資源簡介

3　探索三角形全等的條件
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.掌握基本事實(shí):三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 推理能力
2.了解三角形的穩(wěn)定性 幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
三角形全等的條件 1.如圖,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,則可以由“SSS”直接判定 ≌ . 2.如圖,已知AD=CB,若利用“SSS”來判定△ABC≌△CDA,則添加直接條件是 .
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長
【重點(diǎn)1】應(yīng)用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P100T1拓展)如圖,點(diǎn)D,A,E,B在同一直線上,EF=BC,DF=AC,DA=EB.試說明:∠F=∠C.
【舉一反三】
1.如圖所示,已知AB=DC,則再添加下列哪一個(gè)條件,可以判定△ABC≌△DCB( )
A.AO=DO B.BO=CO
C.AC=DB D.BC=CD
2.已知:如圖,AC與BD交于點(diǎn)O,且AB=DC,AC=DB.求證:OA=OD.
【證明】在△ABD和△DCA中,
,所以△ABD≌△DCA(SSS),
所以∠BDA=∠CAD,即∠ODA=∠OAD,
所以O(shè)A=OD.
【技法點(diǎn)撥】
尋找線段相等的方法
(1)利用線段中點(diǎn)的定義說明線段相等.
(2)圖形中的隱含條件,如公共邊(也可添加輔助線構(gòu)造公共邊).
(3)多條線段共線時(shí),通過計(jì)算線段的和差來尋找相等的線段.
(4)利用全等三角形的性質(zhì)判斷線段相等.
【重點(diǎn)2】三角形的穩(wěn)定性(應(yīng)用意識(shí))
【典例2】如圖,一扇窗戶打開后,用窗鉤AB可將其固定,這里所運(yùn)用的幾何原理是( )
A.三角形的穩(wěn)定性 B.兩點(diǎn)之間線段最短
C.兩點(diǎn)確定一條直線 D.垂線段最短
【舉一反三】
1.(2024·石家莊期中)下列圖形中,不具有穩(wěn)定性的是( )
2.如圖,生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架,這是利用三角形的 .
【技法點(diǎn)撥】
使多邊形穩(wěn)定的方法
四邊形、五邊形等多邊形不具有穩(wěn)定性,從一個(gè)頂點(diǎn)向與其不相鄰的頂點(diǎn)引(n-3)條對角線能使該多邊形穩(wěn)定,無論怎樣添加對角線,只要能保證把多邊形分成若干個(gè)三角形即可.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·應(yīng)用意識(shí))如圖,工人師傅砌門時(shí),常用木條EF固定門框ABCD,使其不變形,這種做法的依據(jù)是( )
A.兩點(diǎn)之間線段最短
B.長方形的對稱性
C.長方形的四個(gè)角都是直角
D.三角形的穩(wěn)定性
2.(4分·推理能力)如圖,在△ABC和△DEF中,點(diǎn)B,C,E,F在同一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,∠A=95°,∠DEF=15°,則∠F的度數(shù)為( )
A.25° B.60° C.70° D.95°
3.(4分·推理能力)如圖,點(diǎn)E在AB上,AC=AD,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使圖中存在全等三角形.所添加條件為 .
4.(8分·推理能力)已知,如圖,F,C是AD上的兩點(diǎn),且AB=DE,AF=DC,BC=EF.
求證:AB∥ED.3　探索三角形全等的條件
第3課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.借助尺規(guī)能作出三角形 應(yīng)用意識(shí)、幾何直觀、推理能力
2.掌握基本事實(shí):兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺(tái) 起于累土
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
如圖,已知AO=CO,若以“SAS”為依據(jù)說明△AOB≌△COD,還要添加的條件是 .
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
【重點(diǎn)1】用尺規(guī)作三角形(幾何直觀、應(yīng)用意識(shí))
【典例1】作圖題:已知∠α,∠β和線段a,求作△ABC,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=2a.
