資源簡介

4　利用三角形全等測距離
課時學習目標 素養目標達成
能利用三角形的全等解決實際問題,體會數學與實際生活的聯系 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
應用全等測距離是利用了“全等三角形的　對應邊相等　”的性質. 如圖,小明與小紅玩蹺蹺板游戲,如果蹺蹺板的支點O(即蹺蹺板的中點)至地面的距離是50 cm,當小紅從水平位置CD下降30 cm時,這時小明離地面的高度是　80　cm.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
【重點】利用全等測距離(推理能力、應用意識)
【典例】(教材再開發·P109T1拓展)如圖,某段河流的兩岸是平行的,數學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度,他們是這樣做的:
①在河流的一條岸邊B點,選對岸正對的一棵樹A;
②沿河岸直走20 m有一棵樹C,繼續前行20 m到達D處;
③從D處沿河岸垂直的方向行走,當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處時停止行走;
④測得DE的長為6 m.
根據他們的做法,回答下列問題:
(1)河的寬度是多少米
(2)請你說明他們做法的正確性.
【自主解答】(1)由數學興趣小組的做法可知,AB=ED,
故河寬為6 m.
(2)由題意知∠ABC=∠CDE=90°,BC=CD=20 m,
又因為∠ACB=∠ECD,
在△ABC和△EDC中,
所以△ABC≌△EDC(ASA),
所以AB=ED.
即他們的做法是正確的.
【舉一反三】
如圖,小明和小華兩家位于A,B兩處,隔河相望.要測得兩家之間的距離AB,兩人分別設計了不同的方案:
小明設計的方案:如圖,從點B出發沿河岸畫一條射線BF,在BF上截取CD=BC,過點D作DE∥AB,取點E使E,C,A在同一條直線上,則DE的長就是A,B兩點間的距離;
小華設計的方案:如圖,在B點同側選擇一點C,測得∠ABC=75°,∠ACB=35°,然后在M處立了標桿,使∠MBC=75°,∠MCB=35°,此時測得MB的長就是A,B兩點間的距離.請你分別說明兩人設計方案的道理.
【解析】小明設計的方案:因為DE∥AB,所以∠A=∠E,
在△ABC和△EDC中,
,
所以△ABC≌△EDC(AAS),
所以DE=AB.
即DE的長就是A,B兩點之間的距離.
小華設計的方案:在△ABC和△MBC中,
,
所以△ABC≌△MBC(ASA),
所以AB=MB.
即MB的長就是A,B兩點之間的距離.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分) 全解全析P247
1. (4分·推理能力、應用意識)如圖是雨傘在開合過程中某時刻的截面圖,傘骨AB=AC,點D,E分別是AB,AC的中點,DM,EM是連接彈簧和傘骨的支架,且DM=EM,已知彈簧M在向上滑動的過程中,總有△ADM≌△AEM,其判定依據是(C)
A.ASA　 B.AAS　 C.SSS　D.SSA
2.(4分·推理能力、應用意識)小麗與爸爸、媽媽在公園里蕩秋千.如圖,小麗坐在秋千的起始位置A處,OA與地面垂直,小麗兩腳在地面上用力一蹬,媽媽在B處接住她后用力一推,爸爸在C處接住她.若點B距離地面的高度為1.5 m,點B到OA的距離BD為1.7 m,點C距離地面的高度是1.6 m,∠BOC=90°,則點C到OA的距離CE為(D)
A.1 m B.1.6 m C.1.4 m D.1.8 m
3.(8分·推理能力、應用意識)某同學用10塊高度都是5 cm的相同長方體小木塊,壘了兩堵與地面垂直的木墻,木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板ABD(∠ABD=90°,BD=BA),點B在CE上,點A和D分別與木墻的頂端重合.
(1)試說明:△ACB≌△BED;
(2)求兩堵木墻之間的距離.
【解析】(1)由題意得AB=BD,∠ABD=90°,AC⊥CE,DE⊥CE,
所以∠BED=∠ACB=90°,
所以∠BDE+∠DBE=90°,∠DBE+∠ABC=90°,
所以∠BDE=∠ABC,
在△ACB和△BED中,
,
所以△ACB≌△BED(AAS);
(2)由題意得AC=5×3=15(cm),DE=7×5=35(cm),
因為△ACB≌△BED,
所以DE=BC=35 cm,BE=AC=15 cm,
所以CE=BC+BE=50(cm),
答:兩堵木墻之間的距離為50 cm.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 二十八”4　利用三角形全等測距離
課時學習目標 素養目標達成
能利用三角形的全等解決實際問題,體會數學與實際生活的聯系 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
應用全等測距離是利用了“全等三角形的 ”的性質. 如圖,小明與小紅玩蹺蹺板游戲,如果蹺蹺板的支點O(即蹺蹺板的中點)至地面的距離是50 cm,當小紅從水平位置CD下降30 cm時,這時小明離地面的高度是 cm.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
【重點】利用全等測距離(推理能力、應用意識)
【典例】(教材再開發·P109T1拓展)如圖,某段河流的兩岸是平行的,數學興趣小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度,他們是這樣做的:
①在河流的一條岸邊B點,選對岸正對的一棵樹A;
②沿河岸直走20 m有一棵樹C,繼續前行20 m到達D處;
③從D處沿河岸垂直的方向行走,當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處時停止行走;
④測得DE的長為6 m.
根據他們的做法,回答下列問題:
(1)河的寬度是多少米
(2)請你說明他們做法的正確性.
【舉一反三】
如圖,小明和小華兩家位于A,B兩處,隔河相望.要測得兩家之間的距離AB,兩人分別設計了不同的方案:
小明設計的方案:如圖,從點B出發沿河岸畫一條射線BF,在BF上截取CD=BC,過點D作DE∥AB,取點E使E,C,A在同一條直線上,則DE的長就是A,B兩點間的距離;
小華設計的方案:如圖,在B點同側選擇一點C,測得∠ABC=75°,∠ACB=35°,然后在M處立了標桿,使∠MBC=75°,∠MCB=35°,此時測得MB的長就是A,B兩點間的距離.請你分別說明兩人設計方案的道理.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分) 全解全析P247
1. (4分·推理能力、應用意識)如圖是雨傘在開合過程中某時刻的截面圖,傘骨AB=AC,點D,E分別是AB,AC的中點,DM,EM是連接彈簧和傘骨的支架,且DM=EM,已知彈簧M在向上滑動的過程中,總有△ADM≌△AEM,其判定依據是( )
A.ASA　 B.AAS　 C.SSS　D.SSA
2.(4分·推理能力、應用意識)小麗與爸爸、媽媽在公園里蕩秋千.如圖,小麗坐在秋千的起始位置A處,OA與地面垂直,小麗兩腳在地面上用力一蹬,媽媽在B處接住她后用力一推,爸爸在C處接住她.若點B距離地面的高度為1.5 m,點B到OA的距離BD為1.7 m,點C距離地面的高度是1.6 m,∠BOC=90°,則點C到OA的距離CE為( )
A.1 m B.1.6 m C.1.4 m D.1.8 m
3.(8分·推理能力、應用意識)某同學用10塊高度都是5 cm的相同長方體小木塊,壘了兩堵與地面垂直的木墻,木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板ABD(∠ABD=90°,BD=BA),點B在CE上,點A和D分別與木墻的頂端重合.
(1)試說明:△ACB≌△BED;
(2)求兩堵木墻之間的距離.

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