資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.4&3.5 乘法公式和整式的化簡九大題型（一課一講）
（內容:平方差公式及其應用、完全平方公式及其應用）
【浙教版】
題型一：判斷式子變形是否正確
【經典例題1】為了運用平方差公式計算，必須先對式子進行變形．下列變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-1】給出下列式子：
①；
②；
③；
④．
其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練1-2】下列各式不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】為了運用平方差公式計算，下列變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-4】下列計算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-5】下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
題型二：乘法公式計算題
【經典例題2】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式訓練2-1】用乘法公式簡便計算：
(1)；
(2)
【變式訓練2-2】利用乘法公式計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式訓練2-3】利用平方差公式計算：
(1)；
(2)；
【變式訓練2-4】運用乘法公式計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【變式訓練2-5】利用平方差公式計算．
(1)． (2)．
(3)．
題型三：利用乘法公式比較大小
【經典例題3】設，則M與N的關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】若，則a，b，的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】若，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
【變式訓練3-3】當時，比較兩個代數式的大小關系： （ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．無法確定
【變式訓練3-4】設，，則與的關系是（ ）
A． B． C． D．
題型四：利用乘法公式求參數的值
【經典例題4】若，則n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式訓練4-1】若，則的值為（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【變式訓練4-2】若，則m等于（ ）
A． B． C．6 D．8
【變式訓練4-3】若，則m的值是 ．
【變式訓練4-4】若，則m，n的值分別為 ．
【變式訓練4-5】若是一個關于的完全平方式，則 ．
【變式訓練4-6】若，則的值是 ．
題型五：利用乘法公式求代數式的值
【經典例題5】已知，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式訓練5-1】兩個不相等的實數滿足，．
（1）的值為 ；
（2）的值為 ．
【變式訓練5-2】若，則 ．
【變式訓練5-3】已知，且，則 ．
【變式訓練5-4】已知x滿足，則的值是 ．
【變式訓練5-5】已知，，則的值為 ．
【變式訓練5-6】若，則 ．
題型六：利用完全平方公式求最值
【經典例題6】若，則的最小值是（ ）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
【變式訓練6-1】已知實數m，n滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．4
【變式訓練6-2】當x是多少時，多項式的最小值是（ ）
A．，4 B．， 5 C．0， 5 D．0， 4
【變式訓練6-3】已知實數滿足，則的最大值為 ．
【變式訓練6-4】請同學們運用公式解決問題：已知滿足，則的最小值為 ．
題型七：平方差與完全平方的實際應用
【經典例題7】3月26日，南召縣召開2024年“三城聯創”工作大會．會議要求，爭取“一年打基礎、三年出形象、五年功能完善”，進入全市第一方陣．如下圖，某公園有一塊長米，寬為米的長方形地塊，中間是邊長為米的正方形空地，規劃部門計劃在中間正方形空白處修建一座雕像，將陰影部分進行綠化，求綠化部分的面積．
【變式訓練7-1】如圖所示的是一塊“L”形菜地，要把這塊菜地分成面積相等的兩個梯形，種植兩種不同的蔬菜，這兩個梯形的上底都是，下底都是，高都是．用含x，y的代數式表示菜地的面積．當時，菜地的面積是多少平方米？
【變式訓練7-2】霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結合的連接方式——榫卯（sǔn mǎo）結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為，寬為的長方形，中間鑿掉一個邊長為的正方形，且該零件的高為．求這個零部件體積．

【變式訓練7-3】綜合與實踐
某校為落實新課標勞動教育的理念，開墾了如圖所示的兩塊邊長分別為，的正方形勞動實踐基地，它們的邊長和為．現計劃將邊長為的正方形勞動實踐基地用來種植土豆，將邊長為的正方形勞動實踐基地劃分為4塊，其中長為，寬為的長方形基地用來種植向日葵且種植的面積為，另外3塊邊長為的小正方形基地用來種植3種不同的蔬菜．
(1)求該校勞動實踐基地的總面積．
(2)某勞動實踐小組的同學準備為種植3種蔬菜的小正方形基地四周都加上鐵網，防止小動物啃咬，求鐵網的長．
【變式訓練7-4】如圖，學校有一塊邊長為的正方形空地，計劃在陰影部分的地方進行綠化，搭建一個小花壇，中間修建一個長為、寬為的長方形魚池供觀賞．
