2）的條件下，若一款地磚的價格為元/，鋪設地磚的人工費為元/，則為該廣場鋪滿這款地磚一共要花費多少錢？
【變式訓練5-3】已知一個長方體包裝箱的長為，寬為，高為．
(1)求這個長方體包裝箱的體積；
(2)如果給這個長方體包裝箱的外表面都噴上油漆，那么需噴油漆的面積為多少平方米？
【變式訓練5-4】如圖，一條水渠的橫斷面是梯形，其兩底邊的寬度分別為米和米，高為米．
(1)求水渠的橫斷面的面積；
(2)如果水渠長米，那么該水渠可以蓄水多少立方米？
【變式訓練5-5】有總長為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長方形園子，園子的寬度為a．
(1)如圖1，①園子的面積為 （用關于l，a的代數式表示）．
②當時，求園子的面積．
(2)如圖2，若在園子的長邊上開了長度為1的門，則園子的面積相比圖一 （填增大或減小），并求此時園子的面積（寫出解題過程，最終結果用關于l，a的代數式表示）．
題型六：單項式乘法中遮擋問題
【經典例題6】小明在課后復習時，發現一道單項式與多項式相乘的題目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的應是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】某同學在計算乘一個多項式時錯誤地計算成了加法，得到的答案是，由此可以推斷正確的計算結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】（23-24八年級上·河南新鄉·期中）老師在黑板上書寫了一個正確的算式，隨后用手掌遮住了一個多項式，形式如下：，則 處應為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練6-3】課后小明拿出數學筆記本復習，發現一道題被墨水污染了：，則“”處應填寫的式子是( )
A． B． C． D．
【變式訓練6-4】小明發現一道題：． 的地方被墨水污染了， 處應填寫 ．
【變式訓練6-5】某同學在計算乘一個多項式時錯誤的計算成了加法，得到的答案是，由此可以推斷正確的計算結果是 ．
題型七：單項式乘法中定義新運算
【經典例題7】定義：表示，表示，則的結果為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式訓練7-1】定義一種新運算：，則 ．
【變式訓練7-2】定義運算，比如，，那么關于“*”運算，以下等式成立的是 ．
①； ②； ③
【變式訓練7-3】定義一種新運算“”，滿足，如：．
(1)計算： ；
(2)求的值；
(3)等式“”是否成立？請說明理由．
【變式訓練7-4】觀察下列兩個等式：，給出定義如下：我們稱使等式成立的一對有理數為“同心有理數對”，記為，如：數對，都是“同心有理數對”．
(1)判斷數對，是“同心有理數對”嗎？如果是，請說明理由；
(2)若是“同心有理數對”，
①則_________“同心有理數對”（填“是”或“不是”）；
②求的值．
【變式訓練7-5】對于有理數定義新運算：．
(1)計算的值；
(2)這種新運算符合乘法分配律嗎？若符合請說明理由．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.2單項式的乘法七大題型（一課一講）
（內容:單項式乘單項式、單項式乘多項式）
【浙教版】
題型一：計算單項式乘以單項式
【經典例題1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴，
則，
∴，，
解得，
故選：C
【變式訓練1-1】下列關于單項式乘法的說法中，不正確的是（ ）
A．幾個單項式的積仍是單項式
B．幾個單項式相乘，有一個因式為0，積一定為0
C．幾個符號相同的單項式相乘，積為正數
D．幾個不為0的單項式的積的次數不可能比各個單項式的次數低
【答案】C
【詳解】解：A、幾個單項式的積仍是單項式，不可能是多項式，說法正確，本選項不符合題意；
B、幾個單項式相乘，有一個因式為0，積一定為0，說法正確，本選項不符合題意；
C、幾個符號相同的單項式相乘，積可能為正數，也可能為負數，原說法錯誤，本選項符合題意；
D、幾個不為0的單項式的積的次數不可能比各個單項式的次數低，說法正確，本選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-2】下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、，原選項計算錯誤，不符合題意；
B、，原選項計算正確，符合題意；
C、，原選項計算錯誤，不符合題意；
D、，原選項計算錯誤，不符合題意；
故選：B．
【變式訓練1-3】如果單項式與是同類項，那么這兩個單項式的乘積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵單項式與是同類項，
∴
∴
∴兩個單項式為與，乘積為：，
故選：C．
【變式訓練1-4】下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；
B、，故本選項不符合題意；
C、，故本選項不符合題意；
D、，故本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-5】在下列各式中，應填入“”的是（ ）
A．______ B．______
C．______ D．______
【答案】B
【詳解】解：A．，故選項不符合題意；