【舉一反三】
1.下列所給的四組條件中,能作出唯一三角形的是( )
A.AB=2 cm,BC=6 cm,AC=3 cm
B.BC=3 cm,AC=5 cm,∠C=70°
C.∠A=∠B=∠C=60°
D.AB=4 cm,AC=6 cm,∠B=30°
2.現(xiàn)已知線段a,b(a嘉嘉:以點(diǎn)O為圓心、線段a的長為半徑畫弧,交射線ON于點(diǎn)A;以點(diǎn)A為圓心、線段b的長為半徑畫弧,交射線OM于點(diǎn)B,連接AB,△ABO即為所求.
琪琪:以點(diǎn)O為圓心、線段a的長為半徑畫弧,交射線ON于點(diǎn)A;以點(diǎn)O為圓心、線段b的長為半徑畫弧,交射線OM于點(diǎn)B,連接AB,△ABO即為所求.
則下列說法中正確的是( )
A.嘉嘉的作法正確,琪琪的作法錯(cuò)誤
B.琪琪的作法正確,嘉嘉的作法錯(cuò)誤
C.兩人的作法都正確
D.兩人的作法都錯(cuò)誤
3.已知:線段a(如圖).
求作:△ABC,使AB=2a,BC=AC=3a.
【技法點(diǎn)撥】
尺規(guī)作圖的基本思路
1.已知:將條件具體化.
2.求作:具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件.
3.作法:依次敘述作圖過程.
4.說明:為了驗(yàn)證作圖的正確性,作完圖后根據(jù)已知的定義、定理,并結(jié)合作法說明所作的圖形完全符合題設(shè)條件.一般不需要說明.
【重點(diǎn)2】利用“SAS”證明全等(幾何直觀、推理能力)
【典例2】如圖,BD∥AC,BD=BC,點(diǎn)E在BC上,且BE=AC.試說明:∠D=∠ABC.
【舉一反三】
　如圖,已知BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上.求證:∠A=∠D.
【重點(diǎn)3】三角形全等判定定理的綜合應(yīng)用(幾何直觀、推理能力)
【典例3】(教材再開發(fā)·P106T5強(qiáng)化)如圖,AD=AC,AB=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)試說明:△ADE≌△ACB;
(2)判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【舉一反三】
(2024·杭州一模)如圖,點(diǎn)C,點(diǎn)E分別在線段AD,AB上,線段BC與DE交于點(diǎn)F,且滿足AB=AD.下列添加的條件中不能推得△ABC≌△ADE的是( )
A.AC=AE B.BF=DF
C.BE=CD D.BC=DE
【技法點(diǎn)撥】
由已知說明兩個(gè)三角形全等的一般思路
1.若已知兩邊
2.若已知一邊一角
3.若已知兩角
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)如圖,AC和BD交于O,OA=OD,用SAS證明△AOB≌△DOC還需添加的條件是( )
A.∠A=∠D　　　　B.AB=DC
C.OB=OC D.∠AOB=∠DOC
2.(3分·推理能力)如圖,在△ABC和△BDE中,再添兩個(gè)條件不能使△ABC和△BDE全等的是( )
A.AB=BD,AE=DC
B.AB=BD,DE=AC
C.BE=BC,∠E=∠C
D.∠EAF=∠CDF,DE=AC
3.(6分·推理能力、應(yīng)用意識(shí))作圖題(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法).
已知:如圖,線段a,c,∠α.
求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
4.(8分·推理能力)如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E為AC上一點(diǎn),AE=AB,連接DE.
(1)求證:△ABD≌△AED.
(2)已知AB=9,△CDE的周長為15,求△ABC的周長.3　探索三角形全等的條件
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.掌握基本事實(shí):兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 模型觀念、幾何直觀、推理能力
2.能證明定理:兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.如圖,點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上,AC=DF,∠1=∠2,如果根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DEF,那么需要補(bǔ)充的條件是( ) A.AB=DE　　　　B.∠A=∠D C.BF=CE D.∠B=∠D 2.如圖,已知AB平分∠DAC,∠D=∠C,則根據(jù)“ ”,就可判斷△ABD≌△ABC.
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點(diǎn)1】利用“ASA”判定三角形全等(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P102隨堂練習(xí)T1·2022·樂山中考)如圖,B是線段AC的中點(diǎn),AD∥BE,BD∥CE.試說明:△ABD≌△BCE.