(1)綠化的面積是多少平方米？
(2)若，求綠化面積．
【變式訓練7-5】小紅家有一塊L形菜地，要把L形菜地按如圖所示分成面積相等的兩個梯形種上不同的蔬菜．已知這兩個梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)請你算一算，小紅家的菜地面積共有多少平方米？
(2)當時，面積是多少平方米？
題型八：乘法公式中定義新運算
【經典例題8】設，是有理數，定義一種新運算：．下面有四個推斷：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①②④
【變式訓練8-1】定義一種新運算．例如．按照這種運算規定，得．求x的值．
【變式訓練8-2】對于任意有理數，我們規定．例如：．當時，求的值．
【變式訓練8-3】在學習整式乘法一章時，小明定義：若一個整數能表示成（是整數）的形式，則稱這個數為“妙數”．例如：10是“妙數”，因為；再如：（是整數），所以也是“妙數”．
(1)判斷20是否為“妙數”___________（填“是”或者“否”）；
(2)已知（是整數）是常數，要使為“妙數”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．
【變式訓練8-4】小明在學習有關整式的知識時，發現一個有趣的現象：對于關于的多項式，由于，所以當取任意一對互為相反數的數時，多項式的值是相等的，例如，當，即或時，的值均為；當，即或時，的值均為．
于是小明給出一個定義：對于關于的多項式，若當取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于對稱．例如：關于對稱．
請結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關于______對稱；若關于的多項式關于對稱，則______；
(2)關于的多項式關于對稱，且當時，多項式的值為，求時，多項式的值．
【變式訓練8-5】閱讀理解題：
定義：如果一個數的平方等于，記為識，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，表示為（a，b為實數），a叫這個復數的實部．b叫做這個復數的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．
例如計算：
(1)填空：___________，___________；
(2)計算：① ②
(3)若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x，y為實數），求x，y的值．
題型九：乘法公式與幾何圖形
【經典例題9】如圖，將分割的正方形陰影部分拼接成長方形的方案中，可以驗證（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練9-1】在數學實踐課上，“智慧小組”將大正方形的陰影部分裁剪下來重新拼成一個圖形，以下4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【變式訓練9-2】如圖①所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．
(1)你認為圖②中陰影部分的正方形的邊長等于_______．
(2)請用兩種不同的方法列代數式表示圖②中陰影部分的面積.
方法①___________；方法②__________．
(3)觀察圖②，試寫出，，這三個代數式之間的等量關系______．
(4)根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若，，則求的值．
【變式訓練9-3】如圖所示，圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中的虛線剪成四個完全相同的小長方形，將四個小長方形按圖2、圖3擺放，分別拼成較大的長方形、正方形．
(1)圖1的面積為______；（用m與n的代數式表示）
(2)在圖2中，m與n的等量關系為______；
(3)在圖3中，若大正方形的面積為49，陰影小正方形的面積為24，請直接寫出兩個關于m，n的等式．
【變式訓練9-4】如圖，正方形的邊長為，正方形的邊長為，圖中陰影部分的面積可以用正方形的面積與正方形的面積的差來計算；也可以用長方形的面積與長方形的面積的和來計算．
(1)根據圖中陰影面積的不同計算方式，請直接寫成，，之間的等量關系；
(2)根據（）中得到的等量關系，解決下面的問題：
①計算：；
②若，求的值．
【變式訓練9-5】乘法公式的探究及應用
(1)如圖1到圖2的操作能驗證的等式是____________．（請選擇正確的一個）
A． B．
C． D．
(2)當，時，則____________；
(3)運用你所得到的公式，計算下列各題：
①；
②．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題3.4&3.5 乘法公式和整式的化簡九大題型（一課一講）
（內容:平方差公式及其應用、完全平方公式及其應用）
【浙教版】
題型一：判斷式子變形是否正確
【經典例題1】為了運用平方差公式計算，必須先對式子進行變形．下列變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：
，
故選：D．
【變式訓練1-1】給出下列式子：
①；
②；
③；
④．
其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】①，此題計算錯誤，故不符合題意；
②此題計算錯誤，故不符合題意；
③，此題計算正確，故符合題意；
④此題計算正確，故符合題意；
只有正確，
故選：B．
【變式訓練1-2】下列各式不能用平方差公式計算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：A、，故能夠用平方差公式計算；
B、不符合平方差公式的結構，故不能夠用平方差公式計算；
C、，故能夠用平方差公式計算；
D、，故能夠用平方差公式計算；
故選：B．
