資源簡介

﹡9.4　三元一次方程組
課時學習目標 素養目標達成
1.類比二元一次方程組的解法,推導出三元一次方程組的解法,并能夠解三元一次方程組. 抽象能力、模型觀念
2.通過解決實際問題,掌握列三元一次方程組解決問題的方法,并能夠解相應題目. 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.三元一次方程組: (1)三個方程必須是　整式　方程; (2)一共含有　3　個未知數; (3)所含未知數的項的次數都是　1　. 1.下列方程中,屬于三元一次方程的是(C) A.π+x+y=6　　　　　B.xy+y+z=6 C.x+2y+3z=9 D.3x+2y-4z=4x+2y-2z
2.三元一次方程組的解法: (1)基本思路:“三元”轉化為“　二元　”,進而轉化為“　一元　”. (2)一般步驟:選→化→解→求→得. 2.三元一次方程組消去一個未知數后,所得二元一次方程組是(A) A. B. C. D.
3.三元一次方程組的應用: 一般步驟:找等量關系→設未知數→列方程組→解方程組→檢驗→寫出答案. 3.天平兩邊托盤中相同形狀的物體質量相同,且兩架天平均保持平衡,如圖,則關于“□”“○”“△”質量的大小關系,下列說法正確的是(C) A.△最重 B.○最重 C.□最重 D.無法比較
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點1】三元一次方程組的解法(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P74例1拓展)解方程組:.
【自主解答】,
①+③得,3x-y=4④,
①-②得,x+2y=-1⑤,
④×2+⑤得,6x+x=8-1,解得x=1,
將x=1代入④得3-y=4,解得y=-1,
將代入②得,1+1-z=0,解得z=2,
所以方程組的解為.
【舉一反三】
1.(2024·聊城茌平模擬)方程組
的解是(D)
A.　B.　C.　D.
2.方程組的解為 　.
3.(2024·威海乳山質檢)解方程組:.
【解析】,
①+②得8x-z=18④,
②+③得6x+2z=8⑤,
聯立④⑤得,
④×2+⑤得22x=44,解得x=2,
將x=2代入④得8×2-z=18,解得z=-2,
將x=2,z=-2代入③得2+y-(-2)=3,解得y=-1,所以方程組的解為.
【技法點撥】
解三元一次方程組的基本思路
【重點2】三元一次方程組的應用(應用意識)
【典例2】某農場300名職工耕種51公頃土地,計劃種植水稻、棉花和蔬菜,已知種植各種農作物每公頃所需的勞動力人數及投入的設備資金如表:
農作物 品種 每公頃所需勞動力 每公頃所需投 入的設備資金
水稻 4人 1萬元
棉花 8人 1萬元
蔬菜 5人 2萬元
已知該農場計劃投入設備資金67萬元,應該怎樣安排這三種農作物的種植面積,才能使所有職工有工作,而且投入的資金正好夠用
【自主解答】設種植水稻x公頃,棉花y公頃,蔬菜z公頃,由題意,得
,解得.
答:種植水稻15公頃,棉花20公頃,蔬菜16公頃.
【舉一反三】
1.(2024·青島市北模擬)某校開學典禮需要購買一、二、三等獎獎品若干,若購買三等獎獎品3件,二等獎獎品5件,一等獎獎品1件,共需68元,若購買三等獎獎品4件,二等獎獎品2件,一等獎獎品6件,共需86元.現在購買三等獎、二等獎、一等獎獎品各一件,共需(C)
A.24元 B.23元 C.22元 D.21元
2.某超市在促銷活動中準備了三種小禮品共16件,16件禮品的總價為50元,三種小禮品的價格分別為2元/件、4元/件和10元/件,每種小禮品至少準備1件.已知價格為2元/件的小禮品有a件.
(1)請用含a的式子分別表示準備的另外兩種小禮品的件數;
(2)如果準備價格為2元/件的小禮品的數量正好是價格為4元/件的小禮品的2倍,分別求出準備的三種價格小禮品的件數.
