資源簡介

1　兩條直線的位置關系
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解兩條直線相交和平行的關系,理解對頂角、補角、余角的概念. 幾何直觀
2.掌握對頂角相等、同角(或等角)的補角相等、同角(或等角)的余角相等這些性質,并能解決一些實際問題. 運算能力、應用意識、推理能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點
對點小練
1.如圖所示,∠1和∠2是對頂角的是( )
2.已知∠A=50°,則∠A的余角的度數是 .
3.一個角的補角是40°,那么這個角的度數是 .
4.一個角和它的余角相等,則這個角的度數是 .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 對頂角及性質應用(幾何直觀、運算能力)
【典例1】如圖,直線AB,CD相交于點O,OB平分∠DOE,
(1)寫出圖中所有的對頂角;
(2)若∠AOC=35°,求∠DOE的度數;
(3)若∠BOE∶∠COE=1∶3,求∠AOC的度數.
【舉一反三】
1. (2024·西安二模)如圖,直線a,b相交,∠2+∠3=100°,則∠1的度數為( )
A.50° B.100° C.120° D.130°
2. (2024·天津期中)如圖,直線AB,CD相交于點O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成兩部分,且∠BOE∶∠EOD=3∶2,則∠EOD= .
【技法點撥】
對頂角的三大特征
1.數量關系:如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等.
2.位置關系:有公共頂點,兩邊互為反向延長線,也可看作兩邊形成兩條相交的直線.
3.成對出現:對頂角是兩個角的關系,成對出現.
重點2 余角、補角及性質應用(運算能力)
【典例2】已知一個角的余角的兩倍與這個角的補角的和是180°,求這個角的度數.
【舉一反三】
1.若∠1=43°,則∠1的余角是( )
A.43° B.47° C.57° D.137°
2. (2024·金華期末)已知一個角的補角是它的余角的4倍,則這個角的度數是( )
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
3.(2024·揚州一模)將兩塊三角板如圖疊放,若∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=132°,則∠BOC= .
【技法點撥】
余角和補角的計算方法
1.直接計算:
(1)∠α與∠β互余,則∠α=90°-∠β或∠β=90°-∠α.
(2)∠α與∠β互補,則∠α=180°-∠β或∠β=180°-∠α.
2.方程思想:當問題中出現余角、補角之間的和差倍分關系時,可根據其中的相等關系,設未知數列方程求解.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·運算能力)下面四個圖形中,∠1與∠2是對頂角的圖形為( )
2.(3分·運算能力、推理能力)將一副三角板按如圖所示的位置擺放,其中∠α與∠β一定互余的是( )
3.(3分·推理能力)如圖,已知直線a,b相交,若∠β=40°,則∠α= .
4.(3分·運算能力、推理能力)如圖,直線AB,CD相交于點O,射線OM平分∠AOC,若∠BOD=80°,則∠BOM等于 .
5.(8分·運算能力)如圖,∠AOC與∠BOC互為補角,∠BOC與∠BOD互為余角,且∠BOC=4∠BOD.
(1)求∠BOC的度數;
(2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度數.1　兩條直線的位置關系
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解垂直是相交的特殊情況,理解垂線的概念,會用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線. 幾何直觀
2.掌握點到直線的距離的概念,并會度量點到直線的距離.掌握垂線的性質,并會利用所學知識進行簡單的推理. 幾何直觀、推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點
對點小練
1.如圖,O是直線AB上一點,OC⊥OD,∠BOC=20°,則∠AOD的大小是(C)
A.20°　 B.30° C.70° D.80°
2.如圖,BC⊥AC,BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm那么點B到AC的距離是8 cm,A,B兩點的距離是　10 cm　.
3.如圖,CB⊥AB,∠CBA與∠CBD的度數比是5∶1,則∠DBA=　72°　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 垂直的定義及應用(幾何直觀、運算能力)
【典例1】如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥CD,∠BOE=50°,射線OF平分∠AOC,求∠AOF的大小.
【自主解答】因為OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因為∠BOE=50°,所以∠BOD=40°,
因為∠BOD=∠AOC,所以∠AOC=40°,
因為射線OF平分∠AOC,所以∠AOF=∠COF=20°.
