資源簡介

第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.通過探索多項式乘法,推導出完全平方公式,并能夠進行計算. 抽象能力、模型觀念
2.綜合運用乘法公式進行計算. 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點
完全平方公式:
(1)文字語言:兩個數的和(差)的平方,等于這兩個數的平方和加上(減去)它們乘積的2倍.
(2)符號語言:(a±b)2=a2±2ab+b2.
對點小練
下列運算正確的是( )
A.(x-2y)2=x2-4y2
B.(x-y)2=x2-xy+y2
C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2
D.(x-y)(-x-y)=y2-x2
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1完全平方公式(抽象能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P109例3拓展)
運用完全平方公式計算:
(1) (x2-y)2.　(2)(-xy+5)2.
(3)(-x-y)2.
【舉一反三】
1.(2024·青島黃島模擬)下列運算正確的是( )
A.3x2+2x2=5x4
B.(-x2)3=-x5
C.x8÷(-x)2=x6
D.(x-y)2=x2-y2
2.若(x+5)2=65,則(2x-6)(x+13)= .
3.(2024·濰坊青州質檢)已知多項式A=(m-3)2-(2-m)(2+m)+2.
(1)化簡多項式A;
(2)若x2-2mx+4是一個完全平方式,求A的值.
【技法點撥】
完全平方公式的應用
1.直接應用:符合完全平方公式的特點,直接用完全平方公式展開即可;
2.變符號應用:當式子中a或b帶有負號時,可以通過改變符號的方式應用完全平方公式;
3.變結構應用:有時需要對表達式進行適當的變形,以符合完全平方公式的結構.
重點2乘法公式的靈活運用(模型觀念、應用意識)
【典例2】先化簡,再求值:(a-2b)2+(a-4b)(a+4b),其中a=-1,b=2.
【舉一反三】
1.(2024·青島平度模擬)對于任意整數n,能整除(n+3)(n-3)-(n+4)(n-4)的整數是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.計算:(a+b-3)(a-b+3).
3.先化簡,再求值:(x+2y)2-(x+y)(x-y)-5y2,其中x=2,y=.
【技法點撥】
乘法公式應用中的易錯點
1.完全平方公式與平方差公式易混淆;
2.用完全平方公式運算,容易出現漏項的問題;
3.完全平方公式展開時,易漏系數的平方;
4.完全平方公式展開時,易漏中間項的系數“2”.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·運算能力、模型觀念)下列計算正確的是( )
A.(x-7)(x+9)=x2-63
B.(m+2n)2=m2+4n2
C. (x-y)2=x2-xy+y2
D.(1-m)(m-1)=1-m2
2.(3分·推理能力、運算能力)已知2x2+x-2=0,則代數式(x+1)2+(x+1)(x-1)+2x2的值為( )
A.4 B.2 C.1 D.0
3.(4分·推理能力)若x2+mx+n=(x-3)2,則m+n的值為 .
4.(4分·運算能力)計算:1032= .
5.(6分·抽象能力、運算能力)先化簡,再求值:2a(a-2b)-(2a-b)2,其中a=-2,b=3.10.3　乘法公式
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.通過探索多項式乘法,推導出平方差公式,并能夠進行計算. 抽象能力、模型觀念
2.能夠闡述平方差公式,并能夠用平方差公式解實際應用題. 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點
平方差公式:
　(1)文字語言:兩個數的和與這兩個數的差的乘積等于這兩個數的　平方差　.
(2)符號語言:(a+b)·(a-b)=　a2-b2　.
對點小練
下列多項式相乘,不能用平方差公式計算的是(A)
A.(4x-3y)(3y-4x)　　　　B.(-4x+3y)(-4x-3y)
C. (-x+2y) (x+2y) D.(3y+2x)(2x-3y)
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1平方差公式(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P106例1拓展)計算:
(1)(3m-n)(-n-3m);
(2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y).
【自主解答】(1)原式=(-n+3m)(-n-3m)=(-n)2-(3m)2=n2-9m2.