【解析】(1)設價格為4元/件的小禮品有b件,價格為10元/件的小禮品有c件,
由題意得,
解得b=,c=.
答:價格為4元/件的小禮品有件,價格為10元/件的小禮品有件.
(2)由題意得a=2×,解得a=10,
則b==5,c==1.
答:價格為2元/件的小禮品有10件,價格為4元/件的小禮品有5件,價格為10元/件的小禮品有1件.
3.(2024·煙臺海陽模擬)甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同,若從甲、乙、丙三個杯子中各取出重量相等的奶茶,將它們混合后就成為含牛奶10%的奶茶;若從甲、乙兩個杯子中按重量之比為2∶3來取,混合后就成為含牛奶7%的奶茶;若從乙、丙中按重量之比為3∶2來取,混合后就成為含牛奶9%的奶茶.求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比.
【解析】設甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比分別為x%,y%,z%,第一次混合從甲、乙、丙三個杯子中各取出a克奶茶,則有a×x%+a×y%+a×z%=3a×10%,
從甲、乙兩個杯子中按重量之比為2∶3來取奶茶時,設從甲中取奶茶2m克,從乙中取奶茶3m克,則有2m×x%+3m×y%=(2m+3m)×7%,
從乙、丙兩個杯子中按重量之比為3∶2來取奶茶時,設從乙中取奶茶3n克,從丙中取奶茶2n克,則有3n×y%+2n×z%=(3n+2n)×9%,
將上面三式消去輔助未知數得:
,解得,
答:甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比分別為10%,5%,15%.
【技法點撥】
列三元一次方程組解應用題的一般步驟
(1)找等量關系;
(2)設未知數(一般要設3個未知數);
(3)列方程組;
(4)解方程組;
(5)檢驗;
(6)寫答案.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·運算能力、推理能力)為確保信息安全,信息需要加密傳輸,發送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規則為:明文a,b,c,對應密文a+1,-a+2b+4,b+3c+9,如果接收方收到密文7,12,22,則解密得到的明文為(C)
A.6,2,7　 B.2,6,7　 C.6,7,2　 D.7,2,6
2.(3分·抽象能力、運算能力)解三元一次方程組,要使解法較為簡便,首先應進行的變形為(A)
A.①+②　 B.①-②　 C.①+③　 D.②-③
3.(4分·抽象能力、運算能力)若++=0,則x+y+z=　10　.
4.(4分·運算能力、推理能力)已知x,y,z滿足==,且x+2y-z=8,則x=　9　.
5.(6分·運算能力、應用意識)甲、乙兩人在某環形道路上跑步,假設他們在跑步過程中各自保持一定的速度不變.如果他們同時從同一地點反向而行,那么就會形成每隔10分鐘相遇一次的規律;如果他們同時從同一地點同向而行,那么5分鐘后甲在乙的前方200米,并且他們的相遇規律變成了每隔100分鐘相遇一次.求甲的速度和環形道路的長度.
【解析】設甲的速度為x米/分,乙的速度為y米/分,環形道路的長度為s米,
依題意得:,
解得:.
答:甲的速度為220米/分,環形道路的長度為4 000米.
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課時學習目標 素養目標達成
1.類比二元一次方程組的解法,推導出三元一次方程組的解法,并能夠解三元一次方程組. 抽象能力、模型觀念
2.通過解決實際問題,掌握列三元一次方程組解決問題的方法,并能夠解相應題目. 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.三元一次方程組: (1)三個方程必須是 方程; (2)一共含有 個未知數; (3)所含未知數的項的次數都是 . 1.下列方程中,屬于三元一次方程的是( ) A.π+x+y=6　　　　　B.xy+y+z=6 C.x+2y+3z=9 D.3x+2y-4z=4x+2y-2z
2.三元一次方程組的解法: (1)基本思路:“三元”轉化為“ ”,進而轉化為“ ”. (2)一般步驟:選→化→解→求→得. 2.三元一次方程組消去一個未知數后,所得二元一次方程組是( ) A. B. C. D.