【舉一反三】
1.在△ABC和△DEF中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要用ASA判定這兩個(gè)三角形全等,還需要條件( )
A.BC=ED B.AB=FD
C.∠A=∠F D.以上條件都不正確
2.(2024·佛山期中)已知:如圖,點(diǎn)A,C,F,D在同一直線上,AB∥DE,∠B=∠E,AB=DE,證明:△ABC≌△DEF.
【證明】因?yàn)锳B∥DE,
所以∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
,
所以△ABC≌△DEF(ASA).
【重點(diǎn)2】利用“AAS”判定三角形全等(模型觀念、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P102“思考·交流”強(qiáng)化)如圖,在△ABC和△AED中,AC=DE,∠B=90°,點(diǎn)C在AD上,AB∥DE,連接CE,CE⊥AD.試說明:AB=DC.
【舉一反三】
(2024·西安四模)如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AE∥BC,且AE=CD,連接DE交AC于點(diǎn)F.求證:AF=CF.
【技法點(diǎn)撥】
判定三角形全等的三類條件
(1)直接條件:即已知中直接給出的三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角;
(2)隱含條件:即已知中沒有給出,但通過讀圖得到的條件,如公共邊、公共角、對頂角;
(3)間接條件:即已知中所給條件不是三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角,需要進(jìn)一步推理.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1. (4分·推理能力)如圖,AB=AC,∠B=∠C則△ABE≌△ACF的判定依據(jù)為( )
A.ASA　 B.AAS　 C.SAS　 D.SSS
2.(8分·推理能力)如圖,點(diǎn)C在線段BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACB=∠CED,BC=DE.
(1)求證:△ABC≌△CDE;
(2)若AB=2,DE=4,求BD的長.
3.(8分·推理能力)在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),AC∥BF.
(1)證明:DE=DF;
(2)若∠BAC=110°,BD平分∠ABF,求∠C的度數(shù).3　探索三角形全等的條件
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.掌握基本事實(shí):兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 模型觀念、幾何直觀、推理能力
2.能證明定理:兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.如圖,點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上,AC=DF,∠1=∠2,如果根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△DEF,那么需要補(bǔ)充的條件是(B) A.AB=DE　　　　B.∠A=∠D C.BF=CE D.∠B=∠D 2.如圖,已知AB平分∠DAC,∠D=∠C,則根據(jù)“　AAS　”,就可判斷△ABD≌△ABC.
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點(diǎn)1】利用“ASA”判定三角形全等(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P102隨堂練習(xí)T1·2022·樂山中考)如圖,B是線段AC的中點(diǎn),AD∥BE,BD∥CE.試說明:△ABD≌△BCE.
【自主解答】因?yàn)辄c(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn),所以AB=BC,因?yàn)锳D∥BE,所以∠A=∠EBC,因?yàn)锽D∥CE,所以∠C=∠DBA,
在△ABD和△BCE中,,
所以△ABD≌△BCE(ASA).
【舉一反三】
1.在△ABC和△DEF中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要用ASA判定這兩個(gè)三角形全等,還需要條件(A)
A.BC=ED B.AB=FD
C.∠A=∠F D.以上條件都不正確
2.(2024·佛山期中)已知:如圖,點(diǎn)A,C,F,D在同一直線上,AB∥DE,∠B=∠E,AB=DE,證明:△ABC≌△DEF.
【證明】因?yàn)锳B∥DE,
所以∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
,
所以△ABC≌△DEF(ASA).
【重點(diǎn)2】利用“AAS”判定三角形全等(模型觀念、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P102“思考·交流”強(qiáng)化)如圖,在△ABC和△AED中,AC=DE,∠B=90°,點(diǎn)C在AD上,AB∥DE,連接CE,CE⊥AD.試說明:AB=DC.
【自主解答】因?yàn)锳B∥DE,
所以∠BAC=∠D,
因?yàn)镃E⊥AD,
所以∠B=∠DCE=90°,
因?yàn)锳C=DE,
所以△ABC≌△DCE(AAS),
所以AB=DC.