【舉一反三】
1.(2024·商丘模擬)如圖是光的反射規律示意圖,CO是入射光線,OD是反射光線,法線EO⊥AB,∠COE是入射角,∠EOD是反射角,∠EOD=∠COE.若∠AOC=2∠EOD,則∠COE的度數為(A)
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.如圖,OA⊥OB,若∠1=35°,則∠2的度數為　55°　.
3.(2024·天津期中)如圖,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB,垂足為O.
(1)若∠COE=35°,則∠AOD的度數為　　　　°(直接寫出結果);
(2)若∠AOD+∠COE=170°,求∠COE的度數.
【解析】(1)因為EO⊥AB,所以∠EOB=90°,
因為∠COE=35°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°,所以∠AOD=∠COB=125°;
答案:125
(2)因為∠AOD+∠COE=170°,
所以∠BOC+∠COE=170°,
所以∠BOE+∠COE+∠COE=170°,
所以∠BOE+2∠COE=170°,
因為∠BOE=90°,所以∠COE=40°.
【技法點撥】
垂直的兩個應用
計算 垂直→90°角→互余,已知其中一角求另一角
證明 若出現兩組互余的角,利用同角或等角的余角相等,證明兩個角相等.
重點2 垂線、垂線段的性質及應用(幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P37“嘗試·交流”拓展)
已知直線BC及直線外一點A(如圖),按要求完成下列問題:
(1)畫出射線CA,線段AB,過C點畫CD⊥AB,垂足為點D;
(2)比較線段CD和線段CA的大小,并說明理由;
(3)在以上的圖中,互余的角為　　　　　,互補的角為　　　　　.(各寫出一對即可)
【自主解答】(1)如圖:
(2)因為CD⊥AD,
所以CA>CD;
(3)因為∠DAC+∠DCA=90°,
所以∠DAC與∠DCA互余,
因為∠ADC+∠BDC=90°+90°=180°,
所以∠ADC與∠BDC互補.
答案:∠DAC,∠DCA(答案不唯一)　∠ADC,∠BDC
【舉一反三】
1.(2024·合肥期中)過點P作AB的垂線CD,下列選項中,三角板的放法正確的是(C)
2.自來水公司為某小區A改造供水系統,如圖沿路線AO鋪設管道,與主管道BO銜接(AO⊥BO),路線最短,工程造價最低,根據是(B)
A.兩點之間,線段最短
B.垂線段最短
C.兩點確定一條直線
D.經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
3.(2024·北京期中)如圖,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,則BD的長度的值可能是　4(答案不唯一)　,依據是　垂線段最短　.
【技法點撥】
認識垂線及其性質的三點注意事項
1.線段和射線都有垂線.
2.點到直線的距離是垂線段的長度,是一個數值,而垂線段是一個圖形,對此要分清楚.
3.在實際問題中,確定路徑最短或最短距離問題時,首先將實際問題轉化成數學問題,然后作出垂線,并求出具體數值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB于點O,∠EOC=35°,則∠BOD等于(C)
A.35° B.45° C.55° D.60°
2.(4分·應用意識)如圖,現要在李莊附近建一高鐵站,為了使李莊的人乘車最方便,那么選高鐵線上的點A來建高鐵站,理由是(C)
A.兩點之間,線段最短
B.兩點確定一條直線
C.垂線段最短
D.在同一平面內,過一點有且只有一條直線與這條直線垂直
3.(4分·幾何直觀、應用意識)如圖,點P是直線a外的一點,點A,B,C在直線a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC.下列關于距離的語句:
①線段PB的長是點P到直線a的距離;
②PA,PB,PC三條線段中,PB最短;
③線段AC的長是點A到直線PC的距離;
④線段PC是點C到直線PA的距離.
其中正確的個數為　2　.
4.(8分·幾何直觀、應用意識)如圖,C是河岸AB外一點.
(1)過點C修一條與河岸AB平行的綠化帶(綠化帶用直線l表示),請畫圖表示;
(2)現用水管從河岸AB將水引到C處,問:從河岸AB上的何處開口,才能使所用的水管最短 畫圖表示,并說明設計的理由.
【解析】(1)如圖,過點C畫一條平行于AB的直線l,則l為綠化帶.
(2)如圖,過點C作CD⊥AB于點D,從河岸AB上的點D處開口,才能使所用的水管最短.