3.三元一次方程組的應用: 一般步驟:找等量關系→設未知數→列方程組→解方程組→檢驗→寫出答案. 3.天平兩邊托盤中相同形狀的物體質量相同,且兩架天平均保持平衡,如圖,則關于“□”“○”“△”質量的大小關系,下列說法正確的是( ) A.△最重 B.○最重 C.□最重 D.無法比較
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點1】三元一次方程組的解法(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P74例1拓展)解方程組:.
【舉一反三】
1.(2024·聊城茌平模擬)方程組
的解是( )
A.　B.　C.　D.
2.方程組的解為 .
3.(2024·威海乳山質檢)解方程組:.
【技法點撥】
解三元一次方程組的基本思路
【重點2】三元一次方程組的應用(應用意識)
【典例2】某農場300名職工耕種51公頃土地,計劃種植水稻、棉花和蔬菜,已知種植各種農作物每公頃所需的勞動力人數及投入的設備資金如表:
農作物 品種 每公頃所需勞動力 每公頃所需投 入的設備資金
水稻 4人 1萬元
棉花 8人 1萬元
蔬菜 5人 2萬元
已知該農場計劃投入設備資金67萬元,應該怎樣安排這三種農作物的種植面積,才能使所有職工有工作,而且投入的資金正好夠用
【舉一反三】
1.(2024·青島市北模擬)某校開學典禮需要購買一、二、三等獎獎品若干,若購買三等獎獎品3件,二等獎獎品5件,一等獎獎品1件,共需68元,若購買三等獎獎品4件,二等獎獎品2件,一等獎獎品6件,共需86元.現在購買三等獎、二等獎、一等獎獎品各一件,共需( )
A.24元 B.23元 C.22元 D.21元
2.某超市在促銷活動中準備了三種小禮品共16件,16件禮品的總價為50元,三種小禮品的價格分別為2元/件、4元/件和10元/件,每種小禮品至少準備1件.已知價格為2元/件的小禮品有a件.
(1)請用含a的式子分別表示準備的另外兩種小禮品的件數;
(2)如果準備價格為2元/件的小禮品的數量正好是價格為4元/件的小禮品的2倍,分別求出準備的三種價格小禮品的件數.
3.(2024·煙臺海陽模擬)甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同,若從甲、乙、丙三個杯子中各取出重量相等的奶茶,將它們混合后就成為含牛奶10%的奶茶;若從甲、乙兩個杯子中按重量之比為2∶3來取,混合后就成為含牛奶7%的奶茶;若從乙、丙中按重量之比為3∶2來取,混合后就成為含牛奶9%的奶茶.求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比.
【技法點撥】
列三元一次方程組解應用題的一般步驟
(1)找等量關系;
(2)設未知數(一般要設3個未知數);
(3)列方程組;
(4)解方程組;
(5)檢驗;
(6)寫答案.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·運算能力、推理能力)為確保信息安全,信息需要加密傳輸,發送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規則為:明文a,b,c,對應密文a+1,-a+2b+4,b+3c+9,如果接收方收到密文7,12,22,則解密得到的明文為( )
A.6,2,7　 B.2,6,7　 C.6,7,2　 D.7,2,6
2.(3分·抽象能力、運算能力)解三元一次方程組,要使解法較為簡便,首先應進行的變形為( )
A.①+②　 B.①-②　 C.①+③　 D.②-③
3.(4分·抽象能力、運算能力)若++=0,則x+y+z= .
4.(4分·運算能力、推理能力)已知x,y,z滿足==,且x+2y-z=8,則x= .
5.(6分·運算能力、應用意識)甲、乙兩人在某環形道路上跑步,假設他們在跑步過程中各自保持一定的速度不變.如果他們同時從同一地點反向而行,那么就會形成每隔10分鐘相遇一次的規律;如果他們同時從同一地點同向而行,那么5分鐘后甲在乙的前方200米,并且他們的相遇規律變成了每隔100分鐘相遇一次.求甲的速度和環形道路的長度.

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