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3.7切線長定理知識梳理與培優練習北師大2024—2025學年九年級下冊
【知識梳理】
切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的_________相等，這一點和圓心的連線平分__________________．
1.證明切線長定理
如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線．求證：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
證明：
2.若PO與圓相分別交于C、D,連接AB于PO交于點E,圖中相等的線段有 ，相等的角有 ，相等的弧有 ，互相垂直的線段有 ，全等的三角形有 。
3.__________________叫做三角形的內切圓，三角形叫做圓的__________三角形，內切圓的圓心是__________的交點，內切圓的圓心叫做三角形的__________。其性質是 .
【知識運用】
例題1.已知AB∥CD,⊙O切AB、BC、CD分別于E、F、G。且BE=4，CG=9.
求BC的長。
求⊙O半徑的長。
例題2.正方形ABCD,以BC為直徑作⊙O，E在CD上，AE切⊙O于點F.AB=4.
求DE的長。
求BF的長。
例題3.如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AF、BD、CE的長。
內切圓半徑的求法與內心的性質運用
例題4.已知，如圖，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C＝90°若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半徑r；

例題5.如圖，已知⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面積為6．求內切圓的半徑r．
例題6.△ABC中，I為內心，O為外心，AI的延長線交⊙O于E.證明;EI=EC.
例題7.AB為⊙O的直徑，PB、PD為⊙O的切線，B、D為切點，PO交⊙O于E，交BD于F.證明：E為△PBD的內心。
鞏固練習
1.如圖，PA，PB分別為⊙O的切線，AC為直徑，切點分別為A、B，∠P=70°，則∠C=
2.已知：如圖5，⊙O是△ABC的內切圓，切點
分別為D、E、F，（1）圖中共有 對相等線段？
（2）若AD=4，BC=5，CF=6，則△ABC的周長是＿＿；
（3）若AB=4，BC=5，AC=6，則AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.
3.在⊿ABC中，∠A=50°
（1）若點O是⊿ABC的外心，則∠BOC= .
(2) 若點O是⊿ABC的內心，則∠BOC= .
4.如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，∠OAB=30°．
（1）求∠APB的度數； （2）當OA=3時，求AP的長．
5.如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，直線EF也是⊙O的切
線，切點為Q，交PA、PB為E、F點，已知，求△PEF的周長.
6.如圖，邊長為6的正三角形的內切圓半徑是_________．
7.如圖，圓O內切Rt△ABC，切點分別是D、E、F，AC=5，BC=12，則內切圓的半徑長為
8.如圖所示，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點， 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度數．

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