資源簡介

3　等可能事件的概率　
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解可轉化為等可能事件的幾何類型的特點,會判斷試驗結果是否具有等可能性 數據觀念、幾何直觀
2.掌握可轉化為等可能事件的幾何類型的概率計算方法 數據觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點
與面積相關的等可能事件概率的求法:
事件A的概率等于事件A所包含的圖形面積m與圖形總面積n的比,P(A)= 　.
對點小練
如圖,小亮有一張卡片藏在9塊瓷磚中的某一塊下面(每塊瓷磚除圖案外其他均相同),那么卡片藏在瓷磚下的概率為(C)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 與面積有關的概率問題(數據觀念、幾何直觀)
【典例1】如圖,在4×4的正方形網格飛鏢游戲板中,每塊小正方形除顏色外都相同,小正方形的頂點稱為格點,小正方形的邊長為1,假設飛鏢擊中游戲板的每一處都是等可能的(擊中邊界或沒有擊中游戲板,則重投一次),任意投擲飛鏢一次,飛鏢擊中陰影部分的概率是 　.
【舉一反三】
1.(2023·煙臺中考)如圖,在正方形中,陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心,以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形.將一個小球在該正方形內自由滾動,小球隨機地停在正方形內的某一點上.若小球停在陰影部分的概率為P1,停在空白部分的概率為P2,則P1與P2的大小關系為(B)
A.P1C.P1>P2 D.無法判斷
2.(2024·濟南一模)如圖,在邊長為2的正方形內有一邊長為1的小正方形,一只青蛙在該圖案內任意跳動,則這只青蛙跳入陰影部分的概率是 　.
【技法點撥】
解答與面積相關的概率問題的三步驟
重點2 與轉盤有關的概率問題(數據觀念)
【典例2】(教材再開發·P75嘗試·思考拓展)如圖所示,一個轉盤被分成7個相同的扇形,顏色分為紅、黃、綠三種,指針的位置固定,轉動轉盤后任其自由停止,其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置(指針指向兩個扇形的交線時,當作指向右邊的扇形),則指針指向紅色的概率為 　.
【舉一反三】
(2024·菏澤一模)如圖,一個游戲轉盤被分成紅、黃、藍三個扇形,其中藍、黃扇形的圓心角度數分別為60°,90°,轉動轉盤,停止后指針落在紅色扇形區域的概率是 　.
【技法點撥】
　　　在轉盤中求指針落在某個扇形區域的概率時,若各部分扇形面積不相等,通過用該扇形面積與轉盤的面積之比來表示.也可用扇形的圓心角度數和整個圓周角360°的比來表示.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·數據觀念·2023·連云港中考)如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形,在這個圖形內任取一點P,則點P落在陰影部分的概率為(B)
A.　 B. C. D.
2.(4分·數據觀念)如圖,轉盤中8個扇形的面積都相等,涂色的為灰色部分,其余為白色部分,任意轉動這個轉盤1次,當轉盤停止轉動時,指針落在灰色區域的概率是(B)
A. B. C. D.
3.(4分·數據觀念·2024·蘇州中考)如圖,正八邊形轉盤被分成八個面積相等的三角形,任意轉動這個轉盤一次,當轉盤停止轉動時,指針落在陰影部分的概率是 　.
4.(8分·數據觀念)(1)轉動如圖1所示的轉盤(轉盤中各個扇形的面積都相等),當轉盤停止轉動時指針落在紅、黃、綠某一顏色區域內(若指針落在交界線上,則重新轉動).
下列事件:①指針指向紅色區域;②指針指向綠色區域;③指針指向黃色區域;④指針不指向黃色區域.將這些事件的序號按發生的可能性從小到大的順序排列:　　　　　　　.
(2)請你在圖2中設計一個轉盤,使指針落在紅色區域和黃色區域的可能性一樣大,且指針落在綠色區域的可能性最大.
【解析】(1)由于轉盤被等分成6份,其中紅色占3份,黃色占2份,綠色占1份,則
①指針指向紅色區域的概率為=;
②指針指向綠色區域的概率為;
③指針指向黃色區域的概率為=;
④指針不指向黃色區域的概率為1-=.
因為>>>,
所以這些事件的序號按發生的可能性從小到大的順序排列為②<③<①<④.
答案:②<③<①<④.
