資源簡介

期末復習（二）勾股定理
核心考點1 勾股定理的證明
【例1】某同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1，B是正方形ACDE的邊CD上一點，連接AB得到Rt△ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請你寫出該方法證明勾股定理的過程．
【方法講解】勾股定理的證明常采用面積法，通過用不同的式子表示同一個圖形的面積，再對兩個恒等的式子進行整理.
證明：如圖，連接BF，
∵AC=b，
∴正方形ACDE的面積為b2.
∵CD=DE=AC=b，BC=a，EF=BC=a，
∴BD=CD-BC=b-a，DF=DE+EF=a+b.
∵∠CAE=90 °，
∴∠BAC+∠BAE=90 °. 答圖
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE=90 °.
∴△BAF為等腰直角三角形.
∴S四邊形ABDF=c2+(b-a)(a+b)=c2+(b2-a2).
∵正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，
∴b22=c22+(b2-a2).
∴b2=c2+b2-1a2.
∴a2+b2=c2.
∴a2+b2=c2．
【針對訓練】
1.以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a,b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2驗證勾股定理.
解：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC.
又∵∠EDC+∠DEC=90 °，
∴∠AEB+∠DEC=90 °.
∴∠AED=90 °．
∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，
∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2．
整理，得a2+b2=c2．
核心考點2 勾股定理及其逆定理
【例2】如圖，在4×4正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1．
求證：AB⊥BC．
【方法講解】正方形網格中，兩個格點之間的距離可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是證明一個角等于90°的一種思路.
證明：AB==25,BC==5,AC==5.
∵AC2=25,BC2=5,AB2=20,
∴AB2+BC2=AC2.
∴△ABC是直角三角形，且
AB⊥BC.
【針對訓練】
2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD＝5，∠B=90°，連接AC．
（1）求AC的長；
（2）證明：△ACD是直角三角形．
(1)解：∵∠B=90 °，AB=3，BC=4，
∴AC===5.
∴AC的長為5；
(2)證明：在△ACD中，
∵AC2+CD2=52+522=50，AD2=(5)2=50，
∴AC2+CD2=AD2.
∴△ACD是直角三角形．
核心考點3 勾股定理的實際應用
【例3】如圖,某學校(點A)與公路(直線l)的距離AB為300 m,與公交車站(點D)的距離AD為500 m.
現要在公路上建一個小商店(點C),使CA=CD.求商店與公交車站之間的距離CD的長.
【方法講解】利用勾股定理解決生活中的實際問題，關鍵在于構造直角三角形，再合理地設出未知數，利用勾股定理求解.
解：根據題意，得AB⊥BD,AB=300 m,AD=500 m.
在Rt△ABD中，根據勾股定理，得
BD===400(m).
設CD=x m，則BC=(400-x)m,AC=x m,
在Rt△ABC中，根據勾股定理，得
AC2=BC2+AB2,
即x2=(400-x)2+3002.
解得x=312.5.
即商店與公交車站之間的距離為312.5 m.
【針對訓練】
3.（8分）如圖，一架梯子AB斜靠在左邊的墻上，頂端在點A處，底端在水平地面的點B處．保持梯子底端B的位置不變，將梯子斜靠在右邊的墻上，此時梯子的頂端在點C處．測得頂端A距離地面的高度AO為2 m，OB為1.5 m．
（1）求梯子的長；
（2）若頂端C距離地面的高度CD比AO多0.4 m，求OD的長．
解：(1)在Rt△AOB中，
∵∠AOB=90 °，AO=2 m，
OB=1.5 m，
∴AB===2.5(m).
即梯子的長為2.5 m；
(2)由題意得CD=AO+0.4=2.4 m，BC=AB=2.5 m，
∴BD===0.7(m).
∴OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m).
核心考點4 圖形的折疊與勾股定理
【例4】如圖，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40．將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′的長為 (D)
A．12
B．25
C．20
D．15
【方法講解】解決有關折疊的問題時，通常利用角平分線、全等三角形的性質找出各線段的長度關系，再靈活設出未知數，利用勾股定理建立方程.