【舉一反三】
(2024·西安四模)如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AE∥BC,且AE=CD,連接DE交AC于點(diǎn)F.求證:AF=CF.
【證明】因?yàn)锳E∥BC,所以∠E=∠CDF,
在△AEF和△CDF中,,
所以△AEF≌△CDF(AAS),所以AF=CF.
【技法點(diǎn)撥】
判定三角形全等的三類條件
(1)直接條件:即已知中直接給出的三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角;
(2)隱含條件:即已知中沒有給出,但通過讀圖得到的條件,如公共邊、公共角、對頂角;
(3)間接條件:即已知中所給條件不是三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角,需要進(jìn)一步推理.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1. (4分·推理能力)如圖,AB=AC,∠B=∠C則△ABE≌△ACF的判定依據(jù)為(A)
A.ASA　 B.AAS　 C.SAS　 D.SSS
2.(8分·推理能力)如圖,點(diǎn)C在線段BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACB=∠CED,BC=DE.
(1)求證:△ABC≌△CDE;
(2)若AB=2,DE=4,求BD的長.
【解析】(1)因?yàn)锳B⊥BD,ED⊥BD,
所以∠B=∠D=90°,
在△ABC和△CDE中,
,
所以△ABC≌△CDE(ASA).
(2)由(1)得△ABC≌△CDE,
所以AB=CD=2,BC=DE=4,
所以BD=BC+CD=4+2=6,
所以BD的長是6.
3.(8分·推理能力)在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),AC∥BF.
(1)證明:DE=DF;
(2)若∠BAC=110°,BD平分∠ABF,求∠C的度數(shù).
【解析】(1)因?yàn)锳C∥BF,
所以∠C=∠FBD,∠F=∠CED,
因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn),
所以CD=BD,
在△CDE和△BDF中,
,
所以△CDE≌△BDF(AAS),
所以DE=DF;
(2)因?yàn)锳C∥BF,
所以∠BAC+∠ABF=180°,∠C=∠FBD,
因?yàn)椤螧AC=110°,
所以∠ABF=180°-∠BAC=70°,
因?yàn)锽D平分∠ABF,
所以∠C=∠FBD=∠ABF=35°.
訓(xùn)練升級,請使用　“課時(shí)過程性評價(jià) 二十六”3　探索三角形全等的條件
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.掌握基本事實(shí):三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 推理能力
2.了解三角形的穩(wěn)定性 幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
三角形全等的條件 1.如圖,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,則可以由“SSS”直接判定　△ABE　≌　△ACE　. 2.如圖,已知AD=CB,若利用“SSS”來判定△ABC≌△CDA,則添加直接條件是　AB=CD　.
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長
【重點(diǎn)1】應(yīng)用“SSS”判定兩個(gè)三角形全等(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P100T1拓展)如圖,點(diǎn)D,A,E,B在同一直線上,EF=BC,DF=AC,DA=EB.試說明:∠F=∠C.
【自主解答】因?yàn)镈A=EB,
所以DA+AE=AE+EB,
所以DE=AB.
在△DEF和△ABC中,
因?yàn)镈E=AB,DF=AC,EF=BC,
所以△DEF≌△ABC(SSS),
所以∠F=∠C.
【舉一反三】
1.如圖所示,已知AB=DC,則再添加下列哪一個(gè)條件,可以判定△ABC≌△DCB(C)
A.AO=DO B.BO=CO
C.AC=DB D.BC=CD
2.已知:如圖,AC與BD交于點(diǎn)O,且AB=DC,AC=DB.求證:OA=OD.
【證明】在△ABD和△DCA中,
,所以△ABD≌△DCA(SSS),
所以∠BDA=∠CAD,即∠ODA=∠OAD,
所以O(shè)A=OD.
【技法點(diǎn)撥】
尋找線段相等的方法
(1)利用線段中點(diǎn)的定義說明線段相等.
(2)圖形中的隱含條件,如公共邊(也可添加輔助線構(gòu)造公共邊).
(3)多條線段共線時(shí),通過計(jì)算線段的和差來尋找相等的線段.
(4)利用全等三角形的性質(zhì)判斷線段相等.
