資源簡介

8.1　相交線
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.通過觀察實例,總結出垂直的定義,并能夠通過作圖,理解垂線段的定義. 抽象能力、幾何直觀
2.掌握垂線的兩個性質,并能夠利用性質解決問題. 幾何直觀、推理能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點
1.垂直及相關概念
(1)符號表示:a與b相互垂直,記作 .
(2)兩條直線相交所形成的四個角中,如果有一個角是 ,那么就稱這兩條直線 垂直.其中一條直線叫作另一條直線的 ,它們的 叫作垂足.
對點小練
1.如圖,線段AB和CD相交于點O,下列條件中能說明AB⊥CD的是( )
A.AO=OB
B.CO=OD
C.∠AOC=∠BOD
D.∠AOC=∠BOC
新知要點
2.垂線的性質
(1)同一平面內,過一點有且只有 條直線與已知直線垂直.
(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中, 最短.
對點小練
2.利用三角尺或量角器判斷,圖中的兩點所成的直線能與直線l垂直的是( )
A.點M和點N B.點P和點Q
C.點M和點Q D.點N和點P
新知要點
3.點到直線的距離
直線外一點到這條直線的 的長度.
對點小練
3.如圖AC⊥BC,CD⊥AB,則點B到AC的距離為( )
A.線段BD的長度 B.線段AC的長度
C.線段CD的長度 D.線段BC的長度
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1垂直定義及性質(抽象能力、幾何直觀)
【典例1】如圖,OC⊥AB交直線AB于點O,射線OD,OE在∠BOC內,OE平分∠BOD,其中∠COD=32°.
(1)求∠BOD的度數;
(2)求∠AOE的度數.
【舉一反三】
1.(2024·東營河口區模擬)如圖,點O在直線AB上,OC⊥OD,若∠AOC=50°,則∠BOD的度數是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.如圖,若AB⊥l,BC⊥l,B為垂足,那么A,B,C三點在同一直線上,其理由是 .
3.(2024·濰坊奎文質檢)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOD,OF⊥OE.若∠FOC=50°,求∠AOD的度數.
【技法點撥】
應用垂直定義的注意點
應用垂直的定義解題,要理解其定義的兩個方面:
(1)由兩直線垂直可得其夾角為90°.
(2)由兩直線的夾角為90°,可得兩直線互相垂直.
重點2垂線段的性質及應用(抽象能力、推理能力)
【典例2】如圖,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足為D.
(1)AB,AC,CD之間的大小關系為 (用“<”連接起來).
(2)若AC=4,BC=3,AB=5,求點C到直線AB的距離.
【舉一反三】
1.如圖,AC⊥BC,AD⊥CD,垂足分別為點C,D.若AD=4,AB=7,則AC的長可能是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
2.(2024·淄博博興質檢)如圖,直線m,n相交于點A,點P是直線m上一點,則點P到直線n的距離是線段 的長度.
3.(2024·煙臺萊山模擬)如圖,汽車站、碼頭分別位于A,B兩點,直線m,n分別表示公路與河流.
(1)從汽車站A到碼頭B怎樣走最近 畫出最近路線,并說明理由;
(2)從碼頭B到公路m怎樣走最近 畫出最近路線BC,并說明理由;
(3)在(1),(2)的基礎上,比較AC和AB的大小.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,點A在直線l1上,點B,C在直線l2上,AB⊥l2,AC⊥l1,AB=4,BC=3,則下列說法正確的是( )
A.點C到AB的距離等于4
B.點B到AC的距離等于3
C.點A到直線l2的距離等于4
D.點C到直線l2的距離等于4
2.(3分·幾何直觀)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥CD.若∠AOE=50°,則∠BOC的度數是( )
A.140° B.130° C.50° D.40°
3.(4分·抽象能力、空間觀念)如圖,點A,B,C在直線l上,PB⊥l,PA=5 cm,PB=4 cm,
PC=6 cm,則點P到直線l的距離是 cm.
4.(5分·幾何直觀、推理能力)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥AB于點O,如果∠COE=40°,那么∠BOD的度數是 °.
5.(5分·幾何直觀、推理能力)作圖并回答:
(1)如圖,點P在∠AOB的邊OA上.
①過點P作OA的垂線交OB于點C.
②作點P到OB的垂線段PM.
(2)上述作圖中,線段 的長度表示點P到OB的距離.
