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4.3相似多邊形知識(shí)梳理及同步練習(xí)北師大版2024—2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)
知識(shí)點(diǎn)一：相似多邊形的性質(zhì)
（1）相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。
（2）相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比
例1、△ABC的三邊長(zhǎng)分別為、、2，△DEF的兩邊長(zhǎng)分別為1和，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三邊長(zhǎng)為（ ）
A、 B、2 C、 D、
變式1、一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別是4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5cm，和它相似的一個(gè)多邊形最長(zhǎng)邊為8 cm，那么這個(gè)多邊形的周長(zhǎng)是（ ）
A、12 cm B、18 cm C、32 cm D、48 cm
變式2、Rt△ABC的兩條直角邊分別為3 cm、4 cm，與它相似的Rt△A'B'C'的斜邊為20 cm，那么Rt△A'B'C'的周長(zhǎng)為（ ）
A、48 cm B、28 cm C、12 cm D、10 cm
變式3、如果一個(gè)矩形對(duì)折后和原來(lái)的矩形相似，則此矩形的長(zhǎng)邊與短邊之比為（ ）
A、2：1 B、4：11 C、：1 D、1.5：1
變式4、兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為1：，其中小三角形的最長(zhǎng)邊為10 cm，那么另一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊為_(kāi)_______。
變式5、如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個(gè)菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，連接EB，GD．
（1）求證：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的長(zhǎng)．
變式6、如圖，四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∠A＝116°，∠B＝40°，∠C＝65°，求x的值和∠D1的度數(shù)．
例2、如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，在它的左側(cè)補(bǔ)一個(gè)矩形ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的長(zhǎng)．
變式1、如圖所示，已知矩形ABCD，AB=6 cm，BC=8 cm，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且AE=DF=4 cm，兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別從C、F兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿CB、FE均以2 cm/s的速度分別向B、E運(yùn)動(dòng)。猜測(cè)當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，矩形CFNM與矩形AEFD相似？
變式2、如圖，一個(gè)矩形的長(zhǎng)AB＝am，寬AD＝1m，按照?qǐng)D中所示的方式將它分割成相同的三個(gè)矩形，且每個(gè)小矩形與原矩形相似，求a的值．
知識(shí)點(diǎn)二：判斷兩個(gè)多邊形相似
判斷兩個(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備：
（1）邊數(shù)相同；（2）對(duì)應(yīng)角相等；（3）對(duì)應(yīng)邊的比相等。
例3、下列各組圖形：① 兩個(gè)平行四邊形；② 兩個(gè)圓；③ 兩個(gè)矩形；④ 有一個(gè)內(nèi)角都是80°的兩個(gè)等腰三角形；⑤ 兩個(gè)正五邊形；⑥ 有一個(gè)內(nèi)角是100°的兩個(gè)等腰三角形。其中一定是相似形的是 （填序號(hào)）。
變式1、下列多邊形中，一定相似的是（ ）
A、兩個(gè)矩形B、兩個(gè)菱形 C、兩個(gè)正方形 D、兩個(gè)平行四邊形
變式2、下列說(shuō)法正確的是（ ）
A、兩個(gè)等腰三角形相似 B、所有的等腰梯形相似
C、兩個(gè)等腰直角三角形相似 D、所有的正多邊形相似
變式3、下列說(shuō)法正確的是（ ）
A、兩個(gè)等腰三角形相似 B、所有的等腰梯形相似
C、兩個(gè)等腰直角三角形相似 D、所有的正多邊形相似
變式4、下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A、所有的等邊三角形都相似 B、和同一圖形相似的兩圖形也相似
C、所有的等腰直角三角形都相似 D、所有的矩形都相似
變式5、下列四組圖形中，一定相似的是（　　）
A．正方形與矩形 B．正方形與菱形
C．菱形與菱形 D．正五邊形與正五邊形
變式6、如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．∠E＝2∠K B．BC＝2HI
C．六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)
D．S六邊形ABCDEF＝2S六邊形GHIJKL
例4、我們知道，如果兩個(gè)四邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)四邊形叫做相似四邊形．僅有對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)四邊形不一定相似，如正方形與兩鄰邊長(zhǎng)為1和2的矩形就不是相似四邊形．
（1）僅有對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)四邊形 　 　相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）；
（2）如圖，在四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，，求證：四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'．
變式1、在AB＝20m，AD＝30m的矩形花壇四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的寬均相等，都是x，如圖1，那么小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如果相對(duì)著的兩條小路的寬均相等，寬度分別為x、y，如圖2，試問(wèn)小路的寬x與y的比值為多少時(shí)，能使得小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′（A′D′為長(zhǎng)）和矩形ABCD相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．
課后練習(xí)
1．下列各組圖中，是相似圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH．
（1）求∠H的度數(shù)；
（2）若，CD＝15，求HG的長(zhǎng)．
3．已知四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)A1、點(diǎn)B與點(diǎn)B1、點(diǎn)C與點(diǎn)C1、點(diǎn)D與點(diǎn)D1對(duì)應(yīng)．
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度數(shù)；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．
4．如圖，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分別為它們的短邊，點(diǎn)F在AB上，3AE＝2AD．
（1）求證：∠1＝∠2．
（2）若兩個(gè)矩形的面積之和為650cm2，求矩形ABCD的面積．
5．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交AD于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四邊形ABCD∽四邊形CEFD，求BC長(zhǎng)．
6．一個(gè)矩形ABCD的較短邊長(zhǎng)為2．
（1）如圖①，若沿長(zhǎng)邊對(duì)折后得到的矩形與原矩形相似，求它的另一邊長(zhǎng)；
（2）如圖②，已知矩形ABCD的另一邊長(zhǎng)為4，剪去一個(gè)矩形ABEF后，余下的矩形EFDC與原矩形相似，求余下矩形EFDC的面積．
7．如圖所示，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，求未知邊x的長(zhǎng)度和α的大小．

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