B．，故選項符合題意；
C．，故選項不符合題意；
D．，故選項不符合題意．
故選：B．
題型二：計算單項式乘以多項式
【經典例題2】下列說法正確的是（ ）
A．單項式乘多項式的積可能是一個多項式，也可能是單項式
B．單項式乘多項式的積仍是一個單項式
C．單項式乘多項式的結果的項數與原多項式的項數相同
D．單項式乘多項式的結果的項數與原多項式的項數不同
【答案】A
【詳解】解：A、單項式乘多項式的積可能是一個多項式，也可能是單項式，故本選項符合題意；
B、單項式乘多項式的積仍是一個多項式，故本選項不符合題意；
C、只有一個非零單項式乘以多項式的結果的項數與原多項式的項數相同，故本選項不符合題意；
D、單項式乘以多項式的結果的項數與原多項式的項數相同，故本選項不符合題意．
故選：A．
【變式訓練2-1】下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．，故A錯誤；
B．，故B錯誤；
C．，故C錯誤；
D．，故D正確．
故選：D．
【變式訓練2-2】下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；
B、，故本選項不符合題意；
C、，故本選項不符合題意；
D、，故本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練2-3】下列各題計算正確的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，本選項不符合題意；
B、，本選項不符合題意；
C、，本選項不符合題意；
D、，本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練2-4】若，則代數式的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴
，
故答案為：．
【變式訓練2-5】已知，，，且的值與無關，則 ．
【答案】
【詳解】解：
；
∵的值與無關，
∴，
∴；
故答案為：．
題型三：單項式乘法中求參數的值
【經典例題3】若單項式和的積為，則的值為（ ）
A．2 B．30 C． D．15
【答案】D
【詳解】單項式和的積為，
，
，
，
．
故選擇：D．
【變式訓練3-1】已知單項式與的積與是同類項，則 ， ．
【答案】 1 2
【詳解】解：根據題意得，．
因為與是同類項，
所以，，解得，
故答案為：1，2．
【變式訓練3-2】若，則的值為 ．
【答案】
【詳解】因為，
所以，，解得，
代入，則．
所以．
故答案為：．
【變式訓練3-3】已知有理數滿足，則 ．
【答案】
【詳解】解：，
則，
，
．
【變式訓練3-4】要使的展開式中不含項，則 ．
【答案】0
【詳解】解：
，
∵展開式中不含項，
∴，
故答案為：0．
【變式訓練3-5】如果單項式與的差是一個單項式，則這兩個單項式的積是 ．
【答案】/
【詳解】解：∵單項式與的差是一個單項式，
∴與是同類項，
∴兩個單項式分別為，，
∴這兩個單項式的積是，
故答案為：．
題型四：單項式乘法的計算題
【經典例題4】計算：
(1)；
(2)（把作為整體看作一個因式的底數）；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【變式訓練4-1】計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【詳解】解：（1）原式；
（2）原式
．
【變式訓練4-2】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
(5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
（5）解：
．
【變式訓練4-3】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式，
，
；
（3）解：原式，
；
（4）解：原式，
，
，
．
【變式訓練4-4】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
【變式訓練4-5】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
，
，
；
（4）解：，
，
．
題型五：單項式乘法的實際應用
【經典例題5】如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為4的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的面積是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由圖可知：拼成的長方形的面積是；
故選D．
【變式訓練5-1】圖中陰影部分是一塊綠地，根據圖中所給的數據，則陰影部分的面積為（　　）（長度單位：m）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：陰影部分的面積
，
故選：C．
【變式訓練5-2】為改善居住環境，某社區計劃修建一個廣場，廣場的平面圖（單位：）如圖所示．
(1)用含m，n的代數式表示該廣場的面積S．
(2)若m，n滿足，求該廣場的面積S．
(3)在（2）的條件下，若一款地磚的價格為元/，鋪設地磚的人工費為元/，則為該廣場鋪滿這款地磚一共要花費多少錢？
【答案】(1)(2)(3)元