(3)線段PM,PC與OC的大小關系是: (用“<”連接),判斷依據:
. 8.1　相交線
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.認識兩條直線的位置關系平行和相交,理解平行與相交的區別. 幾何直觀
2.認識對頂角和鄰補角,并能在圖形中找出對頂角和鄰補角,理解對頂角相等的性質. 抽象能力、幾何直觀
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點
1.平行線與相交線的定義
(1)相交線:兩條直線只有 個公共點
(2)平行線:在同一平面內, 公共點的兩條直線
對點小練
1.下列說法正確的是( )
A.同一個平面內,不相交的兩條線段是平行線
B.同一個平面內,兩條直線不相交就重合
C.同一個平面內,沒有公共點的兩條直線是平行線
D.不相交的兩條直線是平行線
新知要點
2.鄰補角
有一條 ,另一邊互為 的兩個角
對點小練
2.如圖,圖中有 對鄰補角.
新知要點
3.對頂角的定義及其性質
(1)定義:兩個角有 個公共頂點,并且其中一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的 延長線
(2)性質:對頂角
對點小練
3.如圖,直線A,B相交于點O.如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度數為 .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1對頂角、鄰補角的定義(抽象能力、幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P31練習T1拓展)觀察下列各圖,尋找對頂角(不含平角).如圖1,圖中有2條直線相交,則對頂角有 對;如圖2,圖中有3條直線相交于一點,則對頂角有 對;若有n條直線相交于一點,則對頂角有 對.
【舉一反三】
1.(2024·東營河口區模擬)下列圖形中,∠1和∠2是對頂角的是( )
2.如圖,直線AB,CD相交于點O,則∠1的對頂角是 ,∠1的鄰補角是 .
【技法點撥】
鄰補角、對頂角的識別方法
1.識別鄰補角:①找頂點,②分別以一邊為公共邊,找另一邊的反向延長線;
2.識別對頂角:①找頂點,②找兩邊的反向延長線.
重點2對頂角、鄰補角的性質(推理能力、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P30例1拓展)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE把∠BOD分成兩部分.
(1)直接寫出圖中∠AOD的對頂角為 ;
(2)若OE平分∠BOD,∠DOE∶∠AOD=1∶4.求∠EOC的度數.
【自主解答】(1)依題意,∠AOD的對頂角為∠BOC;
【舉一反三】
1.(2024·淄博博興縣質檢)如圖是一把剪刀的示意圖,我們可想象成一個相交線模型,若∠AOB+∠COD=72°,則∠AOB= .
2.如圖,直線AB,CD相交于點O,∠EOB=90°.
(1)直接寫出∠AOC的對頂角和補角;
(2)若∠AOC∶∠COE=3∶1,則∠COB的度數為 .
【技法點撥】
應用對頂角、鄰補角性質的兩點注意
(1)利用對頂角、鄰補角的性質,可以解決與相交線有關的角度計算問題.正確辨析對頂角、鄰補角,掌握它們的性質是應用的前提.
(2)解決這類問題要善于尋找對頂角和鄰補角,利用它們把所求的角與已知角聯系起來.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,直線a與直線b交于點A,此時圖中有兩對對頂角,若過點A再畫一條不與直線a,b重合的直線c,則新增加的對頂角有( )
A.2對　　B.3對　　C.4對　　D.5對
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,直線AB,CD,OE相交于點O,且OA平分∠COE,若∠EOD比∠BOD大30°,則∠AOC的度數為( )
A.60° B.70° C.50° D.80°
3.(4分·抽象能力、空間觀念)如圖,直線AB,CD,EF相交于點O.∠AOE的對頂角是 ,∠BOD的鄰補角是 .
4.(4分·推理能力)如果∠α與∠β是對頂角,那么一定有∠α ∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α與∠β 對頂角. 8.1　相交線
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.通過觀察實例,總結出垂直的定義,并能夠通過作圖,理解垂線段的定義. 抽象能力、幾何直觀
2.掌握垂線的兩個性質,并能夠利用性質解決問題. 幾何直觀、推理能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點
1.垂直及相關概念
(1)符號表示:a與b相互垂直,記作　a⊥b　.
(2)兩條直線相交所形成的四個角中,如果有一個角是　直角　,那么就稱這兩條直線　互相　垂直.其中一條直線叫作另一條直線的　垂線　,它們的　交點　叫作垂足.
對點小練
1.如圖,線段AB和CD相交于點O,下列條件中能說明AB⊥CD的是(D)
A.AO=OB
B.CO=OD
C.∠AOC=∠BOD
D.∠AOC=∠BOC
新知要點
2.垂線的性質
(1)同一平面內,過一點有且只有　一　條直線與已知直線垂直.
(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,　垂線段　最短.
對點小練
2.利用三角尺或量角器判斷,圖中的兩點所成的直線能與直線l垂直的是(C)
A.點M和點N B.點P和點Q
C.點M和點Q D.點N和點P
新知要點
3.點到直線的距離
直線外一點到這條直線的　垂線段　的長度.