設計的理由是垂線段最短.1　兩條直線的位置關系
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解兩條直線相交和平行的關系,理解對頂角、補角、余角的概念. 幾何直觀
2.掌握對頂角相等、同角(或等角)的補角相等、同角(或等角)的余角相等這些性質,并能解決一些實際問題. 運算能力、應用意識、推理能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點
對點小練
1.如圖所示,∠1和∠2是對頂角的是(B)
2.已知∠A=50°,則∠A的余角的度數是　40°　.
3.一個角的補角是40°,那么這個角的度數是　140°　.
4.一個角和它的余角相等,則這個角的度數是　45°　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 對頂角及性質應用(幾何直觀、運算能力)
【典例1】如圖,直線AB,CD相交于點O,OB平分∠DOE,
(1)寫出圖中所有的對頂角;
(2)若∠AOC=35°,求∠DOE的度數;
(3)若∠BOE∶∠COE=1∶3,求∠AOC的度數.
【自主解答】(1)∠AOC與∠BOD是對頂角,∠AOD與∠BOC是對頂角;
(2)因為∠AOC=35°,
所以∠DOB=∠AOC=35°,
又因為OB平分∠DOE,
所以∠DOE=2∠DOB=70°;
(3)因為OB平分∠DOE,
所以∠BOD=∠BOE=∠DOE,
因為∠BOE∶∠COE=1∶3,
所以∠BOD=180°×=36°,
所以∠AOC=∠BOD=36°.
【舉一反三】
1. (2024·西安二模)如圖,直線a,b相交,∠2+∠3=100°,則∠1的度數為(D)
A.50° B.100° C.120° D.130°
2. (2024·天津期中)如圖,直線AB,CD相交于點O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成兩部分,且∠BOE∶∠EOD=3∶2,則∠EOD=　28°　.
【技法點撥】
對頂角的三大特征
1.數量關系:如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等.
2.位置關系:有公共頂點,兩邊互為反向延長線,也可看作兩邊形成兩條相交的直線.
3.成對出現:對頂角是兩個角的關系,成對出現.
重點2 余角、補角及性質應用(運算能力)
【典例2】已知一個角的余角的兩倍與這個角的補角的和是180°,求這個角的度數.
【自主解答】設這個角為x,則這個角的余角為90°-x,這個角的補角為180°-x,
因為一個角的余角的兩倍與這個角的補角的和是180°,
所以2(90°-x)+180°-x=180°,
解得x=60°,
所以這個角的度數是60°.
【舉一反三】
1.若∠1=43°,則∠1的余角是(B)
A.43° B.47° C.57° D.137°
2. (2024·金華期末)已知一個角的補角是它的余角的4倍,則這個角的度數是(C)
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
3.(2024·揚州一模)將兩塊三角板如圖疊放,若∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=132°,則∠BOC=　48°　.
【技法點撥】
余角和補角的計算方法
1.直接計算:
(1)∠α與∠β互余,則∠α=90°-∠β或∠β=90°-∠α.
(2)∠α與∠β互補,則∠α=180°-∠β或∠β=180°-∠α.
2.方程思想:當問題中出現余角、補角之間的和差倍分關系時,可根據其中的相等關系,設未知數列方程求解.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·運算能力)下面四個圖形中,∠1與∠2是對頂角的圖形為(C)
2.(3分·運算能力、推理能力)將一副三角板按如圖所示的位置擺放,其中∠α與∠β一定互余的是(C)
3.(3分·推理能力)如圖,已知直線a,b相交,若∠β=40°,則∠α=　40°　.
4.(3分·運算能力、推理能力)如圖,直線AB,CD相交于點O,射線OM平分∠AOC,若∠BOD=80°,則∠BOM等于　140°　.
5.(8分·運算能力)如圖,∠AOC與∠BOC互為補角,∠BOC與∠BOD互為余角,且∠BOC=4∠BOD.
(1)求∠BOC的度數;
(2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度數.
【解析】(1)因為∠BOC與∠BOD互為余角,所以∠BOC+∠BOD=90°.因為∠BOC=4∠BOD,所以∠BOC=×90°=72°;
(2)因為∠AOC與∠BOC互為補角,所以∠AOC+∠BOC=180°.所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108°.
