資源簡介

2　簡單的軸對稱圖形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并了解等腰三角形的軸對稱性及其相關性質 推理能力、幾何直觀
2.經歷探索簡單圖形的軸對稱性的過程,進一步理解軸對稱的性質積累數學活動經驗 空間觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.如圖,AD是等腰△ABC的頂角平分線,BD=5,則CD等于(B) A.10 B.5 C.4 D.3 2.兩邊長為4和8的等腰三角形的周長為(B) A.16　 　　　 B.20　 C.16或20　 　 D.16或18 3.在等腰△ABC中,AB=AC,∠B=50°,則∠A的大小為　80°　. 4.如圖,BD,CE是等邊△ABC的中線,則∠EFD=　120°　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1等腰三角形的性質
【典例1】 (教材再開發·P128隨堂練習T2拓展)如圖,D是△ABC中BC邊上的一點,AB=AC=BD,若∠2=24°,則∠1的度數為　68°　.
【舉一反三】
1.蘇州素有“園林之城”美譽,以拙政園、留園為代表的蘇州園林被譽為“咫尺之內再造乾坤”,是中華園林文化的翹楚和驕傲.如圖,某園林中一亭子的頂端可看作等腰△ABC,其中AB=AC,若D是BC邊上的一點,則下列條件不能說明AD是△ABC角平分線的是(C)
A.∠ADB=∠ADC
B.BD=CD
C.AD=BC
D.以上都不能
2.如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,則∠A的度數是(A)
A.40° B.45° C.50° D.70°
【技法點撥】
“三線合一”性質的應用
1.等腰三角形“三線合一”的性質是證明角相等、線段相等和垂直關系的既重要又便捷的方法;
2.“三線合一”的性質是等腰三角形特有的性質,它實際上是一組定理,應用過程中,在等腰三角形的前提下,“頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高”只要知道其中“一線”就可以說明是其他“兩線”.
重點2等邊三角形的性質
【典例2】(教材再開發·P128“思考·交流”強化)如圖,等邊△DEF的頂點分別在等邊△ABC的各邊上,且BD=2BE,DE⊥BC于點E.若AB=1,求DB的長.
【自主解答】因為∠DEB=90°,
所以∠BDE=90°-60°=30°,
所以∠ADF=180°-30°-60°=90°,
同理∠EFC=90°,
又因為∠A=∠B=∠C,DE=DF=EF,
所以△BED≌△ADF≌△CFE,
所以AD=BE,
因為BD=2BE,
所以AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1,
所以BD=.
【舉一反三】
1.(2024·清遠一模)如圖,a∥b,等邊△ABC的頂點B在直線b上,∠1=20°,則∠2的度數為(C)
A.60° B.45° C.40° D.30°
2.如圖,在等邊△ABC的AC,BC邊上各取一點P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于點O,則∠POQ的度數為　120°　.
【技法點撥】
等邊三角形性質的應用
1.已知等邊三角形一邊,可知另兩邊及周長.
2.已知等邊三角形,可知每個內角是60°.
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(5分·幾何直觀、推理能力)已知等腰三角形的兩邊長是4和9,則等腰三角形的周長為　22　.
2.(10分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,D,E分別是△ABC邊AB,AC上的點,已知DE∥BC且DB=DE.
(1)求證:BE是△ABC的角平分線;
(2)若∠A=65°,∠C=45°,求∠AEB的度數.
【解析】(1)因為DE∥BC,
所以∠DEB=∠CBE,
因為DB=DE,
所以∠DBE=∠DEB,
所以∠CBE=∠DBE,
所以BE是△ABC的角平分線;
(2)因為∠A=65°,∠C=45°,
所以∠ABC=70°,
因為BE是△ABC的角平分線,
所以∠ABE=35°,
所以∠AEB=180°-∠A-∠ABE=80°.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 三十”2　簡單的軸對稱圖形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并了解線段的軸對稱性及其相關性質 推理能力、幾何直觀
2.經歷探索簡單圖形的軸對稱性的過程,進一步理解軸對稱的性質 空間觀念
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.如圖,已知AC垂直平分BD,垂足為E,下列結論不一定成立的是( ) A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.∠ABC=∠ADC D.∠BAD=∠BCD 2.三角形三條邊垂直平分線的交點到三角形的 距離都相等.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1線段垂直平分線的性質
【典例1】(教材再開發·P129“嘗試·思考”拓展)如圖所示,在△ABC中,∠BAC=105°,EF,MN分別是AB,AC的垂直平分線,點E,N在BC上,則∠EAN= .
