資源簡介

4.8圖形的位似知識梳理與同步練習北師大版2024—2025學年九年級上冊
知識梳理
知識點一：位似的概念
（一）、兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。
（二）、相似圖形與位似圖形的區別與聯系：1、區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。3、位似中心的位置：可能位于兩個圖形之間，也可能位于兩個圖形一側，也可能位于兩圖形內。4、位似中心的確定：根據“對應點的連線都經過位似中心”的特點確定位似中心的位置。
例題講解
例1.如圖，在每個小正方形的邊長為1個單位長度的網格中，△ABC三個頂點分別為A（﹣1，0），B（0，1），C（1，﹣1），已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，且A1（﹣1，2），B1（1，4）．
（1）請直接寫出位似中心的坐標：　 　；
（2）在網格中將△A1B1C1補充完整．
練習1、圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A、點P B、點O
C、點M D、點N
練習2、如圖所示1，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，點F的坐標為（1,1），點C的坐標為（4,2）。則這兩個正方形位似中心的坐標是________。
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：位似圖形的性質
1、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質。
2、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比。
例2、如圖2，O是等邊三角形△ABC的中心，P'、Q'、R'分別是OP、OQ、OR的中點，則△P'Q'R'與△PQR是位似三角形，此時△P'Q'R'與△PQR的位似比、位似中心分別為（ ）
A、2，點P B、，點P C、2，點O D、，點O
練習1、如圖3，以點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是 。
練習2、設四邊形與四邊形是位似圖形，且位似比為，給出下列四個式子：①；②；③；④；其中成立的式子有（ ）
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
練習3、如圖4所示，正五邊形是由正五邊形經過位似變換得到的，若，則下列結論正確的是（ ）
A、2DE=3MN B、3DE=2MN C、 D、
知識點三：利用位似變換作圖，放大或縮小圖形
利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。
畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長）；③根據相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。
例3、如圖，△ABC在平面直角坐標系內三頂點的坐標分別為A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）△ABC內部有一點P（a，b），直接寫出經過（1）中對稱變換后P的對應點P1的坐標 　 　；
（3）以點B為位似中心，在點B的下方畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比為3：1．
練習1、如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的三個頂點的坐標分別為A（6，3），O（0，0），B（0，6）．
（1）以原點O為位似中心，在第一象限內將△AOB縮小得到△A1OB1，相似比為，請畫出△A1OB1；
（2）直接寫出點A1的坐標（ 　 　，　 　）；
（3）求出△A1OB1的面積．
練習2、如圖，△ABC在帶有網格的平面直角坐標系中的位置．
（1）以點O為位似中心，在y軸右側作出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使得放大后的△A1B1C1與△ABC的位似比為2：1．
（2）若點P在△ABC內部，且坐標為（a，b），寫出按（1）變化后的對應點P1的坐標 　 　．
（3）在圖中找到點M，使得MA＝MB＝MC，寫出點M的坐標 　 　．
練習3、如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）以原點O為位似中心，畫出△ABC的位似三角形，使它與△ABC的相似比為2：1；
（2）△ABC與其位似三角形的面積比為 　 　．
練習4、如圖，已知O是坐標原點，A，B兩點的坐標分別為（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以點O為位似中心，在y軸左側將△OAB放大為原來的兩倍，畫出△OA'B'；
（2）A點的對應點A′的坐標是 　 　；△OA'B'的面積是 　 　；
（3）在AB上有一點P（x，y），按（1）的方式得到的對應點P′坐標是 　 　．
練習5、如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A'B'C'是關于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上。
（1）畫出位似中心點O；
（2）求出△ABC與△A'B'C'的位似比；
（3）以點O為位似中心，再畫一個△，使它與△ABC的位似比
等于1：5。
知識點四：圖形的變換與坐標
1、平移：
（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，當向右平移n個單位時，橫坐標應相應地加n個單位，反之則減；
（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標上加、下減。
2、軸對稱
（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數；
（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數。
3、以原點為位似中心的位似變換
在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k（對應點在位似中心同側）或者－k（對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為，則其位似圖形對應點的坐標為或。
例4、如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）畫出將△ABC向左平移5個單位，再向上平移3個單位后的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，在位似中心的同側畫出△A1B1C1的一個位似△A2B2C2，使它與△A1B1C1的相似比為2：1；
（3）若△A1B1C1內部任意一點P1的坐標為（a，b），直接寫出經過（2）的變化后點P1的對應點P2的坐標（用含a、b的代數式表示）．
練習1、如圖所示的平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），請按如下要求畫圖：
（1）以坐標原點O為旋轉中心，將△ABC順時針旋轉90°，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1，并寫出點B的對應點B1的坐標；
（2）以坐標原點O為位似中心，在x軸下方，畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，使它與△ABC的位似比為2：1，并寫出點B的對應點B2的坐標．
練習2、實踐與操作：如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B的坐標分別為（1，3），（3，2）．
（1）畫出△OAB繞點B順時針旋轉90°后的△O′A′B；
（2）點M是OA的中點，在（1）的條件下，M的對應點M′的坐標為　 　．
（3）以點B為位似中心，相似比為2：1，在x軸的上方畫出△O′A′B放大后的△O2A2B．
練習3、如圖在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示，頂點坐標分別為：A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，0）．
（1）S△ABC＝ 　 　；
（2）以原點O為位似中心，在y軸右側畫出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使它與△ABC的相似比是2：1；
（3）在（2）中，點M（a，b）是線段AB上一點，點M的對應點M1的坐標為 　 　．
練習4、如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點坐標分別為A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）畫出將△AOB向左平移3個單位，再向上平移1個單位后的△A1O1B1；
（2）以原點O為位似中心，位似比為1：2，在y軸的左側，畫出將△A1O1B1放大后的△A2O2B2；
（3）判斷△AOB與△A2O2B2，能否是關于某一點Q為位似中心的位似圖形，若是，請在圖中標出位似中心Q，并寫出點Q的坐標．

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