因為OE平分∠AOC,所以∠COE=∠AOC=×108°=54°,
所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.1　兩條直線的位置關系
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解垂直是相交的特殊情況,理解垂線的概念,會用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線. 幾何直觀
2.掌握點到直線的距離的概念,并會度量點到直線的距離.掌握垂線的性質,并會利用所學知識進行簡單的推理. 幾何直觀、推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點
對點小練
1.如圖,O是直線AB上一點,OC⊥OD,∠BOC=20°,則∠AOD的大小是( )
A.20°　 B.30° C.70° D.80°
2.如圖,BC⊥AC,BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm那么點B到AC的距離是 ,A,B兩點的距離是 .
3.如圖,CB⊥AB,∠CBA與∠CBD的度數比是5∶1,則∠DBA= .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 垂直的定義及應用(幾何直觀、運算能力)
【典例1】如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥CD,∠BOE=50°,射線OF平分∠AOC,求∠AOF的大小.
【舉一反三】
1.(2024·商丘模擬)如圖是光的反射規律示意圖,CO是入射光線,OD是反射光線,法線EO⊥AB,∠COE是入射角,∠EOD是反射角,∠EOD=∠COE.若∠AOC=2∠EOD,則∠COE的度數為( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.如圖,OA⊥OB,若∠1=35°,則∠2的度數為 .
3.(2024·天津期中)如圖,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB,垂足為O.
(1)若∠COE=35°,則∠AOD的度數為 °(直接寫出結果);
(2)若∠AOD+∠COE=170°,求∠COE的度數.
【技法點撥】
垂直的兩個應用
計算 垂直→90°角→互余,已知其中一角求另一角
證明 若出現兩組互余的角,利用同角或等角的余角相等,證明兩個角相等.
重點2 垂線、垂線段的性質及應用(幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P37“嘗試·交流”拓展)
已知直線BC及直線外一點A(如圖),按要求完成下列問題:
(1)畫出射線CA,線段AB,過C點畫CD⊥AB,垂足為點D;
(2)比較線段CD和線段CA的大小,并說明理由;
(3)在以上的圖中,互余的角為 ,互補的角為 .(各寫出一對即可)
【舉一反三】
1.(2024·合肥期中)過點P作AB的垂線CD,下列選項中,三角板的放法正確的是( )
2.自來水公司為某小區A改造供水系統,如圖沿路線AO鋪設管道,與主管道BO銜接(AO⊥BO),路線最短,工程造價最低,根據是( )
A.兩點之間,線段最短
B.垂線段最短
C.兩點確定一條直線
D.經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
3.(2024·北京期中)如圖,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,則BD的長度的值可能是 ,依據是 .
【技法點撥】
認識垂線及其性質的三點注意事項
1.線段和射線都有垂線.
2.點到直線的距離是垂線段的長度,是一個數值,而垂線段是一個圖形,對此要分清楚.
3.在實際問題中,確定路徑最短或最短距離問題時,首先將實際問題轉化成數學問題,然后作出垂線,并求出具體數值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,直線AB,CD相交于點O,EO⊥AB于點O,∠EOC=35°,則∠BOD等于( )
A.35° B.45° C.55° D.60°
2.(4分·應用意識)如圖,現要在李莊附近建一高鐵站,為了使李莊的人乘車最方便,那么選高鐵線上的點A來建高鐵站,理由是( )
A.兩點之間,線段最短
B.兩點確定一條直線
C.垂線段最短
D.在同一平面內,過一點有且只有一條直線與這條直線垂直
3.(4分·幾何直觀、應用意識)如圖,點P是直線a外的一點,點A,B,C在直線a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC.下列關于距離的語句:
①線段PB的長是點P到直線a的距離;
②PA,PB,PC三條線段中,PB最短;
③線段AC的長是點A到直線PC的距離;
④線段PC是點C到直線PA的距離.
其中正確的個數為 .
4.(8分·幾何直觀、應用意識)如圖,C是河岸AB外一點.
(1)過點C修一條與河岸AB平行的綠化帶(綠化帶用直線l表示),請畫圖表示;
(2)現用水管從河岸AB將水引到C處,問:從河岸AB上的何處開口,才能使所用的水管最短 畫圖表示,并說明設計的理由.

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