【舉一反三】
(2024·梅州期中)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線MN交AB于點E,交AC于點D,且AC=15 cm,△BCD的周長等于25 cm.
(1)求BC的長;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC,求證:BC=BD.
重點2用尺規作線段的垂直平分線
【典例2】(2024·鹽城期末)如圖,已知在△ABC中,AB=4,AC=7.
(1)用尺規作BC邊的垂直平分線;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)若BC邊的垂直平分線交AC于D,交BC于E;
①連接BD,求△ABD的周長;
②若∠ADB=52°,求∠DBC的度數.
【舉一反三】
如圖,△ABC中,AB=AC.
尺規作圖(保留作圖痕跡,不寫作法):
作AB邊的垂直平分線,垂足為點D.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,分別以點B,C為圓心,大于BC的長為半徑作弧,兩弧相交于點M,N,直線MN交AC于點D,連接BD,若AC=55,AD=15,則BD的長為( )
A.15 B.40 C.55 D.70
2.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=38°,以點C為圓心,CB長為半徑作弧交AB于點D,分別以D,B為圓心,大于DB長為半徑作弧,兩弧相交于點E,作射線CE交AB于點F,則∠BCF的度數為( )
A.38° B.39° C.40° D.52°
3.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,∠B=30°,分別以點B,C為圓心,以大于BC長為半徑畫弧,交于點M,N,連接MN交AB于點D,連接CD,則∠ADC的度數為( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,已知△ABC.
(1)實踐與操作:利用尺規作邊AC的垂直平分線,交邊BC于點D(要求:尺規作圖并保留作圖痕跡,不寫作法,標明字母);
(2)應用與計算:連接AD,若∠B=50°,∠C=30°,求∠BAD的度數.2　簡單的軸對稱圖形
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解角是軸對稱圖形,掌握角平分線的性質,能應用角平分線的性質解決簡單的問題 幾何直觀、推理能力
2.能借助尺規作出一個角的平分線 幾何直觀、空間觀念
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB,垂足是E.若AC=5,DE=2,則AD的長為( ) A.4 　　B.3　　C.2　　D.1
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1角平分線
【典例1】(教材再開發·P126想一想強化)已知,如圖,BD是∠ABC的平分線,AB=BC,點P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別是M,N.試說明:PM=PN.
【舉一反三】
如圖,MC是∠AMB的平分線,P為MC上任意一點,PD⊥MA,垂足為點D,且PD=3,則點P到射線MB的距離是( )
A.1 B.2 C.3 D.不能確定
【技法點撥】
應用角平分線的性質的兩點注意
1.應用角平分線的性質時,角平分線、角平分線上的點到角兩邊的距離兩個條件缺一不可,不能錯用為角平分線上的點到角兩邊任意點的距離相等;
2.由角平分線的性質不用證全等可以直接得到線段相等,這是證明線段相等的一個簡便方法.
重點2用尺規作角的平分線
【典例2】(2024·防城港二模)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=76°.
(1)用直尺和圓規作∠ABC的平分線BD交AC于點D(保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)中作出∠ABC的平分線BD后,求∠BDC的度數.
【舉一反三】
1.觀察圖中尺規作圖痕跡,下列結論錯誤的是( )
A.OA=OB
B.PA=PB
C.E是OP的中點
D.點P在點O的北偏東25°方向上
2.(2023·福建中考)閱讀以下作圖步驟:
①在OA和OB上分別截取OC,OD,使OC=OD;
②分別以C,D為圓心,以大于CD的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內交于點M;
③作射線OM,連接CM,DM,如圖所示.