對點小練
3.如圖AC⊥BC,CD⊥AB,則點B到AC的距離為(D)
A.線段BD的長度 B.線段AC的長度
C.線段CD的長度 D.線段BC的長度
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1垂直定義及性質(抽象能力、幾何直觀)
【典例1】如圖,OC⊥AB交直線AB于點O,射線OD,OE在∠BOC內,OE平分∠BOD,其中∠COD=32°.
(1)求∠BOD的度數;
(2)求∠AOE的度數.
【自主解答】(1)因為OC⊥AB,所以∠BOC=90°,
因為∠COD=32°,
所以∠BOD=∠BOC-∠COD=58°;
(2)因為OE平分∠BOD,
所以∠BOE=∠BOD=29°,
所以∠AOE=180°-∠BOE=151°.
【舉一反三】
1.(2024·東營河口區模擬)如圖,點O在直線AB上,OC⊥OD,若∠AOC=50°,則∠BOD的度數是(C)
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.如圖,若AB⊥l,BC⊥l,B為垂足,那么A,B,C三點在同一直線上,其理由是　在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直　.
3.(2024·濰坊奎文質檢)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOD,OF⊥OE.若∠FOC=50°,求∠AOD的度數.
【解析】因為OF⊥OE,
所以∠EOF=90°;
因為∠FOC=50°,∠FOC+∠EOF+∠DOE=180°,
所以∠DOE=180°-∠EOF-∠FOC=40°;
因為OE平分∠BOD,
所以∠BOD=2∠DOE=80°,
所以∠AOD=180°-∠BOD=100°.
【技法點撥】
應用垂直定義的注意點
應用垂直的定義解題,要理解其定義的兩個方面:
(1)由兩直線垂直可得其夾角為90°.
(2)由兩直線的夾角為90°,可得兩直線互相垂直.
重點2垂線段的性質及應用(抽象能力、推理能力)
【典例2】如圖,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足為D.
(1)AB,AC,CD之間的大小關系為　　　　　　　　　(用“<”連接起來).
(2)若AC=4,BC=3,AB=5,求點C到直線AB的距離.
【自主解答】(1)因為AC⊥BC,
所以AC答案:CD(2)因為S三角形ACB=AC·CB=AB·CD,
所以AC·CB=AB·CD,
因為AC=4,BC=3,AB=5,
所以12=5CD,所以CD=.
所以點C到直線AB的距離是.
【舉一反三】
1.如圖,AC⊥BC,AD⊥CD,垂足分別為點C,D.若AD=4,AB=7,則AC的長可能是(B)
A.4 B.6 C.7 D.8
2.(2024·淄博博興質檢)如圖,直線m,n相交于點A,點P是直線m上一點,則點P到直線n的距離是線段　PC　的長度.
3.(2024·煙臺萊山模擬)如圖,汽車站、碼頭分別位于A,B兩點,直線m,n分別表示公路與河流.
(1)從汽車站A到碼頭B怎樣走最近 畫出最近路線,并說明理由;
(2)從碼頭B到公路m怎樣走最近 畫出最近路線BC,并說明理由;
(3)在(1),(2)的基礎上,比較AC和AB的大小.
【解析】(1)連接AB,如圖,
從汽車站A到碼頭B沿AB走最近,
理由:兩點之間線段最短;
(2)過點B作BC⊥AC于點C,如圖,
從碼頭B到公路m沿BC走最近,
理由:垂線段最短;
(3)結合(1)(2)可知:△ABC是直角三角形,
因為直角三角形的斜邊大于直角邊,
所以AC素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,點A在直線l1上,點B,C在直線l2上,AB⊥l2,AC⊥l1,AB=4,BC=3,則下列說法正確的是(C)
A.點C到AB的距離等于4
B.點B到AC的距離等于3
C.點A到直線l2的距離等于4
D.點C到直線l2的距離等于4
2.(3分·幾何直觀)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥CD.若∠AOE=50°,則∠BOC的度數是(A)
A.140° B.130° C.50° D.40°
3.(4分·抽象能力、空間觀念)如圖,點A,B,C在直線l上,PB⊥l,PA=5 cm,PB=4 cm,
PC=6 cm,則點P到直線l的距離是　4　cm.
4.(5分·幾何直觀、推理能力)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥AB于點O,如果∠COE=40°,那么∠BOD的度數是　50　°.
5.(5分·幾何直觀、推理能力)作圖并回答:
(1)如圖,點P在∠AOB的邊OA上.
①過點P作OA的垂線交OB于點C.
②作點P到OB的垂線段PM.
(2)上述作圖中,線段　　　　的長度表示點P到OB的距離.
(3)線段PM,PC與OC的大小關系是:　　　　　　　　　(用“<”連接),判斷依據:
　　　　　　　　　　.
