資源簡介

3.4圓周角和圓心角的關系北師大版2024—2025學年九年級下冊
一、知識梳理
圓周角定義：________________________________________叫圓周角.
二、探究新知
探究1：同一條弧所對的圓周角與圓心角的關系
1.在下圖中畫出所對的圓周角.
圖1 圖2 圖3
2.所對的圓周角和圓心角∠AOB的度數的關系: .
歸納：
圓周角定理： .
在圖中,由圓周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .
探究2：在圖中畫出直徑AB所對的圓周角,你有什么發現
歸納：
圓周角定理的推論1： ；
圓周角定理的推論2： .
定義：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做 ,這個圓叫做這個 .
問題1：如圖,四邊形ABCD叫做☉O的內接四邊形,而☉O叫做四邊形ABCD的外接圓,
猜想：∠A與∠C，∠B與∠D之間的關系為 .
由此得出圓內接四邊形的性質：　 .
三、例題講解
例1.如圖，BC為直徑，∠ABC＝35°，求∠D的度數.
例2.如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，點E在DC的延長線上．若∠A＝50°，求∠BCE的度數.
例3.如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠BCD＝125°，求∠BOD的大小.
例4.如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，OD交⊙O于點D，點E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝54°，求∠DEB的度數；
（2）若CD＝2，AB＝8，求⊙O的半徑．
例5.如圖，在半圓O中，直徑AB＝6，點C在上，連接BC，弦BD平分∠ABC，連接OD．
（1）求證：OD∥BC；
（2）連接OC，AD．若OC∥AD，求BD的長．
例6.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于點E，連接OC，BC，AD．
（1）求證：∠BCO＝∠D；
（2）若AE＝3，BE＝9，求CD的長．
四、課后練習
1.如圖，⊙C過原點，且與兩坐標軸分別交于點A、點B，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內弧OB上一點，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長為（　　）
A．6 B．5 C．3 D．3
第1題 第2題 第3題
2．如圖，ΔABC是⊙O的內接正三角形，若P是上一點，則∠BPC=______；若M是上一點，則∠BMC=______．
3.如圖，兩圓相交于A，B兩點，小圓經過大圓的圓心O，點C，D分別在兩圓上，若∠ADB=100°，則∠ACB的度數為（　　）
A．35° B．40° C．50° D．80°
4．如圖，AC是⊙O的直徑，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，則∠AOD等于( )．
A．64° B．48° C．32° D．76°
第4題圖 第5題圖 第6題圖
5．如圖，弦AB，CD相交于E點，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，則∠AOD等于( )．
A．37° B．74° C．54° D．64°
6．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若∠BOD=138°，則它的一個外角∠DCE等于( )．
A．69° B．42° C．48° D．38°
7.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度數；
（2）求證：BD=CD．
8.在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．
（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，請直接寫出∠DCA的度數．
9.如圖，Rt△ACB的斜邊與半圓的直徑AB重合放置，∠ACB＝90°，點M為AB上任意一點，連接CM交半圓于N點，連接BN，若∠ABC＝35°，求∠BNC的度數
10.如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點D，點E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝62°，求∠DEB的度數；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的長．
11.如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延長AD至點E，使AE＝AC，延長BA至點F，連結EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD為直徑，求∠ABD的度數．
（2）求證：①EF∥BC；
②EF＝BD．
12.如圖，AB是⊙O的直徑，D為AB上一點，C為⊙O上一點，且AD＝AC，延長CD交⊙O于E，連CB，OE．
（1）求證：∠CAB＝2∠BCD；
（2）若∠BCD＝15°，AB＝8，求CE的長．
13.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是的中點，連接BC，CD，DA，OC．
（1）證明：OC∥AD；
（2）若AB＝10，，求AD長．
14.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC，BC分別于點E，D兩點，連接ED，BE．
（1）求證：＝．
（2）若BC＝6．AB＝5，求BE的長．
15.已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接BC．
（Ⅰ）如圖①，若AB＝4，∠B＝60°，求CD的長；
（Ⅱ）如圖②，G是弧AC上一點，AG，DC的延長線交于點F，若∠DGF＝115°，求∠BCD的度數．
16.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點D，
（1）求∠ACB的度數；
（2）求BC的長；
（3）求AD，BD的長．
17.如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，F是線段BD上一點，連接CF并延長CF，與AB交于點E，CF＝BF．
（1）求證：CE⊥AB；
（2）若CE＝12，BE＝8，求AB的長．

展開更多......

收起↑