【針對訓練】
4.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為6，G是BC的中點，沿著AG折疊該紙片，得點B的對應點為點F，延長GF交DC于點E，則線段DE的長為2．
一、選擇題
1.下列各組數據，是勾股數的為 (D)
A．1，1， B．0.6，0.8，1
C．4，5，6 D．8，15，17
2.最短邊長是4的直角三角形，它的另外兩條邊可能是 (C)
A．5，6 B．12，16
C．2，6 D．4，4
3.如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點D，則AD的長為 (C)
A．10
B．11
C．12
D．13
4.如圖，數軸上的點A對應的實數是-1，點B對應的實數是1.過點B作BC⊥AB，使BC=1，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交數軸于點D，則點D對應的實數是(A)
A．-1 B．+1 C． D．
5.在如圖所示的正方形網格中，△ABC和△CDE的頂點都是網格線交點，那么∠BCA+∠DCE的度數為(B)
A．30° B．45° C．60° D．75°
第5題圖 第6題圖
6.如圖，在Rt△BOD中，分別以BD，OD，BO為直徑向外作三個半圓，其面積分別為S1，S2，S3，若S1=40，S3=18，則S2為 (C)
A．18 B．20 C．22 D．24
7.如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5 m的墻上安裝了一個由傳感器控制的門鈴A，人只要移至該門口4 m及4 m以內時，門鈴就會自動發出語音“歡迎光臨”.一個身高1.5 m的學生走到D處，門鈴恰好自動響起，則該學生的頭頂C到門鈴A的距離為 (C)
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
第7題圖 第8題圖
8.如圖，“趙爽弦圖”是三國時期吳國人趙爽創制的．以直角三角形的斜邊為邊長得到一個正方形，該正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成.在一次游園活動中，數學小組制作了一面“趙爽弦圖”圖片，其中∠AEB=90°，AB=13 cm，BE=5 cm，則陰影部分的面積是 (C)
A．169 cm2 B．25 cm2
C．49 cm2 D．64 cm2
二、填空題（每題4分，共16分）
9.在平面直角坐標系中，點P（-3，5）到原點的距離是．
10.一個直角三角形的兩邊長分別是6，10，則第三邊的長是2或8．
11.如圖，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足為D，BD=2CD．若E是AD的中點，則CE=1．
第11題圖 第12題圖
12.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O．若AB=3，CD=2，則AD2+BC2的值為13．
三、解答題（共32分）
13.（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．
解：如圖，連接AC，
∵AB=20，BC=15，∠B=90 °，
∴AC===25.
∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=72+242=625=252=AC2.
∴△ADC是直角三角形.
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=AB·BC+AD·DC=×20×15+×24×7=234.
即四邊形ABCD的面積是234．
答圖
14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD，BE是中線，BE=2，AD=5，求AB的長.
解：設CE=x，CD=y，
∵AD,BE是
Rt△ABC的中線，
∴AC=2x，BC=2y.
在Rt△ACD中，∵CD2+AC2=AD2,
∴(2x)2+y2=52,
即4x2+y2=25①.
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2=BE2,
∴(2y)2+x2=(2)2，
即4y2+x2=40②.
由①②得x2+y2=13.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB===2.
15.（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，BD=2，CD=8．
（1）求證：∠BAC=90°；
（2）P為BC邊上一點，連接AP，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請求出BP的長．
(1)證明：∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB2=AD2+BD2=20.
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC2=CD2+AD2=80.
∵BC=CD+BD=10，
∴BC2=100.
∴AC2+AB2=100=BC2.
∴∠BAC=90 °，△ABC是直角三角形;
(2)解：分兩種情況：
①當BP=AB時，
∵AD⊥BC，
∴AB===2.
∴BP=AB=25；
②當AP=AB時，BP=2BD=4．
綜上所述,BP的長為2或4．
16.（10分）如圖，已知射線MN表示一艘輪船東西方向的航行路線，在點M的北偏東60°方向上有一燈塔A，燈塔A到點M處的距離為100海里．
（1）求燈塔A到航線MN的距離；
（2）在航線MN上有一點B，且∠MAB=15°，若輪船的航速為50海里/時，則輪船從點M航行到點B處所用的時間為多少小時？（結果保留根號）
解：(1)如圖，過點A作AT⊥MN于點T，
∴∠ATM=90 °.
由題意可得∠MAT=60 °，AM=100海里，
∴∠AMT=30 °.
∴AT=AM=50海里，
即燈塔A到航線MN的距離是50海里；
(2)∵∠AMB=30 °，∠BAM=15 °，
∴∠ABT=∠AMB+∠BAM=45 °.
∵∠ATM=90 °， 答圖
∴∠ABT=∠BAT.
∴AT=BT=50海里.
在Rt△AMT中，∠ATM=90 °，根據勾股定理，得
MT===50(海里)，
∴BM=MT-BT=(50-50)海里.
(50-50)÷50=(-1)小時,
故輪船從點M航行到點B處所用的時間為(-1)小時．期末復習（二）勾股定理
核心考點1 勾股定理的證明
【例1】某同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1，B是正方形ACDE的邊CD上一點，連接AB得到Rt△ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請你寫出該方法證明勾股定理的過程．
【方法講解】勾股定理的證明常采用面積法，通過用不同的式子表示同一個圖形的面積，再對兩個恒等的式子進行整理.