【解析】(1)①如圖所示,PC即為所求;
②如圖所示,PM即為所求;
(2)因為PM⊥OB,所以線段PM的長度表示點P到OB的距離;
答案:PM
(3)因為PM⊥OC,所以PC>PM,
因為PC⊥OP,所以OC>PC,
所以PM答案:PM第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.認識兩條直線的位置關系平行和相交,理解平行與相交的區別. 幾何直觀
2.認識對頂角和鄰補角,并能在圖形中找出對頂角和鄰補角,理解對頂角相等的性質. 抽象能力、幾何直觀
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點
1.平行線與相交線的定義
(1)相交線:兩條直線只有　一　個公共點
(2)平行線:在同一平面內,　沒有　公共點的兩條直線
對點小練
1.下列說法正確的是(C)
A.同一個平面內,不相交的兩條線段是平行線
B.同一個平面內,兩條直線不相交就重合
C.同一個平面內,沒有公共點的兩條直線是平行線
D.不相交的兩條直線是平行線
新知要點
2.鄰補角
有一條　公共邊　,另一邊互為　反向延長線　的兩個角
對點小練
2.如圖,圖中有　4　對鄰補角.
新知要點
3.對頂角的定義及其性質
(1)定義:兩個角有　一　個公共頂點,并且其中一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的　反向　延長線
(2)性質:對頂角　相等　
對點小練
3.如圖,直線A,B相交于點O.如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度數為　150°　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1對頂角、鄰補角的定義(抽象能力、幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P31練習T1拓展)觀察下列各圖,尋找對頂角(不含平角).如圖1,圖中有2條直線相交,則對頂角有　2　對;如圖2,圖中有3條直線相交于一點,則對頂角有　3　對;若有n條直線相交于一點,則對頂角有　n　對.
【舉一反三】
1.(2024·東營河口區模擬)下列圖形中,∠1和∠2是對頂角的是(B)
2.如圖,直線AB,CD相交于點O,則∠1的對頂角是　∠BOD　,∠1的鄰補角是　∠AOD和∠BOC　.
【技法點撥】
鄰補角、對頂角的識別方法
1.識別鄰補角:①找頂點,②分別以一邊為公共邊,找另一邊的反向延長線;
2.識別對頂角:①找頂點,②找兩邊的反向延長線.
重點2對頂角、鄰補角的性質(推理能力、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P30例1拓展)如圖,直線AB,CD相交于點O,OE把∠BOD分成兩部分.
(1)直接寫出圖中∠AOD的對頂角為　　　　　;
(2)若OE平分∠BOD,∠DOE∶∠AOD=1∶4.求∠EOC的度數.
【自主解答】(1)依題意,∠AOD的對頂角為∠BOC;
答案:∠BOC
(2)設∠DOE=x,則∠AOD=4x,
因為OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE=x,
所以x+x+4x=180°,解得x=30°,
所以∠BOE=30°,∠AOD=4x=120°,
所以∠BOC=∠AOD=120°,
所以∠EOC=∠BOE+∠BOC=150°.
【舉一反三】
1.(2024·淄博博興縣質檢)如圖是一把剪刀的示意圖,我們可想象成一個相交線模型,若∠AOB+∠COD=72°,則∠AOB=　36°　.
2.如圖,直線AB,CD相交于點O,∠EOB=90°.
(1)直接寫出∠AOC的對頂角和補角;
(2)若∠AOC∶∠COE=3∶1,則∠COB的度數為　　　　.
【解析】(1)∠AOC的對頂角是∠BOD,∠AOC的補角是∠BOC和∠AOD;
(2)因為∠EOB=90°,所以∠AOE=90°,
因為∠AOC∶∠COE=3∶1,
所以∠AOC=∠AOE=×90°=67.5°,
所以∠COB=∠AOD=180°-∠AOC=112.5°.
答案:112.5°
【技法點撥】
應用對頂角、鄰補角性質的兩點注意
(1)利用對頂角、鄰補角的性質,可以解決與相交線有關的角度計算問題.正確辨析對頂角、鄰補角,掌握它們的性質是應用的前提.
(2)解決這類問題要善于尋找對頂角和鄰補角,利用它們把所求的角與已知角聯系起來.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,直線a與直線b交于點A,此時圖中有兩對對頂角,若過點A再畫一條不與直線a,b重合的直線c,則新增加的對頂角有(C)
A.2對　　B.3對　　C.4對　　D.5對
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,直線AB,CD,OE相交于點O,且OA平分∠COE,若∠EOD比∠BOD大30°,則∠AOC的度數為(C)
A.60° B.70° C.50° D.80°
3.(4分·抽象能力、空間觀念)如圖,直線AB,CD,EF相交于點O.∠AOE的對頂角是　∠BOF　,∠BOD的鄰補角是　∠BOC或∠AOD　.
4.(4分·推理能力)如果∠α與∠β是對頂角,那么一定有∠α　=　∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α與∠β　不一定是　對頂角.

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