【重點(diǎn)2】三角形的穩(wěn)定性(應(yīng)用意識(shí))
【典例2】如圖,一扇窗戶打開后,用窗鉤AB可將其固定,這里所運(yùn)用的幾何原理是(A)
A.三角形的穩(wěn)定性 B.兩點(diǎn)之間線段最短
C.兩點(diǎn)確定一條直線 D.垂線段最短
【舉一反三】
1.(2024·石家莊期中)下列圖形中,不具有穩(wěn)定性的是(A)
2.如圖,生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架,這是利用三角形的　穩(wěn)定性　.
【技法點(diǎn)撥】
使多邊形穩(wěn)定的方法
四邊形、五邊形等多邊形不具有穩(wěn)定性,從一個(gè)頂點(diǎn)向與其不相鄰的頂點(diǎn)引(n-3)條對角線能使該多邊形穩(wěn)定,無論怎樣添加對角線,只要能保證把多邊形分成若干個(gè)三角形即可.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·應(yīng)用意識(shí))如圖,工人師傅砌門時(shí),常用木條EF固定門框ABCD,使其不變形,這種做法的依據(jù)是(D)
A.兩點(diǎn)之間線段最短
B.長方形的對稱性
C.長方形的四個(gè)角都是直角
D.三角形的穩(wěn)定性
2.(4分·推理能力)如圖,在△ABC和△DEF中,點(diǎn)B,C,E,F在同一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,∠A=95°,∠DEF=15°,則∠F的度數(shù)為(C)
A.25° B.60° C.70° D.95°
3.(4分·推理能力)如圖,點(diǎn)E在AB上,AC=AD,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使圖中存在全等三角形.所添加條件為　CE=DE(答案不唯一)　.
4.(8分·推理能力)已知,如圖,F,C是AD上的兩點(diǎn),且AB=DE,AF=DC,BC=EF.
求證:AB∥ED.
【證明】因?yàn)锳F=DC,
所以AF+FC=DC+FC.
所以AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS).
所以∠A=∠D(全等三角形的對應(yīng)角相等).
所以AB∥ED.
訓(xùn)練升級,請使用　“課時(shí)過程性評價(jià) 二十五”3　探索三角形全等的條件
第3課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.借助尺規(guī)能作出三角形 應(yīng)用意識(shí)、幾何直觀、推理能力
2.掌握基本事實(shí):兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺(tái) 起于累土
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
如圖,已知AO=CO,若以“SAS”為依據(jù)說明△AOB≌△COD,還要添加的條件是　BO=DO　.
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
【重點(diǎn)1】用尺規(guī)作三角形(幾何直觀、應(yīng)用意識(shí))
【典例1】作圖題:已知∠α,∠β和線段a,求作△ABC,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=2a.
【自主解答】如圖,△ABC為所作.
【舉一反三】
1.下列所給的四組條件中,能作出唯一三角形的是(B)
A.AB=2 cm,BC=6 cm,AC=3 cm
B.BC=3 cm,AC=5 cm,∠C=70°
C.∠A=∠B=∠C=60°
D.AB=4 cm,AC=6 cm,∠B=30°
2.現(xiàn)已知線段a,b(a嘉嘉:以點(diǎn)O為圓心、線段a的長為半徑畫弧,交射線ON于點(diǎn)A;以點(diǎn)A為圓心、線段b的長為半徑畫弧,交射線OM于點(diǎn)B,連接AB,△ABO即為所求.
琪琪:以點(diǎn)O為圓心、線段a的長為半徑畫弧,交射線ON于點(diǎn)A;以點(diǎn)O為圓心、線段b的長為半徑畫弧,交射線OM于點(diǎn)B,連接AB,△ABO即為所求.
則下列說法中正確的是(A)
A.嘉嘉的作法正確,琪琪的作法錯(cuò)誤
B.琪琪的作法正確,嘉嘉的作法錯(cuò)誤
C.兩人的作法都正確
D.兩人的作法都錯(cuò)誤
3.已知:線段a(如圖).
求作:△ABC,使AB=2a,BC=AC=3a.