【針對訓練】
1.以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a,b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2驗證勾股定理.
核心考點2 勾股定理及其逆定理
【例2】如圖，在4×4正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1．
求證：AB⊥BC．
【方法講解】正方形網格中，兩個格點之間的距離可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是證明一個角等于90°的一種思路.
【針對訓練】
2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD＝5，∠B=90°，連接AC．
（1）求AC的長；
（2）證明：△ACD是直角三角形．
核心考點3 勾股定理的實際應用
【例3】如圖,某學校(點A)與公路(直線l)的距離AB為300 m,與公交車站(點D)的距離AD為500 m.
現要在公路上建一個小商店(點C),使CA=CD.求商店與公交車站之間的距離CD的長.
【方法講解】利用勾股定理解決生活中的實際問題，關鍵在于構造直角三角形，再合理地設出未知數，利用勾股定理求解.
【針對訓練】
3.（8分）如圖，一架梯子AB斜靠在左邊的墻上，頂端在點A處，底端在水平地面的點B處．保持梯子底端B的位置不變，將梯子斜靠在右邊的墻上，此時梯子的頂端在點C處．測得頂端A距離地面的高度AO為2 m，OB為1.5 m．
（1）求梯子的長；
（2）若頂端C距離地面的高度CD比AO多0.4 m，求OD的長．
核心考點4 圖形的折疊與勾股定理
【例4】如圖，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40．將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′的長為 ()
A．12
B．25
C．20
D．15
【方法講解】解決有關折疊的問題時，通常利用角平分線、全等三角形的性質找出各線段的長度關系，再靈活設出未知數，利用勾股定理建立方程.
【針對訓練】
4.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為6，G是BC的中點，沿著AG折疊該紙片，得點B的對應點為點F，延長GF交DC于點E，則線段DE的長為 ．
一、選擇題
1.下列各組數據，是勾股數的為 ()
A．1，1， B．0.6，0.8，1
C．4，5，6 D．8，15，17
2.最短邊長是4的直角三角形，它的另外兩條邊可能是 ()
A．5，6 B．12，16
C．2，6 D．4，4
3.如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點D，則AD的長為 ()
A．10
B．11
C．12
D．13
4.如圖，數軸上的點A對應的實數是-1，點B對應的實數是1.過點B作BC⊥AB，使BC=1，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交數軸于點D，則點D對應的實數是()
A．-1 B．+1 C． D．
5.在如圖所示的正方形網格中，△ABC和△CDE的頂點都是網格線交點，那么∠BCA+∠DCE的度數為()
A．30° B．45° C．60° D．75°
第5題圖 第6題圖
6.如圖，在Rt△BOD中，分別以BD，OD，BO為直徑向外作三個半圓，其面積分別為S1，S2，S3，若S1=40，S3=18，則S2為 ()
A．18 B．20 C．22 D．24
7.如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5 m的墻上安裝了一個由傳感器控制的門鈴A，人只要移至該門口4 m及4 m以內時，門鈴就會自動發出語音“歡迎光臨”.一個身高1.5 m的學生走到D處，門鈴恰好自動響起，則該學生的頭頂C到門鈴A的距離為 ()
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
第7題圖 第8題圖
8.如圖，“趙爽弦圖”是三國時期吳國人趙爽創制的．以直角三角形的斜邊為邊長得到一個正方形，該正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成.在一次游園活動中，數學小組制作了一面“趙爽弦圖”圖片，其中∠AEB=90°，AB=13 cm，BE=5 cm，則陰影部分的面積是 ()
A．169 cm2 B．25 cm2
C．49 cm2 D．64 cm2
二、填空題（每題4分，共16分）
9.在平面直角坐標系中，點P（-3，5）到原點的距離是 ．
10.一個直角三角形的兩邊長分別是6，10，則第三邊的長是 ．
11.如圖，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足為D，BD=2CD．若E是AD的中點，則CE= ．
第11題圖 第12題圖
12.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD相交于點O．若AB=3，CD=2，則AD2+BC2的值為 ．
三、解答題（共32分）
13.（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．
14.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD，BE是中線，BE=2，AD=5，求AB的長.
15.（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD=4，BD=2，CD=8．
（1）求證：∠BAC=90°；
（2）P為BC邊上一點，連接AP，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請求出BP的長．
16.（10分）如圖，已知射線MN表示一艘輪船東西方向的航行路線，在點M的北偏東60°方向上有一燈塔A，燈塔A到點M處的距離為100海里．
（1）求燈塔A到航線MN的距離；
（2）在航線MN上有一點B，且∠MAB=15°，若輪船的航速為50海里/時，則輪船從點M航行到點B處所用的時間為多少小時？（結果保留根號）

展開更多......

收起↑