根據以上作圖,一定可以推得的結論是( )
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
3.(2024·西安質檢)尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡.
在△ABC的AB邊上找一點D,使點D到AC邊和BC邊的距離相等.
【技法點撥】
用尺規作角平分線的“三弧”“三交點”
1.三弧:作角的平分線共作三條弧,以角的頂點為圓心作一條弧,再以兩個交點為圓心作兩條弧.
2.三交點:作交點平分線要作三個交點,與角的兩邊有2個交點,以兩交點為圓心作的兩條弧有1個交點.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、推理能力)已知∠AOB,求作射線OC,使OC平分∠AOB,那么作法的合理順序是( )
①作射線OC.
②在射線OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.
③分別以D,E為圓心,大于DE的長為半徑在∠AOB內作弧,兩弧交于點C.
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
2.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,OP平分∠AOB,PC⊥OA,點D是OB上的動點,若PC=5 cm,則PD的長可以是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
3.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,用直尺和圓規作∠MAN的平分線,根據作圖痕跡,下列結論不一定正確的是( )
A.∠MAF=∠NAF B.EF=DF
C.∠DAF=∠DFA D.AF⊥DE
4.(8分·幾何直觀、推理能力)電信部門要修建一座電視信號發射塔,如圖,按照設計要求,發射塔到兩個城鎮A,B的距離必須相等,到兩條高速公路OM,ON的距離也必須相等,發射塔P應修建在什么位置 2　簡單的軸對稱圖形
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解角是軸對稱圖形,掌握角平分線的性質,能應用角平分線的性質解決簡單的問題 幾何直觀、推理能力
2.能借助尺規作出一個角的平分線 幾何直觀、空間觀念
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB,垂足是E.若AC=5,DE=2,則AD的長為(B) A.4 　　B.3　　C.2　　D.1
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1角平分線
【典例1】(教材再開發·P126想一想強化)已知,如圖,BD是∠ABC的平分線,AB=BC,點P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別是M,N.試說明:PM=PN.
【自主解答】因為BD為∠ABC的平分線,
所以∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,,
所以△ABD≌△CBD(SAS),
所以∠ADB=∠CDB,
因為點P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN.
【舉一反三】
如圖,MC是∠AMB的平分線,P為MC上任意一點,PD⊥MA,垂足為點D,且PD=3,則點P到射線MB的距離是(C)
A.1 B.2 C.3 D.不能確定
【技法點撥】
應用角平分線的性質的兩點注意
1.應用角平分線的性質時,角平分線、角平分線上的點到角兩邊的距離兩個條件缺一不可,不能錯用為角平分線上的點到角兩邊任意點的距離相等;
2.由角平分線的性質不用證全等可以直接得到線段相等,這是證明線段相等的一個簡便方法.
重點2用尺規作角的平分線
【典例2】(2024·防城港二模)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=76°.
(1)用直尺和圓規作∠ABC的平分線BD交AC于點D(保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)中作出∠ABC的平分線BD后,求∠BDC的度數.
【自主解答】(1)如圖所示,BD即為所求;
(2)∵AB=AC,∠ABC=76°,∴∠C=76°,
∵BD為∠ABC的平分線,
∴∠DBC=×76°=38°,
∴∠BDC=180°-76°-38°=66°.
【舉一反三】
1.觀察圖中尺規作圖痕跡,下列結論錯誤的是(C)
A.OA=OB
B.PA=PB
C.E是OP的中點
D.點P在點O的北偏東25°方向上
2.(2023·福建中考)閱讀以下作圖步驟:
①在OA和OB上分別截取OC,OD,使OC=OD;
②分別以C,D為圓心,以大于CD的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內交于點M;
③作射線OM,連接CM,DM,如圖所示.
根據以上作圖,一定可以推得的結論是(A)
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
3.(2024·西安質檢)尺規作圖,不寫作法,保留作圖痕跡.