(2)如圖所示:
(答案不唯一)3　等可能事件的概率
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解等可能事件的特點,會判斷試驗結果是否具有等可能性 數據觀念
2.掌握等可能事件的概率計算方法 數據觀念
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點
對點小練
1.一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球,它們除顏色外其余都相同.從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為( )
A. B. C. D.
2.某學校組織創城知識競賽,共設有20道試題,其中有:社會主義核心價值觀試題3道,文明校園創建標準試題6道,文明禮貌試題11道.學生小宇從中任選一道試題作答,他選中文明校園創建標準試題的概率是( )
A. B. C. D.
3.從一批節能燈中隨機抽取40只進行檢查,發現次品2只,則在這批節能燈中隨機抽取一只是次品的概率為 .
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 簡單的等可能事件的概率(數據觀念)
【典例1】(教材再開發·P73例拓展)某校某次外出社會實踐活動分為三類,因資源有限,七年級7班分配到20個名額,其中甲類2個、乙類8個、丙類10個,已知該班有50名學生,班主任準備了50個簽,其中甲類、乙類、丙類按名額設置以及30個空簽.采取抽簽的方式來確定名額分配,請解決下列問題:
(1)該班小明同學恰好抽到丙類名額的概率是多少
(2)該班小麗同學能有幸去參加實踐活動的概率是多少
(3)若要求抽到甲類名額的概率要達到20%,則還要爭取甲類名額多少個
【舉一反三】
1.(2023·成都中考)為貫徹教育部《大中小學勞動教育指導綱要(試行)》文件精神,某學校積極開設種植類勞動教育課.某班決定讓每位學生隨機抽取一張卡片來確定自己的種植項目,老師提供6張背面完全相同的卡片,其中蔬菜類有4張,正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案;水果類有2張,正面分別印有草莓、西瓜圖案,每個圖案對應該種植項目.把這6張卡片背面朝上洗勻,小明隨機抽取一張,他恰好抽中水果類卡片的概率是( )
A. 　 B. C. 　 D.
2.(2023·嘉興、舟山中考)現有三張正面印有2023年杭州亞運會吉祥物琮琮、宸宸和蓮蓮的不透明卡片,卡片除正面圖案不同外,其余均相同.將三張卡片正面向下洗勻,從中隨機抽取一張卡片,則抽出的卡片圖案是琮琮的概率是 .
【技法點撥】
解答與數量相關概率問題的四步驟
重點2 設計游戲(數據觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P74嘗試·思考強化)小軍與小玲共同發明了一種“字母棋”,進行比勝負的游戲.他們用四個字母做成10枚棋子,如圖,棋子A有1枚,棋子B有2枚,棋子C有3枚,棋子D有4枚.“字母棋”的游戲規則如下:①游戲時兩人各摸一枚棋子進行比賽稱為一輪比賽,先摸者摸出的棋子不放回;②棋子A勝棋子B、棋子C,棋子B勝棋子C、棋子D,棋子C勝棋子D,棋子D勝棋子A;③相同棋子不分勝負.
(1)若小玲先摸,則小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C,小軍在剩余的9枚棋子中隨機摸一枚,這一輪小玲勝小軍的概率是多少
(3)如何設計小玲先摸到棋子,使小玲勝小軍的概率最大
【舉一反三】
1.曉剛用瓶蓋設計了一個游戲:任意擲出一個瓶蓋,如果蓋面朝上則甲勝,如果蓋面朝下則乙勝,你認為這個游戲 (填“公平”或“不公平”);如果用硬幣代替瓶蓋,同樣進行上述游戲,你認為這個游戲 (填“公平”或“不公平”).
2.用6個球(除顏色外沒有區別)設計滿足以下條件的游戲:摸到白球的概率為,摸到紅球的概率為,摸到黃球的概率為.則應設 個白球, 個紅球, 個黃球.
3.設計摸球游戲如下:
(1)若袋中裝有完全相同的10個紅球,則從中隨機摸出1球是紅球的概率為 ;
(2)若袋中裝有除顏色外完全相同的5個紅球和5個黑球,則從中隨機摸出1球,得到黑球的概率為 ;
(3)若袋中裝有除顏色外完全相同的2個綠球、7個紅球和1個黑球,則從中隨機摸出1球,摸到綠球的概率為 ;
(4)若袋中裝有除顏色外完全相同的2個綠球、7個紅球和1個黑球,再向袋中放入4個黃球,則從中隨機摸出1球是黃球的概率為 .
【技法點撥】
概率在游戲和摸球試驗中的作用
1.判斷游戲是否公平,關鍵是看雙方在游戲中關注的事件所發生的概率是否相同.