(2)原式=(3x-y)(3x+y)(9x2+y2)=(9x2-y2)(9x2+y2)=81x4-y4.
【舉一反三】
1.(2024·青島平度模擬)下列計算結果正確的是(C)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3a+2a=5a2
B.(4a+b)(b-4a)=16a2-b2
C.3a·2a=6a2
D.(a2)4÷(-2a)2=a4
2.若a2-b2=-8,a+b=-4,則a-b的值為　2　.
重點2平方差公式的應用(幾何直觀、應用意識)
【典例2】如圖①,邊長為a的大正方形四個角各有一個邊長為b的小正方形(a>2b).
(1)請你計算圖①中陰影部分的面積;
(2)小明將陰影部分拼成了一個長方形,如圖②,這個長方形的長與寬分別是多少 面積又是多少
(3)由圖②到圖①可以得到什么公式 運用你所得到的公式,計算(2m+n-p)(2m-n+p).
【自主解答】(1)圖①中陰影部分的面積為:a2-4b2.
(2)圖②中長方形的長是a+2b,寬是a-2b,
面積是(a+2b)(a-2b).
(3)由圖②到圖①可以得到公式:(a+2b)(a-2b)=a2-4b2;
(2m+n-p)(2m-n+p)
=[2m+(n-p)][2m-(n-p)]
=4m2-n2-p2+2np.
【舉一反三】
1.
(2024·聊城冠縣模擬)如圖,點D,C,H,G分別在長方形ABJI的邊上,點E,F在CD上,若正方形ABCD的面積等于15,圖中陰影部分的面積總和為6,則正方形EFGH的面積等于(C)
A.9 B.8 C.3 D.5
2.若三角形的一邊長為2a+3,該邊上的高為2a-3,則此三角形的面積是　2a2-　.
3.(2024·泰安新泰模擬)(1)數學課堂上老師留了一道數學題,如圖①,用式子表示空白部分的面積.甲,乙兩名同學表示的式子是:甲:10×6-10x-6x;乙:(10-x)(6-x).列式正確的同學是　　　　.
(2)如圖②,有一塊長為(8a+3b)米,寬為(7a-3b)米的長方形空地,計劃修筑東西、南北走向的兩條道路.其余進行綠化,已知兩條道路的寬分別為2a米和3a米,求綠化的面積.(用含a,b的式子來表示)
【解析】(1)空白部分的面積為:10×6-10x-6x+x2,故甲錯誤;
因為(10-x)(6-x)
=10×6-10x-6x+x2,
所以乙正確.
答案:乙
(2)由題意可得:
(8a+3b-3a)(7a-3b-2a)
=(5a+3b)(5a-3b)
=(25a2-9b2)平方米.
答:綠化的面積為(25a2-9b2)平方米.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、推理能力)一個長方形的長為(m+2n),寬為(m-2n),則這個長方形的面積為(B)
A.m2-2n2 B.m2-4n2
C.m2+2n2 D.4m2-n2
2.(3分·幾何直觀、運算能力)a,b,c是三個連續的正整數,以b為邊長作正方形,分別以a,c為長和寬作長方形,我們可以得到的結論是(A)
A.正方形比長方形的面積大1
B.長方形比正方形的面積大1
C.正方形和長方形的面積一樣大
D.正方形和長方形的面積關系無法確定
3.(4分·運算能力、推理能力)化簡(a+b)(a-b)+2b2=　a2+b2　.
4.(4分·運算能力、推理能力)計算:
20.1×19.9=　399.99　.
5.(6分·推理能力、運算能力)計算:
(1)(x+5)(2x-7);
(2)2 0242-2 023×2 025(用乘法公式簡便運算).
【解析】(1)(x+5)(2x-7)
=2x2-7x+10x-35
=2x2+3x-35;
(2)原式=2 0242-(2 024-1)×(2 024+1)
=2 0242-(2 0242-1)
=2 0242-2 0242+1
=1.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 二十五 ”第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.通過探索多項式乘法,推導出完全平方公式,并能夠進行計算. 抽象能力、模型觀念
2.綜合運用乘法公式進行計算. 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點
完全平方公式:
(1)文字語言:兩個數的和(差)的平方,等于這兩個數的平方和加上(減去)它們乘積的2倍.