【變式訓練1-3】為了運用平方差公式計算，下列變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：
，
故選：B．
【變式訓練1-4】下列計算中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、，原計算錯誤，不符合題意；
B、，原計算錯誤，不符合題意；
C、，原計算錯誤，不符合題意；
D、，原計算正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-5】下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：A、，正確，符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算錯誤，不符合題意．
故選：A．
題型二：乘法公式計算題
【經典例題2】計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
．
【變式訓練2-1】用乘法公式簡便計算：
(1)；
(2)
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【變式訓練2-2】利用乘法公式計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【變式訓練2-3】利用平方差公式計算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)249996(2)
【詳解】（1）
解：
；
（2）
解：
．
【變式訓練2-4】運用乘法公式計算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1) (2)
(3) (4)
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【變式訓練2-5】利用平方差公式計算．
(1)． (2)．
(3)．
【答案】(1)(2)(3)1
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
題型三：利用乘法公式比較大小
【經典例題3】設，則M與N的關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：
，
，
故選：B．
【變式訓練3-1】若，則a，b，的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：，
，
，
，
．
故選：B．
【變式訓練3-2】若，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【詳解】解：，
，
，
的大小關系為：．
故選：A．
【變式訓練3-3】當時，比較兩個代數式的大小關系： （ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．無法確定
【答案】A
【詳解】解；
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓練3-4】設，，則與的關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵
，
，
∴．
故選：B．
題型四：利用乘法公式求參數的值
【經典例題4】若，則n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【詳解】解：，
則
故選：B．
【變式訓練4-1】若，則的值為（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【詳解】解：等式左邊
，
∴，
∴，
故選：B ．
【變式訓練4-2】若，則m等于（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【詳解】解：，
，
，
，
，
故選：．
【變式訓練4-3】若，則m的值是 ．
【答案】2025
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2025．
【變式訓練4-4】若，則m，n的值分別為 ．
【答案】0，
【詳解】解：，
則，
故答案為：，．
【變式訓練4-5】若是一個關于的完全平方式，則 ．
【答案】13或
【詳解】解：∵是一個關于的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案為：13或．
【變式訓練4-6】若，則的值是 ．
【答案】
【詳解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案為：．
題型五：利用乘法公式求代數式的值
【經典例題5】已知，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【詳解】解：∵
∴，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓練5-1】兩個不相等的實數滿足，．
（1）的值為 ；
（2）的值為 ．
【答案】 8或
【詳解】解：（1），
，
，
，
；
故答案為：；
（2）由（1）知，
，
，
8或．
故答案為：8或．
【變式訓練5-2】若，則 ．
【答案】48
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：48．
【變式訓練5-3】已知，且，則 ．
【答案】64
【詳解】解：∵，，
∴
∴，
故答案為：64．
【變式訓練5-4】已知x滿足，則的值是 ．
【答案】4
【詳解】解：設，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：4．
【變式訓練5-5】已知，，則的值為 ．
【答案】19
【詳解】解：已知，，
∴，
∴，
∴，
故答案為： ．
【變式訓練5-6】若，則 ．
【答案】9
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