【解析】作射線PN,在PN上截取PQ=3a,作射線AM,在AM上截取AB=2a,分別以A,B為圓心,PQ的長為半徑作弧交于C,連接AC,BC,如圖,△ABC即為所求.
【技法點(diǎn)撥】
尺規(guī)作圖的基本思路
1.已知:將條件具體化.
2.求作:具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件.
3.作法:依次敘述作圖過程.
4.說明:為了驗(yàn)證作圖的正確性,作完圖后根據(jù)已知的定義、定理,并結(jié)合作法說明所作的圖形完全符合題設(shè)條件.一般不需要說明.
【重點(diǎn)2】利用“SAS”證明全等(幾何直觀、推理能力)
【典例2】如圖,BD∥AC,BD=BC,點(diǎn)E在BC上,且BE=AC.試說明:∠D=∠ABC.
【自主解答】因?yàn)锽D∥AC,
所以∠ACB=∠EBD.
在△ABC和△EDB中,
所以△ABC≌△EDB(SAS),
所以∠ABC=∠D.
【舉一反三】
　如圖,已知BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上.求證:∠A=∠D.
【證明】因?yàn)锽F=EC,
所以BF+CF=EC+CF,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
所以△ABC≌△DEF(SAS),
所以∠A=∠D.
【重點(diǎn)3】三角形全等判定定理的綜合應(yīng)用(幾何直觀、推理能力)
【典例3】(教材再開發(fā)·P106T5強(qiáng)化)如圖,AD=AC,AB=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)試說明:△ADE≌△ACB;
(2)判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【自主解答】(1)因?yàn)椤螪AB=∠CAE,
所以∠DAE=∠CAB,
在△ADE與△ACB中,,
所以△ADE≌△ACB(SAS).
(2)DF=CF,理由如下:
在△ADB與△ACE中,,
所以△ADB≌△ACE(SAS) ,
所以∠DBA=∠CEA,DB=CE,
因?yàn)椤鰽DE≌△ACB,所以∠AED=∠ABC,所以∠DBF=∠CEF,
在△DBF與△CEF中,,
所以△DBF≌△CEF(AAS),所以DF=CF.
【舉一反三】
(2024·杭州一模)如圖,點(diǎn)C,點(diǎn)E分別在線段AD,AB上,線段BC與DE交于點(diǎn)F,且滿足AB=AD.下列添加的條件中不能推得△ABC≌△ADE的是(D)
A.AC=AE B.BF=DF
C.BE=CD D.BC=DE
【技法點(diǎn)撥】
由已知說明兩個(gè)三角形全等的一般思路
1.若已知兩邊
2.若已知一邊一角
3.若已知兩角
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)如圖,AC和BD交于O,OA=OD,用SAS證明△AOB≌△DOC還需添加的條件是(C)
A.∠A=∠D　　　　B.AB=DC
C.OB=OC D.∠AOB=∠DOC
2.(3分·推理能力)如圖,在△ABC和△BDE中,再添兩個(gè)條件不能使△ABC和△BDE全等的是(B)
A.AB=BD,AE=DC
B.AB=BD,DE=AC
C.BE=BC,∠E=∠C
D.∠EAF=∠CDF,DE=AC
3.(6分·推理能力、應(yīng)用意識(shí))作圖題(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法).
已知:如圖,線段a,c,∠α.
求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
【解析】如圖:
△ABC即為所求.
4.(8分·推理能力)如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,E為AC上一點(diǎn),AE=AB,連接DE.
(1)求證:△ABD≌△AED.
(2)已知AB=9,△CDE的周長為15,求△ABC的周長.
【解析】(1)因?yàn)锳D是∠BAC的平分線,
所以∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△AED中,
,
所以△ABD≌△AED(SAS);
(2)因?yàn)椤鰽BD≌△AED,
所以DE=BD,
所以△CDE的周長=DE+CD+CE=BD+CD+CE=BC+CE=15,
因?yàn)锳E=AB=9,
所以△ABC的周長=AB+AC+BC=AB+AE+CE+BC=9+9+15=33.
訓(xùn)練升級,請使用　“課時(shí)過程性評價(jià) 二十七”

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