2.在摸球試驗中,某種顏色球出現的概率等于該種顏色的球的數量與球的總數的比,利用這個結論可以列方程計算球的個數.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·數據觀念·2023·麗水中考)某校準備組織紅色研學活動,需要從梅歧、王村口、住龍、小順四個紅色教育基地中任選一個前往研學,選中梅歧紅色教育基地的概率是( )
A. 　　 B. C. 　　 D.
2.(4分·數據觀念)有6片形狀大小完全一樣的正方形卡片,其中每個上面標有數字1,2,2,3,4,6,從中隨機抽一張,抽出標有數字是偶數的卡片的概率為( )
A. B. C. D.
3.(4分·數據觀念)不透明袋子中裝有6個球,其中有1個粉色球和5個藍色球,這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出1個球,則它是藍色球的概率為 .
4.(8分·數據觀念)一副撲克牌(大、小王除外)有四種花色,且每種花色皆有13種點數,分別為2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A,共52張.
某撲克牌游戲中,玩家可以利用“牌值”來評估尚未發出的牌值點數大小.“牌值”的計算方式為:未發牌時先設“牌值”為0;當發出的牌點數為2至10時,表示發出點數小的牌,則“牌值”加2;當發出的牌點數為J,Q,K,A時,表示發出點數大的牌,則“牌值”減2.
例如:從該副撲克牌中發出了6張牌,點數依序為3,A,8,9,Q,5,則此時的“牌值”為0+2-2+2+2-2+2=4.
請根據上述信息回答下列問題:
(1)若從該副撲克牌中發出了1張牌,求此時的“牌值”為-2的概率;
(2)已知從該副撲克牌中已發出32張牌,且此時的“牌值”為24.若剩下的牌中每一張牌被發出的機會均相等,求下一張發出的牌是點數大的牌的概率.3　等可能事件的概率　
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解可轉化為等可能事件的幾何類型的特點,會判斷試驗結果是否具有等可能性 數據觀念、幾何直觀
2.掌握可轉化為等可能事件的幾何類型的概率計算方法 數據觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點
與面積相關的等可能事件概率的求法:
事件A的概率等于事件A所包含的圖形面積m與圖形總面積n的比,P( )= .
對點小練
如圖,小亮有一張卡片藏在9塊瓷磚中的某一塊下面(每塊瓷磚除圖案外其他均相同),那么卡片藏在瓷磚下的概率為( )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 與面積有關的概率問題(數據觀念、幾何直觀)
【典例1】如圖,在4×4的正方形網格飛鏢游戲板中,每塊小正方形除顏色外都相同,小正方形的頂點稱為格點,小正方形的邊長為1,假設飛鏢擊中游戲板的每一處都是等可能的(擊中邊界或沒有擊中游戲板,則重投一次),任意投擲飛鏢一次,飛鏢擊中陰影部分的概率是 .
【舉一反三】
1.(2023·煙臺中考)如圖,在正方形中,陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心,以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形.將一個小球在該正方形內自由滾動,小球隨機地停在正方形內的某一點上.若小球停在陰影部分的概率為P1,停在空白部分的概率為P2,則P1與P2的大小關系為( )
A.P1C.P1>P2 D.無法判斷
2.(2024·濟南一模)如圖,在邊長為2的正方形內有一邊長為1的小正方形,一只青蛙在該圖案內任意跳動,則這只青蛙跳入陰影部分的概率是 .
【技法點撥】
解答與面積相關的概率問題的三步驟
重點2 與轉盤有關的概率問題(數據觀念)
【典例2】(教材再開發·P75嘗試·思考拓展)如圖所示,一個轉盤被分成7個相同的扇形,顏色分為紅、黃、綠三種,指針的位置固定,轉動轉盤后任其自由停止,其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置(指針指向兩個扇形的交線時,當作指向右邊的扇形),則指針指向紅色的概率為 .
【舉一反三】
(2024·菏澤一模)如圖,一個游戲轉盤被分成紅、黃、藍三個扇形,其中藍、黃扇形的圓心角度數分別為60°,90°,轉動轉盤,停止后指針落在紅色扇形區域的概率是 .
【技法點撥】
　　　在轉盤中求指針落在某個扇形區域的概率時,若各部分扇形面積不相等,通過用該扇形面積與轉盤的面積之比來表示.也可用扇形的圓心角度數和整個圓周角360°的比來表示.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·數據觀念·2023·連云港中考)如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形,在這個圖形內任取一點P,則點P落在陰影部分的概率為( )
A.　 B. C. D.
2.(4分·數據觀念)如圖,轉盤中8個扇形的面積都相等,涂色的為灰色部分,其余為白色部分,任意轉動這個轉盤1次,當轉盤停止轉動時,指針落在灰色區域的概率是( )
A. B. C. D.
3.(4分·數據觀念·2024·蘇州中考)如圖,正八邊形轉盤被分成八個面積相等的三角形,任意轉動這個轉盤一次,當轉盤停止轉動時,指針落在陰影部分的概率是 .