(2)符號語言:(a±b)2=a2±2ab+b2.
對點小練
下列運算正確的是(D)
A.(x-2y)2=x2-4y2
B.(x-y)2=x2-xy+y2
C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2
D.(x-y)(-x-y)=y2-x2
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1完全平方公式(抽象能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P109例3拓展)
運用完全平方公式計算:
(1) (x2-y)2.　(2)(-xy+5)2.
(3)(-x-y)2.
【自主解答】(1)原式=(x2)2-2x2·y+=x4-x2y+y2.
(2)原式=(-xy)2+2(-xy)×5+52=x2y2-10xy+25.
(3)原式=(-x)2+2(-x)(-y)+(-y)2=x2+2xy+y2.
【舉一反三】
1.(2024·青島黃島模擬)下列運算正確的是(C)
A.3x2+2x2=5x4
B.(-x2)3=-x5
C.x8÷(-x)2=x6
D.(x-y)2=x2-y2
2.若(x+5)2=65,則(2x-6)(x+13)=　2　.
3.(2024·濰坊青州質檢)已知多項式A=(m-3)2-(2-m)(2+m)+2.
(1)化簡多項式A;
(2)若x2-2mx+4是一個完全平方式,求A的值.
【解析】(1)A=(m-3)2-(2-m)(2+m)+2
=m2-6m+9-(4-m2)+2
=m2-6m+9-4+m2+2
=2m2-6m+7;
(2)因為x2-2mx+4是一個完全平方式,
所以-2m=±2×1×2,所以m=±2.
當m=2時,A=2×22-6×2+7=8-12+7=3;
當m=-2時,A=2×(-2)2-6×(-2)+7=8+12+7=27.
故所求A的值為3或27.
【技法點撥】
完全平方公式的應用
1.直接應用:符合完全平方公式的特點,直接用完全平方公式展開即可;
2.變符號應用:當式子中a或b帶有負號時,可以通過改變符號的方式應用完全平方公式;
3.變結構應用:有時需要對表達式進行適當的變形,以符合完全平方公式的結構.
重點2乘法公式的靈活運用(模型觀念、應用意識)
【典例2】先化簡,再求值:(a-2b)2+(a-4b)(a+4b),其中a=-1,b=2.
【自主解答】原式=a2-4ab+4b2+a2-16b2
=2a2-4ab-12b2.
當a=-1,b=2時,原式=2+8-12×4=-38.
【舉一反三】
1.(2024·青島平度模擬)對于任意整數n,能整除(n+3)(n-3)-(n+4)(n-4)的整數是(D)
A.4 B.5 C.6 D.7
2.計算:(a+b-3)(a-b+3).
【解析】原式=[a+(b-3)][a-(b-3)]
=a2-(b-3)2
=a2-b2+6b-9.
3.先化簡,再求值:(x+2y)2-(x+y)(x-y)-5y2,其中x=2,y=.
【解析】原式=x2+4xy+4y2-(x2-y2)-5y2
=x2+4xy+4y2-x2+y2-5y2
=4xy,
當x=2,y=時,原式=4×2×=4.
【技法點撥】
乘法公式應用中的易錯點
1.完全平方公式與平方差公式易混淆;
2.用完全平方公式運算,容易出現漏項的問題;
3.完全平方公式展開時,易漏系數的平方;
4.完全平方公式展開時,易漏中間項的系數“2”.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·運算能力、模型觀念)下列計算正確的是(C)
A.(x-7)(x+9)=x2-63
B.(m+2n)2=m2+4n2
C. (x-y)2=x2-xy+y2
D.(1-m)(m-1)=1-m2
2.(3分·推理能力、運算能力)已知2x2+x-2=0,則代數式(x+1)2+(x+1)(x-1)+2x2的值為(A)
A.4 B.2 C.1 D.0
3.(4分·推理能力)若x2+mx+n=(x-3)2,則m+n的值為　3　.