故答案為：9．
題型六：利用完全平方公式求最值
【經典例題6】若，則的最小值是（ ）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
【答案】A
【詳解】解：
，
∵，
∴M的最小值是2014．
故選：A．
【變式訓練6-1】已知實數m，n滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．4
【答案】A
【詳解】∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為．
故選：A．
【變式訓練6-2】當x是多少時，多項式的最小值是（ ）
A．，4 B．， 5 C．0， 5 D．0， 4
【答案】A
【詳解】解：，
∵，
∴，即，
且當，即時，，
∴當x是時，多項式的最小值是4，
故選：A．
【變式訓練6-3】已知實數滿足，則的最大值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
．
∵
∴．
可得，
∴的最大值為．
故答案為：．
【變式訓練6-4】請同學們運用公式解決問題：已知滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】解：
，
∴當 時， 的最小值為，
故答案為:．
題型七：平方差與完全平方的實際應用
【經典例題7】3月26日，南召縣召開2024年“三城聯創”工作大會．會議要求，爭取“一年打基礎、三年出形象、五年功能完善”，進入全市第一方陣．如下圖，某公園有一塊長米，寬為米的長方形地塊，中間是邊長為米的正方形空地，規劃部門計劃在中間正方形空白處修建一座雕像，將陰影部分進行綠化，求綠化部分的面積．
【答案】綠化的面積是平方米．
【詳解】解：
平方米
即綠化的面積是平方米．
【變式訓練7-1】如圖所示的是一塊“L”形菜地，要把這塊菜地分成面積相等的兩個梯形，種植兩種不同的蔬菜，這兩個梯形的上底都是，下底都是，高都是．用含x，y的代數式表示菜地的面積．當時，菜地的面積是多少平方米？
【答案】；
【詳解】解：菜地的面積是．
當時，菜地的面積是．
【變式訓練7-2】霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結合的連接方式——榫卯（sǔn mǎo）結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為，寬為的長方形，中間鑿掉一個邊長為的正方形，且該零件的高為．求這個零部件體積．

【答案】這個零件體積為
【詳解】由題意得，這個零部件的平面圖體積是
．
答：這個零件體積為．
【變式訓練7-3】綜合與實踐
某校為落實新課標勞動教育的理念，開墾了如圖所示的兩塊邊長分別為，的正方形勞動實踐基地，它們的邊長和為．現計劃將邊長為的正方形勞動實踐基地用來種植土豆，將邊長為的正方形勞動實踐基地劃分為4塊，其中長為，寬為的長方形基地用來種植向日葵且種植的面積為，另外3塊邊長為的小正方形基地用來種植3種不同的蔬菜．
(1)求該校勞動實踐基地的總面積．
(2)某勞動實踐小組的同學準備為種植3種蔬菜的小正方形基地四周都加上鐵網，防止小動物啃咬，求鐵網的長．
【答案】(1)該校勞動實踐基地的總面積為(2)鐵網的長為
【詳解】（1）解：根據題意，得，．
勞動實踐基地是兩塊邊長分別為，的正方形，
勞動實踐基地的總面積為．
．
答：該校勞動實踐基地的總面積為．
（2）解：根據題意，得3塊小正方形基地的邊長，
塊小正方形基地的面積為，
，
為正整數，
．
根據題意，得3塊小正方形基地四周都加鐵網的長為．
答：鐵網的長為．
【變式訓練7-4】如圖，學校有一塊邊長為的正方形空地，計劃在陰影部分的地方進行綠化，搭建一個小花壇，中間修建一個長為、寬為的長方形魚池供觀賞．
(1)綠化的面積是多少平方米？
(2)若，求綠化面積．
【答案】(1)平方米(2)92平方米
【詳解】（1）解：由題意得：綠化的面積等于正方形的面積減去長方形的面積，
則綠化的面積為
，
答：綠化的面積是平方米．
（2）解：∵，
∴綠化的面積為
（平方米），
答：綠化面積為92平方米．
【變式訓練7-5】小紅家有一塊L形菜地，要把L形菜地按如圖所示分成面積相等的兩個梯形種上不同的蔬菜．已知這兩個梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是米．
(1)請你算一算，小紅家的菜地面積共有多少平方米？
(2)當時，面積是多少平方米？
【答案】(1) 平方米(2)平方米
【詳解】（1）菜地面積共有： 平方米
（2）當時，
（平方米）
題型八：乘法公式中定義新運算
【經典例題8】設，是有理數，定義一種新運算：．下面有四個推斷：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】A
【詳解】解：①，，故①符合題意；
②，，故②不符合題意；
③，，故③符合題意；
④；，故④不符合題意；
故選：A．
【變式訓練8-1】定義一種新運算．例如．按照這種運算規定，得．求x的值．
【答案】
【詳解】解：根據題意得，
，
，
解得：．
【變式訓練8-2】對于任意有理數，我們規定．例如：．當時，求的值．
【答案】，1
【詳解】解：原式
．
因為，所以，
所以原式．
【變式訓練8-3】在學習整式乘法一章時，小明定義：若一個整數能表示成（是整數）的形式，則稱這個數為“妙數”．例如：10是“妙數”，因為；再如：（是整數），所以也是“妙數”．
(1)判斷20是否為“妙數”___________（填“是”或者“否”）；
(2)已知（是整數）是常數，要使為“妙數”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．
【答案】(1)是(2)，理由見解析
【詳解】（1）解：，
∴20是“妙數”；
故答案為：是；
（2）解：，理由如下：
．
為“妙數”，
，
【變式訓練8-4】小明在學習有關整式的知識時，發現一個有趣的現象：對于關于的多項式，由于，所以當取任意一對互為相反數的數時，多項式的值是相等的，例如，當，即或時，的值均為；當，即或時，的值均為．