4.(8分·數據觀念)(1)轉動如圖1所示的轉盤(轉盤中各個扇形的面積都相等),當轉盤停止轉動時指針落在紅、黃、綠某一顏色區域內(若指針落在交界線上,則重新轉動).
下列事件:①指針指向紅色區域;②指針指向綠色區域;③指針指向黃色區域;④指針不指向黃色區域.將這些事件的序號按發生的可能性從小到大的順序排列: .
(2)請你在圖2中設計一個轉盤,使指針落在紅色區域和黃色區域的可能性一樣大,且指針落在綠色區域的可能性最大.3　等可能事件的概率
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解等可能事件的特點,會判斷試驗結果是否具有等可能性 數據觀念
2.掌握等可能事件的概率計算方法 數據觀念
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點
對點小練
1.一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球,它們除顏色外其余都相同.從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為(D)
A. B. C. D.
2.某學校組織創城知識競賽,共設有20道試題,其中有:社會主義核心價值觀試題3道,文明校園創建標準試題6道,文明禮貌試題11道.學生小宇從中任選一道試題作答,他選中文明校園創建標準試題的概率是(B)
A. B. C. D.
3.從一批節能燈中隨機抽取40只進行檢查,發現次品2只,則在這批節能燈中隨機抽取一只是次品的概率為 　.
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 簡單的等可能事件的概率(數據觀念)
【典例1】(教材再開發·P73例拓展)某校某次外出社會實踐活動分為三類,因資源有限,七年級7班分配到20個名額,其中甲類2個、乙類8個、丙類10個,已知該班有50名學生,班主任準備了50個簽,其中甲類、乙類、丙類按名額設置以及30個空簽.采取抽簽的方式來確定名額分配,請解決下列問題:
(1)該班小明同學恰好抽到丙類名額的概率是多少
(2)該班小麗同學能有幸去參加實踐活動的概率是多少
(3)若要求抽到甲類名額的概率要達到20%,則還要爭取甲類名額多少個
【自主解答】(1)該班小明同學恰好抽到丙類名額的概率為=;
(2)該班小麗同學能有幸去參加實踐活動的概率為=;
(3)設還要爭取甲類名額x個,根據題意得=20%,解得x=8.
答:還要爭取甲類名額8個.
【舉一反三】
1.(2023·成都中考)為貫徹教育部《大中小學勞動教育指導綱要(試行)》文件精神,某學校積極開設種植類勞動教育課.某班決定讓每位學生隨機抽取一張卡片來確定自己的種植項目,老師提供6張背面完全相同的卡片,其中蔬菜類有4張,正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案;水果類有2張,正面分別印有草莓、西瓜圖案,每個圖案對應該種植項目.把這6張卡片背面朝上洗勻,小明隨機抽取一張,他恰好抽中水果類卡片的概率是(B)
A. 　 B. C. 　 D.
2.(2023·嘉興、舟山中考)現有三張正面印有2023年杭州亞運會吉祥物琮琮、宸宸和蓮蓮的不透明卡片,卡片除正面圖案不同外,其余均相同.將三張卡片正面向下洗勻,從中隨機抽取一張卡片,則抽出的卡片圖案是琮琮的概率是 　.
【技法點撥】
解答與數量相關概率問題的四步驟
重點2 設計游戲(數據觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P74嘗試·思考強化)小軍與小玲共同發明了一種“字母棋”,進行比勝負的游戲.他們用四個字母做成10枚棋子,如圖,棋子A有1枚,棋子B有2枚,棋子C有3枚,棋子D有4枚.“字母棋”的游戲規則如下:①游戲時兩人各摸一枚棋子進行比賽稱為一輪比賽,先摸者摸出的棋子不放回;②棋子A勝棋子B、棋子C,棋子B勝棋子C、棋子D,棋子C勝棋子D,棋子D勝棋子A;③相同棋子不分勝負.