4.(4分·運算能力)計算:1032=　10 609　.
5.(6分·抽象能力、運算能力)先化簡,再求值:2a(a-2b)-(2a-b)2,其中a=-2,b=3.
【解析】2a(a-2b)-(2a-b)2
=2a2-4ab-(4a2-4ab+b2)
=2a2-4ab-4a2+4ab-b2
=-2a2-b2,
當a=-2,b=3時,
原式=-2×(-2)2-32=-17.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 二十六”10.3　乘法公式
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.通過探索多項式乘法,推導出平方差公式,并能夠進行計算. 抽象能力、模型觀念
2.能夠闡述平方差公式,并能夠用平方差公式解實際應用題. 應用意識、運算能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點
平方差公式:
　(1)文字語言:兩個數的和與這兩個數的差的乘積等于這兩個數的 .
(2)符號語言:(a+b)·(a-b)= .
對點小練
下列多項式相乘,不能用平方差公式計算的是( )
A.(4x-3y)(3y-4x)　　　　B.(-4x+3y)(-4x-3y)
C. (-x+2y) (x+2y) D.(3y+2x)(2x-3y)
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1平方差公式(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P106例1拓展)計算:
(1)(3m-n)(-n-3m);
(2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y).
【舉一反三】
1.(2024·青島平度模擬)下列計算結果正確的是( )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3a+2a=5a2
B.(4a+b)(b-4a)=16a2-b2
C.3a·2a=6a2
D.(a2)4÷(-2a)2=a4
2.若a2-b2=-8,a+b=-4,則a-b的值為 .
重點2平方差公式的應用(幾何直觀、應用意識)
【典例2】如圖①,邊長為a的大正方形四個角各有一個邊長為b的小正方形(a>2b).
(1)請你計算圖①中陰影部分的面積;
(2)小明將陰影部分拼成了一個長方形,如圖②,這個長方形的長與寬分別是多少 面積又是多少
(3)由圖②到圖①可以得到什么公式 運用你所得到的公式,計算(2m+n-p)(2m-n+p).
【舉一反三】
1.
(2024·聊城冠縣模擬)如圖,點D,C,H,G分別在長方形ABJI的邊上,點E,F在CD上,若正方形ABCD的面積等于15,圖中陰影部分的面積總和為6,則正方形EFGH的面積等于( )
A.9 B.8 C.3 D.5
2.若三角形的一邊長為2a+3,該邊上的高為2a-3,則此三角形的面積是 .
3.(2024·泰安新泰模擬)(1)數學課堂上老師留了一道數學題,如圖①,用式子表示空白部分的面積.甲,乙兩名同學表示的式子是:甲:10×6-10x-6x;乙:(10-x)(6-x).列式正確的同學是 .
(2)如圖②,有一塊長為(8a+3b)米,寬為(7a-3b)米的長方形空地,計劃修筑東西、南北走向的兩條道路.其余進行綠化,已知兩條道路的寬分別為2a米和3a米,求綠化的面積.(用含a,b的式子來表示)
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、推理能力)一個長方形的長為(m+2n),寬為(m-2n),則這個長方形的面積為( )
A.m2-2n2 B.m2-4n2
C.m2+2n2 D.4m2-n2
2.(3分·幾何直觀、運算能力)a,b,c是三個連續的正整數,以b為邊長作正方形,分別以a,c為長和寬作長方形,我們可以得到的結論是( )
A.正方形比長方形的面積大1
B.長方形比正方形的面積大1
C.正方形和長方形的面積一樣大
D.正方形和長方形的面積關系無法確定
3.(4分·運算能力、推理能力)化簡(a+b)(a-b)+2b2= .
4.(4分·運算能力、推理能力)計算:
20.1×19.9= .
5.(6分·推理能力、運算能力)計算:
(1)(x+5)(2x-7);
(2)2 0242-2 023×2 025(用乘法公式簡便運算).

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