在△ABC的AB邊上找一點D,使點D到AC邊和BC邊的距離相等.
【解析】如圖,作∠ACB的平分線CD交AB于D,點D即為所求.
【技法點撥】
用尺規作角平分線的“三弧”“三交點”
1.三弧:作角的平分線共作三條弧,以角的頂點為圓心作一條弧,再以兩個交點為圓心作兩條弧.
2.三交點:作交點平分線要作三個交點,與角的兩邊有2個交點,以兩交點為圓心作的兩條弧有1個交點.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、推理能力)已知∠AOB,求作射線OC,使OC平分∠AOB,那么作法的合理順序是(C)
①作射線OC.
②在射線OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.
③分別以D,E為圓心,大于DE的長為半徑在∠AOB內作弧,兩弧交于點C.
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
2.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,OP平分∠AOB,PC⊥OA,點D是OB上的動點,若PC=5 cm,則PD的長可以是(D)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
3.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,用直尺和圓規作∠MAN的平分線,根據作圖痕跡,下列結論不一定正確的是(C)
A.∠MAF=∠NAF B.EF=DF
C.∠DAF=∠DFA D.AF⊥DE
4.(8分·幾何直觀、推理能力)電信部門要修建一座電視信號發射塔,如圖,按照設計要求,發射塔到兩個城鎮A,B的距離必須相等,到兩條高速公路OM,ON的距離也必須相等,發射塔P應修建在什么位置
【解析】如圖,作AB的垂直平分線與∠MON或∠QON的平分線,交點P1,P2即為所求發射塔應修建的位置.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 三十二”2　簡單的軸對稱圖形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并了解等腰三角形的軸對稱性及其相關性質 推理能力、幾何直觀
2.經歷探索簡單圖形的軸對稱性的過程,進一步理解軸對稱的性質積累數學活動經驗 空間觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.如圖,AD是等腰△ABC的頂角平分線,BD=5,則CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 2.兩邊長為4和8的等腰三角形的周長為( ) A.16　 　　　 B.20　 C.16或20　 　 D.16或18 3.在等腰△ABC中,AB=AC,∠B=50°,則∠A的大小為 . 4.如圖,BD,CE是等邊△ABC的中線,則∠EFD= .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1等腰三角形的性質
【典例1】 (教材再開發·P128隨堂練習T2拓展)如圖,D是△ABC中BC邊上的一點,AB=AC=BD,若∠2=24°,則∠1的度數為 .
【舉一反三】
1.蘇州素有“園林之城”美譽,以拙政園、留園為代表的蘇州園林被譽為“咫尺之內再造乾坤”,是中華園林文化的翹楚和驕傲.如圖,某園林中一亭子的頂端可看作等腰△ABC,其中AB=AC,若D是BC邊上的一點,則下列條件不能說明AD是△ABC角平分線的是( )
A.∠ADB=∠ADC
B.BD=CD
C.AD=BC
D.以上都不能
2.如圖,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,則∠A的度數是( )
A.40° B.45° C.50° D.70°
【技法點撥】
“三線合一”性質的應用
1.等腰三角形“三線合一”的性質是證明角相等、線段相等和垂直關系的既重要又便捷的方法;
2.“三線合一”的性質是等腰三角形特有的性質,它實際上是一組定理,應用過程中,在等腰三角形的前提下,“頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高”只要知道其中“一線”就可以說明是其他“兩線”.
重點2等邊三角形的性質
【典例2】(教材再開發·P128“思考·交流”強化)如圖,等邊△DEF的頂點分別在等邊△ABC的各邊上,且BD=2BE,DE⊥BC于點E.若AB=1,求DB的長.
【舉一反三】
1.(2024·清遠一模)如圖,a∥b,等邊△ABC的頂點B在直線b上,∠1=20°,則∠2的度數為( )
A.60° B.45° C.40° D.30°
2.如圖,在等邊△ABC的AC,BC邊上各取一點P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于點O,則∠POQ的度數為 .
【技法點撥】
等邊三角形性質的應用
1.已知等邊三角形一邊,可知另兩邊及周長.