(1)若小玲先摸,則小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C,小軍在剩余的9枚棋子中隨機摸一枚,這一輪小玲勝小軍的概率是多少
(3)如何設計小玲先摸到棋子,使小玲勝小軍的概率最大
【自主解答】(1)根據題意,可能出現的結果有A,B,B,C,C,C,D,D,D,D,共有10個等可能的結果,小玲摸到棋子C的結果有3個,所以若小玲先摸,則小玲摸到棋子C的概率是;
(2)因為小玲先摸到了棋子C,若小軍在剩余的9枚棋子中隨機摸一枚,那小軍摸到棋子的等可能結果有9個,只有當小軍摸到棋子D時,小玲勝小軍,所以這一輪小玲勝小軍的概率為;
(3)①若小玲摸到棋子A,小軍摸到棋子B、棋子C,小玲勝,所以小玲勝小軍的概率是;
②若小玲摸到棋子B,小軍摸到棋子D、棋子C,小玲勝,所以小玲勝小軍的概率是;
③若小玲摸到棋子C,小軍摸到棋子D,小玲勝,所以小玲勝小軍的概率是;
④若小玲摸到棋子D,小軍摸到棋子A,小玲勝,所以小玲勝小軍的概率是;
因為>>>,所以小玲先摸到棋子B,小玲勝小軍的概率最大.
【舉一反三】
1.曉剛用瓶蓋設計了一個游戲:任意擲出一個瓶蓋,如果蓋面朝上則甲勝,如果蓋面朝下則乙勝,你認為這個游戲　不公平　(填“公平”或“不公平”);如果用硬幣代替瓶蓋,同樣進行上述游戲,你認為這個游戲　公平　(填“公平”或“不公平”).
2.用6個球(除顏色外沒有區別)設計滿足以下條件的游戲:摸到白球的概率為,摸到紅球的概率為,摸到黃球的概率為.則應設　3　個白球,　2　個紅球,　1　個黃球.
3.設計摸球游戲如下:
(1)若袋中裝有完全相同的10個紅球,則從中隨機摸出1球是紅球的概率為　1　;
(2)若袋中裝有除顏色外完全相同的5個紅球和5個黑球,則從中隨機摸出1球,得到黑球的概率為 　;
(3)若袋中裝有除顏色外完全相同的2個綠球、7個紅球和1個黑球,則從中隨機摸出1球,摸到綠球的概率為 　;
(4)若袋中裝有除顏色外完全相同的2個綠球、7個紅球和1個黑球,再向袋中放入4個黃球,則從中隨機摸出1球是黃球的概率為 　.
【技法點撥】
概率在游戲和摸球試驗中的作用
1.判斷游戲是否公平,關鍵是看雙方在游戲中關注的事件所發生的概率是否相同.
2.在摸球試驗中,某種顏色球出現的概率等于該種顏色的球的數量與球的總數的比,利用這個結論可以列方程計算球的個數.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·數據觀念·2023·麗水中考)某校準備組織紅色研學活動,需要從梅歧、王村口、住龍、小順四個紅色教育基地中任選一個前往研學,選中梅歧紅色教育基地的概率是(B)
A. 　　 B. C. 　　 D.
2.(4分·數據觀念)有6片形狀大小完全一樣的正方形卡片,其中每個上面標有數字1,2,2,3,4,6,從中隨機抽一張,抽出標有數字是偶數的卡片的概率為(D)
A. B. C. D.
3.(4分·數據觀念)不透明袋子中裝有6個球,其中有1個粉色球和5個藍色球,這些球除顏色外無其他差別.從袋子中隨機取出1個球,則它是藍色球的概率為 　.
4.(8分·數據觀念)一副撲克牌(大、小王除外)有四種花色,且每種花色皆有13種點數,分別為2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A,共52張.
某撲克牌游戲中,玩家可以利用“牌值”來評估尚未發出的牌值點數大小.“牌值”的計算方式為:未發牌時先設“牌值”為0;當發出的牌點數為2至10時,表示發出點數小的牌,則“牌值”加2;當發出的牌點數為J,Q,K,A時,表示發出點數大的牌,則“牌值”減2.
例如:從該副撲克牌中發出了6張牌,點數依序為3,A,8,9,Q,5,則此時的“牌值”為0+2-2+2+2-2+2=4.
請根據上述信息回答下列問題:
(1)若從該副撲克牌中發出了1張牌,求此時的“牌值”為-2的概率;
(2)已知從該副撲克牌中已發出32張牌,且此時的“牌值”為24.若剩下的牌中每一張牌被發出的機會均相等,求下一張發出的牌是點數大的牌的概率.
【解析】(1)因為該副撲克牌中,點數大的牌共有16張,且 =,
所以“牌值”為-2的概率是;
(2)設從該副撲克牌已發出的32張牌中點數大的張數為x,依題意得,2(32-x)-2x=24,
解得x=10,所以已發出的32張牌中點數大的張數為10,所以剩余的20張牌中點數大的張數為6.因為剩下的牌中每一張牌被發出的機會均相等,所以下一張發出的牌是點數大的牌的概率是.

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