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3.3垂徑定理培優練習北師大版2024—2025學年九年級下冊
一、知識梳理:
垂徑定理及其推論是指:一條直線①過圓心;②垂直于一條弦;③平分這條弦(平分弦時，直徑除外);④平分弦所對的劣弧;⑤平分弦所對的優弧。“知二推三”
數學符號：
①過點；
②；
③;
④;
⑤;
二、作弦心距+用勾股定理
思考1：如圖，的弦長為，圓心到的弦心距為，的半徑為，試探究之間的數量關系．
①單勾股
例1 如圖，在中，已知，，，以點為圓心，為半徑的圓交于點，則的長為　 　．
【變式1】 如圖，為的直徑，弦于點，已知，，則的半徑為　　 ．
②雙勾股
例2 如圖，已知半徑為2的有兩條互相垂直的弦和，其交點到圓心的距離為1，則　 　．
【變式2】如圖，，，，是半徑為1的上按逆時針方向排列的四個動點，，當時，求的取值范圍；
三、弧中點→連半徑，得垂徑
思考2： 如圖，是的弦，是的中點，你能得到那些結論
例3 如圖，為直徑，為弧的中點，于，
（1）求證：為的切線；
（2）已知：，，求的半徑．
【變式3】如圖，已知是的直徑，與的兩直角邊分別交于點、，點是弧的中點，，連接．
（1）求證：直線是的切線．
（2）若，，求的值．
四、課后練習：
（一）、選擇題
1．下列命題中錯誤的有( )．
(1)弦的垂直平分線經過圓心；(2)平分弦的直徑垂直于弦；
(3)所夾弧相等的兩條弦平行；(4)圓的對稱軸是直徑.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD于點E，則下列結論一定錯誤的是（　　）
　 A．CE=DE B．AE=OE C．= D． △OCE≌△ODE
第2題圖 第3題圖 第4題圖
3．如圖，弦CD垂直于⊙O的直徑AB，垂足為H，且CD=，BD=，則AB的長為（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
4．如圖所示，矩形ABCD與⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，則MN的長為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知⊙O的直徑AB=12cm，P為OB中點，過P作弦CD與AB相交成30°角，則弦CD的長為（ ）．
A．cm B．cm C．cm D．cm
二、填空題
6．如圖，CD為⊙O的直徑，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，則AB=______cm．
第6題圖 第7題圖 第8題圖
7．如圖，⊙O的半徑OC為6cm，弦AB垂直平分OC，則AB=______cm，∠AOB=______°．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于E，CD=4，AE=1，則⊙O的半徑為　　 ．
9．如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，E為垂足，AE=3，BE=7，則圓心O到CD的距離是______．
第9題圖 第10題圖
10．如圖，P為⊙O的弦AB上的點，PA=6，PB=2，⊙O的半徑為5，則OP=______．
11．如圖，點A、B是⊙O上兩點，AB=10，點P是⊙O上的動點（P與A，B不重合）連結AP，PB，過點O分別作OE⊥AP于點E，OF⊥PB于點F，則EF= .
第11題圖 第12題圖
如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AC．若∠CAB=22.5°，
CD=8cm，則⊙O的半徑為 cm．
三、解答題
13．如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．
（1）請證明：E是OB的中點；
（2）若AB=8，求CD的長．
14.如圖，⊙O的兩條弦AB、CD交于點E，OE平分∠BED．
（1）求證：AB=CD；
（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．
15．如圖所示，已知O是∠MPN的平分線上的一點，以O為圓心的圓與角的兩邊分別交于點A、B和C、D.
⑴求證：PB=PD.
⑵若角的頂點P在圓上或圓內，⑴中的結論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明.
16.如圖，點為 弧的中點，點為上一點，，，求的半徑長．
17.如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點E，過點C作DB的垂線交AB的延長線于點G，垂足為點F，連接AC．
（1）求證：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的長度．

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