于是小明給出一個定義：對于關于的多項式，若當取任意一對互為相反數的數時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于對稱．例如：關于對稱．
請結合小明的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關于______對稱；若關于的多項式關于對稱，則______；
(2)關于的多項式關于對稱，且當時，多項式的值為，求時，多項式的值．
【答案】(1)，(2)．
【詳解】（1）解：由，
則是關于對稱，
由，關于對稱，
由題意得，
故答案為：，；
（2）由，
∵關于的多項式關于對稱，
∴，解得，
∵當時，多項式的值為，
∴，解得，
∴關于的多項式為，
∴當時，．
【變式訓練8-5】閱讀理解題：
定義：如果一個數的平方等于，記為識，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，表示為（a，b為實數），a叫這個復數的實部．b叫做這個復數的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．
例如計算：
(1)填空：___________，___________；
(2)計算：① ②
(3)若兩個復數相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下列問題：已知：（x，y為實數），求x，y的值．
【答案】(1)(2)①10；②(3)
【詳解】（1）∵，
∴，
故答案為：；
（2）①
；
②
；
（3）∵，
∴，
解得，
即．
題型九：乘法公式與幾何圖形
【經典例題9】如圖，將分割的正方形陰影部分拼接成長方形的方案中，可以驗證（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：左圖陰影部分面積可表示為，右圖陰影部分面積可表示為，
兩者面積相等，
，
即：它可以驗證，
故選：．
【變式訓練9-1】在數學實踐課上，“智慧小組”將大正方形的陰影部分裁剪下來重新拼成一個圖形，以下4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【詳解】解：①左邊陰影圖形面積為，右邊平行四邊形的底為，高為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；
②左邊陰影圖形面積為，右邊長方形的長為，寬為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；
③左邊陰影圖形面積為，右邊平行四邊形的底為，高為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；
④左邊陰影圖形的面積為，右邊長方形的面積為，不能夠驗證平方差公式，不符合題意；
∴能夠驗證平方差公式的有圖①②③，
故選：C．
【變式訓練9-2】如圖①所示是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．
(1)你認為圖②中陰影部分的正方形的邊長等于_______．
(2)請用兩種不同的方法列代數式表示圖②中陰影部分的面積.
方法①___________；方法②__________．
(3)觀察圖②，試寫出，，這三個代數式之間的等量關系______．
(4)根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若，，則求的值．
【答案】(1)(2)，
(3)(4)16
【詳解】（1）解：由拼圖可知，陰影部分是邊長為的正方形，
故答案為：；
（2）方法一：直接利用正方形的面積公式得正方形的面積為；
方法二：從邊長為的大正方形減去四個長為，寬為的矩形面積即為陰影部分的面積，
即；
故答案為：，；
（3）由（2）的兩種方法可得，；
故答案為：；
（4）．
，，
．
【變式訓練9-3】如圖所示，圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中的虛線剪成四個完全相同的小長方形，將四個小長方形按圖2、圖3擺放，分別拼成較大的長方形、正方形．
(1)圖1的面積為______；（用m與n的代數式表示）
(2)在圖2中，m與n的等量關系為______；
(3)在圖3中，若大正方形的面積為49，陰影小正方形的面積為24，請直接寫出兩個關于m，n的等式．
【答案】(1)(2)
(3)，
【詳解】（1）解：由長方形的面積公式可得：.
故答案為：；
（2）由圖可知：.
故答案為：；
（3）由圖可知：大正方形的邊長為，陰影小正方形的邊長為，
又∵大正方形的面積為49，陰影小正方形的面積為24
∴兩個關于m，n的等式為：，．
【變式訓練9-4】如圖，正方形的邊長為，正方形的邊長為，圖中陰影部分的面積可以用正方形的面積與正方形的面積的差來計算；也可以用長方形的面積與長方形的面積的和來計算．
(1)根據圖中陰影面積的不同計算方式，請直接寫成，，之間的等量關系；
(2)根據（）中得到的等量關系，解決下面的問題：
①計算：；
②若，求的值．
【答案】(1)(2)①；②
【詳解】（1）解：圖中陰影部分的面積看作用正方形的面積與正方形的面積的差，即；
圖中陰影部分的面積也可以用長方形的面積與長方形的面積的和，即，
∴；
（2）解：①原式
；
②∵
，
∵，
，
解得．
【變式訓練9-5】乘法公式的探究及應用
(1)如圖1到圖2的操作能驗證的等式是____________．（請選擇正確的一個）
A． B．
C． D．
(2)當，時，則____________；
(3)運用你所得到的公式，計算下列各題：
①；
②．
【答案】(1)D(2)2(3)①2；②
【詳解】（1）解：圖1中陰影面積為，
圖2的陰影面積為，
∴圖1到圖2的操作能驗證的等式是，
故選：D；
（2）解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
故答案為：2；
（3）解：①
；
②
.

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