2.已知等邊三角形,可知每個內角是60°.
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(5分·幾何直觀、推理能力)已知等腰三角形的兩邊長是4和9,則等腰三角形的周長為 .
2.(10分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,D,E分別是△ABC邊AB,AC上的點,已知DE∥BC且DB=DE.
(1)求證:BE是△ABC的角平分線;
(2)若∠A=65°,∠C=45°,求∠AEB的度數.2　簡單的軸對稱圖形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并了解線段的軸對稱性及其相關性質 推理能力、幾何直觀
2.經歷探索簡單圖形的軸對稱性的過程,進一步理解軸對稱的性質 空間觀念
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.如圖,已知AC垂直平分BD,垂足為E,下列結論不一定成立的是(D) A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.∠ABC=∠ADC D.∠BAD=∠BCD 2.三角形三條邊垂直平分線的交點到三角形的　三個頂點　距離都相等.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1線段垂直平分線的性質
【典例1】(教材再開發·P129“嘗試·思考”拓展)如圖所示,在△ABC中,∠BAC=105°,EF,MN分別是AB,AC的垂直平分線,點E,N在BC上,則∠EAN=　30°　.
【舉一反三】
(2024·梅州期中)如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線MN交AB于點E,交AC于點D,且AC=15 cm,△BCD的周長等于25 cm.
(1)求BC的長;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC,求證:BC=BD.
【解析】(1)因為MN是AB的垂直平分線,
所以AD=BD,
因為AC=15 cm,△BCD的周長等于25 cm,
所以BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25 cm,所以BC=10 cm.
(2)因為∠A=36°,AB=AC,
所以∠ABC=∠C==72°,
因為BD=AD,所以∠ABD=∠A=36°,
所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°,
所以∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,
所以∠C=∠BDC,
所以BC=BD.
重點2用尺規作線段的垂直平分線
【典例2】(2024·鹽城期末)如圖,已知在△ABC中,AB=4,AC=7.
(1)用尺規作BC邊的垂直平分線;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)若BC邊的垂直平分線交AC于D,交BC于E;
①連接BD,求△ABD的周長;
②若∠ADB=52°,求∠DBC的度數.
【自主解答】(1)如圖,直線DE即為所求;
(2)①∵DE是BC邊的垂直平分線,
∴BD=DC,∵AB=4,AC=7,
∴△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+AC=4+7=11;
②∵BD=CD,∴∠DBC=∠C,
∴∠ADB=∠DBC+∠C=52°,
∴∠DBC=26°.
【舉一反三】
如圖,△ABC中,AB=AC.
尺規作圖(保留作圖痕跡,不寫作法):
作AB邊的垂直平分線,垂足為點D.
【解析】所作圖形如圖所示:
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,分別以點B,C為圓心,大于BC的長為半徑作弧,兩弧相交于點M,N,直線MN交AC于點D,連接BD,若AC=55,AD=15,則BD的長為(B)
A.15 B.40 C.55 D.70
2.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=38°,以點C為圓心,CB長為半徑作弧交AB于點D,分別以D,B為圓心,大于DB長為半徑作弧,兩弧相交于點E,作射線CE交AB于點F,則∠BCF的度數為(A)
A.38° B.39° C.40° D.52°
3.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,∠B=30°,分別以點B,C為圓心,以大于BC長為半徑畫弧,交于點M,N,連接MN交AB于點D,連接CD,則∠ADC的度數為(D)
A.30° B.45° C.50° D.60°
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,已知△ABC.
(1)實踐與操作:利用尺規作邊AC的垂直平分線,交邊BC于點D(要求:尺規作圖并保留作圖痕跡,不寫作法,標明字母);
(2)應用與計算:連接AD,若∠B=50°,∠C=30°,求∠BAD的度數.
【解析】(1)如圖,EF即為所求;
(2)∵點D為邊AC的垂直平分線與BC的交點,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=30°,
∴∠ADC=180°-∠C-∠DAC=120°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 三十一”

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