【詳解】（1）解：根據題意得：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
即該花壇的面積為．
（3）解：（元）
答：為該廣場鋪滿這款地磚一共要花費元．
【變式訓練5-3】已知一個長方體包裝箱的長為，寬為，高為．
(1)求這個長方體包裝箱的體積；
(2)如果給這個長方體包裝箱的外表面都噴上油漆，那么需噴油漆的面積為多少平方米？
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）解：因為，
所以這個長方體包裝箱的體積為；
（2）解：因為包裝箱的表面積為，
所以需噴的油漆．
【變式訓練5-4】如圖，一條水渠的橫斷面是梯形，其兩底邊的寬度分別為米和米，高為米．
(1)求水渠的橫斷面的面積；
(2)如果水渠長米，那么該水渠可以蓄水多少立方米？
【答案】(1)水渠的橫斷面積為平方米．
(2)水渠可以蓄水立方米．
【詳解】（1）解：平方米，
∴水渠的橫斷面的面積為平方米；
（2）解：立方米，
∴水渠可以蓄水立方米．
【變式訓練5-5】有總長為l的籬笆，利用它和一面墻圍成長方形園子，園子的寬度為a．
(1)如圖1，①園子的面積為 （用關于l，a的代數式表示）．
②當時，求園子的面積．
(2)如圖2，若在園子的長邊上開了長度為1的門，則園子的面積相比圖一 （填增大或減小），并求此時園子的面積（寫出解題過程，最終結果用關于l，a的代數式表示）．
【答案】(1)①；②1200(2)增大；
【詳解】（1）解：①總長為，寬為，
園子的長為：，
園子的面積為：；
故答案為：；
②當，時，
；
（2）解：園子的寬不變，長增加了，
園子的面積增大了，
在園子的長邊上開了1的門，
園子的長為：，
園子的面積為：，
園子增加的面積為：，
答：園子的面積增加了，此時園子的面積．
故答案為：增大．
題型六：單項式乘法中遮擋問題
【經典例題6】小明在課后復習時，發現一道單項式與多項式相乘的題目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的應是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：
，
故被墨水污染了的應是，
故選：D．
【變式訓練6-1】某同學在計算乘一個多項式時錯誤地計算成了加法，得到的答案是，由此可以推斷正確的計算結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：
，
．
故選：C．
【變式訓練6-2】（23-24八年級上·河南新鄉·期中）老師在黑板上書寫了一個正確的算式，隨后用手掌遮住了一個多項式，形式如下：，則 處應為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題意得：．
故選：C．
【變式訓練6-3】課后小明拿出數學筆記本復習，發現一道題被墨水污染了：，則“”處應填寫的式子是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴
故選：C．
【變式訓練6-4】小明發現一道題：． 的地方被墨水污染了， 處應填寫 ．
【答案】
【詳解】解：依題意，，
∴ 處應填寫，
故答案為：．
【變式訓練6-5】某同學在計算乘一個多項式時錯誤的計算成了加法，得到的答案是，由此可以推斷正確的計算結果是 ．
【答案】
【詳解】
解：，
，
故答案為：．
題型七：單項式乘法中定義新運算
【經典例題7】定義：表示，表示，則的結果為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：依題意，表示，表示，
則，
故選：B ．
【變式訓練7-1】定義一種新運算：，則 ．
【答案】/
【詳解】解：∵，
∴
，
，
故答案為：．
【變式訓練7-2】定義運算，比如，，那么關于“*”運算，以下等式成立的是 ．
①； ②； ③
【答案】①③/③①
【詳解】解：，，則等式①成立；
，
，則等式②不成立；
，
，則等式③成立；
綜上，等式成立的是①③，
故答案為：①③．
【變式訓練7-3】定義一種新運算“”，滿足，如：．
(1)計算： ；
(2)求的值；
(3)等式“”是否成立？請說明理由．
【答案】(1)5(2)(3)成立，理由見解析
【詳解】（1）解：；
故答案為：5．
（2）解：
；
（3）解：成立；理由如下：
左邊
，
右邊
所以左邊右邊，所以原等式成立．
【變式訓練7-4】觀察下列兩個等式：，給出定義如下：我們稱使等式成立的一對有理數為“同心有理數對”，記為，如：數對，都是“同心有理數對”．
(1)判斷數對，是“同心有理數對”嗎？如果是，請說明理由；
(2)若是“同心有理數對”，
①則_________“同心有理數對”（填“是”或“不是”）；
②求的值．
【答案】(1)不是“同心有理數對” ，是“同心有理數對”，理由見詳解(2)①是②
【詳解】（1）解：，，
故不是“同心有理數對” ．
，，
，
故是“同心有理數對”；
（2）解：①是“同心有理數對”，
．
，
故是“同心有理數對”，
故答案為：是；
②由得：，
，
當時，
原式
【變式訓練7-5】對于有理數定義新運算：．
(1)計算的值；
(2)這種新運算符合乘法分配律嗎？若符合請說明理由．
【答案】(1)(2)這種新運算不符合乘法分配律，理由見解析
【詳解】（1）解：
；
（2）解：這種新運算不符合乘法分配律，理由如下：
，
，
∴，
即這種新運算不符合乘法分配律．

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